资源简介

23.1成比例线段
【题型1】判断线段是否成比例线段 6
【题型2】根据成比例线段求线段的长度 8
【题型3】成比例线段的应用 11
【题型4】比例的基本性质 13
【题型5】利用比例的性质求字母代数式的值 16
【题型6】利用平行线分线段成比例求线段的比值 18
【题型7】利用平行线分线段成比例求线段的长度 21
【题型8】平行线分线段成比例在三角形中的应用 24
【题型9】等分线段中的平行线分线段成比例 27
【题型10】黄金分割的概念 30
【题型11】利用黄金分割比的求长度 32
【知识点1】比例的性质 （1）比例的基本性质：组成比例的四个数，叫做比例的项．两端的两项叫做比例的外项，中间的两项叫做比例的内项．
（2）常用的性质有：
①内项之积等于外项之积．若=，则ad=bc．
②合比性质．若=，则=．
③分比性质．若=，则=．
④合分比性质．若=，则=．
⑤等比性质．若==…=（b+d+…+n≠0），则=． 1.（2025春 临淄区期末）已知，则的值是（　　） A．B．C．D．
【答案】A 【分析】根据比例的基本性质求出a=7b,再代入即可得到答案． 【解答】解：∵=，
∴3（a+b）=4（a-b），
∴a=7b,
∴==，
故选：A． 2.（2025 深圳二模）如果mn=ab（m、n、a、b均不为零），则下列比例式中错误的是（　　） A．B．C．D．
【答案】B 【分析】根据比例的基本性质：两外项之积等于两内项之积．对选项一一分析，选出正确答案． 【解答】解：A、= ab=mn,故正确；
B、= mb=na,故错误；
C、= ab=mn,故正确；
D、= mn=ab,故正确．
故选：B． 【知识点2】比例线段 （1）对于四条线段a、b、c、d，如果其中两条线段的比（即它们的长度比）与另两条线段的比相等，如 ab=cd（即ad=bc），我们就说这四条线段是成比例线段，简称比例线段．
（2）判定四条线段是否成比例，只要把四条线段按大小顺序排列好，判断前两条线段之比与后两条线段之比是否相等即可，求线段之比时，要先统一线段的长度单位，最后的结果与所选取的单位无关系． 1.（2024春 温州月考）若线段a=4，b=9，则线段a,b的比例中项为（　　） A．B．C．6D．±6
【答案】C 【分析】根据成比例线段的定义解得即可． 【解答】解：设线段a,b的比例中项为c,
则c2=ab=4×9=36，
解得：c=±6
又因为c为线段，
所以c=6．
故选：C． 2.（2024秋 芗城区校级期中）下列各组线段中，成比例的是（　　） A．30，60，80，40B．4，6，8，10C．11，22，33，66D．2，4，9，5
【答案】C 【分析】根据比例线段的概念：如果其中两条线段的乘积等于另外两条线段的乘积，则四条线段叫成比例线段． 【解答】解：A、30×40≠80×60，不能成比例，错误，不符合题意；
B、4×10≠6×8，不能成比例，错误，不符合题意；
C、11×66=22×33，能成比例，正确，符合题意；
D、2×9≠4×5，不能成比例，错误，不符合题意．
故选：C． 【知识点3】黄金分割 （1）黄金分割的定义：
如图所示，把线段AB分成两条线段AC和BC（AC＞BC），且使AC是AB和BC的比例中项（即AB：AC=AC：BC），叫做把线段AB黄金分割，点C叫做线段AB的黄金分割点．
其中AC=AB≈0.618AB，并且线段AB的黄金分割点有两个．
（2）黄金三角形：黄金三角形是一个等腰三角形，其腰与底的长度比为黄金比值．
黄金三角形分两种：①等腰三角形，两个底角为72°，顶角为36°．这样的三角形的底与一腰之长之比为黄金比：；②等腰三角形，两个底角为36°，顶角为108°；这种三角形一腰与底边之长之比为黄金比：．
（3）黄金矩形：黄金矩形的宽与长之比确切值为． 1.（2024秋 蒙山县期末）如图，已知点C是线段AB的黄金分割点，且BC＞AC．若S1表示以BC为边的正方形面积，S2表示长为AB、宽为AC的矩形面积，则S1与S2的大小关系为（　　） A．S1＞S2B．S1=S2C．S1＜S2D．不能确定
【答案】B 【分析】根据黄金分割的定义得到BC2=AC AB，再利用正方形和矩形的面积公式有S1=BC2，S2=AC AB，即可得到S1=S2． 【解答】解：∵C是线段AB的黄金分割点，且BC＞AC，
∴BC2=AC AB，
∵S1表示以BC为边的正方形面积，S2表示长为AB、宽为AC的矩形面积，
∴S1=BC2，S2=AC AB，
∴S1=S2．
故选：B． 2.（2024秋 鲤城区校级月考）“翻开华师大版数学九年级上册，恰好翻到第56页，讲述的是“黄金分割”相关知识”，这个事件是（　　） A．必然事件B．不可能事件C．随机事件D．确定事件
【答案】C 【分析】根据必然事件、不可能事件、随机事件、确定事件的定义判断即可得出结论． 【解答】解：“翻开华师大版数学九年级上册，恰好翻到第56页，讲述的是“黄金分割”相关知识”，这个事件是随机事件，
故选：C． 【知识点4】平行线分线段成比例 （1）定理1：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例．
推论：平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例．
（2）推论1：如果一条直线截三角形的两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边．
（3）推论2：平行于三角形的一边，并且和其他两边（或两边的延长线）相交的直线，所截得的三角形的三边与原三角形的三边对应成比例． 1.（2025 普宁市一模）如图是一架梯子的示意图，其中AA1∥BB1∥CC1∥DD1，且AB=BC=CD．为使其更稳固，在A，D1间加绑一条安全绳（线段AD1）量得AE=0.5m,则AD1的长度为（　　） A．0.8mB．1mC．1.5mD．2m
【答案】C 【分析】根据三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例解答即可． 【解答】解：∵AA1∥BB1∥CC1∥DD1，且AB=BC=CD，
∴，
∴AD1=3AE=3×0.5=1.5m.
故选：C． 2.（2024秋 永康市期末）如图，直线l1∥l2∥l3，直线AC和DF被l1，l2，l3所截，AB=BC=5，EF=4，则DE的长为（　　） A．4B．C．5D．6
【答案】A 【分析】根据平行线分线段成比例定理列出比例式，把已知数据代入计算即可． 【解答】解：∵l1∥l2∥l3，
∴，即，
解得：DE=4，
故选：A．
【题型1】判断线段是否成比例线段
【典型例题】有下列各组线段：
（1）a＝12dm，b＝8dm，c＝1.5m，d＝10m；
（2）a＝300dm，b＝20dm，c＝0.8dm，d＝12mm；
（3）a＝7m，b＝4m，c＝3m，d＝5m；
（4）a＝m，b＝m，c＝9m，d＝18m．
其中成比例的线段有（　　）
A.1组 B.2组 C.3组 D.4组
【答案】A
【解析】（1）a＝12dm＝1.2m，b＝8dm＝0.8m，c＝1.5m，d＝10m，0.8×10≠1.2×1.5，不是比例线段；
（2）a＝300dm，b＝20dm，c＝0.8dm，d＝12mm＝0.12dm，300×0.12≠20×0.8，不是比例线段；
（3）a＝7m，b＝4m，c＝3m，d＝5m，7×3≠4×5，不是比例线段；
（4）a＝m，b＝m，c＝9m，d＝18m，×18＝×9，是比例线段．
故选：A．
【举一反三1】下列四组线段中，是成比例线段的一组是（　　）
A.a＝1，b＝2，c＝3，d＝4
B.a＝1，b＝，c＝，d＝
C.a＝5，b＝6，c＝7，d＝8
D.a＝4，b＝6，c＝6，d＝8
【答案】B
【解析】A．∵1×4≠2×3，
∴ad≠bc，
∴四条线段不成比例，故本选项不符合题意；
B．∵1×＝×，
∴ad＝bc，
∴四条线段成比例，故本选项符合题意；
C．∵5×8≠6×7，
∴ad≠bc，
∴四条线段不成比例，故本选项不符合题意；
D．∵4×4≠6×6，
∴ad≠bc，
∴四条线段不成比例，故本选项不符合题意；
故选：B．
【举一反三2】判断下列各组长度的线段是否成比例，正确的在括号内打“√”，错误的在括号内打“×”．
（1）4、8、10、20　 　；
（2）3、9、7、21　 　；
（3）11、33、66、22　 　；
（4）1、3、5、15　 　．
【答案】√；√；√；√．
【解析】（1）从小到大排列，由于4×20＝8×10，所以四条线段成比例；
（2）从小到大排列，由于3×21＝9×7，所以四条线段成比例；
（3）从小到大排列，由于11×66＝22×33，所以四条线段成比例；
（4）从小到大排列，由于1×15＝3×5，所以四条线段成比例．
故答案为：√；√；√；√．
【举一反三3】若方程x2+ax+2b＝0的两个根是方程x2+cx+d＝0的两个根的2倍，则判断a，b，c，d是否成比例．
【答案】解　设m和n是方程x2+cx+d＝0的两个根，则2m和2n是方程x2+ax+2b＝0的两个根，
∴m+n＝﹣c，mn＝d，2m+2n＝﹣a，2m 2n＝2b，
∴c＝，d＝，
∴ad＝bc，
∴a：b＝c：d，
∴a，b，c，d成比例．
【举一反三4】如图所示，有矩形ABCD和矩形A'B'C'D'，AB＝8cm，BC＝12cm，A'B'＝4cm，B'C'＝6cm．则线段A'B'，AB，B'C'，BC是成比例线段吗？
【答案】解　∵AB＝8cm，BC＝12cm，A'B'＝4cm，B'C'＝6cm，
∴＝＝，＝＝，
∴＝，
∴A'B'，AB，B'C'，BC是成比例线段．
【题型2】根据成比例线段求线段的长度
【典型例题】已知线段a＝2，b＝8，c是线段a，b的比例中项，则线段c的长为（　　）
A.4或﹣4 B.4 C.2 D.8
【答案】B
【解析】∵线段c是线段a和b的比例中项，a＝2，b＝8，
∴c2＝ab＝16，
解得：c＝±4，
又∵线段是正数，
∴c＝4．
故选：B．
【举一反三1】若线段a，b，c，d是成比例线段，且a＝10，b＝4，c＝5，则d是（　　）
A.8 B.0.5 C.2 D.20
【答案】C
【解析】∵线段a，b，c，d是成比例线段，
∴a：b＝c：d，
即10：4＝5：d，
解得d＝2．
故选：C．
【举一反三2】如果C是线段AB延长线上一点，且AC：BC＝3：1，那么AB：BC等于（　　）
A.2：1 B.1：2 C.4：1 D.1：4
【答案】A
【解析】∵AC：BC＝3：1，
∴设AC＝3x，则BC＝x，AB＝2x，
则AB：BC＝2：1．
故选：A．
【举一反三3】如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，以点B为圆心，BC长为半径画弧，交线段AB于点D；以点A为圆心，AD长为半径画弧，交线段AC于点E，若E为AC中点，则＝　　 ．
【答案】
【解析】设BC＝b，AC＝a，
∵E为AC中点，
∴AE＝AC＝，
由题意可知BD＝BC＝b，AD＝AE＝，
∴AB＝AD+BD＝+b，
∵∠ACB＝90°，
∴AC2+BC2＝AB2，即a2+b2＝（+b）2，整理得，3a＝4b，
∴＝，即＝．
故答案为：．
【举一反三4】如图，在线段AB上取C，D两点．已知AB＝6cm，AC＝1cm，且四条线段AC，CD，DB，AB是成比例线段，求线段CD的长．
【答案】解　设CD＝xcm，则DB＝AB﹣AC﹣CD＝6﹣1﹣x＝5﹣x（cm），
∵AC，CD，DB，AB是成比例线段，即，
∴＝，
解得：x＝2或3．
故CD的长是：2cm或3cm．
【举一反三5】已知长度为x﹣1，2，x+1，3的线段成比例，求x的值．
【答案】解　根据线段成比例可得：（x﹣1）：2＝（x+1）：3，
根据比例的基本性质，得：3（x﹣1）＝2（x+1），
解得：x＝5．
【题型3】成比例线段的应用
【典型例题】鄂尔多斯市成陵旅游区到响沙湾旅游区之间的距离为105公里，在一张比例尺为1：2000000的交通旅游图上，它们之间的距离大约相当于（　　）
A.一根火柴的长度
B.一支钢笔的长度
C.一支铅笔的长度
D.一根筷子的长度
【答案】A
【解析】根据比例尺＝图上距离：实际距离，得它们之间的图上距离是
105÷2000000＝0.0000525公里＝5.25（厘米）．
故选：A．
【举一反三1】如图是两把按不同比例尺进行刻度的尺子，每把尺子的刻度都是均匀的，已知两把尺子在刻度10处是对齐的，且上面尺子在刻度15处与下面的尺子在刻度18处也刚好对齐，
则上面尺子的刻度16在下面尺子对应的刻度是（　　）
A.19.4 B.19.5 C.19.6 D.19.7
【答案】C
【解析】设上面尺子的刻度16在下面尺子对应的刻度是x，
由题意，得＝，
解得x＝19.6．
故选：C．
【举一反三2】如图1是有两个外开式活动门扇的双开入户铜门．门槛AB长为250cm，AD，BC分别为左右门扇的底部门宽，且 AD＝BC，关上门时，C与D重合．阳光明媚的某天，将两扇门向外开到如图2的位置（平面示意图），这时阳光正好垂直照射向门槛AB，因门的遮挡，在门槛上留下三线段AF、FH、HB，只有线段FH晒到太阳，且AF：FH：HB＝24：11：15，则此时C．D间的距离为__________cm．
【答案】5
【解析】如图，作DE⊥CH于点E，
∵AF：FH：HB＝24：11：15，AB＝250cm，
∴AF＝250×＝120（cm），FH＝250×＝55（cm），HB＝250×＝75（cm），
∵AD＝BC＝125cm，
∴DF＝＝35（cm），CH＝＝100（cm），
∴CE＝100﹣35＝65（cm），
∴CD＝＝5（cm）．
故答案为：5．
【举一反三3】两地的实际距离是1200千米，在地图上量得这两地的距离为2厘米，则这幅地图的比例尺是1：________．
【答案】60000000
【解析】1200千米＝120000000厘米，
2：120000000＝1：60000000．
故答案为：60000000．
【举一反三4】某中学请设计人员绘制学校内矩形花坛的平面图，花坛的长为20m，宽为12m．
（1）在比例尺为1：100的平面图上，这个矩形花坛的长和宽分别是多少？长和宽的比是多少？
（2）花坛的长和宽的实际比是多少？
（3）这两个比之间有什么关系？
【答案】解　（1）∵平面图的比例尺为1：100，
∴矩形花坛的实际长是20÷100＝0.2（m），
矩形花坛的实际宽是12÷100＝0.12（m）．
长和宽的比是0.2：0.12＝5：3；
（2）矩形花坛的长和宽的实际比是20：12＝5：3；
（3）矩形花坛的长和宽的实际比和图上矩形的长与宽之比相等．
【举一反三5】两地的实际距离是60千米，在地图上量得距离是3厘米，这张地图的比例尺为多少？
【答案】解　∵60千米＝6000000厘米，
∴比例尺＝3：6000000＝1：2000000，
故这张地图的比例尺为1：2000000．
【题型4】比例的基本性质
【典型例题】已知，则下列各式不一定成立的是（　　）
A.
B.
C.
D.（）2＝（）2
【答案】B
【解析】∵，
∴ad＝bc．
A．∵，
∴+1＝+1，即＝，故本选项一定成立，不符合题意；
B．∵d与b不一定相等，ad＝bc，
∴ad+d与bc+b不一定相等，
∴与不一定相等，故本选项不一定成立，符合题意；
C．∵，
∴＝，故本选项一定成立，不符合题意；
D．∵，
∴（）2＝（）2，故本选项一定成立，不符合题意．
故选：B．
【举一反三1】已知，，且b+d≠0，下列各式正确的是（　　）
A.3c＝4d B. C.= D.
【答案】B
【解析】∵＝，
∴4c＝3d，所以A选项不符合题意；
∵，，且b+d≠0，
∴＝，所以B选项符合题意；
∵＝，
∴＝
∴＝＝，所以C选项不符合题意；
∵＝，
∴＝＝﹣，所以D选项不符合题意．
故选：B．
【举一反三2】对于线段a，b，如果，那么下列四个选项一定正确的是（　　）
A.2a＝3b B. C.b﹣a＝1 D.
【答案】B
【解析】∵＝，
∴3a＝2b，＝，
A．不一定正确，故本选项不符合题意；
B．＝﹣＝﹣1＝，故本选项符合题意；
C．设a＝2k，b＝3k，则b﹣a＝3k﹣2k＝k，不一定等于1，故本选项不符合题意；
D．＝+＝+1＝，故本选项不符合题意；
故选：B．
【举一反三3】已知x：y＝3：4，那么（x+y）：y＝　 　．
【答案】7：4
【解析】∵x：y＝3：4，
∴，
即（x+y）：y＝7：4．
故答案为：7：4．
【举一反三4】若＝＝＝，给出下列各式：
①＝（b+d≠0）；②＝（b﹣d+2f≠0）；③＝（c+d≠0）；④＝（b≠2f）．
其中正确的是 　 　．（填写所有正确的序号）
【答案】①②④
【解析】∵＝＝＝，
∴①＝（b+①②④d≠0）是正确的；
②＝（b﹣d+2f≠0）是正确的；
③＝（c+d≠0），原来的计算是错误的；
④＝（b≠2f）是正确的．
故答案为：①②④．
【举一反三5】已知x：y＝（a+b）：（a﹣b），y：z＝（a+b）：（a﹣b），求x：y：z．
【答案】解　∵x：y＝（a+b）：（a﹣b），y：z＝（a+b）：（a﹣b），
∴设y＝k（a+b）（a﹣b），则x＝k（a+b）2，z＝k（a﹣b）2，
则x：y：z
＝k（a+b）2：k（a+b）（a﹣b）：k（a﹣b）2
＝（a+b）2：（a+b）（a﹣b）：（a﹣b）2．
【题型5】利用比例的性质求字母代数式的值
【典型例题】已知a：b：c＝3：5：7，则的值为（　　）
A. B. C. D.以上都不对
【答案】B
【解析】由已知，得
＝，＝，
∴a=①，
c＝②，
将①②代入，并解得
．
故选：B．
【举一反三1】已知＝1，＝2，＝3，则x+y+z＝（　　）
A. B.﹣ C. D.﹣
【答案】B
【解析】由题意得：＝1，＝2，＝3，即+＝1，+＝，+＝，
∴2（++）＝，即++＝，
∴＝，＝，＝﹣，
即x＝，y＝，z＝﹣12，
则x+y+z＝+﹣12＝﹣．
故选：B．
【举一反三2】若=2，且b+d+f＝3，则a+c+e＝　 　．
【答案】6
【解析】∵=2，
∴a＝2b，c＝2d，e＝2f，
∴a+c+e＝2（b+d+f）＝2×3＝6．
故答案为：6．
【举一反三3】已知==，且3x﹣2y+4z＝60，则x的值为　　 ．
【答案】6
【解析】设==＝k，
∴x＝2k，y＝3k，z＝5k，
∵3x﹣2y+4z＝60，
∴6k﹣6k+20k＝60，
解得：k＝3，
∴x＝6，
故答案为：6．
【举一反三4】已知3a＝2b，求下列各式的值．
（1）；
（2）．
【答案】解　（1）∵3a＝2b，
∴＝；
（2）∵＝；
∴设a＝2k，b＝3k，
∴＝＝＝﹣．
【题型6】利用平行线分线段成比例求线段的比值
【典型例题】如图，DF∥AC，DE∥BC，下列各式中正确的有（　　）
（1）＝；（2）＝；（3）＝；（4）＝．
A.（1）（2）
B.（1）（3）
C.（1）（2）（3）
D.（1）（2）（3）（4）
【答案】D
【解析】∵DF∥AC，DE∥BC，
∴＝；（2）＝，=，
故（1），（2）正确；
∵DF∥AC，DE∥BC，
∴四边形CEDF是平行四边形，
∴CE＝DF，
∴＝，故（3）正确；
∵==，
∴（4）正确．
故选：D．
【举一反三1】如图，直线a∥b∥c，分别交直线m、n于点A．C．E、B．D．F，下列结论正确
的是（　　）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】∵a∥b∥c，
∴＝，＝，＝，
∴选项A．B．C错误，不符合题意；D正确，符合题意；
故选：D．
【举一反三2】如图，在 ABCD中，E是AD上一点，且EM∥AD，EN∥CD，则下列式子中错误的是（　　）
A.= B.= C.= D.
【答案】D
【解析】A．∵EM∥AD，
∴=，故正确；
B．∵EM∥AD，EN∥CD，
∴＝，＝，
∴=，故正确；
C．∵EM∥AD，EN∥CD，
∴=，，=
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD＝BC，AB＝CD，
∴=，故正确；
D．∵EN∥CD，
∴，故错误．
故选：D．
【举一反三3】五线谱是一种记谱法，通过在五根等距离的平行横线上标以不同时值的音符及其他记号来记载音乐．如图，A，B，C为直线l与五线谱的横线相交的三个点，则的值是 　 　．
【答案】2
【解析】过点A作AD⊥a于D，交b于E，
∵a∥b，
∴＝＝2，
故答案为：2．
【举一反三4】如图，l1∥l2∥l3，两条直线与这三条平行线分别交点A．B．C和点D．E、F．若＝，求的值．
【答案】解　∵l1∥l2∥l3，
∴＝＝，
∴＝．
【题型7】利用平行线分线段成比例求线段的长度
【典型例题】如图，小西家的梯子由等距离的六条平行横梁（踏板）组成，下宽上窄，其中点A，B，C，D均在横梁的端点处，若AB＝62cm，则AD的长为（　　）
A.105cm B.150cm C.155cm D.186cm
【答案】C
【解析】∵小西家的梯子由等距离的六条平行横梁（踏板）组成，
∴＝，
∵AB＝62cm，
∴＝，
∴AD＝155．
故选：C．
【举一反三1】如图，点A，B都在格点上（网格小正方形的边长为1），点C是线段AB与网格线的交点，则AC的长为（　　）
A. B. C.2 D.3
【答案】B
【解析】如图：
在Rt△ABE中，AE＝4，BE＝6，
∴AB＝＝＝2，
∵CD∥AE，
∴＝，
∴＝，
∴AC＝，
故选：B．
【举一反三2】如图是一架梯子的示意图，其中AA1∥BB1∥CC1∥DD1，且AB＝BC＝CD．为使其更稳固，在A，D1间加绑一条安全绳（线段AD1）量得AE＝0.4m，则AD1＝　 　m．
【答案】1.2
【解析】过点A作AD⊥a于D，交b于E，
∵BB1∥CC1，
∴＝，
∵AB＝BC，
∴AE＝EF，
同理可得：AE＝EF＝FD1，
∵AE＝0.4m，
∴AD1＝0.4×3＝1.2（m），
故答案为：1.2．
【举一反三3】如图，互相垂直的两条公路AM、AN旁有一矩形花园ABCD，其中AB＝30米，AD＝20米．现欲将其扩建成一个三角形花园APQ，要求P在射线AM上，Q在射线AN上，且PQ经过点C．
（1）DQ＝10米时，求△APQ的面积．
（2）当DQ的长为多少米时，△APQ的面积为1600平方米．
【答案】解　（1）∵DC∥AP，
∴＝，
∴＝，
∴AP＝90，
∴S△APQ＝AQ AP＝1350米2；
（2）设DQ＝x米，则AQ＝x+20，
∵DC∥AP，
∴＝，
∴＝，
∴AP＝，
由题意得 ××（x+20）＝1600，
化简得3x2﹣200 x+1200＝0，
解x＝60或．
经检验：x＝60或是原方程的根，
∴DQ的长应设计为60或米．
【举一反三4】已知AB与CD相交于点O，OA＝12，OB＝6，OC＝8，且＝，求CD的长．
【答案】解　如图，∵OA＝12，OB＝6，
∴AB＝OA+OB＝18，
又∵OC＝8，＝，
∴＝，
∴CD＝12．
【题型8】平行线分线段成比例在三角形中的应用
【典型例题】如图，正六边形ABCDEF外作正方形DEGH，连接AH交DE于点O，则等于（　　）
A.3 B. C.2 D.
【答案】A
【解析】连接BD，如图所示：
由正六边形和正方形的性质得：B、D、H三点共线，
设正六边形的边长为a，则AB＝BC＝CD＝DE＝a，
∵在△BCD中，BC＝CD＝a，∠BCD＝120°，
∴BD＝a．
∵OD∥AB，
∴＝＝＝，
故选：B．
【举一反三1】如图，在△ABC中，CD平分∠ACB，过D作BC的平行线交AC于M，若BC＝m，AC＝n，则DM＝（　　）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】∵CD平分∠ACB，过D作BC的平行线交AC于M，
∴∠MDC＝∠MCD，
∴DM＝MC，
∴AM＝AC﹣MC＝n﹣DM，
又∵DM∥BC，
∴=，即=，
解得DM＝．
故选：C．
【举一反三2】如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，点D，E分别在AB，AC上，连接DE，BE，若BE＝DE，BD：AD＝3：2，则AE：EC为（　　）
A.3：1 B.4：1 C.7：3 D.5：2
【答案】C
【解析】如图，过点E作EH⊥AB于点H．
∵EB＝EA，EH⊥AB，
∴HB＝HD，
∵∠AHE＝∠ABC＝90°，
∴EH∥CB，
∴＝，
∵＝，DH＝BH，
∴＝，
∴＝，
故选：C．
【举一反三3】如图，在△ABC中，D是AB上一点，且ADDB=32，E、F是AC上的点，且DE∥BC，DF∥BE，AF＝9．则EC的长为　 　．
【答案】10
【解析】∵DF∥BE，
∴＝＝，即＝，
解得，FE＝6，
∴AE＝AF+FE＝15，
∵DE∥BC，
∴＝＝，即＝，
解得，EC＝10，
故答案为：10．
【举一反三4】如图，在△ABC中，点D、E分别在边BC、AC上，连接DE，若DE∥AB，CE＝2AE，CD＝6，求BD的长．
【答案】解　∵DE∥AB，
∴＝，
又∵CE＝2AE，
∴＝＝2，
∴BD＝3．
【题型9】等分线段中的平行线分线段成比例
【典型例题】如图，D，F是AB边上的三等分点，EG在AC上，且DE∥FG∥BC，则AE与GC的关系是（　　）
A.AE＜GC B.AE＞GC C.AE＝GC D.不能确定
【答案】C
【解析】∵D，F是AB边上的三等分点，
∴AD＝DF＝FB，
∵DE∥FG∥BC，
∴AE＝EG＝GC．
故选：C．
【举一反三1】已知△ABC，BC＝4cm，B1、B2、B3是AB边的四等分点，并且B1C1∥B2C2∥B3C3∥BC，则B1C1+B2C2+B3C3+BC＝（　　）
A.10cm B.8cm C.12cm D.14 cm
【答案】A
【解析】∵B1、B2、B3是AB边的四等分点，
∴AB1＝B1B2＝B2B3＝B3B，
∵B1C1∥B2C2∥B3C3∥BC，
∴AC1＝C1C2＝C2C3＝C3C，
∴B2C2＝BC＝2cm，
∴B1C1+B2C2＝2B2C2＝4cm，
∴B1C1+B2C2+B3C3+BC＝4+2+4＝10cm．
故选：A．
【举一反三2】如图，△ABC中，AD是BC边上的中线，E是线段AB的四等分点中距A最近的一点，连接CE交AD于点F，则＝　　 ．
【答案】
【解析】如图：过点D作DM∥EC交AB于M，
∵AD是BC边上的中线，
∴MD是△BEC的中位线，
∴BM＝ME．
∵＝，
∴＝，
∵DM∥EC，
∴＝＝．
故答案为：．
【举一反三3】如图，在△ABC中，点D为线段BC的三等分点（BD＜DC），连接AD，取AD的中点F，连接BF并延长交AC于点E．已知AE＝2，求线段AC的长．
【答案】解　如图，过点E作EH∥CB交AD于点H．
∵EH∥DB，
∴＝＝1，
∴EH＝BD，
∵CD＝2BD，
∴CD＝2EH，
∵EH∥CD，
∴＝＝，
∵AE＝2，
∴AC＝4．
【题型10】黄金分割的概念
【典型例题】两千多年前，古希腊数学家欧多克索斯发现了黄金分割．黄金分割在日常生活中处处可见，例如：主持人在舞台上主持节目时，站在黄金分割点上，观众看上去感觉最好．若舞台长25米，主持人从舞台一侧进入，设他至少走x米时恰好站在舞台的黄金分割点上，则x满足的方程是（　　）
A.（25﹣x）2＝25x B.x2＝25（25﹣x） C.x（25﹣x）＝252 D.x（25﹣x）＝25x2
【答案】A
【解析】由题意得：＝，
∴（25﹣x）2＝25x，
故选：A．
【举一反三1】已知C是线段AB的黄金分割点（AC＞BC）设AC＝mAB，BC＝nAB，线段a是线段AC是BC的比例中项，若a＝kAB，则下列格式：①m2＝n；②mn＝k2；③m3＝k2；④n3＝k4，其中正确的有（　　）
A.4个 B.3个 C.2个 D.1个
【答案】A
【解析】∵C是线段AB的黄金分割点（AC＞BC），
∴AB：AC＝AC：BC，
∴AC2＝BC AB，
∴m2AB＝nAB AB，
∴m2＝n，所以①正确；
∵线段a是线段AC是BC的比例中项，
∴a2＝AC BC，
∴k2AB2＝mAB nAB，则mn＝k2，所以②正确；
∵n＝m2，mn＝k2，
∴m3＝k2，所以③正确；
∵m2n2＝k4，n＝m2，
∴n3＝k4，所以④正确．
故选：A．
【举一反三2】如图，点C是线段AB的黄金分割点，则下列各式正确的是（　　）
A.= B.= C.= D.=
【答案】B
【解析】∵点C是线段AB的黄金分割点，
∴＝，
∴B正确，
A．C．D不正确，
故选：B．
【举一反三3】如果点P是线段AB的黄金分割点，且AP＞PB，则下列命题，
①AB2＝AP PB；
②AP2＝PB AB；
③BP2＝AP AB；
④AP：AB＝PB：AP，
其中正确的是　 　（填序号）．
【答案】②④
【解析】∵点P是线段AB的黄金分割点，且AP＞PB，
∴根据线段黄金分割的定义得：AP2＝PB AB，AP：AB＝PB：AP．
故答案为：②④．
【举一反三4】已知线段AB，点C是靠近B点的AB的黄金分割点．点G是靠近点A的黄金分割点，则＝　 　．
【答案】1
【解析】由题意得，AG＝AB，BC＝AB，
∴＝1．
故答案为：1．
【举一反三5】如图，是一张矩形纸片，其中AB＝1，BC＝2，怎样折叠这张纸片，才能找到AB边上的黄金分割．
【答案】解　如图，在矩形ABCD中，连接BD，在DB上截取DE＝DC＝1，取BE中点F，
在BA上截取BG＝BF，
则点G就是线段AB的黄金分割点．
理由：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠BCD＝90°，BD＝＝＝，
∵DE＝DC＝1，
∴BF＝EF＝，
∴BG＝，
即BG＝AB，
∴点G就是线段AB的黄金分割点．
【题型11】利用黄金分割比的求长度
【典型例题】线段AB＝8，P是AB的黄金分割点，且AP＜BP，则BP的长度为（　　）
A.4﹣4 B.8+8 C.8﹣8 D.4+4
【答案】A
【解析】∵线段AB＝8，P是AB的黄金分割点，且AP＜BP，
∴BP＝AB＝×8＝4﹣4．
故选：A．
【举一反三1】五角星是我们生活中常见的一种图形，在如图所示的正五角星中，点C，D为线段AB的黄金分割点，且AB＝2，则图中五边形CDEFG的周长为（　　）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】∵点C，D分别为线段AB的右侧和左侧的黄金分割点，
∴AD=BD==，AD=BC==，
∴CD＝BD﹣BC=，
∴五边形CDEFG的周长．
故选：C．
【举一反三2】如图，△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°，BD平分∠ABC交AC于点D，点D为AC的黄金分割点（AD＞CD），AC＝6，则CD＝ ．
【答案】9﹣3
【解析】∵点D为AC的黄金分割点（AD＞CD），
∴AD＝AC＝×6＝3﹣3，
∴CD＝AC﹣AD＝6﹣（3﹣3）＝9﹣3．
故答案为：9﹣3．
【举一反三3】已知点C是线段AB的黄金分割点，且分成的两部分之差为2，求线段AC的长．
【答案】解　设分成的两部分中较长线段的长为x，
可得x2＝（x﹣2）（x+x﹣2），
x2﹣6x+4＝0，
解得x=3，
而x﹣2＞0，
所以，AC=3+或．
线段AC的长为3+或1+．23.1成比例线段
【题型1】判断线段是否成比例线段 4
【题型2】根据成比例线段求线段的长度 5
【题型3】成比例线段的应用 6
【题型4】比例的基本性质 7
【题型5】利用比例的性质求字母代数式的值 8
【题型6】利用平行线分线段成比例求线段的比值 8
【题型7】利用平行线分线段成比例求线段的长度 9
【题型8】平行线分线段成比例在三角形中的应用 11
【题型9】等分线段中的平行线分线段成比例 12
【题型10】黄金分割的概念 13
【题型11】利用黄金分割比的求长度 14
【知识点1】比例的性质 （1）比例的基本性质：组成比例的四个数，叫做比例的项．两端的两项叫做比例的外项，中间的两项叫做比例的内项．
（2）常用的性质有：
①内项之积等于外项之积．若=，则ad=bc．
②合比性质．若=，则=．
③分比性质．若=，则=．
④合分比性质．若=，则=．
⑤等比性质．若==…=（b+d+…+n≠0），则=． 1.（2025春 临淄区期末）已知，则的值是（　　） A．B．C．D．
2.（2025 深圳二模）如果mn=ab（m、n、a、b均不为零），则下列比例式中错误的是（　　） A．B．C．D．
【知识点2】比例线段 （1）对于四条线段a、b、c、d，如果其中两条线段的比（即它们的长度比）与另两条线段的比相等，如 ab=cd（即ad=bc），我们就说这四条线段是成比例线段，简称比例线段．
（2）判定四条线段是否成比例，只要把四条线段按大小顺序排列好，判断前两条线段之比与后两条线段之比是否相等即可，求线段之比时，要先统一线段的长度单位，最后的结果与所选取的单位无关系． 1.（2024春 温州月考）若线段a=4，b=9，则线段a,b的比例中项为（　　） A．B．C．6D．±6
2.（2024秋 芗城区校级期中）下列各组线段中，成比例的是（　　） A．30，60，80，40B．4，6，8，10C．11，22，33，66D．2，4，9，5
【知识点3】黄金分割 （1）黄金分割的定义：
如图所示，把线段AB分成两条线段AC和BC（AC＞BC），且使AC是AB和BC的比例中项（即AB：AC=AC：BC），叫做把线段AB黄金分割，点C叫做线段AB的黄金分割点．
其中AC=AB≈0.618AB，并且线段AB的黄金分割点有两个．
（2）黄金三角形：黄金三角形是一个等腰三角形，其腰与底的长度比为黄金比值．
黄金三角形分两种：①等腰三角形，两个底角为72°，顶角为36°．这样的三角形的底与一腰之长之比为黄金比：；②等腰三角形，两个底角为36°，顶角为108°；这种三角形一腰与底边之长之比为黄金比：．
（3）黄金矩形：黄金矩形的宽与长之比确切值为． 1.（2024秋 蒙山县期末）如图，已知点C是线段AB的黄金分割点，且BC＞AC．若S1表示以BC为边的正方形面积，S2表示长为AB、宽为AC的矩形面积，则S1与S2的大小关系为（　　） A．S1＞S2B．S1=S2C．S1＜S2D．不能确定
2.（2024秋 鲤城区校级月考）“翻开华师大版数学九年级上册，恰好翻到第56页，讲述的是“黄金分割”相关知识”，这个事件是（　　） A．必然事件B．不可能事件C．随机事件D．确定事件
【知识点4】平行线分线段成比例 （1）定理1：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例．
推论：平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例．
（2）推论1：如果一条直线截三角形的两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边．
（3）推论2：平行于三角形的一边，并且和其他两边（或两边的延长线）相交的直线，所截得的三角形的三边与原三角形的三边对应成比例． 1.（2025 普宁市一模）如图是一架梯子的示意图，其中AA1∥BB1∥CC1∥DD1，且AB=BC=CD．为使其更稳固，在A，D1间加绑一条安全绳（线段AD1）量得AE=0.5m,则AD1的长度为（　　） A．0.8mB．1mC．1.5mD．2m
2.（2024秋 永康市期末）如图，直线l1∥l2∥l3，直线AC和DF被l1，l2，l3所截，AB=BC=5，EF=4，则DE的长为（　　） A．4B．C．5D．6
【题型1】判断线段是否成比例线段
【典型例题】有下列各组线段：
（1）a＝12dm，b＝8dm，c＝1.5m，d＝10m；
（2）a＝300dm，b＝20dm，c＝0.8dm，d＝12mm；
（3）a＝7m，b＝4m，c＝3m，d＝5m；
（4）a＝m，b＝m，c＝9m，d＝18m．
其中成比例的线段有（　　）
A.1组 B.2组 C.3组 D.4组
【举一反三1】下列四组线段中，是成比例线段的一组是（　　）
A.a＝1，b＝2，c＝3，d＝4
B.a＝1，b＝，c＝，d＝
C.a＝5，b＝6，c＝7，d＝8
D.a＝4，b＝6，c＝6，d＝8
【举一反三2】判断下列各组长度的线段是否成比例，正确的在括号内打“√”，错误的在括号内打“×”．
（1）4、8、10、20　 　；
（2）3、9、7、21　 　；
（3）11、33、66、22　 　；
（4）1、3、5、15　 　．
【举一反三3】若方程x2+ax+2b＝0的两个根是方程x2+cx+d＝0的两个根的2倍，则判断a，b，c，d是否成比例．
【举一反三4】如图所示，有矩形ABCD和矩形A'B'C'D'，AB＝8cm，BC＝12cm，A'B'＝4cm，B'C'＝6cm．则线段A'B'，AB，B'C'，BC是成比例线段吗？
【题型2】根据成比例线段求线段的长度
【典型例题】已知线段a＝2，b＝8，c是线段a，b的比例中项，则线段c的长为（　　）
A.4或﹣4 B.4 C.2 D.8
【举一反三1】若线段a，b，c，d是成比例线段，且a＝10，b＝4，c＝5，则d是（　　）
A.8 B.0.5 C.2 D.20
【举一反三2】如果C是线段AB延长线上一点，且AC：BC＝3：1，那么AB：BC等于（　　）
A.2：1 B.1：2 C.4：1 D.1：4
【举一反三3】如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，以点B为圆心，BC长为半径画弧，交线段AB于点D；以点A为圆心，AD长为半径画弧，交线段AC于点E，若E为AC中点，则＝　　 ．
【举一反三4】如图，在线段AB上取C，D两点．已知AB＝6cm，AC＝1cm，且四条线段AC，CD，DB，AB是成比例线段，求线段CD的长．
【举一反三5】已知长度为x﹣1，2，x+1，3的线段成比例，求x的值．
【题型3】成比例线段的应用
【典型例题】鄂尔多斯市成陵旅游区到响沙湾旅游区之间的距离为105公里，在一张比例尺为1：2000000的交通旅游图上，它们之间的距离大约相当于（　　）
A.一根火柴的长度
B.一支钢笔的长度
C.一支铅笔的长度
D.一根筷子的长度
【举一反三1】如图是两把按不同比例尺进行刻度的尺子，每把尺子的刻度都是均匀的，已知两把尺子在刻度10处是对齐的，且上面尺子在刻度15处与下面的尺子在刻度18处也刚好对齐，
则上面尺子的刻度16在下面尺子对应的刻度是（　　）
A.19.4 B.19.5 C.19.6 D.19.7
【举一反三2】如图1是有两个外开式活动门扇的双开入户铜门．门槛AB长为250cm，AD，BC分别为左右门扇的底部门宽，且 AD＝BC，关上门时，C与D重合．阳光明媚的某天，将两扇门向外开到如图2的位置（平面示意图），这时阳光正好垂直照射向门槛AB，因门的遮挡，在门槛上留下三线段AF、FH、HB，只有线段FH晒到太阳，且AF：FH：HB＝24：11：15，则此时C．D间的距离为__________cm．
【举一反三3】两地的实际距离是1200千米，在地图上量得这两地的距离为2厘米，则这幅地图的比例尺是1：________．
【举一反三4】某中学请设计人员绘制学校内矩形花坛的平面图，花坛的长为20m，宽为12m．
（1）在比例尺为1：100的平面图上，这个矩形花坛的长和宽分别是多少？长和宽的比是多少？
（2）花坛的长和宽的实际比是多少？
（3）这两个比之间有什么关系？
【举一反三5】两地的实际距离是60千米，在地图上量得距离是3厘米，这张地图的比例尺为多少？
【题型4】比例的基本性质
【典型例题】已知，则下列各式不一定成立的是（　　）
A.
B.
C.
D.（）2＝（）2
【举一反三1】已知，，且b+d≠0，下列各式正确的是（　　）
A.3c＝4d B. C.= D.
【举一反三2】对于线段a，b，如果，那么下列四个选项一定正确的是（　　）
A.2a＝3b B. C.b﹣a＝1 D.
【举一反三3】已知x：y＝3：4，那么（x+y）：y＝　 　．
【举一反三4】若＝＝＝，给出下列各式：
①＝（b+d≠0）；②＝（b﹣d+2f≠0）；③＝（c+d≠0）；④＝（b≠2f）．
其中正确的是 　 　．（填写所有正确的序号）
【举一反三5】已知x：y＝（a+b）：（a﹣b），y：z＝（a+b）：（a﹣b），求x：y：z．
【题型5】利用比例的性质求字母代数式的值
【典型例题】已知a：b：c＝3：5：7，则的值为（　　）
A. B. C. D.以上都不对
【举一反三1】已知＝1，＝2，＝3，则x+y+z＝（　　）
A. B.﹣ C. D.﹣
【举一反三2】若=2，且b+d+f＝3，则a+c+e＝　 　．
【举一反三3】已知==，且3x﹣2y+4z＝60，则x的值为　　 ．
【举一反三4】已知3a＝2b，求下列各式的值．
（1）；
（2）．
【题型6】利用平行线分线段成比例求线段的比值
【典型例题】如图，DF∥AC，DE∥BC，下列各式中正确的有（　　）
（1）＝；（2）＝；（3）＝；（4）＝．
A.（1）（2）
B.（1）（3）
C.（1）（2）（3）
D.（1）（2）（3）（4）
【举一反三1】如图，直线a∥b∥c，分别交直线m、n于点A．C．E、B．D．F，下列结论正确
的是（　　）
A. B. C. D.
【举一反三2】如图，在 ABCD中，E是AD上一点，且EM∥AD，EN∥CD，则下列式子中错误的是（　　）
A.= B.= C.= D.
【举一反三3】五线谱是一种记谱法，通过在五根等距离的平行横线上标以不同时值的音符及其他记号来记载音乐．如图，A，B，C为直线l与五线谱的横线相交的三个点，则的值是 　 　．
【举一反三4】如图，l1∥l2∥l3，两条直线与这三条平行线分别交点A．B．C和点D．E、F．若＝，求的值．
【题型7】利用平行线分线段成比例求线段的长度
【典型例题】如图，小西家的梯子由等距离的六条平行横梁（踏板）组成，下宽上窄，其中点A，B，C，D均在横梁的端点处，若AB＝62cm，则AD的长为（　　）
A.105cm B.150cm C.155cm D.186cm
【举一反三1】如图，点A，B都在格点上（网格小正方形的边长为1），点C是线段AB与网格线的交点，则AC的长为（　　）
A. B. C.2 D.3
【举一反三2】如图是一架梯子的示意图，其中AA1∥BB1∥CC1∥DD1，且AB＝BC＝CD．为使其更稳固，在A，D1间加绑一条安全绳（线段AD1）量得AE＝0.4m，则AD1＝　 　m．
【举一反三3】如图，互相垂直的两条公路AM、AN旁有一矩形花园ABCD，其中AB＝30米，AD＝20米．现欲将其扩建成一个三角形花园APQ，要求P在射线AM上，Q在射线AN上，且PQ经过点C．
（1）DQ＝10米时，求△APQ的面积．
（2）当DQ的长为多少米时，△APQ的面积为1600平方米．
【举一反三4】已知AB与CD相交于点O，OA＝12，OB＝6，OC＝8，且＝，求CD的长．
【题型8】平行线分线段成比例在三角形中的应用
【典型例题】如图，正六边形ABCDEF外作正方形DEGH，连接AH交DE于点O，则等于（　　）
A.3 B. C.2 D.
【举一反三1】如图，在△ABC中，CD平分∠ACB，过D作BC的平行线交AC于M，若BC＝m，AC＝n，则DM＝（　　）
A. B. C. D.
【举一反三2】如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，点D，E分别在AB，AC上，连接DE，BE，若BE＝DE，BD：AD＝3：2，则AE：EC为（　　）
A.3：1 B.4：1 C.7：3 D.5：2
【举一反三3】如图，在△ABC中，D是AB上一点，且ADDB=32，E、F是AC上的点，且DE∥BC，DF∥BE，AF＝9．则EC的长为　 　．
【举一反三4】如图，在△ABC中，点D、E分别在边BC、AC上，连接DE，若DE∥AB，CE＝2AE，CD＝6，求BD的长．
【题型9】等分线段中的平行线分线段成比例
【典型例题】如图，D，F是AB边上的三等分点，EG在AC上，且DE∥FG∥BC，则AE与GC的关系是（　　）
A.AE＜GC B.AE＞GC C.AE＝GC D.不能确定
【举一反三1】已知△ABC，BC＝4cm，B1、B2、B3是AB边的四等分点，并且B1C1∥B2C2∥B3C3∥BC，则B1C1+B2C2+B3C3+BC＝（　　）
A.10cm B.8cm C.12cm D.14 cm
【举一反三2】如图，△ABC中，AD是BC边上的中线，E是线段AB的四等分点中距A最近的一点，连接CE交AD于点F，则＝　　 ．
【举一反三3】如图，在△ABC中，点D为线段BC的三等分点（BD＜DC），连接AD，取AD的中点F，连接BF并延长交AC于点E．已知AE＝2，求线段AC的长．
【题型10】黄金分割的概念
【典型例题】两千多年前，古希腊数学家欧多克索斯发现了黄金分割．黄金分割在日常生活中处处可见，例如：主持人在舞台上主持节目时，站在黄金分割点上，观众看上去感觉最好．若舞台长25米，主持人从舞台一侧进入，设他至少走x米时恰好站在舞台的黄金分割点上，则x满足的方程是（　　）
A.（25﹣x）2＝25x B.x2＝25（25﹣x） C.x（25﹣x）＝252 D.x（25﹣x）＝25x2
【举一反三1】已知C是线段AB的黄金分割点（AC＞BC）设AC＝mAB，BC＝nAB，线段a是线段AC是BC的比例中项，若a＝kAB，则下列格式：①m2＝n；②mn＝k2；③m3＝k2；④n3＝k4，其中正确的有（　　）
A.4个 B.3个 C.2个 D.1个
【举一反三2】如图，点C是线段AB的黄金分割点，则下列各式正确的是（　　）
A.= B.= C.= D.=
【举一反三3】如果点P是线段AB的黄金分割点，且AP＞PB，则下列命题，
①AB2＝AP PB；
②AP2＝PB AB；
③BP2＝AP AB；
④AP：AB＝PB：AP，
其中正确的是　 　（填序号）．
【举一反三4】已知线段AB，点C是靠近B点的AB的黄金分割点．点G是靠近点A的黄金分割点，则＝　 　．
【举一反三5】如图，是一张矩形纸片，其中AB＝1，BC＝2，怎样折叠这张纸片，才能找到AB边上的黄金分割．
【题型11】利用黄金分割比的求长度
【典型例题】线段AB＝8，P是AB的黄金分割点，且AP＜BP，则BP的长度为（　　）
A.4﹣4 B.8+8 C.8﹣8 D.4+4
【举一反三1】五角星是我们生活中常见的一种图形，在如图所示的正五角星中，点C，D为线段AB的黄金分割点，且AB＝2，则图中五边形CDEFG的周长为（　　）
A. B. C. D.
【举一反三2】如图，△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°，BD平分∠ABC交AC于点D，点D为AC的黄金分割点（AD＞CD），AC＝6，则CD＝ ．
【举一反三3】已知点C是线段AB的黄金分割点，且分成的两部分之差为2，求线段AC的长．

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