资源简介

13.2.1　三角形的边
　　1．经历三角形三边关系的探索过程，能运用该关系判断三条线段能否组成三角形，并解决相关数学问题．
　　2．通过实验操作，了解三角形的稳定性，体会三角形的稳定性在生产和生活中的应用．
　　3．在探究过程中，经历观察、猜想、验证的数学活动，发展几何直观、推理能力和应用意识．
　　三角形的三边关系．
　　运用三角形的三边关系判断三条线段能否组成三角形．
新课导入
【思考1】任意画一个△ABC（如图），从点B出发，沿三角形的边到点C，有几条线路可以选择？各条线路的长有什么关系？说明了什么问题？
【师生活动】学生自主思考，完成学习任务单上的相关任务．教师组织交流分享，发现从点B到点C可以通过边BC直接到达，或者通过其他顶点间接到达．由此归纳出有2条线路可以选择：①由点B直接到点C；②由点B先到点A再到点C．且线路②比线路①长，即BA＋AC＞BC．
【设计意图】通过对不同路径的比较，为学生理解三角形的三边关系（两边的和大于第三边）提供直观的背景支持．
【思考2】这说明三角形的三边之间有什么关系？你能证明这个结论吗？
【师生活动】教师引导学生回顾小学学过的“三角形两边的和大于第三边”的结论．
【设计意图】帮助学生建立新旧知识的联系，为新课的学习做好铺垫．同时，提出问题引起学生的学习兴趣，调动学生的学习积极性．
新知探究
【问题1】对于任意一个△ABC（如图），求证：三角形两边的和大于第三边．
【师生活动】对于任意一个△ABC，教师引导学生把其中任意两个顶点（例如B，C）看成定点，结合“两点之间，线段最短”这一基本事实进行推导．学生在学习任务单上完成证明过程．
【答案】由“两点之间，线段最短”，可得
AB＋AC＞BC． ①
同理有 AC＋BC＞AB， ②
AB＋BC＞AC． ③
所以，三角形两边的和大于第三边．　　
【设计意图】引导学生根据“两点之间，线段最短”这一基本事实，证明“三角形两边之和大于第三边”的基本性质．同时，培养学生规范书写解题过程的习惯．
　　【问题2】AC＋BC＞AB，AB＋BC＞AC. 将这两个不等式移项，使BC单独在不等式左边，你能得到什么结论？
　　【师生活动】学生移项，教师根据学生的回答进行板书，
BC＞AB－AC，
BC＞AC－AB．
　　【追问】如何用文字概括这两个不等式？
　　【师生活动】教师引导学生类比“三角形两边的和大于第三边”得到“三角形两边的差小于第三边”．
　　【设计意图】通过代数变形，帮助学生理解三角形的边长关系不仅包含“两边的和大于第三边”，还隐含“两边的差小于第三边”的结论．
【问题3】上面的结论表明了三角形三边之间的关系．反过来，对于三条线段，当它们满足什么条件时，这三条线段能组成三角形？
【师生活动】学生独立思考后交流讨论，预设部分学生会认为“两条线段的和大于第三条线段，就能组成三角形”，教师可通过举例让学生认识到：必须是任意两条线段的和都大于第三条线段，才能组成三角形．只要有两条线段的和小于或等于第三条线段，就不能组成三角形．
【新知】一般地，如果三条线段中任意两条线段的和大于第三条线段，那么这三条线段能组成三角形；如果三条线段中有两条线段的和小于或等于第三条线段，那么这三条线段不能组成三角形．
【设计意图】通过教师的引导，让学生更清晰地理解三角形三边之间的关系．
例题精讲
　　【例1】下列长度的三条线段能否组成三角形？为什么？　　
（1）3 cm，9 cm，5 cm；（2）6 cm，8 cm，10 cm．
【师生活动】学生在学习任务单上进行解答，教师组织全班交流．
【答案】解：（1）不能组成三角形．因为3＋5＜9，所以不能组成三角形；
（2）能组成三角形．因为任意两条线段的和都大于第三条线段．
【教师追问】同学们在判断的过程中，是否都计算了所有的情况？
【归纳】判断三条线段能否组成三角形，一般只需要看两条较短的线段的和是否大于最长的线段．
【例2】用一条长为18 cm的细绳围成一个等腰三角形．
（1）如果腰长是底边长的2倍，那么各边的长是多少？
（2）能围成有一边的长是4 cm的等腰三角形吗？为什么？
　　【师生活动】第（1）题中，教师引导学生利用方程思想先设未知数，根据条件列方程求解．第（2）题中，教师引导学生认真审题，注意“有一边的长”并没有指明这一边是底边还是腰，所以要分情况讨论，求出结果之后，要验证三角形的存在性．学生在学习任务单上完成解答过程．
【答案】解：（1）设底边长为x cm，则腰长为2x cm，则
x＋2x＋2x＝18.
解得x＝3.6.
所以，三角形三边的长分别为3.6 cm，7.2 cm，7.2 cm．　　
（2）因为长为4 cm的边可能是腰，也可能是底边，所以需要分情况讨论．
①如果4 cm长的边为底边，设腰长为x cm，则
4＋2x＝18.
解得x＝7.
②如果4 cm长的边为腰，设底边长为y cm，则
2×4＋y＝18.
解得y＝10.
因为4＋4＜10，不符合“三角形两边的和大于第三边”，
所以不能围成腰长是4 cm的等腰三角形．
由以上讨论可知，可以围成底边长是4 cm的等腰三角形．
【归纳】解决等腰三角形问题的关键是：
一分清：分清已知的等腰三角形两边是三角形的腰还是底；
二分类：当题目中没有明确告诉已知边是腰还是底时，要分类讨论；
三验证：解题时一定要检验求得的边长是否满足三角形的三边关系．
【设计意图】巩固学生对三角形的三边关系这一基本性质的应用，培养学生灵活运用知识解决问题的能力．
新知探究
【问题4】如图，将三根木条用钉子钉成一个三角形木架，然后扭动它，它的形状会改变吗？
【师生活动】请学生操作教具，发现三角形木架的形状并没有在扭动中发生改变．师生共同总结，三角形是具有稳定性的图形．学生把相关结论记录到学习任务单上．
【拓展延伸】如图，将四根木条用钉子钉成一个四边形木架，然后扭动它，它的形状会改变吗？
【师生活动】请学生操作教具，发现四边形木架的形状在扭动中发生了改变．通过师生交流，明确了四边形的四条边长确定后，形状并没有随之确定，它的各个角的大小依旧可以改变．师生共同总结，四边形不具有稳定性．学生把相关结论记录到学习任务单上．
【设计意图】通过观察、操作、推理，进行数学猜想，获得数学经验，加深学生对“三角形具有稳定性、四边形不具有稳定性”这一抽象知识的理解．
【迁移应用】在日常生活中，三角形的稳定性有着广泛的应用．例如，房屋的人字梁具有三角形的结构，它既坚固又稳定；在栅栏门上斜着钉一条（或两条）木板，构成一些三角形，就可以使栅栏门不变形；再比如，工程建筑中也经常采用三角形的结构（起重机、钢架桥等）．你能再举一些例子吗？
【师生活动】教师组织学生交流分享．
【设计意图】引导学生将数学知识与现实生活联系起来，理解三角形的稳定性在解决实际问题中的重要作用．
课堂小结
【师生活动】师生共同回顾本节课所学内容，请学生从以下方面进行梳理和总结，并在学习任务单上进行记录．
1．三角形的三边关系是怎样的？
2．你能举例说明三角形的稳定性吗？
【思维导图参考】
【设计意图】通过小结，梳理本节课所学内容，帮助学生养成梳理和总结的学习习惯．
课后任务
完成教材第9～10页习题13.2第1、2、5、6题．

展开更多......

收起↑