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第09讲 一次函数的应用
知识清单
知识点01 一元一次方程与一次函数的关系
1）一元一次方程可转化为一般式：ax+b=0
2）一次函数为：y=kx+b的形式；当y=0时，一次函数x的值就是一元一次方程的解；
y=0时x的值，即一次函数与x轴的交点横坐标，就是对应一元一次方程的解．
知识点02 一次函数的实际应用
1）数学建模的一般思路
数学建模的关键是将实际问题数学化，从而得到解决问题的最佳方案、最佳策略．在建模的过程中，为了既合乎实际问题又能求解，这就要求在诸多因素中抓住主要因素进行抽象化简，而这一过程恰是我们的分析、抽象、综合、表达能力的体现．函数建模最困难的环节是将实际情景通过数学转化为什么样的函数模型．
2）正确认识实际问题的应用
在实际生活问题中，如何应用函数知识解题，关键是建立函数模型，即列出符合题意的函数解析式，然后根据函数的性质综合方程（组）、不等式（组）及图象求解．
注：要注意结合实际，确定自变量的取值范围，这是应用中的难点，也是中考的热门考点．
3）选择最简方案问题
分析问题的实际背景中包含的变量及对应关系，结合一次函数的解析式及图象，通过比较函数值的大小等，寻求解决问题的最佳方案，体会函数作为一种数学模型在分析解决实际问题中的重要作用．
题型精讲
题型01 已知直线与坐标轴交点求方程的解
1．已知一次函数的图象与x轴的交点坐标为，则一元一次方程的解为 ．
2．如图，若一次函数的图象经过A、B两点．则方程的解为 ．
题型02 由一元一次方程的解求直线与x轴的交点
3．若关于x的方程的解是，则直线一定经过点（ ）
A． B． C． D．
4．已知方程的解为，则一次函数的图象与轴交点的坐标为( )
A． B． C． D．
题型03 利用图象法解一元一次方程
5．如图，一次函数与的图象相交于点，则关于x的方程的解是 ．
6．如图，直线与相交于点，则关于的方程的解是 ．
题型04 一次函数的应用之分配方案问题
7．某家用电器厂生产一种电饭煲和一种电热水壶，电饭煲每个定价200元，电热水壶每个定价60元．厂方在开展促销活动期间，向客户提供以下两种优惠方案：
方案一：每买一个电饭煲就赠送一个电热水壶；
方案二：电饭煲和电热水壶都按定价的付款．
某厨具店计划购进80个电饭煲和x个电热水壶．设选择方案一需付款元，选择方案二需付款元．
(1)分别写出，关于x的函数表达式．
(2)当时．
①请通过计算说明该厨具店选择上面哪种方案更省钱．
②若两种优惠方案可以同时使用（使用方案一优惠过的商品不能再使用方案二优惠，使用方案二优惠过的商品不能再使用方案一优惠），请你设计出更省钱的购买方案，并计算出该方案所需费用．
8．“生活即教育，行为即课程”．某校将劳动教育融入立德树人全过程．学校给每个班划分一块地供学生“种菜”，某班现要购买肥料对该地施肥，该班班长与农资店店主商量后，店主给出了两种购买方案（如表），且都送货上门．
方案 运费 肥料价格
方案一 12元 3元
方案二 0元 3.6元
若该班购买千克肥料，按方案一购买的付款总金额为元，按方案二购买的付款总金额为元．
(1)请分别写出与之间的函数关系式；
(2)若该班计划用180元钱购买肥料，请问该班选择哪种购买方案购买的肥料较多？
题型05 一次函数的应用之最大利润问题
9．为满足顾客的购物需求，某水果店计划购进甲、乙两种水果进行销售．通过市场调研发现：购进6千克甲种水果和10千克乙种水果共需110元；乙种水果每千克的进价比甲种水果多3元．
(1)求甲、乙两种水果的进价分别是多少？
(2)已知甲、乙两种水果的售价分别为7元/千克和11元/千克，若水果店购进这两种水果共200千克，其中甲种水果的重量不低于乙种水果的3倍．则水果店应如何进货才能获得最大利润，最大利润是多少？
10．“读万卷书，行万里路”，最美的风景在路上．为了让同学们在实践中增长见识、提高学习兴趣、陶冶情操，某中学组织八年级师生共600人开展研学活动，现有甲、乙两种客车，它们的载客量和租金如表所示：
甲型客车 乙型客车
载客量（人辆） 45 60
租金（元/辆） 800 1200
倘若甲、乙两种客车都需要租用，每位师生都有座位且座位没有剩余，设租x辆甲型客车，租车总费用为y元．
(1)求y与x之间的函数关系式；
(2)请你设计一种租车方案，要求费用最省．
题型06 一次函数的应用之行程问题
11．一列城际快车从甲地出发匀速开往乙地，一列货运慢车从乙地出发匀速开往甲地．如图是快、慢两车离乙地的路程与快车行驶时间之间的函数图象．根据图象回答下列问题：
(1)甲、乙两地之间的距离为________．
(2)当时，求慢车离乙地的路程y与x之间的函数关系式．
(3)直接写出在慢车行驶过程中，两车相距时x的值．
12．共享电动车是一种新理念下的交通工具，给我们的出行提供了方便．现有两种品牌的共享电动车，收费与骑行时间之间的函数关系如图所示，其中品牌的收费方式对应，品牌的收费方式对应．
(1)品牌共享电动车骑行分钟后，每分钟收费________元；
(2)当时，写出的函数关系式为________；
(3)如果小明每天早上需要骑行品牌或品牌的共享电动车去工厂上班，已知两种品牌共享电动车的平均行驶速度均为，小明家到工厂的距离为，那么小明选择哪个品牌的共享电动车更省钱？可以省多少？
题型07 一次函数的应用之几何问题
13．在中，，，，动点从点出发沿着折线运动（含端点），运动速度为每秒2个单位，设运动时间是秒，的长度是，请解答下列问题：
(1)请直接写出与的函数关系式及的取值范围；
(2)在平面直角坐标系中画出函数图象，并结合函数的图象，写出该函数的一条性质；
(3)根据图象直接写出当时，自变量的取值范围．
素养提升
14．如图1所示，正方形中，，点从点出发，沿折线运动，当它到达点时停止运动，连接，记点运动的路程为，的面积为．
(1)当时，写出与之间的函数解析式______．当时，写出与之间的函数解析式______．
(2)根据自变量的取值范围，在如图2所示的平面直角坐标系中画出点整个运动过程中的函数图象；
(3)请根据函数的图象，写出该函数的一条性质；
(4)请根据函数的图象，直接写出当时的取值范围．
课后作业
一、单选题
1．如图，若一次函数的图象经过、两点．则方程的解为（ ）
A． B． C． D．
2．在某地，人们发现某种蟋蟀1分钟所叫次数与当地温度之间近似为一次函数关系．下面是蟋蟀所叫次数与温度变化情况对照表：
蟋蟀所叫次数 … 84 98 119 …
温度（） … 15 17 20 …
如果蟋蟀1分钟叫了63次，那么该地当时的温度大约为（ ）
A． B． C． D．
3．如图，一次函数的图象与轴的交点坐标为，则下列说法：①，；②随的增大而减小；③关于的一元一次方程的解为；④当时，．其中正确的是（ ）
A．①② B．③④ C．①④ D．②③
4．小明家与超市在同一条笔直道路上，妈妈从超市回家，小明发现漏买了文具就从家去了超市，两人都匀速步行且同时出发，妈妈先到家．两人之间的距离与时间之间的函数关系如图所示，其中说法正确的是（　　）
A．小明的速度是
B．妈妈的速度是
C．线段的函数表达式为
D．点A的坐标为
二、填空题
5．嘉嘉在超市购买橙子所付金额y（元）与一次性购买质量x（千克）之间的函数图象如图所示，若一次性购买6千克橙子，则所付金额为 ．
6．小青乘飞机去旅游，从放置在座位后背的一份杂志上看到这样的一张表格，此时飞机舱外部的温度显示为，请你帮小青算算：她所乘的飞机此时距地面 千米．
飞机距离地面高度（千米） 0 1 2 3
飞机舱外面的温度 8 2
三、解答题
7．在期中考试总结会议上，学校决定购买A，B两种奖品共120件，对表现优异的学生进行奖励．已知A种奖品的价格为32元/件，B种奖品的价格为15元/件．
(1)请直接写出购买两种奖品的总费用y（元）与购买A种奖品的数量x（件）之间的关系式；
(2)当购买了30件A种奖品时，总费用是多少元？
(3)若购买的A种奖品不多于50件，则总费用最多是多少元？
第10讲 一次函数的应用
参考答案：
1．
【分析】本题考查了一次函数与一元一次方程的关系，掌握一次函数与一元一次方程的关系是解题的关键．根据“一次函数与一元一次方程的关系”求解．
【详解】解：∵一次函数的图象与x轴的交点坐标为，
∴一元一次方程的解为：，
故答案为：．
2．
【分析】此题主要考查了一次函数与一元一次方程，正确数形结合分析是解题关键．直接利用图象得出答案．
【详解】解：如图所示：不等式的解为：．
故答案为：．
3．C
【分析】根据方程可知当，，从而可判断直线经过点即可．
【详解】解：由方程的解可知：当时，，即当，，
∴直线的图象一定经过点，
故选：C．
【点睛】本题主要考查的是一次函数与一元一次方程的关系，掌握一次函数与一元一次方程的关系是解题的关键．
4．D
【分析】关于的一元一次方程的根是，即时，函数值为，所以直线过点，于是得到一次函数的图象与轴交点的坐标．
【详解】解：方程的解为，则一次函数的图象与轴交点的坐标为，
故选：D．
【点睛】本题主要考查了一次函数与一元一次方程：任何一元一次方程都可以转化为 ，为常数，的形式，所以解一元一次方程可以转化为：当某个一次函数的值为时，求相应的自变量的值．从图象上看，相当于已知直线确定它与轴的交点的横坐标的值．
5．
【分析】本题考查了一次函数与一元一次方程，先利用求出交点的坐标，然后根据一次函数图象的交点坐标进行判断．数形结合是解题的关键．
【详解】解：把代入得，解得，
∴一次函数与的图象的交点为，
∴关于的方程的解是．
故答案为：．
6．
【分析】本题主要考查一次函数图象与一元一次方程的综合，根据题图示，两条直线的交点即为方程的解，由此即可求解，掌握一次函数的交点与一元一次方程的解的知识是解题的关键．
【详解】解：根据题意，两直线的交点坐标为，
∴关于的方程的解为：，
故答案为：．
7．(1)，
(2)①该厨具店选择方案二更省钱；②先按方案一购买80个电饭煲，再按方案二购买120个电热水壶．该方案所需费用为21760元
【分析】本题考查了用代数式表示和一次函数的实际应用，解题的关键是正确理解题意，根据题意正确列出函数表达式．
（1）根据题目所给的两个方案，分别列出代数表达式即可；
（2）①将分别代入（1）中得出的两个函数表达式，即可解答；②先按方案一购买80个电饭煲，再按方案二购买120个电热水壶最省钱，计算即可．
【详解】（1）解：根据题意可得：
，
．
（2）解：①当时，，．
∵，
∴该厨具店选择方案二更省钱．
②更省钱的购买方案：
先按方案一购买80个电饭煲，再按方案二购买120个电热水壶．
该方案所需费用为（元）．
8．(1)，
(2)方案一
【分析】本题考查一次函数的应用，列出正确的函数关系式是解答的关键．
（1）根据两种销售方案表示出销售总价即可；
（2）用不同的购买方法，分别计算所用金额，比较得出答案．
【详解】（1）解： 与之间的函数关系式为，
与之间的函数关系式为．
（2）解：当时，，解得，
当时，，解得，
，
该班选择方案一购买的肥料较多．
9．(1)甲种水果的进价为5元/，乙种水果进价为8元/
(2)水果店应购进甲水果，购进乙水果才能获得最大利润，最大利润是450元
【分析】（1）设甲种水果的进价为x元/，则乙种水果进价为元/，列方程
解答即可．
（2）设购进甲水果m，则乙水果，利润为y元.，利用一次函数的性质解答即可．
本题考查了一元一次方程的应用，一次函数的性质的应用，熟练掌握一次函数的性质是解题的关键．
【详解】（1）设甲种水果的进价为x元/，则乙种水果进价为元/
（元）
答：甲种水果的进价为5元/，乙种水果进价为8元/.
（2）设购进甲水果m，则乙水果，利润为y元.
∵，
∴，
∴，
∴，
又∵，
∴y随m的增大而减小.
∴当时，y最大，最大值为450元.
10．(1)
(2)租用甲种客车12辆，乙种客车1辆，费用最省
【分析】本题考查了一次函数的应用，综合性强，解决问题的关键在于找到的取值范围，才能确定方案．本题较为灵活，计算量略微有些大，考查了学生的推理能力、计算能力．
（1）设租用甲种客车辆，则乙种客车是辆，利用公式：总租金甲的总租金乙的总租金，即可列出与之间的函数关系式；
（2）求出x的取值范围，再根据一次函数的性质求解即可．
【详解】（1）依题意得：（为整数）
（2）依题意得：
，
解之，得，
为整数，且为整数，
中，，y随x的增大而减小，
的值为12时，y有最小值，为，此时，
租用甲种客车12辆，乙种客车1辆，费用最省．
11．(1)600；
(2)；
(3)或
【分析】本题主要考查一次函数的应用，待定系数法求函数解析式是基础，结合题意理解图形是解题的关键．
（1）由图象直接得出结论；
（2）由图象可知图象经过，，利用待定系数法分别求得；
（3）同（2）求出快车离乙地的路程与之间的函数关系式，令，解方程即可．
【详解】（1）解：由图象可知，甲、乙两地之间的距离为，
故答案为：600；
（2）当时，设慢车离乙地的路程与之间的函数关系式为
把，代入解析式得：，
解得，
∴慢车离乙地的路程与之间的函数关系式为；
（3）设快车离乙地的路程与之间的函数关系式为，
把，代入解析式得：，解得，
∴快车离乙地的路程与之间的函数关系式为，
当两车相距50时，，
解得或，
∴当或时，两车相距．
12．(1)
(2)
(3)小明选择品牌共享电动车更省钱，可以省元
【分析】本题主要考查一次函数的实际运用，理解一次函数图象的性质，掌握待定系数法求解析式是解题的关键．
（1）根据一次函数图象可得骑行10分钟后的路程和费用，由此即可求解；
（2）根据的图象，运用待定系数法即可求解；
（3）分别算出两种品牌的费用进行比较即可求解．
【详解】（1）解：根据题意，（元），（），
∴（元/），
故答案为；
（2）解：设时，，且函数图象过，
∴，
解得，，
∴，
故答案为：；
（3）解：，
∴，
设品牌的费用为，且图象过，
∴，
解得，，
∴，
∴当时，品牌的费用为（元），
品牌的费用为（元），
∵，且（元），
∴小明选择品牌的共享电动车更省钱，可以省元．
13．(1)
(2)作图见解析，当时，y随x的增大而减小；
(3)或
【分析】本题考查一次函数的几何应用，作函数图象，根据函数图象求自变量的取值范围等．
（1）运动路程为，结合图形即可求解；
（2）先作出函数图象，根据图象即可解答；
（3）先求出时x的值，结合图象即可作答．
【详解】（1）解：由题意可得：当时，，
当时，，
∴；
（2）如图所示，
当时，y随x的增大而减小；
（3）解，令，则或，
∴当时，自变量的取值范围为：或．
14．(1)，
(2)见解析
(3)见解析
(4)
【分析】本题考查了一次函数的应用、从函数图象中获取信息、画函数图象，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键．
（1）当时，点在上，由题意得，，，再由三角形面积公式即可得解；当时，点在上，则，再由三角形面积公式即可得解；
（2）当时，点在上，此时，再根据函数解析式画出函数图象即可；
（3）由函数图象即可得出答案；
（4）由函数图象即可得出答案．
【详解】（1）解：当时，点在上，
，
由题意得：，，，
∴；
当时，点在上，
，
则，
∴；
（2）解：当时，点在上，
，
此时，
∴，
画出函数图象如图所示：
；
（3）解：由图象可得：当时，随的增大而增大；
（4）解：由图象可得：当时的取值范围为：．
课后作业
1．A
【分析】此题主要考查了一次函数与一元一次方程，正确数形结合分析是解题关键．直接利用图象得出答案即可．
【详解】解：如图所示：
不等式的解为：．
故选：A．
2．B
【分析】主要考查利用一次函数的模型解决实际问题的能力．要先根据题意列出函数关系式，再代数求值．解题的关键是要分析题意根据实际意义求解．利用待定系数法求解得到函数解析式；再把代入解析式求y值即可．
【详解】解：设蟋蟀1分钟叫的次数为x次，当地温度为y摄氏度，一次函数关系式为，
由题意，得，
解得：
∴；经检验符合题意；
当时，
故选B．
3．B
【分析】本题考查一次函数的图像与性质、一次函数与一元一次不等式、一次函数图象与系数的关系，熟练掌握一次函数图像和性质，利用数形结合的思想解答是解题关键．根据一次函数图像所在象限及与坐标轴的交点可判断①②错误，③正确，根据一次函数图像在轴上方时与轴交点横坐标可判断④正确，综上即可得答案．
【详解】解：∵一次函数的图象经过一、二、三象限，
∴，，随的增大而增大，故①②错误，
∵一次函数与轴交于点，
∴关于的一元一次方程的解为，当时，，故③④正确，
故选：B．
4．C
【分析】本题考查一次函数的应用，掌握速度、时间、路程之间的关系是解题的关键．
根据“速度=路程÷时间”计算小明的速度即可判定A；当时，两人相遇，根据“两相遇时人人一共走过的路程是”计算妈妈的速度，即可判定B；根据“路程=速度×时间”求出线段的函数表达式，写出自变量的取值范围即可判定C；根据“时间=路程÷速度”计算妈妈到家所用的时间，再根据“路程=速度×时间”计算小明此时离家的距离，从而求出点A的坐标，即可判定D．
【详解】解：A、小明的速度是，故此选项不符合题意；
B、妈妈的速度是，故此选项不符合题意；
C、妈妈到家所用的时间是，当时，妈妈已经到家，之后两人之间的距离就是小明离家的距离，∴线段的函数表达式为，故此选项符合题意；
D、妈妈到家所用的时间是，当时，两人之间的距离，即小明离家的距离是，∴点A的坐标为，故此选项不符合题意；
故选：C．
5．28元
【分析】本题考查一次函数的实际应用，利用待定系数法求出函数图象的解析式，再将x的值代入即可求解．
【详解】解：如图，
设所在直线的解析式为，
将，代入，得：，
解得，
所在直线的解析式为，
当时，，
若一次性购买6千克橙子，则所付金额为28元，
故答案为：28元．
6．5
【分析】本题考查函数问题，根据表格得出函数解析式，进而代入解答即可．
【详解】解：由表格中的数据可得，飞机距离地面高度每升高1千米，飞机舱外面的温度下降6度，可得与成一次函数关系，
故设函数解析式为：，
把代入解析式可得：
，
解得：，
把代入解析式可得：，解得：，
故答案为：5．
7．(1)；
(2)2310元；
(3)总费用最多是2650元．
【分析】本题考查的是一次函数的实际应用，理解题意，确定函数关系式是解本题的关键；
（1）由总费用等于购买两种奖品的费用之和建立函数关系式即可；
（2）把代入（1）中的解析式计算即可；
（3）利用一次函数的性质解答即可；
【详解】（1）解：根据题意，得：
，
即购买两种奖品的总费用y（元）与购买A种奖品的数量x（件）之间的关系式为；
（2）当时，，
答：当购买了30件A种奖品时，总费用是2310元；
（3）由题意，得，
由（1）可知为，
∵，
∴y随x的增大而增大，
∴当时，y有最大值为，
答：若购买的A种奖品不多于50件，则总费用最多是2650元．

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