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<<<<<<<<第五章二元一次方程组
二元一次方程组的解法（第1课时）
课堂精要·梳理内容
1.将方程组中一个方程中的某个未知数用含有另一个未知数的代数式表示出来，并代
人
方程中，从而
一个未知数，化二元一次方程组为
。这
种解方程组的方法称为代入消元法。
2.代入消元法的基本思路是：通过
,用“代入”的方法消去方程中的
,使
二元一次方程组转化为
,求得这个未知数的值后，再求消去的未知数
的值。
黑堂精练·发展能力
基础巩固
1.已知二元一次方程2x一7y=5,用含x的代数式表示y,正确的是(
)。
A.y=2x+5
7
B.y=2x-5
7
C.x=5+7y
2
D.x=5-7y
2
y=2x-3①，
2.用代入消元法解方程组
时，将方程①代入方程②中，得到的方程是()。
3x+2y=8②
A.3x+4x-3=0
B.3x+4x-6=8
C.3x+2x-3=8
D.3x+2x-6=8
x-2y=3,
3.用代入消元法解方程组
时，最好是先把方程
变形为
,再代入方
3x+5y=7
程
求出
的值，然后再求出
的值，最后写出方程组的解。
（x=1,
ax+by=7,
若2是方程组
的解，则a=
.6=
ax-by=-1
5.用代入消元法解二元一次方程组：
2x+3y=16,
(1)
(2)
x+4y=13;
2.x+y=14
强化提高
y=-x十2，
6.以方程组
的解为坐标的点(x,y)在平面直角坐标系中位于(
y=x-1
A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限
7.如果3x2m-1ym与一5.xmy3是同类项，那么m和n的值分别是()。
A.3,-2
B.-3,2
C.3,2
D.-3,-2
（x=1,
x=2,
8.若
和
是二元一次方程y=kx十b的两个解，则k,b的值分别为()。
y=-1"y=2
A.-3,4
B.3,-4
C.-3,-4
D.3,4
3x-y=5,
ax-2y=4,
9.已知方程组
的解也是方程组
的解，则a=
4x-7y=1
3.x-by=5
b=
,3a+2b=
10.若正数a的两个平方根是方程3.x十2y=2的一个解，则a=
2x十3y=k-3,
11.若二元一次方程组
的解中x与y互为相反数，求k的值。
x-2y=2k+1
12.若(5a-7b+3)2十3a-b十5|=0，求a与b的值。
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课堂延伸·提升素养
13.【综合与实践】阅读下面的材料。
x-y-1=0①，
解方程组
时，可由①，得x一y=1③，将③代人②得4×1一y=5,解得
4(x-y)-y=5②
x=0,
y=一1，从而进一步解得x=0,所以原方程组的解为
这种方法被称为“整体代
y=-1。
入法”。
请用这样的方法解方程组：
2.x-3y-2=0①，
2x-3y+5+2y=9②。
7
一3(共18张PPT)
第五章 二元一次方程组
2 二元一次方程组的解法（第1课时）
义务教育教科书 数学 八年级上册
在上一节的种植问题中，要想知道小明和小颖各栽种了几株绿植，就需要解方程组
（1）两个方程中的未知数x有什么关系？未知数y呢？
（2）未知数x与未知数y之间满足什么关系？你能用其中一个未知数表示另一个未知数吗？
同一个方程组中，相同未知数表示同一对象，所以同一个未知数的值相等。
x＝y＋2
或 y＝ x－2。
问题情境，引入新知
情境感知
x－y＝2， ①
x＋1＝2(y－1)。 ②
（3）你能设法把这个二元一次方程组转化为一元一次方程吗？与同伴进行交流。
方法1：将x＝y＋2代入方程②就可以消去其中的一个未知数x，转化为关于y的一元一次方程：y＋2＋1＝2(y－1)；
方法2：将y＝x－2代入方程②就可以消去其中的一个未知数y，转化为关于x的一元一次方程：x＋1＝2(x－2－1)。
情境感知
在上一节的种植问题中，要想知道小明和小颖各栽种了几株绿植，就需要解方程组
x－y＝2， ①
x＋1＝2(y－1)。 ②
x＝y＋2
或 y＝ x－2。
问题情境，引入新知
（4）如果将y＝x－2代入方程①会出现什么结果？用这种方法解二元一次方程组有哪些注意事项？
如果将y＝x－2代入方程①会出现“2＝2”这样的恒等式，不能得到关于其中一个未知数的一元一次方程，无法实现将“二元”方程转化为“一元”方程。
情境感知
在上一节的种植问题中，要想知道小明和小颖各栽种了几株绿植，就需要解方程组
x－y＝2， ①
x＋1＝2(y－1)。 ②
问题情境，引入新知
（5）如何保证所求方程组的解是正确的？如何检验？
把求出的未知数的值代入原方程组，可以检验所求得的解是否正确。
情境感知
在上一节的种植问题中，要想知道小明和小颖各栽种了几株绿植，就需要解方程组
x－y＝2， ①
x＋1＝2(y－1)。 ②
问题情境，引入新知
解方程组：
由于方程组中相同的未知数表示同一对象，所以方程②中的y也等于x－2，可以用x－2代替方程②中的y。于是有x＋1＝2(x－2－1)。 ④
解一元一次方程④，得x＝7。
再把x＝7代入③，得y＝5。
这样，我们就得到二元一次方程组 的解
解：由①，得y＝x－2 。 ③
x－y＝2， ①
x＋1＝2(y－1)。 ②
问题解决
x－y＝2，
x＋1＝2(y－1)
x＝7，
y＝5。
问题情境，引入新知
例1 解方程组：
解：将②代入① ，得3(y＋3)＋2y＝14，
3y＋9＋2y＝14，
将y＝1代入②，得
所以原方程组的解是
选择消去x，因为x已经用含y的代数式表示了。
问：观察方程组，你会选择消去哪一个未知数来解方程组？为什么？
典例精析，应用新知
3x＋2y＝14， ①
x＝y＋3。 ②
x＝4，
y＝1。
5y＝5，
y＝1。
x＝4。
将③代入①，得 2(13－4y)＋3y＝16，
将y＝2代入③， 得 x＝5。
所以原方程组的解是
解：由②，得 x＝13－4y。 ③
优先选择方程②进行变形求解，因为方程②中x的系数是“1”。
问：（1）观察方程组，你会选择哪一个方程进行变形后求解？为什么？
2x＋3y＝16， ①
x＋4y＝13。 ②
例2 解方程组：
26－8y＋3y＝16，
－5y＝－10，
y＝2。
x＝5，
y＝2。
典例精析，应用新知
将③代入②，得 ，
解得 。
将y＝2代入③， 得 。
为了计算方便，往往选择未知数的系数较为简单的那个方程进行变形。
问：（2）尝试利用其他方式变形求解， 你有什么发现？
2x＋3y＝16， ①
x＋4y＝13。 ②
例2 解方程组：
所以原方程组的解是
x＝5，
y＝2。
解：由①，得 。 ③
典例精析，应用新知
（1）上面解方程组的基本思路是什么？主要步骤有哪些？
（2）有什么注意事项？与同伴进行交流。
思考交流，提炼新知
【思考·交流】
上面解方程组的基本思路是“消元”——把“二元”变为“一元”。
主要步骤是，将其中一个方程中的某个未知数用含有另一个未知数的代数式表示出来，并代入另一个方程中，从而消去一个未知数，化二元一次方程组为一元一次方程。这种解方程组的方法称为代入消化法。
思考交流，提炼新知
归纳小结
（1）变形：选择一个未知数的系数较为简单的方程进行变形，并用代数式表示。
（2）代入：将此代数式代入没有变形的另一个方程中，可得一个一元一次方程。
（3）解一元一次方程：解这个一元一次方程，得到其中一个未知数的值。
（4）回代：回代求出另一个未知数的值。
（5）写出解：把方程组的解表示出来。
（6）检验：把求得的解代入每一个方程看是否成立，若是实际问题，还需要注意是否符合生活实际。
归纳小结
思考交流，提炼新知
1.用代入消元法解下列方程组：
学以致用，巩固新知
y＝2x，
x＋y＝12；
（1）
x＝，
4x＋3y＝65；
（2）
解得：
x＝4，
y＝8；
（1）
x＝5，
y＝15；
（2）
x＋y＝11，
x－y＝7。
（3）
x＝9，
y＝2。
（3）
1.用代入消元法解下列方程组：
学以致用，巩固新知
3x－2y＝9，
x＋2y＝3。
（4）
x＝3，
y＝0。
（4）
（1）这节课你是怎样求解二元一次方程组的？
（2）这节课你感受到了哪些数学思想？
（3）类比解二元一次方程组的过程，你认为解多元方程组的核心方法是什么？
解多元方程组的核心方法是“消元”。
通过代入消元法将“二元”方程转化为“一元”方程，求解二元一次方程组。
转化与化归的思想。
归纳小结，完善新知
回顾反思
归纳小结，完善新知
构建框架
解二元一次方程组
基本思路：“消元”
代入法解二元一次方程组的一般步骤
变形：用含一个未知数的代数式表示另一个未知数
代入：用用新得到的这个这个代数式替代另一个方程中相应的未知数
求解：求出两个未知数的值
作答：写出方程组的解
1.基础性作业：
习题5.2 知识技能 第1，3题。
2.拓展性作业：
2023年5月10日，搭载天舟六号货运飞船的长征七号遥七运载火箭，在我国文昌航天发射场点火发射成功。为了普及航空航天科普知识，某校组织学生去文昌卫星发射中心参观学习。已知该校租用甲、乙两种不同型号的客车共15辆，租用1辆甲型客车需600元，租用1辆乙型客车需500元，租车费共8 000元，问该校甲、乙两种型号客车各租多少辆？
分层作业，课后延伸
谢谢第五章 二元一次方程组
2 二元一次方程组的解法（第1课时）
一、学习任务分析
二元一次方程组作为衔接一元一次方程与多元一次方程组的关键环节，既巩固了一元一次方程的学习基础，更为后续学习一次函数、一元二次方程、不等式组，以及复杂的代数系统奠定了坚实的基础。通过求解二元一次方程组，学生将能够初步掌握利用代数方法解决多变量的实际问题，培养逻辑思维能力与代数运算能力，初步建立数学建模意识。二元一次方程组的解法基于消元思想，通过将二元一次方程组转化为一元一次方程来求解。本节涵盖的消元方法有代入消元法和加减消元法。
本节内容共安排2课时，本课为第1课时。基于学生已掌握的二元一次方程（组）基本概念，并承接上节课“种植问题”情境，引导学生经历自主探究和合作交流的活动，感受代入消元法的形成过程；通过问题串，引导学生整理与提炼解二元一次方程组的基本思路与步骤，习得二元一次方程组的解法——代入消元法。二元一次方程组的解法，其本质思想是消元，体会“化未知为已知”的化归思想。
二、学生起点分析
学生的知识技能基础：在之前的学习中，学生能进行有理数与整式的运算，会解一元一次方程，对二元一次方程（组）及其解等基本概念有清晰认知。在应用迁移层面，学生经历了列一元一次方程解应用题的建模训练，具备通过分析问题并抽象出问题中的等量关系的能力，可初步建立二元一次方程组模型。这便于学生联想利用一元一次方程解二元一次方程组，体会将“二元”化归为“一元”的消元思想。尤为关键的是，学生已经掌握了用单变量表示另一变量的代数变形技能，这为代入消元法奠定了直接的操作基础。
学生的活动经验基础：学生经历了用列举法探索二元一次方程组解的过程，已深刻感知学习二元一次方程组一般解法的必要性，并具备主动探究与合作交流的意识。然而，由于认知水平的限制，其归纳概括的能力较弱，解决实际问题的能力仍待提升。
三、教学目标
1.会用代入消元法解二元一次方程组，能用自己的语言归纳出用代入消元法解二元一次方程组的一般步骤。
2.经历从二元一次方程组到一元一次方程的转化过程，理解“消元”是解二元一次方程组的基本思想。
教学重点：会用代入消元法解二元一次方程组。
教学难点：“消元”思想的理解。
四、教学过程设计
【第一环节】问题情境，引入新知
1.活动内容
在上一节的种植问题中，要想知道小明和小颖各栽种了几株绿植，就需要解方程组
（1）两个方程中的未知数x有什么关系？未知数y呢？
（2）未知数x与未知数y之间满足什么关系？你能用其中一个未知数表示另一个未知数吗？
（3）你能设法把这个二元一次方程组转化为一元一次方程吗？与同伴进行交流。
（4）如果将y＝x－2代入方程 ① 会出现什么结果？用这种方法解二元一次方程组有哪些注意事项？
（5）如何保证所求方程组的解是正确的？如何检验？
分析：（1）同一个方程组中，相同未知数表示同一对象，这里的x都表示小明栽种的绿植数量，y都表示小颖栽种的绿植数量。
（2）选择利用第①个方程进行变形，因为方程①中x的系数是1，更简单，直接通过移项就可以得到x＝y＋2或y＝x－2。
（3）将x＝y＋2代入方程②中，消去未知数x，就可以得到关于y的一元一次方程：y＋2＋1＝2(y－1)；当然也可以将y＝x－2代入方程②中，消去未知数y，就可以得到关于x的一元一次方程：x＋1＝2(x－2－1)。
（4）如果将y＝x－2代入方程①会出现“2＝2”这样的恒等式，不能得到关于其中一个未知数的一元一次方程，无法实现将“二元”方程转化为“一元”方程。
（5）把求出的未知数的值代入原方程组，可以检验所求得的解是否正确。
解方程组：
解：由①，得y＝x－2。 ③
由于方程组中相同的未知数表示同一对象，所以方程②中的y也等于x－2，可以用x－2代替方程②中的y。于是有
x＋1＝2(x－2－1)。 ④
解一元一次方程④，得 x＝7。
再把x＝7代入③，得y＝5。
这样，我们就得到二元一次方程组 的解
2.活动目的
以“种植问题”这一延续性情境为切入点，基于学生上节课已建立的二元一次方程组模型，通过未解决的悬念自然导入新知。这一设计旨在保持情境的连贯性，激活学生已有认知，创设认知冲突，激发探究动机，体现知识的层层递进关系，帮助学生构建完整的知识体系框架。
规范书写解二元一次方程组的完整过程，实质上就是用简单且准确的数学语言进行表达的过程，让学生初步感受用代入消元法解决具体问题的完整流程，培养数学语言表达能力。
3.注意事项
问题（1）（2）（3）是沿用新教材中的问题，问题（4）引导学生意识到用一个未知数表示另一个未知数后，必须代入另一个没有变形的方程；问题（5）则引导学生进一步感受方程组的解是使得原方程组成立的未知数的值。
鉴于学生尚未形成对代入消元法的系统化认知，也可以辅以解决问题的路径图。
【第二环节】典例精析，应用新知
1.活动内容
例1 解方程组：
问：观察方程组，你会选择消去哪一个未知数来解方程组？为什么？
解：将②代入① ，得：3(y＋3)＋2y＝14，
3y＋9＋2y＝14，
5y＝5，
y＝1，
将y＝1代入② ，得 x＝4。
所以原方程组的解是
例2 解方程组：
问：（1）观察方程组，你会选择哪一个方程进行变形后求解？为什么？
（2）尝试利用其他方式变形求解，你有什么发现？
解法一： 由② ，得x＝13－4y。 ③
将③ 代入① ，得2(13－4y)＋3y＝16，
26－8y＋3y＝16，
－5y＝－10，
y＝2。
将y＝2代入③ ，得 x＝5。
所以原方程组的解是
解法二： 由① ，得。 ③
将③ 代入② ，得，
解得 y＝2。
将y＝2代入③ ，得 x＝5。
所以原方程组的解是
2.活动目的
这两个例题的安排体现了先易后难的原则，例1中的方程② 已经将x表示为含有y的代数式，直接代入方程①即可消去一个未知数x，而例2则需先进行恒等变形。解方程组的过程中，引导学生通过自主探究与合作交流尝试求解，鼓励学生分享自己的解题策略，进一步体会消元思想的核心价值以及消元策略的优化选择过程。
3.注意事项
实际上，对于方程组中的任一方程，利用等式的性质都可以用其中一个未知数表示另一个未知数。但为了计算方便，通常选择未知数的系数较为简单的那个方程进行变形。教学中，引导学生先观察方程的结构特征，通过与同桌交流选择消去哪一个未知数实现“消元”，再解方程组。
【第三环节】思考交流，提炼新知
1.活动内容
思考·交流
（1）上面解方程组的基本思路是什么？主要步骤有哪些？与同伴进行交流。
上面解方程组的基本思路是“消元”——把“二元”变为“一元”。
主要步骤是，将其中一个方程中的某个未知数用含有另一个未知数的代数式表示出来，并代入另一个方程中，从而消去一个未知数，化二元一次方程组为一元一次方程。这种解方程组的方法称为代入消化法。
代入消元法的详细步骤如下。
（1）变形：用含一个未知数的代数式表示另一个未知数。
（选择未知数的系数较为简单的方程进行变形）
代入：用新得到的这个代数式替代另一个方程中相应的未知数。
（将此代数式代入没有变形的另一个方程中，可得一个一元一次方程）
（3）求解：解这个一元一次方程，得到其中一个未知数的值。
（4）回代：回代求出另一个未知数的值。
（5）作答：把方程组的解表示出来。
（6）检验：把求得的解代入每一个方程看是否成立，若是实际问题，还需要注意是否符合生活实际。
2.活动目的
引导学生梳理用代入消元法解二元一次方程组的基本思路，并归纳概括出代入消元法的主要步骤，并提醒学生注重细节、理清算理，体会知识之间的关联。
3.注意事项
明确解二元一次方程组的本质是“消元”，实现消元的途径可能不是唯一的，本课重点掌握利用代入消元的方法将“二元”方程转化为“一元”方程。
【第四环节】学以致用，巩固新知
1.活动内容
用代入消元法解下列方程组：
（1） （2）
（3） （4）
2.活动目的
通过有针对性地解二元一次方程组的训练，巩固用代入消元法解二元一次方程组的方法。学生独立完成后，可组织“同伴互评”活动，既可以激发学生学习积极性，又能加深学生对消元思想的认识。
【第五环节】归纳小结，完善新知
1.活动内容
（1）这节课你是怎样求解二元一次方程组的？
（2）这节课你感受到了哪些数学思想？
（3）类比解二元一次方程组的过程，你认为解多元方程组的核心方法是什么？
2.活动目的
引导学生自主总结本课核心知识要点及数学思想方法，通过结构化的梳理明晰知识结构，完善知识体系，使学生体会用单一知识技能解题是基础，而运用数学思想贯通整个知识体系才是本课的主要内涵所在。
【第六环节】分层作业，课后延伸
1.活动内容
基础性作业：习题5.2 知识技能 第1，3题。
拓展性作业：
2023年5月10日，搭载天舟六号货运飞船的长征七号遥七运载火箭，在我国文昌航天发射场点火发射成功。为了普及航空航天科普知识，某校组织学生去文昌卫星发射中心参观学习。已知该校租用甲、乙两种不同型号的客车共15辆，租用1辆甲型客车需600元，租用1辆乙型客车需500元，租车费共8 000元，问该校甲、乙两种型号客车各租多少辆？
2.活动目的
基于学生认知水平差异设计分层作业，既保留教材基础题型作为基础性作业，又增设发展性作业，通过梯度任务更好地激活不同层次学生的学习动力，满足不同层次学生的发展需求。
五、教学设计反思
1.教学方法：紧扣教材，问题串引领
本节课在问题串引领下，引导学生发现求解二元一次方程组的方法是利用代入消元将二元一次方程组转化为一元一次方程求解，再反代求出另一个未知数。从单一的代入消元延伸至整体代入消元的思想，在构造知识体系的同时，体现知识的层层递进关系。在结构化设计的数学活动中，教师着力还原知识形成过程，通过观察比较、合作交流等学习方式，促进学生深度理解消元思想，系统掌握二元一次方程组的解法，形成良好的数学思维习惯。
2.核心素养培育
本节课在教材设计的基础上，设置了问题情境，用追问设疑的方式启发学生思考分析、交流对比。教学中引导学生用已经获取的经验解决新的问题，借助层层递进的问题串，加强学生对解二元一次方程组基本思路——消元思想的体会。在此思想指导下，遵循从具体到抽象、从特殊到一般的认知规律，系统建构代入消元法。本节课不仅是解二元一次方程组方法的学习，更是对消元思想的深度培养，让学生体会用单一知识技能解题是基础，而运用数学思想贯通整个知识体系才是本课的主要内涵所在。
3.教学评价
对用代入消元法解二元一次方程组的评价，应侧重考察学生能否根据方程组的结构特征，灵活选择适当的代入方法求出二元一次方程组的解；尊重学生之间思维习惯、学习能力和学等方面的差异，根据不同学生的情况进行针对性的指导，注重对学生活动过程的评价，只要合理都应给予鼓励和肯定，帮助学生树立学习数学的自信。同时，教师可以在小组合作中为学生提供生生评价的平台，让学生间学会质疑、讨论和互相欣赏。
附：板书设计

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