资源简介

第3章 不等式
3.3 从函数观点看一元二次方程和一元二次不等式
3.3.2从函数观点看一元二次不等式
▍教学目标
通过探索，理解一元二次函数、一元二次方程与一元二次不等式之间的联系．
能够运用二次函数及其图象、性质解决实际问题．
渗透数形结合思想，进一步培养学生综合解题能力．
逻辑推理：一元二次不等式恒成立问题． 数学建模：运用数形结合的思想，进一步渗透一元二次函数、一元二次方程与一元二次不等式之间的联系．
▍复习回顾
[教师引导] 教师不要采用逐条知识点提问，学生集体逐一回答的形式。 教师可以采用以下提问方式：上节课，我们学习了三个“二次”之间的关系，请你谈谈三个“二次”的认识。让学生自主主动回顾、检索所学知识，并予以理解和表达，有利于学生形成知识框图和有关技能的思维导图。 二次函数的图象、一元二次方程、一元二次不等式之间的联系：
判别式一元二次方程的根有两个相异的实数根有两个相等的实数根没有实数根二次函数的图象的解集的解集
[教师引导] 二次函数、一元二次方程和一元二次不等式三者之间有着密切的联系，函数是核心，图象是载体，可以通过函数的观点来处理方程和不等式问题．
▍典例精讲
[教师引导] 学生思考或训练（前置）→展示学生作品→师生共同点评质疑完善→教师引导学生完成提炼与归纳．
题型一：一元二次不等式的实际应用（数学建模、数学运算）
【例题1】 用一根长为的绳子能围成一个面积大于的矩形吗？当长宽分别为多少米时，所围成的矩形的面积最大？
[思路探究] 理解题意： 条件：一根长为的绳子能围成一个矩形． 结论：矩形面积能否大于？何时最大？ 探求思路：引进合适的变量，分析题意并建立数学模型．
[解析] 设矩形一边的长为，则另一边的长为，其中． 由题意得，即， 解得． 所以，当矩形一边的长在至的范围内取值时，能围成一个面积大于的矩形． 用表示矩形的面积，则，． 当时，取得最大值，此时． 答：当矩形的长宽都为时，所围成的矩形的面积最大．
方法归纳 一元二次不等式应用题的关注点： 常见模型：二次函数模型； 解题流程：解题时要审清题意，准确找出其中的不等关系，再利用一元二次不等式求解，确定答案时应注意变量具有的“实际含义”．
【变式1】 汽车在行驶中，由于惯性的作用，刹车后还要继续向前滑行一段距离才能停住，我们称这段距离为“刹车距离”．刹车距离是分析事故产生原因的一个重要因素．在一个限速为的弯道上，甲、乙两辆汽车相向而行，发现情况不对，同时刹车，但还是相碰了．事后现场勘查测得甲车的刹车距离小于，乙车的刹车距离略超过．又知甲、乙两种车型的刹车距离（单位：）与车速（单位：）之间分别有如下关系：，． 问：甲、乙两车有无超速现象？
[思路探究] 理解题意： 条件：限速为，甲车的刹车距离小于，乙车的刹车距离略超过，，． 结论：甲、乙两车有无超速现象？ 探求思路：由两车的刹车距离来推测车速，从而确定甲、乙两车是否超速．
[解析] 由题意知，对于甲车，有， 即，解得． 这表明甲车的车速低于，未超过规定限速． 对于乙车，有， 即，解得或（不合实际意义，舍去）． 这表明乙车的车速超过，超过规定限速． 答：甲车未超过规定限速，乙车超过规定限速．
【变式2】 某单位在对一个长、宽的草坪进行绿化时，是这样想的：中间为矩形绿草坪，四周是等宽的花坛，如图所示，若要保证绿草坪的面积不小于总面积的二分之一，则花坛宽度的取值范围是多少？当花坛宽度为多少时，绿草坪面积最小？
[思路探究] 理解题意 条件：草坪长、宽，中间为矩形绿草坪，四周是等宽的花坛． 结论：花坛宽度的取值范围是多少时，绿草坪的面积不小于总面积的二分之一？当花坛宽度为多少时，绿草坪面积最小？ 探求思路：引进合适的变量，分析题意并建立数学模型．
[解析] 设花坛的宽度为，则绿草坪的长为，宽为， 根据题意得，且． 整理得， 解得或（不合实际意义，舍去）． 又，则． 所以当时，绿草坪的面积不小于总面积的二分之一． 用表示绿草坪的面积，， 当时取得最小值，即当花坛宽度为时绿草坪面积最小． 答：当时，绿草坪的面积不小于总面积的二分之一，当花坛宽度为时绿草坪面积最小．
题型二：一元二次不等式的恒成立问题（逻辑推理）
【例题2】 若一元二次不等式对一切实数恒成立，则的取值范围为　　　　．
[思路探究] 将不等式恒成立问题转化为二次函数问题，结合图象求解．
[解析] 由条件：一元二次不等式对一切实数恒成立． 考查二次函数，其图象开口向上， 则需要判别式， 即，解得或．
方法归纳 一元二次不等式在上恒成立问题的解法： 恒成立 恒成立
【变式3】 若一元二次不等式对一切实数都成立，则的取值范围为　　　　．
[思路探究] 将不等式恒成立问题转化为二次函数问题，结合图象求解．
[解析] 由条件：一元二次不等式对一切实数恒成立． 考查二次函数， 则需要判别式解得．
【变式4】 若“不等式对一切实数都成立”，则的取值范围为　　　　．
[思路探究] 与【变式3】的区别是去掉了“一元二次”，需考虑二次项系数是否为0（俗称“伪二次”）的情形．
[解析] 由条件：一元二次不等式对一切实数恒成立． 当，即时，不等式转化为，显然恒成立； 当，即时，考查二次函数， 则需要判别式解得． 综上所述：．
【例题3】 若对任意，恒有成立，则的取值范围是　　　　．
[思路探究] 将不等式恒成立问题转化为二次函数问题，结合图象求解．
[解析] 要使对任意恒成立，则必须使二次函数在上的图象在轴的下方，由于函数的图象开口向上，此时应满足即解得．
方法归纳 一元二次不等式在给定区间上恒成立问题的解法： 时，在上恒成立 在，时的函数值同时小于0； 时，在上恒成立 在，时的函数值同时大于0．
【变式5】 若对于任意，都有成立，则实数的取值范围是　　　　．
[思路探究] 将不等式恒成立问题转化为二次函数问题，结合图象求解．
[解析] 要使对任意恒成立， 则必须使二次函数在上的图象在轴的下方， 由于函数的图象开口向上， 此时应满足即 解得．
▍课堂反馈
1． 某小型服装厂生产一种风衣，日销货量件（）与货价元/件之间的关系为，生产件所需成本为．问：该厂日产量多大时，日获利不少于元？
[答案]
2． 不等式对一切实数恒成立的条件是　　　　．
[答案]
3． 不等式对一切实数恒成立，则实数的取值范围是　　　　．
[答案]
4． 若不等式对任意恒成立，求实数的取值范围　　　　．
[答案]
▍课堂总结
【问题】 通过本节课的学习和研究，你有哪些收获或启示？
[学生活动] 学生交流在本节课学习中的体会、收获，交流学习过程中的体验和感受，教师引导学生，生生、师生合作共同完成小结．
知识框图 知识与技能层面： 题型一：一元二次不等式的实际应用（数学建模、数学运算） 常见模型：二次函数模型； 解题流程：解题时要审清题意，准确找出其中的不等关系，再利用一元二次不等式求解，确定答案时应注意变量具有的“实际含义”． 题型二：一元二次不等式的恒成立问题（逻辑推理） 一元二次不等式在上恒成立问题的解法： 恒成立 恒成立 一元二次不等式在给定区间上恒成立问题的解法： 时，在上恒成立 在，时的函数值同时小于0； 时，在上恒成立 在，时的函数值同时大于0． 思想与方法层面：运用函数方程和数形结合这两个数学思想方法解决问题．

展开更多......

收起↑