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第三模块 函数基础微专题
基础微专题3 二次函数的增减性、最值及图象的对称性
典题精练 聚焦怎么考
1．[2024河南]已知抛物线经过和两点，则的值为（ ）
A． B． C．2 D．4
2．在平面直角坐标系中，二次函数（为常数）的图象经过点，，且，则的值是（ ）
A．1或3 B．或3 C．3 D．
3．[变式][2025郑州一模] 已知抛物线经过点，，若，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
题型
（1）二次函数图象上纵坐标相同且不重合的两点必关于二次函数图象的对称轴对称,可根据对称轴与二次函数图象上一点坐标,求出与之关于对称轴对称的另一点的坐标.
（2）判断二次函数图象上点对应的函数值大小时有两种常用方法：
①若点位于对称轴异侧,先将点转化到对称轴同侧,再根据增减性求解.
②对于开口向上的抛物线而言,距离对称轴越远的点位置越高,对应的函数值越大；对于开口向下的抛物线而言,距离对称轴越远的点位置越低,对应的函数值越小.
4．[2025郑州中牟模拟]如图，在平面直角坐标系中，抛物线（，是常数）经过点，且对称轴为直线，动点在抛物线上，其横坐标为.
（1） 求抛物线的解析式；
（2） 若点到轴的距离小于3，求点的纵坐标的取值范围；
（3） 若抛物线位于点右侧（包含点）部分对应的函数值最小为，求的值.
5．变式] 在平面直角坐标系中，抛物线（为常数）与轴的交点坐标为.
（1） 求该抛物线的解析式；
（2） 当时，函数的最小值为3，求的值.
6．在平面直角坐标系中，，是抛物线上的两点.
（1） 若对于，，有，求抛物线的对称轴；
（2） 若对于，，都有，求的取值范围.
题型
解答最值问题应根据给出的范围,找出所对应的部分图象,结合二次函数的增减性和抛物线的对称轴,确定相应的最值.
二次函数 的最值如下.
①，
当 时,函数取得最大值；
当 时,函数取得最小值.
②，
当 时,函数取得最小值，
可以通过比较直线 与对称轴的距离和直线 与对称轴的距离来确定函数的最大值，离对称轴远的取得最大值.
，
当 时,函数取得最大值；
当 时,函数取得最小值.
基础微专题4 二次函数图象与线段、面积问题
典题精练 聚焦怎么考
类型1 二次函数图象中的线段问题
题型类型1
直角坐标系中的线段长度
如图,
（1）当 轴时，;
（2）当 轴时，;
（3）当线段所在直线不平行于坐标轴时，常常过线段的端点作坐标轴的平行线，转化为 两种情况，利用勾股定理求线段长，如图，.
1．[2025驻马店模拟]如图1，二次函数的图象是一条抛物线，图象与轴交于点和点，与轴交于点.
图1 图2
（1） 求抛物线的解析式；
（2） 如图2，点为直线下方抛物线上的点，过点作轴交于点，求的最大值及此时点的坐标.
2．变式] 如图，抛物线交轴于点和点
，交轴于点.
（1） 求抛物线的表达式；
（2） 是直线上方抛物线上一动点，连接交于点，求的最大值，并求出此时点的坐标.
类型2 二次函数图象中的面积问题
题型类型2
直角坐标系中的三角形面积
如图,
当 轴时，作 轴，垂足为,与 交于点,则;
当 轴时，作 轴，垂足为,与 交于点,则.
当三角形没有边与坐标轴平行时，可以利用割补法求解三角形面积.
3．[2025河南模拟]如图，二次函数的图象与轴交于点，与轴交于点，，连接，.点在线段上运动（不与点，重合），过点作，交于点，当的面积最大时，点的坐标为_ _ _ _ _ _ _ _ .
4．如图，已知二次函数的图象与轴交于，两点，与轴交于点.
（1） 求二次函数的表达式及点坐标；
（2） 是二次函数图象上位于第三象限内的点，求面积的最大值及此时点的坐标.
基础微专题5 二次函数图象与直线、线段的交点问题
典题精练 聚焦怎么考
类型1 定抛物线与动直线
方法点睛类型1
抛物线与直线的交点问题的解题方法
联立两个解析式得到一元二次方程,再根据一元二次方程根的判别式 判断.
①当 时,抛物线与直线有唯一交点;
②当 时,抛物线与直线有两个交点;
③当 时,抛物线与直线无交点.
1．已知抛物线.
（1） 若直线与该抛物线没有交点，求的取值范围；
（2） 若直线与该抛物线有两个交点，求的取值范围；
（3） 若直线与该抛物线有两个交点，求的取值范围；
（4） 若直线与该抛物线有一个交点，求与的关系；
（5） 已知点,点为对称轴上一动点，记抛物线在的部分为图象,若直线与图象只有一个交点，求点纵坐标的取值范围.
类型2 定抛物线与动线段
方法点睛类型2
处理定抛物线与动线段交点问题的关键是找临界点，一般分为两种情况：
1.动线段上下平移
一般这种情况，已知线段（垂直于 轴）两端点的横坐标和线段长，线段与抛物线最多有一个交点.如图所示，，两点的横坐标均为，且 长度为.
把 代入 即可求出临界点.
当（或）时，动线段与抛物线有1个交点.
2.动线段左右平移
一般这种情况，已知线段（垂直于 轴）两端点的纵坐标和线段长，设线段长为,,两点的纵坐标均为.两端点的横坐标不确定，且.
把 代入 可得临界点,.
①若，则当 或 或 时，动线段与抛物线有一个交点.
②若,则当,时，动线段与抛物线有两个交点.当 或 或 时，动线段与抛物线有一个交点.
③若,则当 且 时，动线段与抛物线有两个交点，当 或 时，动线段与抛物线有一个交点.
[2024洛阳涧西一模]已知二次函数的图象经过点
，.
（1） 求二次函数的解析式；
（2） 若点,都在此抛物线上，且，,比较与的大小，并说明理由；
（3） 点的坐标为，点的坐标为，若线段与该函数图象恰有一个交点，直接写出的取值范围.
3．已知二次函数,一次函数,点为直线上一个动点,将点向右平移2个单位长度得到点,若线段与抛物线只有一个公共点,求的取值范围.
类型3 动抛物线与定线段
方法点睛类型3
1.上下平移：
（1）“找界点”——端点,切点.
（2）当抛物线解析式中常数项 不确定时,抛物线沿对称轴上下平移,分五种情况:①抛物线顶点在切点上方;②抛物线顶点在切点处;③抛物线对称轴两侧部分均与线段相交;④抛物线对称轴右侧部分与线段相交或过端点2,且左侧部分与线段无交点;⑤两端点在抛物线之间.
2.左右平移：
（1）“找界点”——端点.
（2）当抛物线顶点纵坐标 确定,横坐标 不确定时,抛物线沿直线 左右平移,分五种情况:①抛物线位于端点3左侧;②抛物线对称轴右侧部分经过端点3或与线段相交;③抛物线位于两端点之间;④抛物线对称轴左侧部分经过端点4或与线段相交；⑤抛物线位于端点4右侧.
4．如图,抛物线交轴于,两点,交轴于点,其中点的坐标为,且该抛物线的对称轴为直线.点,为坐标平面内两点,其坐标分别为,.
（1） 求抛物线的解析式及顶点坐标；
（2） 当时,求的取值范围；
（3） 连接,若抛物线向下平移个单位长度后,与线段只有一个公共点,结合函数图象,请直接写出的取值范围.
5．[2024濮阳二模]在平面直角坐标系中，有一抛物线的表达式为
（1） 当该抛物线过原点时，求的值.
（2） 坐标系内有一矩形,其中,.
① 直接写出点坐标；
② 如果抛物线与该矩形的边有2个交点，求的取值范围.
类型4 新函数图象交点问题
6．[2024商丘一模]如图,抛物线交轴于,两点,交轴于点,直线经过点,.
（1） 求抛物线和直线的解析式；
（2） 直接写出不等式的解集；
（3） 将抛物线位于第二象限的部分沿轴翻折，抛物线的其余部分保持不变，得到一个新图象，若直线的平行线与新图象只有1个公共点，求的取值范围.
基础微专题3 二次函数的增减性、最值及图象的对称性
典题精练 聚焦怎么考
1．B 2．C 3．B
4．解：（1）抛物线的解析式为.
（2） 点到轴的距离小于3，
，
当时，点的纵坐标取得最小值，为.
当时，点的纵坐标取得最大值，为，
.
（3） 当点在直线的左侧，即时，函数的最小值为，
，
解得（不合题意，舍去）；
当点在直线上，即时，函数的最小值为，，解得（不合题意，舍去）；
当点在直线的右侧，即时，函数的最小值为，
，
解得，（不合题意，舍去）.
综上所述，的值为．
5．解：（1） 抛物线的解析式为．
（2） ，
抛物线开口向上，对称轴为直线，顶点坐标为，
①若，则，
当时，函数取得最小值，则，
解得（舍去）或；
②若，，则，
此时函数的最小值为，此种情况不成立；
③若，则当时，函数取得最小值，则，
解得或（舍去）．
综上所述，的值为或4．
6． 解：（1）抛物线的对称轴为直线.
（2） 抛物线的开口向上，对称轴为直线，
，，
在对称轴的右侧，关于对称轴的对称点为，
，
对于，，都有，
或，
解得或，
的取值范围是或．
基础微专题4 二次函数图象与线段、面积问题
典题精练 聚焦怎么考
类型1 二次函数图象中的线段问题
1．解：（1）抛物线的解析式为.
（2） 设直线的解析式为，将，代入，
得解得
直线的解析式为.
设，
轴，，
，，
当时，取得最大值，为，此时．
2．解：（1） 抛物线的表达式为
（2） 过点作轴，交于点，如图所示.
设，直线的解析式为，
在中，
令，得，，将，分别代入，
得解得
直线的解析式为，
，
，
轴，，
，
，，
当时，取得最大值，为，此时点的坐标为．
类型2 二次函数图象中的面积问题
3．
[解析]令，得，
解得，，
，，.
令，得，，
，
设，则，，
，
，
，
，
，
，
当，即时，的面积最大.
4．解：（1） 二次函数的表达式为，
.
（2） 如图，过点作轴的垂线交于点，连接，，
设直线的表达式为，
把，代入，得解得
直线的表达式为，
，
设，则，
则，
，
点位于第三象限，
，又，
当时，的面积最大，最大值为，
此时点的坐标为．
基础微专题5 二次函数图象与直线、线段的交点问题
典题精练 聚焦怎么考
类型1 定抛物线与动直线
1． 解：（1）联立得
则,
直线与该抛物线没有交点，
,即,解得.
（2） 由（1）知，联立得,
直线与该抛物线有两个交点，,即.
（3） 联立得
则,
直线与该抛物线有两个交点，
,即,解得.
（4） 联立得
则.
直线与该抛物线只有一个交点，,即,.
（5） 点为对称轴上的动点，
设.
①当过点的直线与轴平行时，与图象只有一个交点，此时;
②当直线过点时，直线的表达式为,此时;
③当直线过点时，直线的表达式为,此时.
综上，或.
类型2 定抛物线与动线段
2． 解：（1）.
（2） .理由如下：
令,得,解得,, 抛物线与轴的交点为，., 抛物线的开口向上.，,,,.
（3） 或.
[解析]详解：,,轴，当时，,, 直线与抛物线的交点为，，，
这两点之间的距离为.
.
①如图1，当时，线段与该函数图象恰有一个交点；
图1
②如图2，当时，,线段与该函数图象恰有一个交点.
综上，的取值范围为或.
图2
3．解： 二次函数, 抛物线与轴的交点为,,顶点为.联立得解得或 抛物线和直线的两个交点为, 点为直线上一个动点, 将点向右平移2个单位长度得到点,
点的坐标为.
当时,,即点,分别为抛物线与轴的两个交点，
又 线段与抛物线只有一个公共点,
当时,线段与抛物线只有一个公共点.
又 当,即时,点刚好是抛物线的顶点,
当时,线段与抛物线只有一个公共点,
的取值范围为且.
类型3 动抛物线与定线段
4．解：（1）抛物线的解析式为，顶点坐标为.
（2） 抛物线的开口向上，顶点坐标为， 当时，的最小值为 抛物线的对称轴为直线,, 当时，为最大值， 当时，的取值范围是.
（3） 或.
5． 解：（1） .
（2） ① 点坐标为.
② ，
抛物线开口向下，顶点在轴上，顶点坐标为，
当抛物线对称轴右半部分经过点时，抛物线与矩形的边恰有1个交点，此时，，解得,（舍）.
当抛物线经过原点时，抛物线与矩形的边恰有2个交点，此时，
当时，抛物线与矩形的边有2个交点.
当抛物线过点时，抛物线与矩形的边恰有2个交点，
此时，解得，
当抛物线对称轴左侧经过点时，抛物线与矩形的边恰有1个交点，此时，，
解得（舍）,.
当时，抛物线与矩形的边有2个交点.
综上所述，抛物线与该矩形的边有2个交点时，的取值范围为或.
类型4 新函数图象交点问题
6．解：（1） 抛物线的解析式为，直线的解析式为.
（2） 或.
（3） 当直线经过点时，.当直线与抛物线只有一个公共点时，关于的方程有两个相等的实数根，整理方程，得,则,解得.
分析可知，若直线与新图象只有1个公共点，的取值范围为或.

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