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第七章 证明
回顾与思考
义务教育教科书 数学 八年级上册
回顾本章所学的知识点，完成本章的回顾与思考，积极互动并相互补充。
1.直观是重要的，但它有时也会欺骗人，你能找出这样的例子吗？
2.请用自己的语言说说什么是定义、命题，并举例说明。
3.本书中作为证明出发点的基本事实有哪些？
4.为什么需要证明？证明的一般步骤是怎样的？如何分析证明的思路？与同伴进行交流。
5.什么条件下两条直线平行？两条直线平行又会有怎样的结论？这两类命题的条件和结论有什么关系？
要点回顾，生生互评
1.（1）图1中有四条线段a，b，c，d，哪一条线段和线段e在同一条直线上？请你先观察，再用直尺验证一下。
（2）图2中两条线段AB与CD的长度相等吗？
边练边理，完善框架（一）
a
c
b
d
e
图1
图2
线段b和线段e在同一条直线上。
线段CD更长一些。
【知识梳理】
2.小华将n＝0，1，2分别代入代数式n4－6n3＋11n2－6n，结果发现这个代数式的值都是0。于是他猜想：对于所有的自然数，代数式n4－6n3＋11n2－6n的值都是0。你认为小华的猜想正确吗？为什么？
边练边理，完善框架（一）
代数式n4－6n3＋11n2－6n的值不一定都是0。
观察、实验、归纳
判断正误
证明
说理
3.下列语句中是真命题的是 _______。
①一条直线的垂线有且只有一条；②不相等的两个角一定不是对顶角；
③两个无理数的和一定还是无理数；④过平面上不在同一直线上的四点中的任意两点最多可以画六条直线。
【知识梳理】
假命题
命题
举反例
证明
真命题
其他真命题
猜想
真？
假？
边练边理，完善框架（二）
②④
4.如图3，直线 a，b 被直线 c 所截。
（1）如果 a//b，那么图中有哪些相等的角？
（2）写出能够证明a//b的条件（能写几个就写几个）。
解：∵a∥b，∴∠1＝∠5，∠2＝∠6，∠3＝∠7，∠4＝∠8，∠3＝∠5，∠4＝∠6。
解：∠1＝∠5，∠2＝∠6，∠3＝∠7，∠4＝∠8，∠3＝∠5，∠4＝∠6，∠4＋∠5＝180°，∠3＋∠6＝180°。
边练边理，完善框架（三）
图3
5.将一块含30°的直角三角板 ABC 按如图4所示的方式摆放，∠C＝90°，GH∥EF，顶点A，B分别落在直线GH，EF上，若∠ABE＝32°，则∠CAD的度数为 ________。
28°
边练边理，完善框架（三）
图4
【知识梳理】
同位角相等，
两直线平行。
两直线平行，
同位角相等。
内错角相等,两直线平行。
同旁内角互补,两直线平行。
两直线平行,内错角相等。
两直线平行,同旁内角互补。
假命题
命题
举反例
证明
真命题
其他真命题
猜想
真？
假？
边练边理，完善框架（三）
边练边理，完善框架（三）
【知识梳理】
判断正误
观察、实验、归纳
说理
证明
定理
定义、公理
定义，公理

同位角相等，
两直线平行。
两直线平行，
同位角相等。
内错角相等,两直线平行。
同旁内角互补,两直线平行。
两直线平行,内错角相等。
两直线平行,同旁内角互补。
假命题
命题
举反例
证明
真命题
其他真命题
猜想
真？
假？
6.如图5，有如下三个论断：
①AB∥CD；②∠1＝∠2；③BE∥CF。以其中两个论断作为条件，另一个论断作为结论，组成一个真命题，并证明。
解：若选①② ③。
即：若AB∥CD，∠1＝∠2，则BE∥CF。
证明：∵AB∥CD，
∴∠ABC＝∠DCB。
∵∠1＝∠2，
∴∠EBC＝∠FCB。
∴BE∥CF。
典例练习，巩固所学
图5
1.在什么情况下需要进行证明？证明有什么意义？
2.怎样才能保证证明是严谨的？
课堂小结，升华所学
课后作业
A 基础巩固题：用自己的方法独立梳理本章节知识脉络。
B 重点练习题：教科书复习题第3，7题。
作业设计，延伸所学
谢谢第七章 证明
回顾与思考
一、学习任务分析
在本章的学习中，学生已经掌握了几何推理论证的基本原理，对简单的几何证明有了一定的认识，但尚难进行更深层的思考，尤其对于如何分析命题中的条件与结论存在一定的困难。为此，本节课安排让学生对本章内容进行回顾与思考，旨在将零散的知识点有机串联起来，从而形成系统的知识网络。通过这一过程，学生将不再孤立地看待这些知识点，而是能主动建构知识网络，并灵活运用所学知识解决问题。
二、学习起点分析
学生知识技能基础：在本章的学习中，学生感受了证明的必要性，对证明有了基本的认识，也学行线的判定定理和性质定理的证明，学习了综合法证明的步骤、格式和规范。但是对于证明思路的寻找、证明的规范性等方面还有待于进一步提升。
学生活动经验基础：经过小学阶段和七年级的数学学习，学生已经具备了一定的推理能力，通过本章内容的学习，也对证明的必要性、严谨性以及证明思路的多样性有了进一步的理解，具备了一定的合作、交流的能力。
三、教学目标
1.理解定义、命题、公理、定理等概念。
2.会举反例说明一个命题是假命题；掌握平行线的判定定理与性质定理的证明。
3.感受数学思考过程的条理性，发展语言表达能力，培养对数学的兴趣；在合作学习及相互交流中，培养团结协作的精神。
教学重点：理解定义、命题、公理、定理等概念；会举反例说明一个命题是假命题；掌握平行线的判定定理与性质定理的证明。
教学难度：掌握平行线的判定定理与性质定理的证明。
四、教学过程
【第一环节】要点回顾，生生互评
1.活动内容
（1）直观是重要的，但它有时也会欺骗人，你能找出这样的例子吗？
（2）请用自己的语言说说什么是定义、命题，并举例说明。
（3）本书中作为证明出发点的基本事实有哪些？
（4）为什么需要证明？证明的一般步骤是怎样的？如何分析证明的思路？与同伴进行交流。
（5）什么条件下两条直线平行？两条直线平行又会有怎样的结论？这两类命题的条件和结论有什么关系？
2.活动目的
唤起学生的记忆，促进学生对有关知识的理解，提升学生知识梳理能力。
3.注意事项
学生的回答可能是零散的，教师可以引导学生回顾教学过程及相关问题，激活学生已有认知，并通过系统指导，帮助学生将碎片化知识逐步整合为结构化的知识体系。
【第二环节（一）】边练边理，完善框架
1.活动内容
（1）图1中有四条线段a，b，c，d，哪一条线段和线段e在同一条直线上？请你先观察，再用直尺验证一下。
（2）图2中两条线段AB与CD的长度相等吗？
（3）小华将n=0，1，2分别代入代数式n4－6n3＋11n2－6n，结果发现这个代数式的值都是0。于是他猜想：对于所有的自然数，代数式n4－6n3＋11n2－6n的值都是0。你认为小华的猜想正确吗？为什么？
2.活动目的
通过具体问题，引导学生再次梳理知识。对本章第1节随堂练习进行改编练习，在此过程中，引导学生认识到，要判断一个论断的正误，虽然有时可以通过观察、实验、归纳等方法尝试，但这些方法往往存在较大局限性，有时甚至出现错误。进而强调，要判断一个数学结论是否正确，仅仅依靠观察、实验、归纳是不够的，必须进行有理有据的证明。
3.注意事项
通过上面的问题讨论，梳理出以下脉络，当然不同人可以有不同的梳理呈现方式，这段主要呈现“证明的必要性”相关内容。
【第二环节（二）】边练边理，完善框架
1.活动内容
下列语句中是真命题的是 　 　。
①一条直线的垂线有且只有一条；
②不相等的两个角一定不是对顶角；
③两个无理数的和一定还是无理数；
④过平面上不在同一条直线上的四点中的任意两点最多可以画六条直线。
2.活动目的
以关于命题的练习引出真假命题的判断。
3.注意事项
通过本环节进一步深入挖掘，引出命题是由条件和结论组成的，以及真假命题的判断，从而梳理出以下脉络（关于证明的基本认识）。
【第二环节（三）】边练边理，完善框架
1.活动内容
如图3，直线a，b被直线c所截。
（1）如果a//b，那么图中有哪些相等的角？
（2）写出能够证明a//b的条件（能写几个就写几个）。
将一块含30°的直角三角板ABC按如图4所示的方式摆放，∠C＝90°，GH∥EF，顶点A，B分别落在直线GH，EF上，若∠ABE＝32°，则∠CAD的度数为 　 　。
2.活动目的
通过平行线判定定理与性质定理的复习，将上一过程中得到的框图进一步拓展成如下的结构。
3.注意事项
在练习的过程中，逐渐引导学生列出知识点，并引导其理解知识的顺序与逻辑关系，渗透思想方法，建立整章知识点的结构，理顺知识间的关系，增强整体意识，形成整章的知识结构图。
【第三环节】典例练习，巩固所学
1.活动内容
如图5，有如下三个论断：
① AB∥CD；② ∠1＝∠2；③ BE∥CF。请以其中两个论断作为条件，另一个论断作为结论，组成一个真命题，并证明。
2.活动目的
在已经得出整章知识结构图后，通过习题，进一步巩固所学知识，加深理解。
3.注意事项
本题既给了学生选择证明条件的自由，也让学生在选择证明条件时，回忆所有与证明有关的定理，并且逐渐学会综合分析已知条件，感受证明方法的多样性及全面性：将①②组合成条件，③作结论，或将②③组合成条件，①作结论，可体现平行线判定定理的运用；将①③组合成条件，②作结论则可体现平行线性质定理的运用。
【第四环节】课堂小结，升华所学
1.活动内容
（1）在什么情况下需要进行证明？证明有什么意义？
（2）怎样才能保证证明是严谨的？
2.活动目的
学生通过课堂参与、探索、思考，以及在解题过程中的成功和失败经验的体会进行总结。
3.注意事项
这是本章章首页提出的需要学生持续思考的大问题，分别指向证明的意义、证明的过程与方法。在学习完本章内容后，通过例题、练习，引导学生再次回顾并思考这两个问题，进一步认识证明的必要性、进一步关注证明的过程和方法。
【第五环节】作业设计，延伸所学
1.活动内容
A基础巩固题：用自己的方法独立梳理本章节知识脉络。
B重点练习题：教科书复习题第3，7题。
2.活动目的
A层作业旨在引导学生进一步梳理本章的知识脉络，使其明晰本章知识结构，尝试按自己的理解构建知识体系；B层作业针对本章重点知识进行设计，兼顾数与形的知识点，并引导学生尝试对综合题目进行研究。
3.注意事项
本章内容结构的一个参考框图如下，供参考。
五、教学反思
本节课的重点是通过题目梳理本章知识结构，引导学生体会从合情推理到演绎推理的思维转变，发展推理能力，进而培养学生的逻辑思维能力。需要强调的是，“证明”的表现和运用，不仅体现在要求证明的题目中，还应渗透和应用于数学学习及应用的全过程。培养学生的逻辑思维能力不是一蹴而就的，因此，掌握和运用证明是一个渐进、长期的过程。
本节课也是教学中极为常见的复习课，如何上好复习课？通过本课的实践，有如下的体会：
（1）强调学生主体地位：在复习环节，通过设计更多的小组讨论、学生展示等环节，让学生积极参与课堂，增强学生的学习体验和参与感。
（2）增加实践操作环节：设计更多的实践操作活动，让学生在动手实践中加深对知识的理解和掌握，提高实践能力。
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