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第4章 指数与对数
4.1 指数
4.1.2 指数幂的拓展
▍教学目标
了解指数的实际背景，感受指数幂的拓展过程，认识学习指数幂的必要性，理解分数指数幂的含义，了解实数指数幂的意义．
熟练掌握用根式与分数指数幂表示一个正实数的算术根；能运用有理数指数幂的运算性质进行运算和化简，会进行根式与分数指数幂的相互转换．
引导学生学会观察、分析、抽象、概括，发展学生的核心素养．
逻辑推理：指数幂的拓展，由整数指数幂到有理数指数幂，再到实数指数幂的过程． 数学运算：在运用有理数指数幂的运算性质进行化简、求值的过程中，发展数学运算素养． 数学抽象：通过实数指数幂的引入，感受逼近过程，提升学生的数学抽象素养．
▍情境设置
【问题1】 某种细胞分裂时，由1个分裂成2个，2个分裂成4个，4个分裂成8个……如果分裂一次需要10分钟，那么，1个细胞1小时后分裂成多少个细胞？
[教师引导] 假设细胞分裂的次数为，相应的细胞个数为，则， 由题中条件可知，，那么，当时，，即一个细胞一个小时后分裂成64个细胞． 在上述例子中，只能取正整数，可以规定和，使得对取负整数和0也是有意义的． 那么，中的能取分数甚至无理数吗？
【问题2】 当生物死亡后，它机体内原有的碳14会按确定的规律衰减，大约每经过5730年衰减为原来的一半，这个时间称为“半衰期”． 根据此规律，人们获得了生物体内碳14含量与死亡年数之间的关系．考古学家根据这个式子可以知道，生物死亡年后，体内碳14含量的值．例如： 当生物死亡了5730，25730，35730，……年后，它体内碳14的含量分别为，，，……是正整数指数幂．它们的值分别为，，，…… 当生物死亡6000年，10000年，100000年后，它体内碳14的含量分别为，，． 设疑：以上三个数的含义到底是什么呢？
▍知识的运用与升华
【问题3】 初中时的整数指数幂，运算性质？
[学生活动] 学生口答．
[教师引导] ，（），无意义； （）； ；； ，．
【问题4】 什么叫实数？
[学生活动] 学生口答．有理数，无理数统称实数．简单复习，不仅能唤起学生的记忆，而且为学习新课作好了知识上的准备．
【问题5】 如何计算：？
[学生活动] 学生分组讨论．得解法：．
[教师引导] 普通学生要找到该解法并不容易，如何把这种运算简单化呢？能否类比整数指数幂的运算来解题？
【问题6】 观察以下式子，并总结出规律： ① ；　　② ； ③ ；　　④ ．
[教师引导] 从以上四个例子中，你能得到什么结论？
[学生活动] 学生分组讨论，合作学习．
[教师引导] 当根式的被开方数的指数能被根指数整除时，根式可以写成的形式．
【问题7】 ，，如何表示？
[教师引导] 引导学生“当根式的被开方数的指数能被根指数整除时，根式可以写成指数为分数的形式（分数指数幂形式）”联想“根式的被开方数不能被根指数整除时，根式是否也可以写成分数指数幂的形式”．从而推广到正数的分数指数幂的意义．
[学生活动] 学生构造、猜想、归纳概念．“特殊—一般”“归纳一猜想”是培养学生“合情推理”能力的有效方式，同时学生也经历了指数幂的再发现过程，有利于培养学生的创造能力．
形成知识 我们规定正数的分数指数幂的意义为： （，，） 正数的定负分数指数幂的意义与负整数幂的意义相同． 即：（，） 规定：0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂无意义． 说明：规定好分数指数幂后，根式与分数指数幂可以互换，分数指数幂只是根式的一种新的写法，而不是（）．
【问题8】 规定了分数指数幂的意义后，指数的概念就从整数指数推广到了有理数指数，那么整数指数幂的运算性质可以推广到有理数指数幂吗？
[学生活动] 让学生讨论、研究．
形成知识 （，）， （，）， （，，）．
[教师引导] 回到前面的问题，则有．
【问题9】 指数的概念就从整数指数推广到了有理数指数，是否还可以将指数推广到无理数？例如，“”有意义吗？
[学生活动] 学生阅读教材第78页．
[教师引导] 的不足近似值从小于的方向逼近，的过剩近似值从大于的方向逼近． 所以，当不足近似值从小于的方向逼近时，的近似值从小于的方向逼近；当的过剩似值从大于的方向逼近时，的近似值从大于的方向逼近． 所以，是一个确定的实数． 一般来说，无理数指数幂（，是一个无理数）是一个确定的实数，有理数指数幂的性质同样适用于无理数指数幂．无理指数幂可以用有理指数幂的不足近似值和过剩近似值无限逼近以确定大小．
形成知识 有理数指数幂、无理数指数幂有意义，且它们运算性质相同，实数指数幂有意义，也有相同的运算性质，即： （，）， （，）， （，，）．
▍知识的运用与升华
【例题1】 求下列各式的值：
； ； ； ．
[教师引导] 学生思考，口答，教师板演、点评．
[解析] ； ； ； ．
【例题2】 用分数指数幂的形式表示下列各式（）：
； ； ．
[分析] 先把根式化为分数指数幂，再由运算性质来运算．
[解析] ； ； ．
▍课堂总结
【问题10】 通过本节课的学习和研究，你有哪些收获或启示？
[学生活动] 学生交流在本节课学习中的体会、收获，交流学习过程中的体验和感受，教师引导学生，生生、师生合作共同完成小结．
知识框图 知识与技能层面： 学习了分数指数幂的概念及与根式的关系：； 将指数运算性质从整数指数推广到了有理指数幂； 回顾数系的扩充，经历了； 回顾幂指数的扩充，经历了． 思想与方法层面： 研究问题涵盖的思想与方法：特殊到一般、类比、极限思想……

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