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第十五章 轴对称
第十五章 轴对称
章末复习
1．认识轴对称、轴对称图形，理解轴对称的基本性质及它们的简单应用．
2．掌握线段垂直平分线的概念、性质与判定方法．
3．了解等腰三角形、等边三角形的有关概念，并掌握它们的性质以及判定方法．
4．能根据所学知识解决最短路径问题，进一步感悟化归思想．
生活中的轴对称
轴对称
作对称轴
画轴对称的图形
关于坐标轴对称的点的坐标的关系
等腰三角形
等边三角形
请你带着下面的问题，复习一下全章的内容吧．
1．在现实世界中存在着大量的轴对称现象，你能举出一些例子吗？成轴对称的图形有什么特点？
2．在我们学过的几何图形中，有哪些是轴对称图形？它们的对称轴与这个图形有怎样的位置关系？
3．对于成轴对称的两个图形，对称点所连线段与对称轴有什么关系？如何作出与一个图形成轴对称的图形？
4．在平面直角坐标系中，如果两个图形关于x轴或y轴对称，那么对称点的坐标有什么关系？请举例说明．
5．利用等腰三角形的轴对称性，我们发现了它的哪些性质？你能通过全等三角形加以证明吗？等边三角形作为特殊的等腰三角形，有哪些特殊性质？
1．在现实世界中存在着大量的轴对称现象，你能举出一些例子吗？成轴对称的图形有什么特点？
轴对称的性质
（1）成轴对称的两个图形全等．
（2）成轴对称的两个图形中，连接对称点的线段被对称轴垂直平分．
2．在我们学过的几何图形中，有哪些是轴对称图形？它们的对称轴与这个图形有怎样的位置关系？
轴对称图形的对称轴是其任意一对对称点所连线段的垂直平分线．
3．对于成轴对称的两个图形，对称点所连线段与对称轴有什么关系？如何作出与一个图形成轴对称的图形？
对称点所连线段被对称轴垂直平分．
画轴对称图形的一般步骤
（1）找（在原图上找特殊点）；
（2）画（画各特殊点关于对称轴的对称点）；
（3）连（顺次连接对称点）.
4．在平面直角坐标系中，如果两个图形关于x轴或y轴对称，那么对称点的坐标有什么关系？请举例说明．
点（x，y）关于x轴对称的点的坐标为（x，－y）；
点（x，y）关于y轴对称的点的坐标为（－x，y）．
5．利用等腰三角形的轴对称性，我们发现了它的哪些性质？你能通过全等三角形加以证明吗？等边三角形作为特殊的等腰三角形，有哪些特殊性质？
等腰三角形的性质
等腰三角形的两个底角相等 （简写成 “等边对等角”）；
等腰三角形底边上的中线、高及顶角平分线重合 （简写成 “三线合一”）．
5．利用等腰三角形的轴对称性，我们发现了它的哪些性质？你能通过全等三角形加以证明吗？等边三角形作为特殊的等腰三角形，有哪些特殊性质？
等边三角形的性质
边 角 对称性
三条边都相等 三个内角都相等，并且每一个角都等于 60° 三线合一；
轴对称图形，三条对称轴
5．利用等腰三角形的轴对称性，我们发现了它的哪些性质？你能通过全等三角形加以证明吗？等边三角形作为特殊的等腰三角形，有哪些特殊性质？
在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半．
含30°角的直角三角形的性质
考点一：轴对称图形的识别
例1：下列中华人民共和国全运会会徽图片中，是轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
A
判断一个图形是不是轴对称图形的方法
根据图形的特征，尝试找到一条直线，沿这条直线对折，如果直线两旁的部分能够互相重合，那么就能确定这个图形是轴对称图形；否则，这个图形就不是轴对称图形．
考点一：轴对称图形的识别
考点二：轴对称的性质
例2：如图，和关于直线对称，下列结论中，正确的有（ ）
①；
②；
③直线垂直平分；
④直线平分．
A．①②③ B．②③④ C．①②④ D．①③④
A
成轴对称的两个图形是全等图形，
它们的对应边相等，对应角相等．
考点二：轴对称的性质
考点三：线段的垂直平分线的性质与判定
例3：如图，在中，的垂直平分线交于点M，交于点D，的垂直平分线交于点N，交于点E，与相交于点O，的周长为20．
(1)求的长；
(2)试判断点O是否在边的垂
直平分线上，并说明理由；
(3)若，
则___________．
考点三：线段的垂直平分线的性质与判定
解：（1）垂直平分，
，
同理，
；
（2）点在边的垂直平分线上，
理由：连接，
与是，的垂直平分线，
，
，
点在边的垂直平分线上；
考点三：线段的垂直平分线的性质与判定
（3）垂直平分线段垂直平分线段，
，
，
，
，
，
，
，
故答案为：15．
证明一条直线是某条线段的垂直平分线的条件
（1）存在两点：直线上有两个不同的点．
（2）两对距离相等：两点到线段两个端点的距离分别相等．根据两点确定一条直线，推导出这两个点所在的直线就是这条线段的垂直平分线．
考点三：线段的垂直平分线的性质与判定
考点四：轴对称的相关作图
例4：如图，在边长为1个单位长度的正方形方格图中，的顶点都在格点上．
(1)画出关于直线对称的图形（和为对称点）；
(2)如果以图中的为原点建立直角坐标系，写出点和的坐标．
解：（1）如图所示；
（2）由图可得，．
同一个图形，因对称轴不同会得到不同的对称图形，所以画图时要先确定对称轴，再根据对称轴画出对称图形．
考点四：轴对称的相关作图
考点五：关于坐标轴对称的点的坐标特征
例5：已知点与点关于轴对称，则的值是（ ）
A．1 B． C．2025 D．
B
关于坐标轴对称的点的坐标特征
（1）关于 x 轴对称：横坐标相同，纵坐标互为相反数．
（2）关于 y 轴对称：横坐标互为相反数，纵坐标相同．
考点五：关于坐标轴对称的点的坐标特征
考点六：等腰三角形的性质及判定
例6：如图，在中，，点O为中点，点D在边上，连接．
(1)如图1，若，于点E，求证：；
(2)如图2，已知．若点F在边上，，求的长．
考点六：等腰三角形的性质及判定
证明：（1）∵，
∴，
∵，
∴，
∵点O为中点，
∴，
在和中，
，
∴，
∴；
考点六：等腰三角形的性质及判定
（2）如图2，连接，过点O作于点G，于点H，
则，
∵，点O为中点，
∴，
∴为等腰直角三角形，
∴
∴
，
∴，
∵，
∴，
分两种情况：①点F在线段上时，
在和中，
，
∴，
∴，
∴；
②点F在线段上时，
同理可证：，
∴，
∴；
综上所述，的长为1或3．
考点六：等腰三角形的性质及判定
性质：
（1）等边对等角，它是证明两角相等的常用方法．
（2）三线合一，它可以证明两条线段相等，两个角相等，还可以证明两条线段之间的垂直关系．
判定方法：
定义法、等角对等边、逆用三线合一．
考点六：等腰三角形的性质及判定
考点七：等边三角形
例7：如图，，为正三角形（即三边相等，三个角都为），C，A，D三点共线，与交于点G，与交于点F．
(1)求证：；
(2)求证：；
(3)连结，求证：．
考点七：等边三角形
证明：（1）∵为正三角形，
，
，
在和中
，
，
．
考点七：等边三角形
（2）∵，
，
，
，
，
在和中
，
．
考点七：等边三角形
（3）：∵，
∴，
∴是等边三角形，
，
，
．
性质：
（1）边的性质：三条边长度都相等．
（2）角的性质：三个内角都相等，且每个内角都是 60° ．
（3）三线合一：每条边上的高、中线、所对角的平分线完全重合．
（4）对称性：是轴对称图形，有 3 条对称轴，每条对称轴都是边的垂直平分线．
判定方法：
（1）定义法：三条边都相等的三角形是等边三角形．
（2）三个角都相等的三角形是等边三角形．
（3）有一个角是 60° 的等腰三角形是等边三角形．
考点七：等边三角形
【知识技能类练习】必做题：
1．随着人们健康生活理念的增强，环保意识也不断增强，以下是回收、绿色包装、节水、低碳四个标志，其中是轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
C
【知识技能类练习】必做题：
2．纪信祠位于甘肃天水市，又名天水城隍庙，是省级文物保护单位．如图①是该建筑梁架示意图，其顶部可以看作等腰（如图②），已知，则下列不能说明的是（ ）
A．
B．
C．
D．
C
【知识技能类练习】必做题：
3．如图，在已知的中，按以下步骤作图：
①分别以，为圆心，以大于的长为
半径作弧，两弧相交于两点，；
②作直线交于点，连接．
若，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
D
4．在直角坐标系中，的三个顶点的位置如图所示．
(1)请画出关于y轴对称的（其中，，分别是A，B，C的对应点）；
(2)写出，，三点的坐标：
______，______，___________；
(3)平面内一点关于y轴对称
的点的坐标为_________，点
关于x轴对称的点的坐标为____________.
【知识技能类练习】选做题：
【综合拓展类练习】
5．如图，在中，，，是边上一点，连接交于点，过点作于点交于点．
(1)求证：；
(2)若是中点，连接交于点，判断与的数量关系并证明．
证明：（1）∵，∴，
∵于点，
∴，
∴，
∴；
【综合拓展类练习】
（2），证明如下：如图，
∵，是中点，，
∴，，，
∴，，
∴，
∵于点，∴，∴，
又∵，∴，
在和中，
，
∴，∴．
请同学们总结一下本节课所复习的主要内容
【知识技能类作业】必做题：
1．下列图形中，是轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
C
【知识技能类作业】必做题：
2．如图，将绕点B逆时针旋转得，连接，若，，则 ．
【知识技能类作业】必做题：
3．如图，中，，，点是的中点，过点作交于点，连接．
(1)求证：；
(2)若，求的长．
证明：（1）∵，
∴，
∴，
∵点是的中点，，
∴是的垂直平分线，
【知识技能类作业】必做题：
∴，
∴，
∴，
∴；
（2）∵在中，，
∴，
由（1）得，，
∴．
【知识技能类作业】选做题：
4．如图，在平面直角坐标系中，，，．
(1)画出关于轴对称的，并直接写出点的坐标____________；
(2)在坐标轴上找一点，使与
全等，请直接写出一个符合条件的点的
坐标____________；
(3)点在轴上，且为等腰三角形，
满足条件的点有______个．
4
【综合拓展类作业】
5．如图，的外角的平分线交于点于点于点，下列结论中：
①周长为；
②；
③连接，则垂直平分线段；
④的面积为与的面积和；
⑤．其中正确的有（ ）个
A．1 B．2 C．3 D．4
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同步探究学案
课题 第十五章 轴对称 章末复习 单元 第15章 学科 数学 年级 八年级
学习 目标 1．认识轴对称、轴对称图形，理解轴对称的基本性质及它们的简单应用． 2．掌握线段垂直平分线的概念、性质与判定方法． 3．了解等腰三角形、等边三角形的有关概念，并掌握它们的性质以及判定方法． 4．能根据所学知识解决最短路径问题，进一步感悟化归思想．
重点 构建本章知识体系．
难点 运用轴对称的相关知识解决问题．
探究过程
导入新课 【引入思考】 本章知识结构图
新知探究 本节课来研究： 请你带着下面的问题，复习一下全章的内容吧。 1．在现实世界中存在着大量的轴对称现象，你能举出一些例子吗？成轴对称的图形有什么特点？ 2．在我们学过的几何图形中，有哪些是轴对称图形？它们的对称轴与这个图形有怎样的位置关系？ 3．对于成轴对称的两个图形，对称点所连线段与对称轴有什么关系？如何作出与一个图形成轴对称的图形？ 4．在平面直角坐标系中，如果两个图形关于x轴或y轴对称，那么对称点的坐标有什么关系？请举例说明． 5．利用等腰三角形的轴对称性，我们发现了它的哪些性质？你能通过全等三角形加以证明吗？等边三角形作为特殊的等腰三角形，有哪些特殊性质？ 考点梳理： 考点一：轴对称图形的识别 例1：下列中华人民共和国全运会会徽图片中，是轴对称图形的是（ ） A． B． C． D． 归纳：判断一个图形是不是轴对称图形的方法 根据图形的特征，尝试找到一条直线，沿这条直线对折，如果直线两旁的部分能够互相重合，那么就能确定这个图形是轴对称图形；否则，这个图形就不是轴对称图形． 考点二：轴对称的性质 例2：如图，和关于直线对称，下列结论中，正确的有（ ） ①；②；③直线垂直平分；④直线平分． A．①②③ B．②③④ C．①②④ D．①③④ 归纳：成轴对称的两个图形是全等图形， 它们的对应边相等，对应角相等． 考点三：线段的垂直平分线的性质与判定 例3：如图，在中，的垂直平分线交于点M，交于点D，的垂直平分线交于点N，交于点E，与相交于点O，的周长为20． (1)求的长； (2)试判断点O是否在边的垂直平分线上，并说明理由； (3)若，则___________． 归纳：证明一条直线是某条线段的垂直平分线的条件 （1）存在两点：直线上有两个不同的点． （2）两对距离相等：两点到线段两个端点的距离分别相等．根据两点确定一条直线，推导出这两个点所在的直线就是这条线段的垂直平分线． 考点四：轴对称的相关作图 例4：如图，在边长为1个单位长度的正方形方格图中，的顶点都在格点上． (1)画出关于直线对称的图形（和为对称点）； (2)如果以图中的为原点建立直角坐标系，写出点和的坐标． 归纳：同一个图形，因对称轴不同会得到不同的对称图形，所以画图时要先确定对称轴，再根据对称轴画出对称图形． 考点五：关于坐标轴对称的点的坐标特征 例5：已知点与点关于轴对称，则的值是（ ） A．1 B． C．2025 D． 归纳：关于坐标轴对称的点的坐标特征 （1）关于 x 轴对称：横坐标相同，纵坐标互为相反数． （2）关于 y 轴对称：横坐标互为相反数，纵坐标相同． 考点六：等腰三角形的性质及判定 例6：如图，在中，，点O为中点，点D在边上，连接． (1)如图1，若，于点E，求证：； (2)如图2，已知．若点F在边上，，求的长． 归纳： 性质：（1）等边对等角，它是证明两角相等的常用方法． （2）三线合一，它可以证明两条线段相等，两个角相等，还可以证明两条线段之间的垂直关系． 判定方法：定义法、等角对等边、逆用三线合一． 考点七：等边三角形 例7：如图，，为正三角形（即三边相等，三个角都为），C，A，D三点共线，与交于点G，与交于点F． (1)求证：； (2)求证：； (3)连结，求证：． 归纳：性质： （1）边的性质：三条边长度都相等． （2）角的性质：三个内角都相等，且每个内角都是 60° ． （3）三线合一：每条边上的高、中线、所对角的平分线完全重合． （4）对称性：是轴对称图形，有 3 条对称轴，每条对称轴都是边的垂直平分线． 判定方法： （1）定义法：三条边都相等的三角形是等边三角形． （2）三个角都相等的三角形是等边三角形． （3）有一个角是 60° 的等腰三角形是等边三角形．
课堂练习 【知识技能类练习】 必做题： 1．随着人们健康生活理念的增强，环保意识也不断增强，以下是回收、绿色包装、节水、低碳四个标志，其中是轴对称图形的是（ ） A．B．C．D． 2．纪信祠位于甘肃天水市，又名天水城隍庙，是省级文物保护单位．如图①是该建筑梁架示意图，其顶部可以看作等腰（如图②），已知，则下列不能说明的是（ ） A． B． C．D． 3．如图，在已知的中，按以下步骤作图： ①分别以，为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于两点，； ②作直线交于点，连接． 若，，则的度数为（ ） A． B． C． D． 选做题： 4．在直角坐标系中，的三个顶点的位置如图所示． (1)请画出关于y轴对称的（其中，，分别是A，B，C的对应点）； (2)写出，，三点的坐标：______，______，______； (3)平面内一点关于y轴对称的点的坐标为______，点关于x轴对称的点的坐标为______； 【综合拓展类练习】 5．如图，在中，，，是边上一点，连接交于点，过点作于点交于点． (1)求证：； (2)若是中点，连接交于点，判断与的数量关系并证明．
课堂小结 说一说：今天这节课，你都有哪些收获？
作业设计 【知识技能类作业】 必做题： 1．下列图形中，是轴对称图形的是（ ） A． B． C． D． 2．如图，将绕点B逆时针旋转得，连接，若，，则 ． 3．如图，中，，，点是的中点，过点作交于点，连接． (1)求证：； (2)若，求的长． 选做题： 4．如图，在平面直角坐标系中，，，． (1)画出关于轴对称的，并直接写出点的坐标____________； (2)在坐标轴上找一点，使与全等，请直接写出一个符合条件的点的坐标________________； (3)点在轴上，且为等腰三角形，满足条件的点有______个． 【综合拓展类作业】 5．如图，的外角的平分线交于点于点于点，下列结论中：①周长为；②；③连接，则垂直平分线段；④的面积为与的面积和；⑤．其中正确的有（ ）个 A．1 B．2 C．3 D．4
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分课时教学设计
第十课时《第十五章 轴对称 章末复习》教学设计
课型 新授课口 复习课 试卷讲评课口 其他课口
教学内容分析 本章以“轴对称”为核心主线，整合图形性质、尺规作图、特殊三角形性质及实际应用，是平面几何中图形变换与性质探究的重要内容，既承接平移等图形变换知识，又为后续全等三角形、四边形等内容的学习奠定基础。
学习者分析 学生已初步掌握轴对称、线段垂直平分线、等腰三角形的基础概念与性质，能完成简单的概念辨析、性质计算及尺规作图，但知识体系尚未完全构建，易出现知识点孤立记忆的情况，如将线段垂直平分线性质与等腰三角形“三线合一”割裂，对两者的内在关联理解不足。在综合应用上，学生虽能解决单一知识点的问题，但面对需结合轴对称性质与化归思想的复杂题目（如最短路径变式、等腰三角形综合证明）时，常因思路不连贯、辅助线添加无方向导致解题受阻。此外，部分学生对证明过程的逻辑表达不够规范，需通过复习课梳理知识脉络、强化综合应用训练，提升知识整合与逻辑推理能力。
教学目标 1．认识轴对称、轴对称图形，理解轴对称的基本性质及它们的简单应用． 2．掌握线段垂直平分线的概念、性质与判定方法． 3．了解等腰三角形、等边三角形的有关概念，并掌握它们的性质以及判定方法． 4．能根据所学知识解决最短路径问题，进一步感悟化归思想．
教学重点 构建本章知识体系．
教学难点 运用轴对称的相关知识解决问题．
学习活动设计
教师活动学生活动环节一：学习目标教师活动1： 师出示学习目标： 1．认识轴对称、轴对称图形，理解轴对称的基本性质及它们的简单应用． 2．掌握线段垂直平分线的概念、性质与判定方法． 3．了解等腰三角形、等边三角形的有关概念，并掌握它们的性质以及判定方法． 4．能根据所学知识解决最短路径问题，进一步感悟化归思想．学生活动1： 学生齐声读本课的学习目标活动意图说明： 明确本节课的学习目标，使教师的教和学生的学有效结合在一起，激发学生的学习动力，提高学生课堂参与的兴趣与积极性。环节二：知识框图教师活动2： 出示知识框图 学生活动2： 学生认真听老师的讲本章知识架构活动意图说明： 通过出示本章知识框图，让学生对本章所学内容有明确的了解，为进一步进行知识回顾做好准备环节三：回顾思考教师活动3： 请你带着下面的问题，复习一下全章的内容吧． 1．在现实世界中存在着大量的轴对称现象，你能举出一些例子吗？成轴对称的图形有什么特点？ 预设：轴对称的性质 （1）成轴对称的两个图形全等． （2）成轴对称的两个图形中，连接对称点的线段被对称轴垂直平分． 2．在我们学过的几何图形中，有哪些是轴对称图形？它们的对称轴与这个图形有怎样的位置关系？ 预设： 轴对称图形的对称轴是其任意一对对称点所连线段的垂直平分线． 3．对于成轴对称的两个图形，对称点所连线段与对称轴有什么关系？如何作出与一个图形成轴对称的图形？ 预设：对称点所连线段被对称轴垂直平分． 画轴对称图形的一般步骤 （1）找（在原图上找特殊点）； （2）画（画各特殊点关于对称轴的对称点）； （3）连（顺次连接对称点）. 4．在平面直角坐标系中，如果两个图形关于x轴或y轴对称，那么对称点的坐标有什么关系？请举例说明． 预设：点（x，y）关于x轴对称的点的坐标为（x，－y）； 点（x，y）关于y轴对称的点的坐标为（－x，y）． 5．利用等腰三角形的轴对称性，我们发现了它的哪些性质？你能通过全等三角形加以证明吗？等边三角形作为特殊的等腰三角形，有哪些特殊性质？ 预设：等腰三角形的性质 等腰三角形的两个底角相等 （简写成 “等边对等角”）； 等腰三角形底边上的中线、高及顶角平分线重合 （简写成 “三线合一”）． 等边三角形的性质边角对称性三条边都相等三个内角都相等，并且每一个角都等于 60°三线合一； 轴对称图形，三条对称轴
含30°角的直角三角形的性质 在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半．学生活动3： 学生先独立思考，然后在小组合作探究中完成老师提出的问题活动意图说明： 以问题串的形式创设情境，引起学生的认知冲突，使学生对旧知识设疑并回顾，从而激发学生的学习兴趣和求知欲望环节四：考点梳理教师活动4： 考点一：轴对称图形的识别 例1：下列中华人民共和国全运会会徽图片中，是轴对称图形的是（ ） A． B． C． D． 答案：A 归纳：判断一个图形是不是轴对称图形的方法 根据图形的特征，尝试找到一条直线，沿这条直线对折，如果直线两旁的部分能够互相重合，那么就能确定这个图形是轴对称图形；否则，这个图形就不是轴对称图形． 考点二：轴对称的性质 例2：如图，和关于直线对称，下列结论中，正确的有（ ） ①；②；③直线垂直平分；④直线平分． A．①②③ B．②③④ C．①②④ D．①③④ 答案：A 归纳：成轴对称的两个图形是全等图形， 它们的对应边相等，对应角相等． 考点三：线段的垂直平分线的性质与判定 例3：如图，在中，的垂直平分线交于点M，交于点D，的垂直平分线交于点N，交于点E，与相交于点O，的周长为20． (1)求的长； (2)试判断点O是否在边的垂直平分线上，并说明理由； (3)若，则___________． 解：（1）垂直平分， ， 同理， ； （2）点在边的垂直平分线上， 理由：连接， 与是，的垂直平分线， ， ， 点在边的垂直平分线上； （3）垂直平分线段垂直平分线段， ， ， ， ， ， ， ， 故答案为：15． 归纳：证明一条直线是某条线段的垂直平分线的条件 （1）存在两点：直线上有两个不同的点． （2）两对距离相等：两点到线段两个端点的距离分别相等．根据两点确定一条直线，推导出这两个点所在的直线就是这条线段的垂直平分线． 考点四：轴对称的相关作图 例4：如图，在边长为1个单位长度的正方形方格图中，的顶点都在格点上． (1)画出关于直线对称的图形（和为对称点）； (2)如果以图中的为原点建立直角坐标系，写出点和的坐标． 解：（1）如图所示； （2）由图可得，． 归纳：同一个图形，因对称轴不同会得到不同的对称图形，所以画图时要先确定对称轴，再根据对称轴画出对称图形． 考点五：关于坐标轴对称的点的坐标特征 例5：已知点与点关于轴对称，则的值是（ ） A．1 B． C．2025 D． 答案：B 解：∵点与点关于轴对称， ∴，， ∴，， 解得，, ∴， 故选：B． 归纳：关于坐标轴对称的点的坐标特征 （1）关于 x 轴对称：横坐标相同，纵坐标互为相反数． （2）关于 y 轴对称：横坐标互为相反数，纵坐标相同． 考点六：等腰三角形的性质及判定 例6：如图，在中，，点O为中点，点D在边上，连接． (1)如图1，若，于点E，求证：； (2)如图2，已知．若点F在边上，，求的长． 证明：（1）∵， ∴， ∵， ∴， ∵点O为中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； （2）如图2，连接，过点O作于点G，于点H， 则， ∵，点O为中点， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴ ∴， ∴， ∵， ∴， 分两种情况： ①点F在线段上时， 在和中， ， ∴， ∴， ∴； ②点F在线段上时， 同理可证：， ∴， ∴； 综上所述，的长为1或3． 归纳：性质： （1）等边对等角，它是证明两角相等的常用方法． （2）三线合一，它可以证明两条线段相等，两个角相等，还可以证明两条线段之间的垂直关系． 判定方法： 定义法、等角对等边、逆用三线合一． 考点七：等边三角形 例7：如图，，为正三角形（即三边相等，三个角都为），C，A，D三点共线，与交于点G，与交于点F． (1)求证：； (2)求证：； (3)连结，求证：． 证明：（1）∵为正三角形， ， ， 在和中 ， ， ． （2）∵， ， ， ， ， 在和中 ， ． （3）：∵， ∴， ∴是等边三角形， ， ， ． 归纳：性质： （1）边的性质：三条边长度都相等． （2）角的性质：三个内角都相等，且每个内角都是 60° ． （3）三线合一：每条边上的高、中线、所对角的平分线完全重合． （4）对称性：是轴对称图形，有 3 条对称轴，每条对称轴都是边的垂直平分线． 判定方法： （1）定义法：三条边都相等的三角形是等边三角形． （2）三个角都相等的三角形是等边三角形． （3）有一个角是 60° 的等腰三角形是等边三角形．学生活动4： 学生先独立完成例题，然后小组合作交流，并派代表班内汇报交流活动意图说明： 通过例题，考查查学生对应用对顶角、邻补角、垂线、平移、综合运用平行线的判定与性质进行证明和计算、添加辅助线等知识的掌握情况，提高学生综合运用知识解决相关问题能力．环节五：课堂小结教师活动5： 问题：请同学们总结一下本节课所复习的主要内容？ 教师通过学生的回答，进行归纳学生活动5： 学生积极对本节课所复习的内容进行总结活动意图说明： 通过学生自己回顾、总结、梳理所复习的知识，将所学的知识进一步整合，完善本章知识体系。
板书设计 课题：第十五章 轴对称 章末复习一、知识框图 二、考点梳理 1. 考点一：轴对称图形的识别 2. 考点二：轴对称的性质 3. 考点三：线段的垂直平分线的性质与判定 4. 考点四：轴对称的相关作图 5. 考点五：关于坐标轴对称的点的坐标特征 6. 考点六：等腰三角形的性质及判定 7. 考点七：等边三角形教师板演区学生展示区
课堂练习 【知识技能类练习】 必做题： 1．随着人们健康生活理念的增强，环保意识也不断增强，以下是回收、绿色包装、节水、低碳四个标志，其中是轴对称图形的是（ ） A．B．C．D． 答案：C 2．纪信祠位于甘肃天水市，又名天水城隍庙，是省级文物保护单位．如图①是该建筑梁架示意图，其顶部可以看作等腰（如图②），已知，则下列不能说明的是（ ） A． B． C．D． 答案：C 3．如图，在已知的中，按以下步骤作图： ①分别以，为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于两点，； ②作直线交于点，连接． 若，，则的度数为（ ） A． B． C． D． 答案：D 选做题： 4．在直角坐标系中，的三个顶点的位置如图所示． (1)请画出关于y轴对称的（其中，，分别是A，B，C的对应点）； (2)写出，，三点的坐标：______，______，______； (3)平面内一点关于y轴对称的点的坐标为______，点关于x轴对称的点的坐标为______； 解：（1）如图，即为所求； （2）由图可知：； （3）由题意，点关于y轴对称的点的坐标为，关于x轴对称的点的坐标为． 【综合拓展类练习】 5．如图，在中，，，是边上一点，连接交于点，过点作于点交于点． (1)求证：； (2)若是中点，连接交于点，判断与的数量关系并证明． 证明：（1）∵， ∴， ∵于点， ∴， ∴， ∴； （2），证明如下： 如图， ∵，是中点，， ∴，，， ∴，， ∴， ∵于点， ∴， ∴， 又∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴．
作业设计 【知识技能类作业】 必做题： 1．下列图形中，是轴对称图形的是（ ） A． B． C． D． 答案：C 2．如图，将绕点B逆时针旋转得，连接，若，，则 ． 答案：/ 3．如图，中，，，点是的中点，过点作交于点，连接． (1)求证：； (2)若，求的长． 证明：（1）∵， ∴， ∴， ∵点是的中点，， ∴是的垂直平分线， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）∵在中，， ∴， 由（1）得，， ∴． 选做题： 4．如图，在平面直角坐标系中，，，． (1)画出关于轴对称的，并直接写出点的坐标____________； (2)在坐标轴上找一点，使与全等，请直接写出一个符合条件的点的坐标________________； (3)点在轴上，且为等腰三角形，满足条件的点有______个． 解：（1）即为所求作， ； 故答案为：； （2）如下图，， ， ， 故答案为：； （3）如下图： 当为底边时，作垂直平分线交y轴于点； 以C为圆心，为半径作弧，交y轴于点， 以A为圆心，为半径作弧，交y轴于点，但与点A、C在同一直线上，不存在，故舍去； ∴满足条件的点有4个， 故答案为：4． 【综合拓展类作业】 5．如图，的外角的平分线交于点于点于点，下列结论中：①周长为；②；③连接，则垂直平分线段；④的面积为与的面积和；⑤．其中正确的有（ ）个 A．1 B．2 C．3 D．4 答案：D
教学反思 本次复习课通过回顾思考、考点梳理与课堂小结帮助学生梳理知识体系，完成基础题与中档题。但仍存在不足：一是对学困生关注不足，部分学生在解题中仍难理解转化思想；二是知识整合深度不够，少数学生未完全打通线段垂直平分线与等腰三角形的关联。后续需优化分层任务设计，增加一对一指导，同时通过“一题多解”深化知识联结，提升复习实效。
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