资源简介

27.2.1相似三角形的判定（第3课时 两角分别相等的两个三角形相似） 教学设计
一、内容和内容解析
1.内容
本节课是人教版九年级下册数学第二十七章《相似》中的27.2.1相似三角形的判定的第3课时，主要内容为 “两角分别相等的两个三角形相似” 的判定定理及直角三角形相似的判定方法.
2.内容解析
该定理是相似三角形判定的核心定理之一，基于相似三角形的定义和前序判定知识推导而来，是后续解决相似三角形相关问题的重要依据；直角三角形相似的判定是该定理在特殊三角形中的具体应用，体现了特殊与一般的数学思想.
基于以上分析，确定本节课的教学重点为： “两角分别相等的两个三角形相似” 判定定理的掌握及其应用，以及直角三角形相似判定方法的掌握与应用.
二、目标和目标解析
1.目标
（1）掌握 “两角分别相等的两个三角形相似” 的判定定理，并能运用其解决简单的证明与计算问题.
（2）掌握直角三角形相似的判定方法，并能运用该方法解决简单的直角三角形相似相关问题.
2.目标解析
对于目标（1），通过测量三角形的边长、猜想三边比例关系与三角形相似的联系、分析猜想的合理性、严谨证明猜想及归纳结论的探究过程，学生能理解并掌握“三边成比例的两个三角形相似”的判定方法.
对于目标（2），通过类比全等三角形判定中“边角边”定理、分析边的比例关系与夹角相等的组合作用及结合实例感知定理内涵的过程，学生能理解并掌握“两边成比例且夹角相等的两个三角形相似”的判定定理.
三、教学问题诊断分析
九年级学生已掌握相似三角形的定义和部分基础判定知识，具备一定的逻辑推理和几何分析能力，但对定理推导的严谨性把握不足.教学中可能存在的问题：学生易忽视定理中 “两角分别相等” 的完整性，直接由单角相等判定相似；对直角三角形相似判定与一般三角形判定的关联理解不深，应用时易混淆条件.
基于以上分析，确定本节课的教学难点为： “两角分别相等的两个三角形相似” 判定定理的推导逻辑的理解，以及直角三角形相似判定方法与一般三角形判定定理的关联运用.
四、教学过程设计
（一）复习引入
我们已经学习了哪些判定三角形相似的方法？
定义法：三个角分别相等，三条边成比例的两个三角形相似．
平行法：平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似．
三边法：三边成比例的两个三角形相似．
两边及其夹角法：两边成比例且夹角相等的两个三角形相似．
【思考】判定两个三角形相似，所需的条件还能再减少吗？
【设计意图】通过回顾已学的三角形相似判定方法，帮助学生梳理知识脉络，形成知识体系，为新课学习做好铺垫.同时，以 “所需条件还能再减少吗” 这一思考问题引发学生认知冲突，激发学生的探究欲望，引导学生主动思考新的判定方法，从而自然过渡到新课内容的学习.
（二）新知讲解
知识点一　两角分别相等的两个三角形相似
【探究】观察两副三角尺，其中有同样两个锐角（30°与 60°，或 45°与 45°）的两个三角尺大小可能不同，它们相似吗？
这两对三角形的三个内角的大小有什么关系？
答：三个内角对应相等
三个内角对应相等的两个三角形一定相似吗？
答：相似
（3）有一个内角对应相等的两个三角形相似吗？动手画一画.
答：不相似
（4）有两个内角对应相等的两个三角形相似吗？
任意画一个△ABC，再画一个△A′B′C′，使得∠A＝∠A′，∠B＝∠B′，这时∠C＝∠C′ 吗？分别度量这两个三角形的边长，计算，，，你有什么发现？
答：根据三角形的内角和可知，∠C＝∠C′；通过度量、计算可知，==，所以△ABC∽△A′B′C′．
【猜想】两角分别相等的两个三角形相似．
你能证明这个猜想吗？
如图，在△ABC 和△A′B′C′ 中，∠A＝∠A′，∠B＝∠B′．求证△ABC∽△A′B′C′．
【证明】在线段 A′B′（或它的延长线）上截取 A′D＝AB， 过点 D 作 DE∥B′C′，交 A′C′ 于点 E．
∵DE∥B′C′，
　∴∠A′DE＝∠B′，△A′DE∽△A′B′C′．
　又∠A＝∠A′，∠B＝∠B′，
　∴∠B＝∠A′DE．
　∵AB＝A′D，
　∴△ABC≌△A′DE，
　∴△ABC∽△A′B′C′．
【归纳】一般地，我们有利用两组角判定两个三角形相似的定理：
两角分别相等的两个三角形相似．
符号语言：
∵∠A＝∠A′，∠B＝∠B′，
∴△ABC∽△A′B′C′.
知识点二 直角三角形相似的判定方法
【思考】对于两个直角三角形，除了直角相等的条件，还要满足几个条件，这两个直角三角形就相似了？（由例1的针对练习引发的思考）
答：由三角形相似的条件可知，如果两个直角三角形满足一个锐角相等，或两组直角边成比例，那么这两个直角三角形相似．
【思考】我们知道，两个直角三角形全等可以用“HL”来判定，那么，满足斜边和一条直角边成比例的两个直角三角形相似吗？
如图，在 Rt△ABC 和 Rt△A′B′C′ 中，∠C＝90°，∠C′＝90°，＝．求证Rt△ABC∽Rt△A′B′C′．
【分析】要证 Rt△ABC∽Rt△A′B′C′，可设法证．若设＝k，则只需证＝k．
【证明】设＝k，则 AB＝kA′B′，AC＝kA′C′．
　　由勾股定理，得 BC＝，B′C′＝．
　　∴＝＝k，
　　∴，
　　∴Rt△ABC∽Rt△A′B′C′．
【归纳】我们得到利用斜边和一条直角边判定直角三角形相似的方法：
斜边和一直角边成比例的两个直角三角形相似.
符号语言：
在 Rt△ABC 和 Rt△A′B′C′ 中，∠C=∠C′，
∵，
∴△ABC∽△A′B′C′.
【设计意图】通过三角尺观察、动手画图、度量计算等探究活动，引导学生从具体到抽象，逐步猜想并证明 “两角分别相等的两个三角形相似” 的判定定理，培养学生的探究能力和逻辑推理能力.在此基础上，结合直角三角形的特殊性，通过思考、证明推导直角三角形相似的判定方法，既衔接了已学的全等判定 “HL”，又完善了三角形相似的判定体系，帮助学生构建系统的知识框架.
（三）典型例题
一、利用两角判定三角形相似
例1　如图，在正方形ABCD中，点E，F，G分别在AB，BC，CD上，且∠EFG＝90°. 求证：△EBF∽△FCG.
证明：∵四边形ABCD为正方形，
∴∠B＝∠C＝90°.
∴∠BEF＋∠BFE＝90°.
∵∠EFG＝90°，
∴∠BFE＋∠CFG＝90°.
∴∠BEF＝∠CFG.
∴△EBF∽△FCG.
【小结】已知两个三角形有一组角对应相等，只需再找出另一组角对应相等，就能判定它们相似. 解题中要格外关注 “公共角”“对顶角”“同角（或等角）的余角相等”“同角（或等角）的补角相等” 这类容易被忽略的隐含等角条件，它们往往是判定三角形相似的突破口.
【针对练习】如图，Rt△ABC 中，∠C＝90°，AB＝10，AC＝8．E 是 AC 上一点，AE＝5，ED⊥AB，垂足为 D．求 AD 的长．
解：∵ED⊥AB，
　　∴∠EDA＝90° ．
　　又∠C＝90°，∠A＝∠A，
　　∴△AED∽△ABC.
　　∴＝．
　　∴AD＝＝＝4．
二、直角三角形相似的判定方法
例2　如图，∠B＝∠ACD＝90°，AB＝4，AC＝5，AD＝25/4. 求证：Rt△ABC∽Rt△ACD.
证明：∵∠B＝∠ACD＝90°，
∵＝，＝＝，
∴＝.
∴Rt△ABC∽Rt△ACD.
【针对练习】如图，在 Rt△ABC 和 Rt△A′B′C′ 中，∠ACB＝∠A′C′B′＝90°，CD，C′D′ 分别是两个三角形斜边上的高，且 CD∶C′D′＝AC∶A′C′．求证：△ABC∽△A′B′C′．
证明：∵CD，C′D′ 分别是两个三角形斜边上的高，
∴∠ADC＝∠A′D′C′＝90°．
又CD∶C′D′＝AC∶A′C′，
∴Rt△ADC∽Rt△A′D′C′，∴∠A＝∠A′．
∵∠ACB＝∠A′C′B′＝90°，
∴△ABC∽△A′B′C′．
【小结】直角三角形相似的判定方法：
（1）有一个锐角相等的两个直角三角形相似．
（2）两组直角边成比例的两个直角三角形相似．
（3）斜边和一条直角边成比例的两个直角三角形相似．
【设计意图】通过典型例题及针对练习，将 “两角分别相等判定三角形相似” 和直角三角形相似的判定方法应用于具体情境，帮助学生理解定理的实际用法.同时，提炼解题中隐含等角的突破口和直角三角形相似的判定类型，强化知识的应用能力，实现从知识理解到解题实践的过渡，提升学生分析和解决相似三角形问题的能力.
（四）当堂巩固
1.如图，在△ABC中，点D，E分别在边AB，AC上，下列条件中不能判断△ABC∽△AED的是(　C　)
A．∠AED＝∠B B．∠ADE＝∠C C．＝ D．＝
2.如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，则图中的相似三角形共有(　C　)
A．1对 B．2对 C．3对 D．4对
3.如图，点B，D，C，F在同一条直线上，且AB∥EF，AC∥DE. 求证：△ABC∽△EFD.
证明：∵AB∥EF，AC∥DE，
∴∠B＝∠F，∠ACB＝∠EDF.
∴△ABC∽△EFD.
4.如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，将△ACD沿AD折叠，使得点C落在斜边AB上的点E处．求证：△BDE∽△BAC.
证明：由折叠的性质，
得∠C＝∠AED＝90°.
∴∠DEB＝∠C＝90°.
∵∠B＝∠B，
∴△BDE∽△BAC.
5．如图，四边形ABCD是平行四边形，CE⊥AD于点E，CF⊥AB于点F，求证：△DCE∽△BCF．
解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠D＝∠B，
∵CE⊥AD，CF⊥AB，
∴∠CED＝∠CFB＝90°，
∴△DCE∽△BCF．
【设计意图】聚焦本节课核心知识点，覆盖三角形相似判定（含直角三角形）的核心知识点，既考查学生对判定方法的辨析能力，又强化其在折叠、平行四边形等具体情境中的应用能力.同时，及时检测学生对新知的掌握情况，帮助学生查漏补缺，巩固学习效果，提升运用相似判定解决实际问题的熟练度.
（五）课堂总结
本节课你有哪些收获？还有没解决的问题吗？
【设计意图】培养学生概括的能力.使知识形成体系，并渗透数学思想方法.
五、教学反思

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