资源简介

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第七章证明
平行线的证明（第2课时）
课堂精要·梳理内容
1.平行线的性质：
(1)两直线平行，同位角
(2)两直线平行，内错角
(3)两直线平行，同旁内角
2.与1中相对应的用符号语言表示平行线的性质，如图：
4
(1)如果a∥b,那么∠1=
(2)如果a∥b,那么∠2=
(3)如果a∥b,那么∠2十∠5=
注意：在两直线平行的前提下才存在同位角相等、内错角相等、同旁内角互补的结论。
这是平行线特有的性质。不能一提到同位角或内错角就认为它们相等，一提到同旁
内角就认为它们互补。若没有两直线平行的条件，它们是不成立的。
昌速空资练·汉及足力
基础巩固
1.如图，直线a,b被直线c所截，下列说法正确的是()。
A.当a∥b时，一定有∠1=∠2
B.当a∥b时，一定有∠1+∠2=90°
(第1题)
C.当a∥b时，一定有∠1+∠2=180°
D.一定有∠1+∠2=1801
2.如图，将一块三角尺的直角顶点放在直尺的一边上，当∠1=38°时，∠2的度数为()。
(第2题)
A.46
B.44
C.36°
D.52°
3.如图，AB∥EF∥CD,EG∥DB,则图中与∠1相等的角（∠1除外）共有()。
G
(第3题)
A.6个
B.5个
C.4个
D.3个
4.如图，直线1∥12，l3⊥l,∠1=44°，则∠2等于
(第4题)
5.如图，把长方形ABCD沿EF折叠。若∠1=50°，则∠AEF=
1
(第5题)
6.如图，已知AE∥BC,且∠B=∠C。
求证：AE平分∠DAC。
(第6题)
-2一
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第七章证明
7.如图，在△ABC中，CD⊥AB,垂足为D,点E在BC上，EF⊥AB,垂足为F,点G在AC
上，连接DG。
(1)求证：CD∥EF;
(2)如果∠CDG=∠BEF,且∠AGD=115°，求∠ACB的度数。
(第7题)
强化提高
8.如图，直线AB∥CD∥EF,若∠ABE=32°，∠ECD=160°，则∠BEC的度数为().
A
B
E
F
(第8题)
A.10
B.11
C.12°
D.13
9.如图，AB=AC,AD∥BC,∠BAC=100°，则∠CAD的度数是()。
y
(第9题)
A.30
B.35
C.40°
D.50°
10.如图，直线l∥m,长方形ABCD的顶点B在直线m上，则∠a=
659
C
B
(第10题)
一3-(共12张PPT)
第七章 证明
3 平行线的证明（第2课时）
义务教育教科书 数学 八年级上册
回顾平行线的三个判定方法，并说出这三个命题的条件和结论。
（1）同位角相等，两直线平行。
（2）内错角相等，两直线平行。
（3）同旁内角互补，两直线平行。
如果将条件和结论的位置互换，得到新的命题。新命题还成立吗？
条件 结论
判定平行 的条件
同位角相等
两直线平行
内错角相等
两直线平行
同旁内角互补
两直线平行
复习引入
已知：如图，直线 AB∥CD，∠1和∠2 是直线 AB，CD 被直线 EF 截出的同位角。
求证: ∠1＝∠2。
新课讲授
定理 两条平行直线被第三条直线所截，同位角相等。
简述为：两直线平行，同位角相等。
证明：假设∠1≠∠2，那么我们可以过点 M 作直线 GH，使∠EMH＝∠2，如图所示。
根据“同位角相等，两直线平行”，可知GH∥CD。
又因为 AB∥CD，这样经过点 M 存在两条直线 AB 和 GH 都与直线 CD 平行。
这与基本事实“过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行”相矛盾。
这说明∠1≠∠2的假设不成立，所以∠1＝∠2。
新课讲授
已知：如图，如果 l1∥l2，∠1和∠2是直线 l1，l2 被直线 l 截出的内错角。
求证：∠1＝∠2。
证明：∵ l1∥l2（已知），
∴∠1＝∠3（两直线平行，同位角相等）。
又∵∠2＝∠3（对顶角相等） ，
∴∠1＝∠2（等量代换）。
利用上面的定理，我们可以证明：
定理 两条平行直线被第三条直线所截，内错角相等。
简述为：两直线平行，内错角相等。
新课讲授
证明：∵ l1∥l2 （已知），
∴∠1＝∠3（两直线平行，内错角相等）。
∵∠1＋∠4＝180°（邻补角的定义），
∴∠3＋∠4＝180°（等量代换）。
新课讲授
定理 两条平行直线被第三条直线所截，同旁内角互补。
简述为：两直线平行，同旁内角互补。
已知：如图，如果 l1∥l2，∠3 和∠4是直线 l1，l2被直线 l 截出的同旁内角。
求证：∠3＋∠4＝180°。
1
4
3
2
l1
l2
l
例 已知：如图，b∥a，c∥a，∠1，∠2，∠3是直线 a，b，c 被直线 d 截出的同位角。
求证：b∥c。
证明：∵ b∥a（已知），
∴∠2＝∠1（两直线平行，同位角相等）。
∵c∥a（已知），
∴∠3＝∠1（两直线平行，同位角相等）。
∴∠2＝∠3（等量代换）。
∴b∥c（同位角相等，两直线平行）。
一般地，我们有如下定理：
定理 平行于同一条直线的两条直线平行。
深化提高
（1）回顾前面的证明过程，你认为完成一个命题的证明，需要哪些主要环节？
（2）对于证明思路的分析，你积累了哪些经验？
课堂小结
【回顾·反思】
平行的判定与性质：
课堂小结
两直线平行
←
性质
判定
同位角相等
内错角相等
同旁内角互补
→
证明的一般步骤：
（1）理解题意；
（2）根据题意正确画出图形；
（3）根据题意写出“已知”和“求证”；
（4）分析题意，探索证明的思路；
（5）依据寻求的思路，运用数学符号和数学语言，有条理、清晰地写出证明过程。
（6）检查表达过程是否正确、完善。
课堂小结
教科书习题7.3第6，7，8题。
布置作业
谢谢第七章 证明
3 平行线的证明（第2课时）
一、学习任务分析
本节课是北师大版初中数学八年级（上册）第七章第三节“平行线的证明”第2课时，本课时主要内容是证明平行线的性质定理。本节课首先证明定理“两直线平行，同位角相等”，然后以这个定理为基础证明另外两个性质定理，并通过例题让学生了解定理“平行于同一条直线的两条直线平行”，最后要求学生回顾本节课的证明过程，归纳证明命题的主要环节。
二、学生起点分析
学生知识技能基础：学生已经学习了命题的相关知识，了解了命题由条件和结论构成，能够区分真命题和假命题，有了初步判断真假命题的意识。在几何证明方面，学生已经掌握了初步的证明方法，如证明两条直线平行等，能够进行简单的几何说理，初步建立了证明的意识。
学生活动经验基础：学生经过七年级的学习，积累了一定的合作交流经验，具备了一定的合作与交流的能力。在前一节课中，学生经历了平行线的判定定理的证明过程，深刻体会到推理说明的必要性，为本节课平行线性质定理的证明提供了重要的思路启发和方法指引。
三、教学目标
1.经历探究平行线性质定理证明方法的过程，掌握平行线的性质定理，会证明“两直线平行，同位角相等（或内错角相等，或同旁内角互补）”；了解平行于同一条直线的两条直线平行。
2.进一步理解证明的步骤、格式和方法，发展演绎推理能力。
教学重点：了解证明的基本步骤和书写格式。
教学难点：能运用证明的基本步骤和书写格式，根据基本事实“两直线平行，同位角相等（或内错角相等，或同旁内角互补）”进行简单命题的推理。
四、教学过程
【第一环节】复习引入
1.活动内容
回顾平行线的三种判定方法，并说出这三个命题的条件和结论。
如果将条件和结论的位置互换，得到新的命题。新命题还成立吗？
（1）同位角相等，两直线平行。
（2）内错角相等，两直线平行。
（3）同旁内角互补，两直线平行。
2.活动目的
通过回顾上节课所学的平行线的三个判定方法，分析三个命题的条件和结论。互换条件和结论，追问得到的新命题是不是真命题，引发学生的思考，进而寻找验证方法。
3.注意事项
平行线的性质在七年级下册已经探索过，但是没有给出严格证明。此环节可先引导学生回忆七年级下册探索过的平行线的性质，然后进行证明。
【第二环节】新课讲授
1.活动内容
我们已经探索过平行线的性质，下面证明它们。
（1）定理 两条平行直线被第三条直线所截，同位角相等。
简述为：两直线平行，同位角相等。
已知：如图，直线AB∥CD，∠1和∠2是直线AB，CD被直线EF截出的同位角。
求证：∠1＝∠2。
（2）定理 两条平行直线被第三条直线所截，内错角相等。
简述为：两直线平行，内错角相等。
已知：如图，如果l1∥l2，∠1和∠2是直线l1，l2被直线l截出的内错角。
求证：∠1＝∠ 2。
（3）定理 两条平行直线被第三条直线所截，同旁内角互补。
简述为：两直线平行，同旁内角互补。
已知：如图，如果l1∥l2，∠3和∠4是直线l1，l2被直线l截出的同旁内角。
求证：∠3＋∠ 4＝180°。
2.活动目的
（1）第一个证明，引导学生证明猜想，体会寻找依据的过程，同时，让学生体会反证法的证明过程，感受如何将命题转化为“已知”和“求证”的规范表述，并据此进行推理论证。
由此，可以发现两直线平行，就可得到同位角相等，与截线位置无关。引导学生归纳出平行线性质1。
（2）第二个证明，以性质定理1为基础进行证明，让学生进一步感受证明的过程与书写格式。
（3）第三个证明，可以以性质定理1或性质定理2为基础进行证明。
3.注意事项
（1）第一个证明是选学内容，可以让学有余力的学生尝试。学生通过观察分析、合理猜想、合作交流，推理并归纳平行线的性质1，达到突出重点、突破难点的目的。活动过程中，可以引导学生根据题意写出“已知”和“求证”，分析题意，探索证明的思路，但不能直接给出证明过程或答案。对于反证法，可以通过追问引导学生进行思考。证明完成后，可告知学生，经过严格证明成立的命题可以称之为“定理”。
（2）对于后两个证明，考虑到学生在之前的学习中，已经积累了一定的证明经验，教学时可根据学情灵活调整。若学生基础较弱，可以将第二个定理的证明作为例题，给学生提供范例，随后让学生独立完成第三个定理的证明。若学生基础较好，则可放手让学生自己完成证明，再进行交流评析。
（3）对于这三个证明，命题都是以文字形式给出的。因此，证明时需要先把文字语言转化为图形语言和符号语言。这对学生而言是新的任务，教师应提供一定的示范。
【第三环节】深化提高
1.活动内容
例 已知：如图，b∥a，c∥a，∠1，∠2，∠3是直线a，b，c被直线d截出的同位角。 求证：b∥c。
完成证明后得到定理：平行于同一条直线的两条直线平行。
2.活动目的
本例是平行线性质定理与判定定理的综合应用，通过这一环节，让学生巩固推理论证过程，体会逻辑推理的严谨性与连贯性。
3.注意事项
先让学生独立思考并完成，再组织点评与交流。
【第四环节】课堂小结
1.活动内容
回顾·反思
（1）回顾前面的证明过程，你认为完成一个命题的证明，需要哪些主要环节？
（2）对于证明思路的分析，你积累了哪些经验？
2.活动目的
通过前面的学习，学生已经证明了若干定理，有了一定的证明经验，及时整理经验十分必要，为此，设计了这个“回顾·反思”，引导学生回顾证明过程，梳理证明活动中的经验，以提升学生的证明能力。
3.注意事项
不必要求学生有统一的结论，只要学生反思了，并能够根据自己的理解，用自己的语言加以回答即可。
【第五环节】布置作业
1.活动内容
教科书习题7.3第6，7，8题。
五、教学反思
加强对数学整体性的认识，从知识的联系性出发进行教学设计并开展课堂教学。先引导学生复习第1课时的三个平行线判定方法，再通过交换条件和结论得到新的命题，自然引入问题“这些新的命题还成立吗？”整堂课带领学生体会命题的证明过程，尤其将推理说明部分作为教学重点。在实际上课过程中，教师需充分关注并指导学生的推理过程和规范的书写过程。在学生自主探索、合作交流的过程中，应该留给学生充足的时间，避免教师包办代替学生的思考过程。

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