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2025秋季初三数学同步讲义13-直角三角形边角关系
【基础巩固】
1、三角函数的定义
2、特殊角三角函数值
3、三角函数在几何计算小题中的应用
4、三角函数实际应用大题
【精准突破】
一．锐角三角函数的定义
例1．（基本定义）如图，在中，，，垂足为．给出下列四个结论：①；②；③；④．其中正确的结论有 ．
例2．（网格三角形）（1）如图，△的顶点是正方形网格的格点，则的值为（ ）
A． B． C． D．
（2）（需要做平行线）在如图所示的网格中，小正方形的边长为1，点A、B、C、D都在格点上，与相交于点，则的正切值是（　　）
A．2 B． C． D．
例3．如图，已知，，，，则的长是（ ）
A． B． C． D．
【实战演练】
1．如图，将放在每个小正方形的边长为1的网格中，点A，B，C均在格点上，则的值是（ ）
B． C．2 D．
2．如图，在边长相同的小正方形组成的网格中，点、、、都在这些小正方形的顶点上，、相交于点．则的值是（）

A．0.5 B． C．2 D．
3．如图，点，，都是正方形网格的格点，连接，，则的正弦值为（ ）
A． B． C． D．2
4．如图，在中，是的中点，过点作的垂线交于点，则为（ ）
A． B．10 C． D．15
二．特殊角的三角函数值的计算
例1．如果的、满足，那么的度数是（ ）
A． B． C． D．
【实战演练】
1．计算： ．
三．三角函数在几何计算小题中的应用
例1．（结合反比例函数）如图，点是坐标原点，矩形的顶点在反比例函数的图象上，反比例函数的图象经过点，当时，则的值为（ ）
A． B． C． D．
例2．（常规结合几何计算）如图，在中，，D是边上一点，且
(1)试求的值；
(2)试求的面积．
例3．（小题：结合相似、勾股定理方程、最值问题等）如图1，将正方形纸片对折，使与重合，折痕为．如图2，展开后再折叠一次，使点与点重合，折痕为，点的对应点为点，交于点，则 ．

【实战演练】
1．如图，矩形的顶点在反比例函数（）的图象上，顶点、在第一象限，对角线轴，交轴于点．若矩形的面积是，，则 ．
2．如图，该图形是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形．如果大正方形的面积为25，小正方形的面积为1，那么的值为（ ）
A． B． C．4 D．
3．第二十四届国际数学家大会会徽的设计基础是1700多年前中国古代数学家赵爽的“弦图”．如图，在由四个全等的直角三角形(，，，)和中间一个小正方形拼成的大正方形中，，连接．设，，若正方形与正方形的面积之比为，，则（ ）

A． B． C． D．
4．勾股定理的证明方法丰富多样，其中我国古代数学家赵爽利用“弦图”的证明简明、直观，是世界公认最巧妙的方法．“赵爽弦图”已成为我国古代数学成就的一个重要标志，千百年来倍受人们的喜爱，小亮在如图所示的“赵爽弦图”中，连接，．若正方形与的边长之比为，则等于 ．
5．图1是扳手和六角螺母的实物图，图2是它们的示意图，，，，，六边形为正六边形，若，则螺母对角线的长度为（ ）
A． B． C． D．
6．如图所示，在矩形中，，点分别在边上．连接，将四边形沿翻折，点分别落在点处．则的值是 ．
四．解直角三角形（小题）
例1．如图所示是一个左右两侧不等长的跷跷板，跷板长为4米，支柱垂直地面．如图①，当的一端接触地面时，与地面的夹角的正弦值为；如图②，当的另一端接触地面时，与地面的夹角的正弦值为，则支柱的长为（ ）
A．米 B．米 C．米 D．米
例2．如图，某数学兴趣小组决定测量建筑物的高度．他们首先在点B处测得建筑物最高点A的仰角为，然后沿方向前进12米到达C处，又测得点A的仰角为．请你计算建筑物的高度约为 米．(结果精确到1米，参考数据)
【实战演练】
1．如图，一艘轮船位于灯塔的南偏东方向，距离灯塔45海里的处，它沿北偏东方向航行一段时间后，到达位于灯塔的北偏东方向上的处，此时与灯塔的距离约为 海里．（参考数据：，，
五．解直角三角形的应用
例1．（不需要设x）图1是某款篮球架，图2是其示意图，立柱垂直地面，支架与交于点A，支架交于点G，支架平行地面，篮筐EF与支架在同一直线上，米，米，米，．
(1)求支架的长（精确到0.01）；
(2)某运动员准备给篮筐挂上篮网，如果他站在凳子上，最高可以把篮网挂到离地面3米处，那么他能挂上篮网吗？请通过计算说明理由．
（参考数据：，，）
例2．（需要设x）如图，斜坡的坡度为，坡顶B到水平地面（）的距离为3米，在B处、C处分别测得顶部点E的仰角为和，点A、C、D在一直线上，求的高度（精确到1米）．（参考数据：，，，，，）
例3．（不难，但是需要仔细审题）如图是小明洗漱时的侧面示意图，洗漱台（矩形）靠墙摆放，高，宽，小明身高，下半身，洗漱时下半身与地面的夹角为，上半身前倾与水平面的夹角为，脚与洗漱台距离（点D，C，G，K在同一直线上）．小明希望他的头部E恰好在洗漱盆的中点O的正上方，他应向前或后退多少cm？（，，，结果精确到）
例4．（参考数据中的角度在题干中未知）小明周末来到了美丽的青岛游玩，去感受了一下石老人海水浴场的魅力．当日正值阳光明媚，天气炎热，小明准备在遮阳伞下乘凉休息，如图所示，伞柄与地面垂直，米，伞骨米，伞骨与伞柄的夹角为80°，有一高度为的小桌子（），外端到伞柄的距离为1米，已知此时太阳高度角为53°（太阳高度角为太阳光线与水平线的夹角），请你判断此时小桌子的桌面能否被太阳光照射到？若能照射到，则至少将小桌子向伞柄移动多长才能不被太阳光照射到？
（参考数据：，，，，，）
【实战演练】
1．某数学兴趣小组为了测量旗杆的高度，首先在地平线处，用高为1米的测角仪器（测角仪器与地平面垂直），测得从处看旗杆顶端A的仰角是，然后，向右离点2米处有一个坡度是的斜坡，沿着斜坡走2.5米到达处，然后，又用1米高的测角仪器（与地平面垂直），测得从看旗杆顶端的仰角是．请问：旗杆多高？（结果保留整数，参考数据： ）
2．图是一台工业用机械臂的示意图，部分固定不变，部分可以旋转，为铅垂吊绳，表示水平地面，于，且，，．将绕点向下旋转，使得落在的位置(如图3)，此时，，，求点到水平地面的距离．(参考数据：，结果精确到)
3．年春晚名为《秧》的舞蹈，机器人们以精准的动作和热情的表演让观众体验到了传统文化与现代科技完美的跨界融合．机器人为了完美的转动手绢，表演时需要和舞者保持一定的间距．图是其侧面示意图，胳膊与机器人身体的夹角，胳膊，，旋转的手绢近似圆形，半径，与手臂保持垂直．肘关节与手绢旋转点之间的水平宽度为（即的长度）．
(1)求的度数；
(2)机器人跳舞时规定手绢端点与舞者安全距离范围为．在图2中，机器人与舞者之间距离为．问此时手绢端点与舞者距离是否在规定范围内？并说明理由．（结果保留小数点后一位，参考数据：）
4．学校正推进“智慧校园”建设，如图，分别为学生公寓、训练广场、学校大门、图书馆，点在点的南偏东方向，点在点的西北方向，点，在点的正南方向，长为120米．
(1)求学生公寓到图书馆的距离；（结果精确到0.1米）
(2)为了进一步推进“智慧校园”建设，学校需要进一步优化校园网络，技术人员准备在中选择一个地址部署一台核心交换机并为这台核心交换机铺设专用光纤．已知在的南偏西方向，若在地址部署核心交换机，需铺设与两条路线的光纤并在地址再部署一台价值400元的微型交换机（防止之间出现拥堵）；若在地址部署核心交换机，需铺设这3条路线的光纤，不需要再部署微型交换机．已知光纤铺设费用为3元/米，请从费用成本最小的角度说明技术人员应该选择在哪里部署核心交换机？（忽略其他费用，参考数据：）
5．为了保护视力，某人购买了可升降夹书阅读架（图①），将其放置在水平桌面上的侧面示意图（图②），测得底座高为，，支架为，面板长为，为．（厚度忽略不计）
(1)求支点C离桌面的高度；（结果保留根号）
(2)通过查阅资料，当面板绕点C转动时，面板与桌面的夹角满足时，能保护视力．当从变化到的过程中，问面板上端E离桌面的高度是增加了还是减少了？增加或减少了多少？（精确到，参考数据：，，）
6．某学校为了抓好常态化疫情防控，购进了一批测温仪，如图，测温仪的长，测温距离是，，当测温仪与竖直方向的夹角时，测温仪能够测量的最大高度与最小高度的差值是多少？（参考数据：，，）
7．小强家想在青岛某小区买一套房子，要求每天至少有个小时的满窗日照（图1为满窗日照，图2为非满窗日照），小强先查阅了相关资料，得到如下信息：
信息1：北半球冬至日太阳高度角（太阳光线与水平线的夹角）最小，若这一天的和这个时刻能有满窗日照，则整年每天都至少有个小时的满窗日照；
信息2：如图3，该小区每座楼均为层，每层楼高米且装有落地窗，小区冬至日和的太阳高度角均为．
某日小强到该小区进行实地勘测，他在楼看房时恰好阳光开始射入屋内（太阳光线射在楼窗户的上边缘），此时太阳高度角．
(1)_____米；
(2)小强家要在该小区买房，至少买几楼才能达到要求？
（参考数据：，，，，，）
2025秋季初三数学同步讲义13-直角三角形边角关系
【基础巩固】
1、三角函数的定义
2、特殊角三角函数值
3、三角函数在几何计算小题中的应用
4、三角函数实际应用大题
【精准突破】
一．锐角三角函数的定义
例1．（基本定义）如图，在中，，，垂足为．给出下列四个结论：①；②；③；④．其中正确的结论有 ．
【答案】①②③④
【分析】本题主要考查锐角三角函数，解题的关键是熟练掌握互余两角的三角函数间的关系．
根据，，可得，，再利用锐角三角函数的定义可列式进行逐项判断．
【详解】解：，，
，，，
，，
，故①正确；
，故②正确；
在中，，
，故③正确；
，，
，故④正确；
故答案为①②③④．
例2．（网格三角形）（1）如图，△的顶点是正方形网格的格点，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了网络作图．熟练掌握勾股定理，勾股定理的逆定理，正弦定义，是解题的关键
．取点D，连接，根据，得，得是直角三角形，，即得．
【详解】解：取点D连接，
∵，
∴，
∴是直角三角形，，
∴．
故选：B．
（2）（需要做平行线）在如图所示的网格中，小正方形的边长为1，点A、B、C、D都在格点上，与相交于点，则的正切值是（　　）
A．2 B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查解直角三角形，如图，取格点K，连接，．观察图形可知，，，推出，解直角三角形求出即可．
【详解】解：如图，取格点K，连接，，则，
观察图形可得：，，，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
故选：B．
例3．如图，已知，，，，则的长是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】解：在中，，
∴，
，
，
，
故选：A．
【实战演练】
1．如图，将放在每个小正方形的边长为1的网格中，点A，B，C均在格点上，则的值是（ ）
A． B． C．2 D．
【答案】D
【分析】本题主要考查了解直角三角形，
先根据勾股定理逆定理说明，再根据可得答案.
【详解】解：如图所示，连接，
根据题意可知，
∴，
∴.
在中，.
故选：D.
2．如图，在边长相同的小正方形组成的网格中，点、、、都在这些小正方形的顶点上，、相交于点．则的值是（）

A．0.5 B． C．2 D．
【答案】B
【分析】本题考查了解直角三角形，勾股定理逆定理，正方形的性质等知识，连接，先利用勾股定理的逆定理证明是直角三角形，从而可得，然后在中，利用锐角三角函数的定义求出的值，再根据题意可得，从而可得，即可解答，掌握相关知识是解题的关键．
【详解】解：如图，连接，

设小正方形的边长为，
由题意得：
∴是直角三角形，
∴，
在中，，
，
由题意得：，
∴，
故选：B．
3．如图，点，，都是正方形网格的格点，连接，，则的正弦值为（ ）
A． B． C． D．2
【答案】B
【分析】本题考查网格中求三角函数值，三角函数定义，勾股定理及其逆定理，连接，设小正方形边长为1，求出，，，即可证明是直角三角形，问题随之得解，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
【详解】解：连接，
设小正方形边长为1，
，，，
，
是直角三角形，
，
在中，，，
，
故选：B．
4．如图，在中，是的中点，过点作的垂线交于点，则为（ ）
A． B．10 C． D．15
【答案】A
【详解】解：，，
，
∵是直角三角形，
，
是的中点，
，
，，
，
，
，
．
故选：A．
二．特殊角的三角函数值的计算
例1．如果的、满足，那么的度数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】解：∵，
∴，，
∴，，
∵、是的内角，
∴，，
由三角形内角和定理，得，
故选：D．
【实战演练】
1．计算： ．
【答案】1
根据代入计算即可．
【详解】解：原式．
故答案为：1．
三．三角函数在几何计算小题中的应用
例1．（结合反比例函数）如图，点是坐标原点，矩形的顶点在反比例函数的图象上，反比例函数的图象经过点，当时，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】解：∵四边形为矩形，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
过A、B作轴于E，轴于F，如图：
∵，且，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵反比例函数在第二象限，
∴，
∴，
故选：D．
例2．（常规结合几何计算）如图，在中，，D是边上一点，且
(1)试求的值；
(2)试求的面积．
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）解：作 ，垂足为 ，
∵ ，
∴
在 中，
∴；
（2）解：作，垂足为，
在中，，令，，
则，
又在中，，
则，
于是 ，即，
解得，
∴．
例3．（小题：结合相似、勾股定理方程、最值问题等）如图1，将正方形纸片对折，使与重合，折痕为．如图2，展开后再折叠一次，使点与点重合，折痕为，点的对应点为点，交于点，则 ．
【答案】/0.6
【详解】解：由折叠可得：，，，
设正方形的边长为，，则，，
在中，由勾股定理得：，即，
，
，
，，
，，
，
，
故答案为：．
【实战演练】
1．如图，矩形的顶点在反比例函数（）的图象上，顶点、在第一象限，对角线轴，交轴于点．若矩形的面积是，，则 ．
【答案】
【详解】解：∵四边形是矩形，
∴，
∵，
∴设，对角线轴，交轴于点，
∴，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∵矩形的面积是，即，
解得，，
∴，
故答案为： ．
2．如图，该图形是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形．如果大正方形的面积为25，小正方形的面积为1，那么的值为（ ）
A． B． C．4 D．
【答案】A
【详解】解：根据题意，大正方形边长为，小正方形的边长为1，
∴三角形的面积为：，
设三角形两直角边为、，则：．
根据勾股定理得：，
联立解得，（负值舍去）
∴．
故选：A．
3．第二十四届国际数学家大会会徽的设计基础是1700多年前中国古代数学家赵爽的“弦图”．如图，在由四个全等的直角三角形(，，，)和中间一个小正方形拼成的大正方形中，，连接．设，，若正方形与正方形的面积之比为，，则（ ）

A． B． C． D．
【答案】D
【详解】解：如图，设，，则，，
，，，
，
，
，
，，
，
，
，
故选：．
4．勾股定理的证明方法丰富多样，其中我国古代数学家赵爽利用“弦图”的证明简明、直观，是世界公认最巧妙的方法．“赵爽弦图”已成为我国古代数学成就的一个重要标志，千百年来倍受人们的喜爱，小亮在如图所示的“赵爽弦图”中，连接，．若正方形与的边长之比为，则等于 ．
【答案】
【详解】解：如图，过点作交延长线于点，
由“弦图”的性质可得，两个正方形之间是4个全等的直角三角形，
，，
正方形与的边长之比为，
设正方形的边长为，则正方形的边长为，
设，，
由“弦图”可得，
解得：或（舍去），
，，
，，
，
是等腰直角三角形，，，
，
又，
是等腰直角三角形，
，
，
在中，，
．
故答案为：．
5．图1是扳手和六角螺母的实物图，图2是它们的示意图，，，，，六边形为正六边形，若，则螺母对角线的长度为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】解：连接，，
∵，
∴四边形是平行四边形，
∴，
又∵，
∴，
∵六边形是正六边形，
∴，
∴四边形是矩形，
∴，
在中，，，
∵，即，
∴．
故选：A．
6．如图所示，在矩形中，，点分别在边上．连接，将四边形沿翻折，点分别落在点处．则的值是 ．
【答案】2
【详解】解：连接交于点F，
设，则，
∵四边形是矩形，
∴，
∴
∵将四边形沿翻折，点分别落在点处，
∴点C与点A关于直线对称，
∴，垂直平分，
∴，，
，
∵，
∴，
，
∴
∴
故答案为：2．
四．解直角三角形（小题）
例1．如图所示是一个左右两侧不等长的跷跷板，跷板长为4米，支柱垂直地面．如图①，当的一端接触地面时，与地面的夹角的正弦值为；如图②，当的另一端接触地面时，与地面的夹角的正弦值为，则支柱的长为（ ）
A．米 B．米 C．米 D．米
【答案】C
【分析】本题考查了三角函数的应用．
根据正弦值得到，，进而根据跷跷板长为4米，计算即可．
【详解】解：在中，，
，
同理可得：，
米，
，
解得：米，
故选：C．
例2．如图，某数学兴趣小组决定测量建筑物的高度．他们首先在点B处测得建筑物最高点A的仰角为，然后沿方向前进12米到达C处，又测得点A的仰角为．请你计算建筑物的高度约为 米．(结果精确到1米，参考数据)
【答案】16
【详解】解：由题意得：，米，
设米，
米，
在中，，
米，
在中，，
（米，
，
解得：，
（米，
建筑物的高度约为16米，
故答案为：16．
【实战演练】
1．如图，一艘轮船位于灯塔的南偏东方向，距离灯塔45海里的处，它沿北偏东方向航行一段时间后，到达位于灯塔的北偏东方向上的处，此时与灯塔的距离约为 海里．（参考数据：，，
【答案】75
【详解】解：如图所示标注字母，
根据题意得，，，海里，
，，
，
在中，，
（海里），
即：此时与灯塔的距离约为75海里．
故答案为：75．
五．解直角三角形的应用
例1．（不需要设x）图1是某款篮球架，图2是其示意图，立柱垂直地面，支架与交于点A，支架交于点G，支架平行地面，篮筐EF与支架在同一直线上，米，米，米，．
(1)求支架的长（精确到0.01）；
(2)某运动员准备给篮筐挂上篮网，如果他站在凳子上，最高可以把篮网挂到离地面3米处，那么他能挂上篮网吗？请通过计算说明理由．
（参考数据：，，）
【答案】(1)0.65米
(2)该运动员能挂上篮网，理由见解析
【详解】（1）解：∵，，
∴，
∵，，
∴，
∴，
答：支架的长0.65米；
（2）解：能，理由如下：
如图，延长，交点为，
由题意知，（米），
∴（米），
∵，
∴能．
例2．（需要设x）如图，斜坡的坡度为，坡顶B到水平地面（）的距离为3米，在B处、C处分别测得顶部点E的仰角为和，点A、C、D在一直线上，求的高度（精确到1米）．（参考数据：，，，，，）
【答案】高度是18米
【详解】解：过点作，垂足为，如下图所示：
∵，
∴四边形为矩形，
∴，
设米，
在中，，
∴，代入，
∴米，
∵斜坡的坡度为，坡顶到水平地面的距离米，
∴，代入，
∴，
且米，
在中，，
∴，代入数据：，
∴米，
∵
∴，
解得，
∴米，
∴(米)，
∴的高度是18米．
例3．（不难，但是需要仔细审题）如图是小明洗漱时的侧面示意图，洗漱台（矩形）靠墙摆放，高，宽，小明身高，下半身，洗漱时下半身与地面的夹角为，上半身前倾与水平面的夹角为，脚与洗漱台距离（点D，C，G，K在同一直线上）．小明希望他的头部E恰好在洗漱盆的中点O的正上方，他应向前或后退多少cm？（，，，结果精确到）
【答案】他应该向前10.5cm
【详解】过点F作于N，过点E作于Q，过点E作于点P，延长交于点H，
∵，O为的中点，
∴，
∵小明上半身前倾与水平面的夹角为且，
∴，是直角三角形，
∴，
∵小明身高，下半身，
∴，
∵，
∴，
∵，，，
∴，
∴四边形为矩形，
∴，
同理可证四边形为矩形，
在中，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
答：他应该向前10.5cm．
例4．（参考数据中的角度在题干中未知）小明周末来到了美丽的青岛游玩，去感受了一下石老人海水浴场的魅力．当日正值阳光明媚，天气炎热，小明准备在遮阳伞下乘凉休息，如图所示，伞柄与地面垂直，米，伞骨米，伞骨与伞柄的夹角为80°，有一高度为的小桌子（），外端到伞柄的距离为1米，已知此时太阳高度角为53°（太阳高度角为太阳光线与水平线的夹角），请你判断此时小桌子的桌面能否被太阳光照射到？若能照射到，则至少将小桌子向伞柄移动多长才能不被太阳光照射到？
（参考数据：，，，，，）
【答案】小桌子至少向伞柄的方向移动，才能不被阳光照射到．
【详解】解：设过点作的延长线于点，延长交于点，
设过点的光线交于点，与交于点，
由题意，，，，，
，
四边形为矩形，
同理，四边形为矩形，
，，，
在中，，，，，
，，
，，
在中，，，，
，
到伞柄的距离为，
阳光能照射到桌面
小桌子至少向伞柄的方向移动，才能不被阳光照射到．
【实战演练】
1．某数学兴趣小组为了测量旗杆的高度，首先在地平线处，用高为1米的测角仪器（测角仪器与地平面垂直），测得从处看旗杆顶端A的仰角是，然后，向右离点2米处有一个坡度是的斜坡，沿着斜坡走2.5米到达处，然后，又用1米高的测角仪器（与地平面垂直），测得从看旗杆顶端的仰角是．请问：旗杆多高？（结果保留整数，参考数据： ）
【答案】15米
【详解】解：作、、，垂足分别为M、N、H，
∵，
∴三点共线，
∵，
∴四边形是矩形，
同理四边形也是矩形，
，
∵斜坡坡比为，
，
设，则，
∴，，
∴，，
设，
则，
，，
∵，
，
解得，
∴，
∴旗杆高度为15米．
2．图是一台工业用机械臂的示意图，部分固定不变，部分可以旋转，为铅垂吊绳，表示水平地面，于，且，，．将绕点向下旋转，使得落在的位置(如图3)，此时，，，求点到水平地面的距离．(参考数据：，结果精确到)
【答案】点到水平地面的距离约为
【详解】解：如图：过点作，垂足，过点作，垂足为，延长交于点，
由题意得：，，，，，
，
，
，
设，
，
，
在中，，
，
在中，，
，
，
，
解得：，
，
，
点到水平地面的距离约为．
3．年春晚名为《秧》的舞蹈，机器人们以精准的动作和热情的表演让观众体验到了传统文化与现代科技完美的跨界融合．机器人为了完美的转动手绢，表演时需要和舞者保持一定的间距．图是其侧面示意图，胳膊与机器人身体的夹角，胳膊，，旋转的手绢近似圆形，半径，与手臂保持垂直．肘关节与手绢旋转点之间的水平宽度为（即的长度）．
(1)求的度数；
(2)机器人跳舞时规定手绢端点与舞者安全距离范围为．在图2中，机器人与舞者之间距离为．问此时手绢端点与舞者距离是否在规定范围内？并说明理由．（结果保留小数点后一位，参考数据：）
【答案】(1)度
(2)此时手绢端点与舞者距离在规定范围内，见解析
【详解】（1）解：∵，，
∴，
在中，，
∴，
∴；
（2）解：在规定范围内，理由如下：
过点作于，则，
∵，
∴，
∵，
∴
∴，
∴在中，，
∵在中，，，
∴，
∴此时手绢端点与舞者距离为，
∵机器人跳舞时规定手绢端点与舞者安全距离范围为，
∴此时手绢端点与舞者距离在规定范围内．
4．学校正推进“智慧校园”建设，如图，分别为学生公寓、训练广场、学校大门、图书馆，点在点的南偏东方向，点在点的西北方向，点，在点的正南方向，长为120米．
(1)求学生公寓到图书馆的距离；（结果精确到0.1米）
(2)为了进一步推进“智慧校园”建设，学校需要进一步优化校园网络，技术人员准备在中选择一个地址部署一台核心交换机并为这台核心交换机铺设专用光纤．已知在的南偏西方向，若在地址部署核心交换机，需铺设与两条路线的光纤并在地址再部署一台价值400元的微型交换机（防止之间出现拥堵）；若在地址部署核心交换机，需铺设这3条路线的光纤，不需要再部署微型交换机．已知光纤铺设费用为3元/米，请从费用成本最小的角度说明技术人员应该选择在哪里部署核心交换机？（忽略其他费用，参考数据：）
【答案】(1)231.8米
(2)D地址
【详解】（1）解：过点B作于点E，如图，
由题意，，
∴，
在直角三角形中，，
在直角三角形中，，
∴（米），
答：学生公寓A到图书馆D的距离约为231.8米；
（2）解：设过点D的东西方向线与交于点F，
由题意，知，
在直角三角形中，（米），
在直角三角形中，（米），
在直角三角形中，（米），
（米），
∴在A地址部署核心交换机的费用（元），
在D地址部署核心交换机的费用（元），
∵，
应该选择在D地址部署核心交换机.
5．为了保护视力，某人购买了可升降夹书阅读架（图①），将其放置在水平桌面上的侧面示意图（图②），测得底座高为，，支架为，面板长为，为．（厚度忽略不计）
(1)求支点C离桌面的高度；（结果保留根号）
(2)通过查阅资料，当面板绕点C转动时，面板与桌面的夹角满足时，能保护视力．当从变化到的过程中，问面板上端E离桌面的高度是增加了还是减少了？增加或减少了多少？（精确到，参考数据：，，）
【答案】(1)支点离桌面的高度为；
(2)当从变化到的过程中，面板上端离桌面的高度是增加了，增加了约．
【详解】（1）解：过点作于点，过点作于点，
．
由题意得：，
四边形为矩形，
，．
，
．
，
．
．
答：支点离桌面的高度为；
（2）解：过点作，过点作于点，
．
，，
．
当时，；
当时，；
；
当从变化到的过程中，面板上端离桌面的高度是增加了，增加了约．
6．某学校为了抓好常态化疫情防控，购进了一批测温仪，如图，测温仪的长，测温距离是，，当测温仪与竖直方向的夹角时，测温仪能够测量的最大高度与最小高度的差值是多少？（参考数据：，，）
【答案】温仪能够测量的最大高度与最小高度的差值是
【详解】解：∵测温仪与竖直方向的夹角，
∴，
∵，
∵，，
∴，
∵，
∵，
∴，
∵，
∴
∴，
∵，
∴，
∴．
∴温仪能够测量的最大高度与最小高度的差值是．
7．小强家想在青岛某小区买一套房子，要求每天至少有个小时的满窗日照（图1为满窗日照，图2为非满窗日照），小强先查阅了相关资料，得到如下信息：
信息1：北半球冬至日太阳高度角（太阳光线与水平线的夹角）最小，若这一天的和这个时刻能有满窗日照，则整年每天都至少有个小时的满窗日照；
信息2：如图3，该小区每座楼均为层，每层楼高米且装有落地窗，小区冬至日和的太阳高度角均为．
某日小强到该小区进行实地勘测，他在楼看房时恰好阳光开始射入屋内（太阳光线射在楼窗户的上边缘），此时太阳高度角．
(1)_____米；
(2)小强家要在该小区买房，至少买几楼才能达到要求？
（参考数据：，，，，，）
【答案】(1)
(2)至少买楼才能达到要求
【详解】（1）解：该小区每座楼均为层，每层楼高米且装有落地窗，
（米），（米），
（米），
故答案为：；
（2） ，，
（米），
（米），
，
（米），
∴MB=44.8-36=8.8米，
（楼），
至少买楼才能达到要求．

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