资源简介

第五模块 四边形
五年考频统计
讲次 命题点 考频 讲次 命题点 考频
1.多边形与平行四边形 多边形的概念及性质 5年4考 2.特殊的平行四边形 矩形 5年3考
菱形 5年2考
平行四边形的性质与判定 5年考 正方形 5年3考
中点四边形 —
模块体系构建
第1讲 多边形与平行四边形
目标领航 构建知识网
考点通关 直击考什么
考点1 多边形的性质
1．多边形的性质
（1）内角和：边形的内角和等于①_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ ；
（2）外角和：任意多边形的外角和都等于②_ _ _ _ _ _ _ _ ；（多边形计算中的突破口）
（3）对角线：从边形的一个顶点可以引出条对角线，将边形分为个三角形，边形有条对角线；
（4）不稳定性：边形具有不稳定性.
2．正多边形的性质
（1）正边形的各边相等，各内角相等，每个内角为③_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ ；各外角相等，每个外角为④_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ .
（2）正边形都是轴对称图形,有条对称轴，边数为偶数的正多边形还是中心对称图形.
温馨提示
求正多边形的边数时，可以运用多边形内角和公式，也可以利用“任何多边形的外角和都为 ”这一性质解决，边数.
夯基对点练
1．[北师八下P157习题 改编] 若一个多边形的每一个外角都是 ，则这个多边形是_ _ _ _ 边形，它的内角和为_ _ _ _ .
2．如图，七边形中，，的延长线交于点，外角，，，的和等于 ，则的度数是_ _ _ _ _ _ .
考点2 平行四边形的性质及判定
1.定义：两组对边分别平行的四边形叫作平行四边形.
2．平行四边形的性质
边 两组对边分别平行；两组对边分别相等.如⑤_ _ _ _ _ _ ，，,
角 两组对角分别相等；相邻的两个角互补.如，⑥_ _ _ _ _ _ _ _
对角线 对角线互相平分.如，
对称性 是中心对称图形，两条对角线的交点是对称中心（点）
不稳定性 平行四边形具有不稳定性
方法点睛
求长度或角度时，一般利用平行四边形的性质转化线段或角之间的等量关系.
（1）对角相等、对边平行可以得到相等的角；
（2）对边相等、对角线互相平分可得到相等的线段；
（3）当有角平分线时，可利用“平行 角平分线”得到等腰三角形，再得到相等的线段或角.
3．平行四边形的判定
边 两组对边分别平行的四边形是平行四边形； 两组对边分别相等的四边形是平行四边形； 一组对边⑦_ _ _ _ _ _ _ _ 的四边形是平行四边形
角 两组对角分别相等的四边形是平行四边形（拓展）
对角线 对角线互相平分的四边形是平行四边形
方法点睛 平行四边形的判定思路
1.
2.
3.已知两条对角线证对角线互相平分.
夯基对点练
3．如图，在平行四边形中，点，分别在，上.
（1） [人教八下P50习题 改编] 给出四个条件：；；平分；.只添加其中一个条件即可判定四边形为平行四边形的是_ _ _ _ _ _ _ _ .（写出一个即可）
（2） [人教八下P50习题 改编] 若平分，， ，则_ _ _ _ .
命题研究 聚焦怎么考
命题点1 多边形的概念及性质5年4考
方法命题点1
与多边形有关的计算
1.多边形的外角和不随着边数的变化而变化，但内角和随着边数的变化而变化，且边数每增加1，内角和就增加 .
2.如果正多边形的边数为,那么可以根据 来求外角的度数;如果已知正多边形的外角的度数,那么可以根据外角和为 求正多边形的边数.
1．[2019河北]下列图形为正多边形的是（ ）
A． B． C． D．
2．[2022河北]如图，将三角形纸片剪掉一角得四边形，设与四边形的外角和的度数分别为 ， ，则正确的是（ ）
A． B．
C． D．无法比较 与 的大小
3．[2024河北]直线与正六边形的边,分别相交于点,,如图所示，则（ ）
A． B． C． D．
4．[2021河北] 变式 如图，点为正六边形对角线上一点，，，则的值是（ ）
A．20 B．30 C．40 D．变化的
5．[2020河北]正六边形的一个内角是正边形一个外角的4倍，则_ _ _ _ .
命题点2 平行四边形的性质与判定5年5考
方法命题点2
平行四边形的判定方法
1.如果题目中边的条件较多，就考虑使用边相关的定理或定义进行判定，即两组对边分别平行的四边形是平行四边形；一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；两组对边分别相等的四边形是平行四边形.
2.如果已知条件主要是关于对角线的，可利用“对角线互相平分的四边形是平行四边形”进行判定.
3.如果已知条件是针对角的，应想到利用“两组对角分别相等的四边形是平行四边形”进行判定.（拓展）
易错命题点2
一组对边平行，另一组对边相等不能证明四边形是平行四边形（有可能是等腰梯形）.
方法命题点2
平行四边形中辅助线的作法
1.连接对角线或平移对角线，构造相等或平行的线段；
2.过顶点作对边的垂线，构造直角三角形；
3.连接对角线交点与一边的中点或过对角线交点作一边的平行线，构造中位线；
4.连接顶点与一边上一点或连接顶点与一边延长线上一点，构造相似三角形.
6．[2022河北]依据所标数据，下列一定为平行四边形的是（ ）
A． B．
C． D．
7．[2024河北]下面是嘉嘉作业本上的一道习题及解答过程：
已知：如图，中，,平分的外角，点是的中点，连接并延长交于点,连接. 求证：四边形是平行四边形. 证明：,. ,,, ① . 又，,（ ② ）. 四边形是平行四边形.
若以上解答过程正确，①②应分别为（ ）
A．, B．,
C．, D．,
8．[2020河北]如图，将绕边的中点顺时针旋转 .嘉淇发现，旋转后的与构成平行四边形，并推理如下：
小明为保证嘉淇的推理更严谨，想在方框中“，”和“ 四边形……”之间作补充.下列正确的是（ ）
A．嘉淇推理严谨，不必补充 B．应补充：且
C．应补充：且 D．应补充：且
9．[2023河北]综合实践课上，嘉嘉画出,利用尺规作图找一点,使得四边形为平行四边形.图1～图3是其作图过程.
（1）作的垂直平分线交于点； 图1 （2）连接，在的延长线上截取； 图2 （3）连接，，则四边形即为所求. 图3
在嘉嘉的作法中，可直接判定四边形ABCD为平行四边形的条件是（ ）
A．两组对边分别平行 B．两组对边分别相等
C．对角线互相平分 D．一组对边平行且相等
10．[2021河北]如图1，中，，为锐角，要在对角线上找点，，使四边形为平行四边形，现有图2中的甲、乙、丙三种方案，则正确的方案是（ ）
图1
图2
A．甲、乙、丙 B．只有甲、乙
C．只有甲、丙 D．只有乙、丙
11．[人教八下P51习题 改编] 如图1所示，平行四边形中，与交于点，过点的直线分别交，于点，.
图1 图2
（1） 求证：.
（2） 直线是否将平行四边形分成面积相等的两部分？说明理由.
（3） 如图2，张大爷家有一个平行四边形的菜园，园中有一口水井，张大爷计划把菜园平均分成两块，分别种植西红柿和茄子，且使两块地共用这口水井，请帮助张大爷把菜园分开.
请继续完成提升作业《分层精练册》P76—P77
第2讲 特殊的平行四边形
目标领航 构建知识网
考点通关 直击考什么
考点1 特殊平行四边形的性质
图形 矩形 菱形 正方形
边 对边平行且相等 对边平行且四条边都相等 对边平行且四条边都相等
角 四个角都是直角 对角相等 四个角都是直角
对角线 互相平分且①_ _ _ _ （矩形的两条对角线将矩形分成四个面积相等的等腰三角形） 对角线互相②_ _ _ _ 且平分；每条对角线平分一组对角 对角线相等且互相垂直平分； 每条对角线平分一组对角，且把正方形分为四个③_ _ _ _ _ _ _ _ 三角形
对称性 既是轴对称图形，也是中心对称图形；有④_ _ _ _ 条对称轴，对称轴是过对边中点的直线，对称中心为对角线的交点 既是轴对称图形，也是中心对称图形；有⑤_ _ _ _ 条对称轴，对称轴是对角线所在直线，对称中心为对角线的交点 既是轴对称图形，也是中心对称图形；有⑥_ _ _ _ 条对称轴，分别是对角线所在直线和过对边中点的直线，对称中心为对角线的交点
周长 、为矩形的长、宽 为菱形的边长 为正方形的边长
面积 为菱形的高，、分别为菱形两条对角线的长 为正方形对角线的长
考点2 特殊平行四边形的判定
图形 矩形 菱形 正方形
定义 有一个角是直角的平行四边形 有一组⑦_ _ _ _ 相等的平行四边形 一组邻边相等，一个角是直角的平行四边形
边 — 四条边相等的四边形 有一组⑧_ _ _ _ 相等的矩形
角 有三个角是直角的四边形 — 有一个角是直角的菱形
对角线 对角线相等的平行四边形 对角线⑨_ _ _ _ _ _ _ _ 的平行四边形 对角线相等的菱形； 对角线互相⑩_ _ _ _ 的矩形
知识点睛 四边形之间的联系
知识延伸 中点四边形
依次连接任意一个四边形各边的中点所得的四边形叫作中点四边形.由三角形中位线定理可知，任意中点四边形都为平行四边形.
原四边形对角线间的关系 举例 中点四边形
相等 矩形、等腰梯形 菱形
互相垂直 菱形 矩形
互相垂直且相等 正方形 正方形
夯基综合练
1．（1） [北师九上P3例1改编] 如图1，在菱形中，， ，则的长为（ ）
图1
A． B．1 C． D．
（2） 如图2，在矩形中，、、、分别为边、、、的中点，若，，则图中阴影部分的面积为（ ）
图2
A．6 B．8 C．12 D．16
2．下列说法中错误的是（ ）
A．四边相等的四边形为菱形
B．有三个角是直角的四边形是矩形
C．对角线互相垂直平分的四边形是菱形
D．对边相等的矩形是正方形
3．[北师九上P29复习题T20改编] 在平行四边形中,对角线与相交于点,要使四边形是正方形,还需添加一组条件.下面给出了四组条件:,且;,且;,且;,且.其中正确的序号是_ _ _ _ .
命题研究 聚焦怎么考
命题点1 矩形5年3考
炼方法 应用矩形的性质计算的一般思路
1.矩形的一条对角线把矩形分成两个全等的直角三角形，利用勾股定理或锐角三角函数求线段的长度或角的度数.
2.矩形的两条对角线把矩形分成两对全等的等腰三角形，当等腰三角形中有一个角是 时会出现两个全等的等边三角形.
3.若矩形中含有 角，找 角所在的直角三角形，利用直角三角形的性质或锐角三角函数计算.
1．[2024四川泸州]已知四边形是平行四边形，下列条件中，不能判定为矩形的是（ ）
A． B． C． D．
2．[2021河北]如图，等腰中，顶角 ，用尺规按①到④的步骤操作：
①以为圆心，为半径画圆;
②在上任取一点（不与点，重合），连接;
③作的垂直平分线与交于，;
④作的垂直平分线与交于，.
结论Ⅰ：顺次连接，，，四点必能得到矩形；
结论Ⅱ：上只有唯一的点，使得.
对于结论Ⅰ和Ⅱ，下列判断正确的是（ ）
A．Ⅰ和Ⅱ都对 B．Ⅰ和Ⅱ都不对
C．Ⅰ不对Ⅱ对 D．Ⅰ对Ⅱ不对
3．[2025邯郸一模]如图，在矩形中，，，，分别是，的中点，平分，与交于点，则_ _ _ _ _ _ _ _ ．
4．[2025北京]如图,在中,,分别为,的中点,,垂足为,点在的延长线上,.
（1） 求证:四边形是矩形；
（2） 若 ,,,求和的长.
命题点2 菱形5年2考
炼方法 利用菱形的性质求长度、角度的方法
1.求长度：
（1）常利用等腰三角形的性质求解；
（2）若菱形中有一个角为 ，则连接另外两个角的顶点的对角线所分割成的两个三角形为等边三角形；
（3）菱形的两条对角线将其分割成四个全等的直角三角形，可利用直角三角形的性质或三角函数求解.
2.求角度：
（1）利用等腰三角形的性质和平行线的性质转化求角;
（2）可根据菱形的对角线平分一组对角求角度.
5．[2025江苏常州]如图，在菱形中，、是对角线，.若 ，则的长是（ ）
A．4 B．5 C．6 D．10
6．[2017河北]求证：菱形的两条对角线互相垂直.
已知：如图，四边形是菱形，对角线，交于点.
求证：.
以下是排乱的证明过程：
①又，
，即.
四边形是菱形，.
证明步骤正确的顺序是（ ）
A． B．
C． D．
7．[2025邯郸武安模拟]如图，在菱形中，是边上一点，且 ，有下列结论：；是等边三角形；是等腰三角形；.其中结论正确的是_ _ _ _ （填序号）．
命题点3 正方形5年3考
8．[2017河北]边长为的正方形铁片如图所示，过两个顶点剪掉一个三角形，以下四种剪法中，裁剪线长度所标的数据（单位：）不正确的是（ ）
A． B． C． D．
9．[2024邯郸模拟]八年级的数学学习中，有如下问题：如图，平行四边形的对角线，交于点，分别以点，为圆心，，的长为半径画弧，两弧交于点，连接，.请说明当平行四边形的对角线满足什么条件时，四边形是正方形？
嘉嘉说：满足；淇淇说：满足.
请判断以下结论，正确的是（ ）
A．嘉嘉说的对
B．淇淇说的对
C．嘉嘉和淇淇说的合在一起才对
D．无法判断
10．[2025保定竞秀模拟]小明用四根长度相同的木条制作了能够活动的菱形学具，他先把学具摆成如图1所示的菱形，并测得 ，对角线，接着把学具摆成如图2所示的正方形，则图2中正方形对角线的长为_ _ _ _ _ _ ．
11．[2025北京]如图,在正方形中,点在边上,,垂足为.若, ,则的面积为_ _ _ _ _ _ .
命题点4 中点四边形
12．[2024保定模拟]如图所示，在四边形中，、、、分别是、、、的中点，若要使四边形是菱形，则四边形只需要满足一个条件，这个条件可以是（ ）
A． B．
C．对角线 D．
13．[2025邯郸武安模拟]如图，,,,分别为四边形各边的中点，顺次连接,,,，得到四边形，下列描述错误的是（ ）
A．四边形一定是平行四边形
B．当 时，四边形为矩形
C．当时，四边形为菱形
D．当时，四边形为矩形
【参考答案】
第五模块 四边形
第1讲 多边形与平行四边形
考点通关 直击考什么
考点1 多边形的性质
1．；
2．；
夯基对点练
1．八； 1 080
2．
考点2 平行四边形的性质及判定
2．；
3．平行且相等
夯基对点练
3．（1） ②（或）
（2） 50
命题研究 聚焦怎么考
命题点1 多边形的概念及性质5年4考
1．D 2．A 3．B 4．B
5．12
命题点2 平行四边形的性质与判定5年5考
6．D 7．D 8．B 9．C 10．A
11．解：（1） 证明： 四边形是平行四边形，，，
，
又，
，
.
（2）是.理由如下：
四边形是平行四边形，
，，，
，
，
由（1）知，
，
，
直线将平行四边形分成面积相等的两部分.
（3） 连接、交于点，作直线分别交、于点、，如图.
与（2）同理可得，四边形和四边形的面积相等，
则图中把平行四边形菜园平均分成两部分，符合题意.
第2讲 特殊的平行四边形
考点通关 直击考什么
考点1 特殊平行四边形的性质
相等； 垂直； 等腰直角； 2； 2； 4
考点2 特殊平行四边形的判定
邻边； 邻边； 互相垂直； 垂直
夯基综合练
1．（1） D （2）．D
2．D
3．①③④
命题研究 聚焦怎么考
命题点1 矩形5年3考
1．D 2．D
3．
[解析] 矩形中，，，
,
，分别是，的中点，
是的中位线，
,,
,
平分,,
,
,
.
4．解：（1） 证明：，分别为，的中点，
是的中位线，，
，
四边形是平行四边形，
又， ，
四边形是矩形.
（2）， ，
，
是等腰直角三角形，
，
，.
由（1）可知，是的中位线，四边形是矩形，
，， ，
，
，
为的中点，
.
命题点2 菱形5年2考
5．B 6．B
7．①②④
[解析]连接，
四边形是菱形，
，,
,是等边三角形，， ,
，,
， ，，
在与中,
,
，，故①正确;
,
是等边三角形，故②正确;
, ,
又 ,,故④正确;
为钝角，且不一定等于,不一定是等腰三角形，故③错误.
综上所述，结论正确的有①②④.
命题点3 正方形5年3考
8．A 9．C
10．
11．
命题点4 中点四边形
12．D
13．B
[解析]连接，.
，，,分别为四边形各边的中点，
,,,,且,,,,
,,且,
,
四边形为平行四边形，故描述正确;
当 时，,
, ,
平行四边形不是矩形，故描述错误;
当时，, 四边形为菱形，故描述正确;
当时，
由,,易知,
平行四边形为矩形，故描述正确.故选.
第15页/共15页

展开更多......

收起↑