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第3章 不等式
3.3.1 从函数观点看一元二次方程和一元二次不等式
▍教学目标
结合二次函数的图象，判断一元二次方程根的存在性及根的个数，了解一元二次函数的零点与一元二次方程根的关系．
能解决与二次函数的零点有关的问题．
进一步体验函数方程和数形结合这两个重要的数学思想方法在数学中的应用．
数学抽象：二次函数零点概念的理解． 直观想象：掌握图象法解一元二次方程． 数学运算：二次函数零点的计算．
▍情境设置
【问题1】 在初中，我们学习了一次函数、一元二次方程、一元二次不等式，理解了它们之间的关系． 在平面直角坐标系中，画一次函数的图象，一般先确定哪两个点？ 如何求出函数的图象与轴的交点坐标？
[学生活动] 一次函数的图象是一条直线，一般先确定图象与坐标轴的两个交点． 要求出函数的图象与轴的交点坐标，只需要令，解方程．
[教师引导] 一元一次方程的根即为对应一次函数图象与轴交点的横坐标．
【问题2】 求出方程的根，在平面直角坐标系中作出函数的图象． 一元二次方程的根与函数的图象有何联系？ 对于任意的一元二次方程及其对应的二次函数，这种关系是否都成立？请举例说明．
[学生活动] 一元二次方程的根即为函数的图象与轴交点的横坐标．
[教师引导] 一元二次方程的根有三种情况．
[学生活动] 举例： 一元二次方程的根即为函数的图象与轴交点的横坐标；一元二次方程无实根，则函数的图象与轴无交点．
[教师引导] 我们称一元二次方程的根，为二次函数的零点．
▍概念的建构与探究
形成知识 一般地，一元二次方程的根就是二次函数当函数值取零时自变量的值，即二次函数的图象与轴交点的横坐标，也称为二次函数的零点．
【问题3】 二次函数的零点是指一个点吗？
[学生活动] 不是，二次函数的零点是对应一元二次方程的实数根，是一个数．
【问题4】 对于一般的一元二次方程的根、二次函数的图象、二次函数的零点，它们之间有什么关系？请以为例讨论．
[学生活动] 根据一元二次方程的判别式与0的大小关系，分3种情况．
[教师引导] 结合二次函数的图象与轴的交点情况来讨论亦可．
[学生活动]
判别式二次函数 的图象一元二次方程的根有两个相异的实数根有两个相等的实数根没有实数根二次函数的零点有两个零点有一个零点 无零点
[教师引导] 当判别式时，一元二次方程有两个相等的实数根；而二次函数只有一个零点．
【问题5】 当时，一元二次方程的根、二次函数的图象、二次函数的零点，它们之间有什么关系？请同学们完成教材第59页练习1的表格．
[教师引导] 研究二次函数的零点问题，可以通过讨论一元二次方程根的情况来解决；研究一元二次方程的根问题，可以结合二次函数的图象来解决；运用函数方程和数形结合这两个重要的数学思想方法来解决问题．
▍知识的运用与升华
【例题1】 求证：二次函数有两个零点．
[提示] 要证明二次函数有两个零点，只需要证明一元二次方程有两个不相等的实数根即可．
[证明] 考察一元二次方程． 因为， 所以方程有两个不相等的实数根． 因此，二次函数有两个零点．
方法归纳 研究二次函数的零点问题，可以通过讨论一元二次方程根的情况来解决．
【变式1】 设为实数，若函数有且只有一个零点，求的值．
[提示] 函数有且只有一个零点，即一元二次方程有两个相等的实数根．
[解析] 因为函数有且只有一个零点． 所以一元二次方程有两个相等的实数根． 则，解得．
【例题2】 判断二次函数在区间上是否存在零点．
[提示] 要判断二次函数在区间上是否存在零点，方法一是求出方程的根，考察是否有根在区间上；方法二是作出函数的图象进行直观的判断．
[解析] 根据求根公式可得一元二次方程的两个根分别为，． 因为，所以． 因此，二次函数在区间上存在零点．
方法归纳 研究二次函数的零点问题，可以通过计算一元二次方程的根来解决．
【变式2】 设为实数，已知二次函数的两个零点都在区间内，求的取值范围．
[提示] 二次函数的两个零点都在区间内，方法一是求出方程的根，都要大于1；方法二是借助二次函数的图象进行直观的理解．
[解析] 方法一： 因为二次函数的两个零点都在区间内． 所以一元二次方程有两个不相等的实数根且都大于1． 则解得． 方法二： 因为二次函数的两个零点都在区间内， 所以二次函数的图象与轴的两个交点都在点的右侧． 因为二次函数的图象开口向上，对称轴为， 所以，解得．
▍课堂反馈
1. 已知二次函数的称轴为，且有两个实数根，则等于（　　）
A．0 B．3 C．6 D．不能确定
[答案] C
2. 若二次函数的两个零点分别是2和3，则的值为________．
[答案]
3. 若关于的二次方程的两个零点分别为，且满足，则的值为________．
[答案]
4． 一元二次方程的两根均大于2，则实数的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
[答案] C
▍课堂总结
【问题6】 通过本节课的学习和研究，你有哪些收获或启示？
知识框图 知识与技能层面： 一般地，一元二次方程的根就是二次函数当函数值取零时自变量的值，即二次函数的图象与轴交点的横坐标，也称为二次函数的零点. 一元二次方程的根、二次函数的图象、二次函数的零点，它们之间的关系表. 研究二次函数的零点问题，可以通过讨论一元二次方程的根的情况来解决；研究一元二次方程的根问题，可以结合二次函数的图象来解决． 思想与方法层面：运用函数方程和数形结合这两个重要的数学思想方法来解决问题．

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