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义务教育教科书 数学 八年级上册
第二章 实数
2 二次根式（第3课时）
请你计算： 。
小明是这样计算的： 。
问：分子、分母同乘 的目的是什么？
回顾旧知
请你计算： 。
你有哪些方法，请和同学们分享一下。
总结归纳：在进行二次根式化简的运算中，碰到含有分母的二次根式，一般情况下先进行分母有理化。
回顾旧知
例1 计算：
（1） ； （2） ；
（3） ； （4） 。
例题巩固
解：（1） ；
（2） ；
例题巩固
对于第（3）题，你有哪些做法？试一试，看看结果是否一致。
（3）解法1：
；
解法2：
；
解法3：
。
你认为 是否要化简成 ？与同伴进行交流。
（4）解法1：
；
解法2：
。
例题巩固
你是怎么做的？
化简 ，其中 ， 。
例题巩固
【尝试·思考】
解：解法1： 。
当a=28，b=7时，代入原式= 。
解法2： 。
例题巩固
当a=28，b=7时，代入原式= 。
如图，方格纸中每个小方格的边长均为1。
（1）求梯形ABCD的周长。
（2）求梯形ABCD的面积。 你有哪些求解方法？与同伴进行交流。
问题解决
【思考·交流】
解：
（1）由图可知，AD=6。
利用勾股定理可知，CD= , AB= , BC= 。
问题解决
故梯形ABCD的周长是 。
解：（2）解法1（直接求解法）
由于发现AB//CD，于是过点D作AB边上的高DE，可发现边AB，DC及DE都是某一个直角三角形的斜边或直角边。根据勾股定理可求得AB ＝ ， CD＝ ，DE＝ ，可得梯形ABCD的面积是 。
问题解决
E
解法2（间接求解法）
将梯形ABCD补成一个5×7长方形，用长方形的面积减去3个小三角形的面积，可得梯形ABCD的面积是
。
问题解决
完成教科书第46页“随堂练习”。
练习提高
计算：
（1） ；
（2） ；
（3） ；
（4） 。
对比有理数和实数的学习过程，你对“数”的扩充有什么感悟？
课堂小结
【回顾·反思】
必做：教科书习题2.3 第3，7，9，10题。
选做：教科书习题2.3 第12题。
作业布置
谢谢最简二次根式与二次根式的化简
知识精讲
最简二次根式的定义
一般地，被开方数不含分母，也不含能开得尽方的因数或因式，这样的二次根式，叫作最简二次根式。
最简二次根式的条件
被开方数的因数是整数，因式是整式；
被开方数中不含能开得尽方的因数或因式。
化简二次根式的一般方法
被开方数是整数或整式，先将它分解质因数或分解因式，化为乘积的形式，然后把开得尽方的因数或因式移到根号外；
若被开方数中含有小数，应将小数化为分数；再把分子、分母乘适当的因数，将被开方数的分母变形为一个有理数的平方，然后将分母化为有理数；
若被开方数中含有带分数，应先将带分数化为假分数；再把分子、分母乘适当的因数，将被开方数的分母变形为一个有理数的平方，然后将分母化为有理数。
考点分析
最简二次根式与二次根式的化简是中考中的常考点，主要考查是否能正确运用二次根式的性质把二次根式化简为最简二次根式。题型主要涉及填空题、选择题和计算题，常与二次根式的加减法、乘除法、混合运算等知识综合进行考查。名师点睛
判断一个二次根式是否为最简二次根式，只需逐个检查是否同时满足最简二次根式中的两个条件（被开方数不含分母，也不含能开的尽方的因数或因式），同时满足的为最简二次根式，反之不是。
若二次根式中含有开的尽方的因数或因式，则常利用二次根式的性质：
ab＝
a b a ≥ 0，b≥ 0 进行化简；若二次根式中含有分母，把分子、分母乘
适当的因数， 将被开方数的分母变形为一个有理数的平方，再利用
(
a
b
) (
＝
)a a ≥ 0,b 0 进行化简。
b
典型例题
例 1 下列根式中，不是最简二次根式的是（ ）。
(
10
) (
8
) (
6
) (
2
)B. C. D.
(
2
)解析：二次根式只有满足：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式，才是最简二次根式。
而 8＝
答案：B
4 2＝ 4
2＝2 。
(
1
31
50
)例 2 化简 ＝ 。
(
1
31
50
)解析：化简 为最简二次根式时，先把被开方数先化为假分数，能开得
尽的因数放到根号外，同时将分母化为有理数。
(
1
31
50
) (
81
50
) (
81

2
50

2
)＝ ＝ ＝
＝ 9 2 。
(
81

2
100
)10
答案： 9 2
(

a

b

2
)10
例 3 实数 a，b 在数轴上对应点的位置如图所示，化简|a|＋
的结果
是（ ）。
a 0 b
2a b
2a b
b
D.b
解析：因为 a＜0，a－b＜0，
所以原式＝ a a b ＝ a b a ＝ 2a b 。答案：A二次根式的性质
知识精讲
二次根式具有如下性质：
（1）双重非负性： a ≥ 0 且a≥0 ；
（2）
a2＝ a ，而
a 2 ＝a a ≥ 0 ；
（3）
ab＝
a b a ≥0 ，b≥0 ， a
(
a
b
) (
＝
)b
a ≥ 0 ，b 0 。
几个非负数的和为 0，则这些非负数同时为 0。如 a b2
c＝0 ，则
a ＝b ＝c ＝0 。
考点分析
二次根式的性质是中考中的常考点，主要考查能否利用二次根式的性质对二次根式进行化简。题型主要涉及填空题、选择题，常与二次根式的化简、几个非负数的和为 0 等知识综合进行考查。
名师点睛
(
a
b
) (
＝
)利用二次根式的性质进行化简时，要注意题中是否给出了根号内的字母的取值范围，若给出了字母的取值范围，则在此范围内对根式进行化简；若没有给出，则要注意对题目条件的挖掘，把隐含在题目条件中所限定的取值范围找出来，再在允许的取值范围内进行化简。
要灵活利用
ab＝
a b a ≥ 0 ，b ≥ 0 ， a
a ≥ 0 ，b 0 ，对二
(
b
)次根式进行化简。
当a≥0 时，
a2＝a ；当a 0时，
a2＝ a 。
典型例题
例 1 下列计算正确的是（ ）。
(
A.
12
＝
2
) (
3
) (
3
＝
2
) (
3
) (
C.

x
3
＝
x
) (

x
) (
D.
x
2
＝
x
)B.
2
(
3
)解析：A 选项， 12＝ 4 3＝2 3 ，故 A 正确；
(
3
＝
2
)B 选项，
3 ≠ ，故 B 错误；
C 选项，
2 2
x3＝ x2 x ＝ x x＝ x
(

x
)，故 C 错误；
D 选项， x2＝ x ，故 D 错误。
答案：A
(

a

2

2
)例 2 当1 a 2 时，代数式
1 a 的值是（ ）。
A. 1
解析：正确利用因为1 a 2，
B.1 C.2a-3 D.3-2a
(
a
2
) a 是解题的关键。
所以a 2 0，1 a 0 。
所以原式＝ a 2 1 a ＝ 2 a a 1＝1。
答案：B
例 3 若 x，y 为实数，且
x 2 018
(
y

3
) (
y
) x 3 ＝0 ，则

的值为（ ）。
(
y

3
)A.1 B. 1 C.3 D. 3
解析：因为
x 3 ＝0 ，
所以 y 3＝0 ，x 3＝0 。所以 y＝3 ，x＝ 3。
x 2 018
(
y
)所以

答案：A
＝ 1 2 018 ＝1。二次根式的混合运算
知识精讲
二次根式的混合运算
二次根式的混合运算包括二次根式的加、减、乘、除运算。
二次根式的混合运算法则
根据先乘方，后乘除，最后加减的运算顺序进行。如有括号，应按小、中、大括号的顺序进行运算。
二次根式的混合运算中，实数的运算律、整式的乘法公式仍然适用。
考点分析
二次根式的混合运算是中考中的常考点，主要考查能否正确运用二次根式的相关运算法则、最简二次根式的概念等进行有关实数的简单混合运算。题型主要涉及填空题、选择题和计算题，常与幂的运算、绝对值、整式的乘法公式、实数的运算律等知识综合进行考查。
名师点睛
进行二次根式的混合运算时，常要先化简二次根式，再进行计算。运算的结果要化为最简二次根式或整式。
注意：（1）二次根式性质和运算法则可以逆用，要灵活掌握。
（2）二次根式运算的结果一定要化成最简二次根式。
典型例题
(
1
3
)例 1 计算： 6
1 2 ＝ 。
(
3
)解析：解决本题关键在于先化简二次根式，并利用完全平方公式进行计算。
(
3
)原式＝ 6 3 3 2
(
3
)3
1
(
3
)＝ 2
答案：-4
3 2
1 ＝-4。
(
24

216
6
) 1 0
(
24
)例 2 计算:
。
2
(
6
)分析：解决本题关键是利用二次根式的运算法则进行化简计算。
(
24

216
6
)解：原式＝
2 1
(
6
)＝12
2 1
(
6
) (
6
)＝10 1 。第二章
实数
二次根式（第3课时）
课堂精要·梳理内容
1.二次根式的混合运算顺序：先算
(或开方)，再算
,最后算
,有括号
的先算
里面的；能利用运算律或乘法公式进行运算的，可适当改变运算顺序进
行简便运算。
2.二次根式的混合运算是指二次根式的加、
、乘
、乘方及
这六种运算中
含有两种或两种以上的运算。同时注意合理地运用运算律及相关的公式、法则、性质
等。在运算过程中，能用乘法公式的要尽量使用
课堂精练·发展能力
基础巩固
1.下列计算正确的是()。
A.√12+√3=√15
B.√12×3=36
C.√12-√3=3
D.√12÷√3=2
2.下列计算正确的是()。
A.√5-√3=√2
B.35×23=6/15
C.(2√2)=16
D.3=1
3
3.如果(2十√2)2=a十b√2(a,b都为有理数)，那么a十b等于()。
A.2
B.3
C.8
D.10
4.下列计算正确的是(
)。
A.8-√2=2
B.√32十42=7
C.(2+5)(2-√5)=1
D.(√24-√6)÷√6=3
5.化简(3√2-1)的结果是
6.化简(5-2)124.(5+2)4025的结果是
7.对比计算：
第一组：3×√3
1
?人年级上品
第二组.2+2
√2
√15×3
√5
8.计算：
1)95+72-5s+3传，
(26×23-3,):
358+1厘-3√)÷5：
(4)√3-√3(1-3)；
(5)2×3-(W5)+32÷,
(6)(5-1)(5+1)-(1-√5)。
一2-
<<<<<<<<
第二章
实数
强化提高
9.若x=√3十1，y=√3-1，则x2-y2等于()。
A.43
B.2√3
C.0
D.2
10.若a一b=√2一1，ab=√2，则代数式(a一1)·(b+1)的值等于(
A.22+2
B.22-2
C.22
D.2
11.根据下图所示的程序进行计算，若输人的x的值为√2，则输出的y的值为()。
输入x
J=x+2
=x2
=-x+2
(-2≤x≤-1)
(-1(1≤x≤2)
输出y
(第11题)
A.√2
B.2-√2
C.2
D.2+√2
12.老师在黑板上书写了一个正确的演算过程，随后用手掌捂住了一个二次三项式（如图）。
若x=√6十1，则所捂住的二次三项式的值为
(第12题)
13.已知x一1=√2，则√x2-2x十3的值是
14.已知三角形三边a,b,c的长分别为√45cm,√80cm,√125cm。求这个三角形的周长和
面积。
-3第二章 实数
3 二次根式（第3课时）
一、学习任务分析
本节课是北师大版初中数学八年级（上册）第二章“实数”第三节第3课时。本节课的主要内容是继续巩固二次根式的概念，熟练掌握二次根式的化简，进而完善实数的运算。通过本节课的学习，发展学生的运算能力，并在学习过程中引导学生关注解决问题方式的多样化，提高学生灵活运用法则解决问题的能力。
二、学生起点分析
学生知识技能基础：学生在前面已经学习了实数、实数的运算法则、最简二次根式及二次根式的化简，能进行与实数有关的乘除运算，但熟练程度不高，同时对根号内含有字母的二次根式的化简比较生疏。前期知识技能的积累，为今后的数学学习扫清了计算方面的障碍。
学生活动经验基础：学生积累了一定的运算经验，通过前面在与有理数的对比中学习实数，运算能力得到了一定的提升。
三、教学目标
1.进一步熟练掌握二次根式的化简；
2.会根据实际情况灵活运用法则及其他运算律进行四则运算；
3.利用二次根式的化简解决简单的数学问题；
4.通过观察算式的特点，能选择简洁合理的运算策略解决问题；
5.通过相互间的合作与交流，比较运算方法的多样性，发展运算能力，提高灵活运用运算法则解决问题的能力。
教学重点：灵活运用法则及其他运算律进行四则运算。
教学难点：灵活运用法则及其他运算律进行四则运算。
四、教学过程设计
【第一环节】回顾旧知
1.活动内容
请你计算：，。
2.活动目的
化简的方法不唯一。这里要求学生计算，可能学生会有不同的化简方法，教师一方面可以展示学生的这些方法，另一方面也可以从代数推理的角度说明这些算法是否合理。
3.注意事项
（1）展示 的计算过程：。
提问：分子、分母同乘的目的是什么？
通过本问题让学生明确被开方数不能含有字母，所以要将二次根式的分母有理化。
（2）在学生计算后，教师可以让学生思考：除了你写的这种方法外，还有别的解法吗？学生小组之间也可以分享下自己的解法。
教学预设与处理：
解法1：。
解题思路：先进行分母有理化，再进行化简。
解法2：
解题思路：先通分，再进行化简。
总结归纳：在进行二次根式化简的运算中，碰到含有分母的二次根式，一般情况下先进行分母有理化。
【第二环节】题巩固
1.活动内容
例1 计算：（1）； （2）；
（3）； （4）。
尝试·思考
化简，其中，。你是怎么做的？
2.活动目的
例1同样侧重于加减运算，但数字比上节课中的例题复杂，化简的要求也更高，而且有的算式还需要判断哪些项需化简，哪些项不必化简，因而更为灵活。“尝试·思考”的编排，力图让学生在反馈交流中进一步感受方法的多样化，同时对方法的优化有所感悟。
3.注意事项
例1第（1）（2）题强调化简后的结果一定要为最简二次根式，教师要提醒学生检查最后得出的结果是否符合化简要求，从而培养学生的自查能力。
例1第（3）题有多种解决方法，对于学生的不同解法，可以让学生说说自己的想法。对于第（4）题，可以提问学生：你认为是否要化简成？与同伴进行交流。
“尝试·思考”中的化简方法不唯一，教学时要让学生多交流，感受方法的多样性，并在具体问题中优化选择。
【第三环节】问题解决
1.活动内容
思考·交流
如图，方格纸中每个小方格的边长均为1。
（1）求梯形ABCD的周长。
（2）求梯形ABCD的面积。你有哪些求解方法？与同伴进行交流。
2.活动目的
让学生利用二次根式的运算解决简单的数学问题。
3.注意事项
教学过程中要给学生充足的时间进行探究，让学生充分发表意见。
【第四环节】练习提高
1.活动内容
随堂练习
计算：
； （2）；
（3）； （4）。
2.活动目的
让学生在具体练习中，根据实际情况灵活地运用法则及其他运算律进行四则运算。
3.注意事项
对于第（4）题，由于化简后的二次根式无法合并，计算结果是允许保留非最简二次根式的形式存在的。
【第五环节】课堂小结
1.活动内容
回顾·反思
对比有理数和实数的学习过程，你对“数”的扩充有什么感悟？
2.活动目的
对章前页提出的可以持续思考的大问题的回应，使学生通过总结反思，对“数”的扩充有新的感悟。
3.注意事项
这是对实数本章内容的回顾反思，在学生回答时，教师要鼓励学生跳出本节课，从全章的角度，结合有理数进行回顾反思。
【第六环节】作业布置
1.活动内容
必做：教科书习题2.3 第3，7，9，10题。
选做：教科书习题2.3 第12题。
2.活动目的
通过作业检测学生本节课所学，本环节设置了两类作业，为不同层次的学生提供不同的发展方案。
五、教学反思
1.设计理念
本节课在例题的选择上设计了具有特殊关系的算式，让学生通过繁简不同的运算步骤，感受不同运算方法带来的不同解题感受。启发学生类比有理数的运算法则与运算律，灵活地选择更加合理、简便的计算方法，培养学生独立思考的能力和计算能力。
2.教学建议
本节课继续强化二次根式的化简，在实际教学过程中不能一味地讲解计算过程，而是通过适当练习让学生熟练掌握二次根式的化简方法并能灵活运用。教学时应先让学生尝试计算，并通过小组合作交流不同的运算步骤以及不同运算方法的优缺点，让学生体会方法的多样性，从而得出最优解法。

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