资源简介

27.1 图形的相似 教学设计
一、内容和内容解析
1.内容
本节课是人教版九年级下册数学第二十七章《相似》中的27.1 图形的相似，主要涵盖相似图形的概念、相似多边形的概念及相似比的定义，还包括相似多边形性质的应用与定义法判定.
2.内容解析
本节课是相似知识体系的起始课，通过提炼形状相同图形的本质属性抽象出相似图形概念，聚焦多边形明确其相似的核心特征（对应角相等、对应边成比例）及相似比意义，为后续相似三角形的学习筑牢概念与认知根基.
基于以上分析，确定本节课的教学重点为：相似多边形及相似比的概念，以及相似多边形性质的应用和定义法判定.
二、目标和目标解析
1.目标
（1）从生活中形状相同的图形的实例中认识图形的相似，了解相似图形的概念.
（2）理解相似多边形和相似比的概念.
（3）能利用多边形相似的性质进行相关的计算，会根据条件用定义法判定两个多边形是否相似.
2.目标解析
对于目标（1），通过展示大小不同的足球、照片缩放等形状相同的图形实例，引导学生观察对比图形的形状与大小关系，学生能准确辨识相似图形，清晰说出相似图形 “形状相同、大小不一定相同” 的本质特征，进而理解相似图形的概念.
对于目标（2），通过对两个形状相同的多边形进行边、角的测量与比较，学生能归纳出相似多边形 “对应角相等、对应边成比例” 的核心性质，明确相似多边形的定义，同时理解相似比是相似多边形对应边的比值，能准确区分相似比中前项、后项所对应的两个多边形.
对于目标（3），通过例题分析、小组合作探究等方式，学生能运用相似多边形的性质，根据已知相似多边形的边长、角度等条件进行边长、相似比等相关计算；能依据相似多边形的定义，通过计算对应角是否相等、对应边是否成比例等步骤，规范判断两个多边形是否相似.
三、教学问题诊断分析
学情方面，九年级学生已具备图形全等的完整知识体系，对“形状相同、大小相等”的全等图形有扎实认知，且在日常生活中频繁接触形状相同的物体，对“相似”有初步直观感知，但这种感知仅停留在表面视觉层面，缺乏对本质属性的抽象概括能力.同时，学生虽已掌握比例计算、角度测量等基础技能，但在几何问题中对“对应关系”的把握不够精准，此前全等图形的“完全重合”对应模式易对相似图形的“形状相同、大小可变”对应关系产生干扰.
教学问题上，基于上述学情，学生易将“形状相同”与“大小相同”混淆，仅通过直观外观判断图形是否相似，忽视“对应角相等、对应边成比例”的定量本质；理解相似多边形概念时，易片面关注“对应边成比例”而忽略“对应角相等”的必要性，或反之；运用相似比进行计算时，常因未明确对应边而导致比例关系错乱；采用定义法判定两个多边形相似时，易遗漏“所有对应角相等”“所有对应边成比例”的“所有”这一关键限定，仅通过部分角或边的关系草率判断，且在复杂多边形中难以快速找准对应角和对应边的位置关系.
基于以上分析，确定本节课的教学难点为：准确理解相似多边形 “对应角相等、对应边成比例” 的双重本质特征，同时在相关计算和定义法判定中精准找准对应角、对应边，避免因 “对应关系” 混淆导致错误.
四、教学过程设计
（一）新知引入
【思考1】下图中的两个图形有什么关系？
答：全等
全等图形的概念：能够完全重合的两个图形叫全等图形．
全等图形的性质：对应边相等，对应角相等.
【思考2】如果把其中的一个图形缩小，它们还全等吗？
答：不全等
【思考3】下面的每组图形有什么相同点与不同点？
答：相同点：形状相同．不同点：大小不同．
【设计意图】通过三个递进式思考问题，从已学的全等图形切入，先巩固全等的概念与性质，再通过 “缩小图形” 的变式引发认知冲突，最后聚焦 “形状相同、大小不同” 的图形特征，既衔接旧知，又自然引出相似图形的探究起点，同时培养学生观察、对比与归纳的思维能力.
（二）新知讲解
知识点一　相似图形的概念
我们把形状相同的图形叫作相似图形.
你能再举出一些相似图形的例子吗？
【思考】全等图形与相似图形有什么关系呢？
答：全等图形是相似图形的特殊情况，所有全等图形都是相似图形，但相似图形不一定是全等图形.
观察这四组相似图形，其中一个图形可以看作由另一个图形怎样变换得到的？
【归纳】两个图形相似，其中一个图形可以看作由另一个图形放大或缩小得到的．
生活中图形缩小与放大的实例.
图形的缩小 图形的放大
【思考】下图是一个女孩儿从平面镜和哈哈镜里看到的自己的形象，这些镜中的形象相似吗？
答：相似；不相似；不相似.
知识点二 成比例线段
成比例线段：对于四条线段a，b，c，d，如果其中两条线段的比（即它们长度的比）与另两条线段的比相等，如 = (即ad=bc)，我们就说这四条线段成比例.
【注意】（1）成比例线段是有顺序的，即若 a，b，c，d 是成比例线段，则（或 ad＝bc，其中 b≠0，d≠0），不能写成 = ．
（2）在用 = 运算时，注意四条线段 a，b，c，d 的长度单位要一致．
知识点三 相似多边形与相似比
【思考】多边形 ABCDEF 是显示在电脑屏幕上的，而多边形 A1B1C1D1E1F1 是投射到银幕上的.
【问题1】这两个多边形相似吗？
答：相似
【问题2】在这两个多边形中，是否有对应相等的内角？
∠A1=∠A，∠B1=∠B，∠C1=∠C，∠D1=∠D，∠E1=∠E，∠F1=∠F.
【问题3】在这两个多边形中，夹相等内角的两边是否成比例？
【归纳】两个边数相同的多边形，如果它们的角分别相等，边成比例，那么这两个多边形叫作相似多边形．相似多边形对应边的比叫作相似比．
例如，下图中的两个大小不同的四边形 ABCD 和四边形 A1B1C1D1中，
∠A＝∠A1，∠B＝∠B1，∠C＝∠C1，∠D＝∠D1．
因此四边形 ABCD 与四边形 A1B1C1D1 相似．
【归纳】由相似多边形的定义可知，相似多边形的对应角相等，对应边成比例．
【思考】任意两个等边三角形相似吗？任意两个正方形呢？任意两个正 n 边形呢？
答：等边三角形的每个角都为 60°，三边都相等．所以满足边数相同，对应角相等，对应边的比相等．故任意两个等边三角形相似．
答：正方形的每个角都为 90°，四边都相等．所以满足边数相同，对应角相等，对应边的比相等．故任意两个正方形相似．任意两个边数相等的正多边形都相似．
【思考】任意两个菱形（或矩形）是否相似？为什么？
【设计意图】以 “概念 — 关联 — 性质 — 辨析” 的逻辑展开新知讲解，先明确相似图形的定义，通过实例与思考衔接全等与相似的关系，再逐步深入成比例线段、相似多边形的核心知识点.结合生活实例、图形变换与递进式问题，既强化对定义和性质的理解，又通过正多边形与菱形、矩形的辨析，突破易错点，培养学生精准把握概念本质、严谨推理的能力.
（三）典型例题
一、相似图形的概念
例1 (1)下列各组图形中，是全等图形的是_____②_____，是相似图形的是_____②④⑤_____.(填序号)
(2)下列图形中，不是相似图形的是(　C　)
【针对练习】
1.如下左图，从放大镜里看到的三角尺和原来的三角尺相似吗
2.如下右图，图形(a)~(f)中，哪些与图形(1)或(2)相似
1.解：相似.
2.解：(d)与(1)，(e)与(2).
【小结】两个图形是否相似与图形的大小、位置无关．
二、成比例线段
例2　下列各组中的四条线段成比例的是（ D ）．
A．6 cm，2 cm，1 cm，4 cm
B．4 cm，5 cm，6 cm，7 cm
C．3 cm，4 cm，5 cm，6 cm
D．6 cm，3 cm，8 cm，4 cm
【小结】先排序，再把 “最小数与最大数相乘” 和 “中间两数相乘” 对比，就能快速判断这四条线段是否成比例.
【针对练习】
在比例尺为1：6 000 000的地图上，量得甲、乙两地的距离是14cm，求两地的实际距离.
解：设相距14cm的两地实际距离为 x cm,
根据题意得：1：6 000 000=14：x ,
解得： x =84000000，
84000000cm=840km.
答：两地的实际距离为840千米．
三、相似多边形与相似比
例3　如图，四边形 ABCD 和 EFGH 相似，求角 α，β 的大小和 EH 的长度 x．
解：因为四边形 ABCD 和 EFGH 相似，所以它们的对应角相等，
由此可得 α＝∠C＝83°，∠A＝∠E＝118°．
在四边形 ABCD 中，β＝360°－(78°＋83°＋118°)＝81°．
因为四边形 ABCD 和 EFGH 相似，所以它们的对应边成比例．
由此可得=，即=．
解得 x＝28．
【小结】相似多边形的性质常用来求相似多边形未知边的长度或未知角的度数．
【针对练习】
1.如图所示的两个三角形相似吗？为什么？
2.如图所示的两个五边形相似，求未知边 a，b， c，d 的长度．
解：相似多边形的对应边的比相等，由此可得
解得：a=3，b=4.5，c=4，d=6.
所以未知边a，b，c，d的长度分别为3，4.5，4，6.
【设计意图】围绕相似图形、成比例线段、相似多边形三大核心知识点，设置分层典型例题与针对性练习，覆盖概念辨析、性质应用、实际情境等不同题型.通过例题示范解题思路与方法，搭配小结提炼关键技巧，再以练习巩固应用，既帮助学生夯实基础、掌握解题规范，又通过变式训练提升知识迁移能力，实现 “学 — 练 — 悟” 的闭环.
（四）当堂巩固
1．下列图形不是相似图形的是(　C　)
A．同一张底片冲洗出来的两张大小不同的照片
B．国旗上的大五角星与小五角星
C．从哈哈镜中看到的人像与从平面镜中看到的人像
D．两张大小不同的中国地图
2．已知四条线段2，3，4，x成比例，则x的值不可能是(　C　)
A．6 B．1.5 C．8 D．
3．在比例尺为1∶1 000 000的地图上，量得甲、乙两地的距离是2.6 cm，则甲、乙两地的实际距离为_____26_____km.
4．如图， ABCD与 A′B′C′D′相似．
则相似比k＝__________；α=_____125°_____；m=_____12_____．
5．如图，在四边形ABCD中，∠A＝∠B＝90°，点F为CD上一点，FE⊥AB于点E.若AD＝2，BC＝8，四边形AEFD与四边形EBCF相似，则的值是__________.
【设计意图】聚焦本节课核心知识点，设置基础辨析、计算应用、综合拓展分层题型，全面覆盖相似图形判断、成比例线段计算、相似多边形性质应用等考点.通过当堂巩固检测学生知识掌握情况，及时发现薄弱环节，同时强化知识的灵活运用能力，助力学生扎实落实课堂所学.
（五）课堂总结
本节课你有哪些收获？还有没解决的问题吗？
【设计意图】培养学生概括的能力.使知识形成体系，并渗透数学思想方法.
五、教学反思

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