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2.3.2两点间的距离公式 教学设计
一、教学目标
1.理解两点间距离公式的推导原理，熟练掌握两点间距离公式，能运用公式解决平面直角坐标系中两点距离的计算问题及相关实际应用。
2.通过构造直角三角形推导公式，体会数形结合与转化与化归思想，提升逻辑推理和运算求解能力。
3.感受数学知识的生成过程，体会代数运算与几何图形的内在联系，增强用数学解决实际问题的意识。
二、教学重难点
1.教学重点：两点间距离公式的推导过程与记忆，运用公式计算两点间距离及解决相关问题。
2.教学难点：理解公式推导中“构造直角三角形”的转化思路，灵活运用公式解决含参数的距离问题及实际应用场景。
三、教学过程
（一）情境导入，引发思考
生活情境：学校操场为长方形，A点是操场西南角，坐标为(1,2)，B点是操场东北角，坐标为(5,6)（单位：米）。若学生从A点直线走到B点，需要走多少米？你能通过已学知识解决这个问题吗？
旧知铺垫：引导学生回顾平面直角坐标系中点的坐标表示、直角三角形的勾股定理（直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方），明确“两点间的直线距离”可转化为直角三角形的斜边长度。
引出课题：通过生活中的距离计算问题，激发学生探究欲望，引出本节课主题——两点间的距离公式。
（二）探究新知，推导公式
1.特殊情况推导：坐标轴上或平行于坐标轴的两点距离
（1）问题1：已知点P(2,3)和点Q(5,3)，求PQ的距离。
引导分析：P、Q两点纵坐标相同，连线平行于x轴，距离为横坐标差的绝对值，即PQ=|5-2|=3。
（2）问题2：已知点M(2,3)和点N(2,7)，求MN的距离。
引导分析：M、N两点横坐标相同，连线平行于y轴，距离为纵坐标差的绝对值，即MN=|7-3|=4。
（3）总结特殊情况：若两点平行于x轴，距离为横坐标差的绝对值；平行于y轴，距离为纵坐标差的绝对值。
2.一般情况推导：任意两点间的距离公式
（1）问题探究：已知平面直角坐标系中任意两点P (x ,y )和P (x ,y )，如何求P P 的距离？
（2）构造模型：过P 作x轴的平行线，过P 作y轴的平行线，两条线交于点Q，易知Q点坐标为(x ,y )，且△P QP 为直角三角形，其中P Q为直角边，长度为|x -x |；QP 为另一直角边，长度为|y -y |；P P 为斜边。
（3）公式推导：根据勾股定理，P P =P Q +QP =(x -x ) +(y -y ) （绝对值平方后符号可去掉），故两点间距离公式为：。
（4）公式说明：①公式中x 与x 、y 与y 的顺序可交换，因为平方后差不变；②公式对任意两点都适用，包括特殊情况（平行于坐标轴的两点）。
即时验证：用公式解决导入问题
导入问题中A(1,2)、B(5,6)，代入公式得AB=米，与学生手动构造直角三角形计算结果一致，验证公式正确性。
（三）例题讲解，巩固应用
例题1：直接运用公式计算距离
求下列两点间的距离：（1）A(-1,0)，B(2,3)；（2）C(4,-2)，D(4,3)；（3）E(-2,5)，F(3,-7)。
解析：（1）代入公式得AB=；（2）两点横坐标相同，可用特殊情况或公式计算，CD=；（3）EF=。
小结：直接代入公式时，注意符号运算，尤其是负数相减的情况。
例题2：利用距离公式求参数值
已知点P(3,4)，点Q(x,2)，且PQ=2，求x的值。
解析：根据距离公式，PQ =(x-3) +(2-4) =(x-3) +4，已知PQ=2，故PQ =20，因此(x-3) +4=20→(x-3) =16→x-3=±4→x=7或x=-1。
小结：已知距离求参数时，先平方去掉根号，转化为一元二次方程求解，注意参数可能有两个解。
例题3：距离公式的实际应用
在平面直角坐标系中，某快递公司网点A坐标为(0,0)，现有两个快递收件点B(1,3)和C(4,1)，快递员从A出发，先到B再到C，求快递员行走的总路程（结果保留根号）。
解析：总路程为AB+BC，其中AB=，BC=，故总路程为。
（四）课堂练习，反馈提升（约10分钟）
求点M(-3,2)与点N(1,-5)之间的距离。
已知点A(2,a)与点B(a,-1)的距离为，求a的值。
三角形的三个顶点坐标分别为A(0,0)、B(3,0)、C(3,4)，判断该三角形的形状，并求出其周长和面积。
（学生独立完成，小组内互查答案，教师针对共性错误如“符号运算失误”“参数漏解”进行集中讲解）
（五）课堂小结，布置作业
小结：师生共同回顾——①两点间距离公式的推导过程（构造直角三角形+勾股定理）；②公式的核心形式与适用范围；③公式的三类应用（直接求距离、求参数、实际问题）；强调数形结合思想在推导和应用中的作用。
作业：（1）基础题：教材习题2.3第6、7、8题，巩固公式的直接应用；（2）拓展题：已知点P(x,y)到点A(1,2)的距离为3，求点P的轨迹方程，并说明轨迹形状；（3）实践题：测量校园内两个标志性建筑的位置（建立简易直角坐标系），用公式计算它们之间的距离。
四、重点知识归纳总结
1.核心公式：平面直角坐标系中任意两点P (x ,y )、P (x ,y )的距离公式为，其本质是勾股定理在平面直角坐标系中的代数表达。
2.公式特点与注意事项：
（1）对称性：x 与x 、y 与y 的位置可互换，计算结果不变，即；
（2）特殊适用性：当两点平行于x轴时，y =y ，公式简化为；平行于y轴时，x =x ，公式简化为；点P(x,y)到原点O(0,0)的距离为；
（3）运算规范：代入公式时注意符号运算，尤其是负数或分数坐标，计算平方时需先确定符号再平方；涉及开方时，结果需化为最简二次根式。
3.公式的核心应用场景：
（1）直接计算：已知两点坐标，代入公式求距离；
（2）求参数值：已知两点距离及其中一点坐标，求另一点坐标中的参数（需注意参数的多解情况）；
（3）几何图形分析：判断三角形的形状（等腰、等边、直角）、计算多边形的边长、周长及面积；
（4）实际问题：建立平面直角坐标系，将实际中的距离问题转化为坐标间的距离计算。
核心思想方法：
（1）数形结合：将“两点间距离”这一几何量转化为坐标的代数运算，通过构造直角三角形搭建几何与代数的桥梁；
（2）转化与化归：将一般两点的距离问题转化为直角三角形的斜边计算问题，将未知问题转化为已知的勾股定理应用；
（3）分类讨论：在求参数问题中，当平方后得到一元二次方程时，需考虑参数的所有可能解，避免漏解。
常见易错点：
（1）符号错误：计算x -x 或y -y 时忽略符号，导致平方前结果错误；
（2）漏解情况：已知距离求参数时，未考虑平方根的双重性，只取正根忽略负根；
（3）运算失误：开方后未将二次根式化为最简形式，如将直接作为结果，未化简为；
（4）坐标系建立错误：实际问题中未合理建立直角坐标系，导致坐标表示错误，影响距离计算。
五、练习及答案解析
（一）基础巩固练习
求下列两点间的距离：
（1）A(2,-1)，B(-3,4)；（2）C(-1,-2)，D(-1,5)；（3）E(0,5)，F(12,0)。
已知点P(2,3)到点Q(5,y)的距离为5，求y的值。
已知三角形三个顶点为A(1,2)、B(3,4)、C(-1,4)，判断该三角形的形状，并说明理由。
（二）提升拓展练习
已知点A(a,0)、B(0,a)（a≠0），点C(1,2)到直线AB的距离为，求a的值。（提示：先求AB的长度及三角形ABC的面积）
在平面直角坐标系中，点P(x,y)满足到点A(2,3)的距离等于到点B(4,1)的距离，求点P的轨迹方程，并说明轨迹是什么图形。
某公园为矩形区域，建立平面直角坐标系后，四个顶点坐标分别为A(0,0)、B(100,0)、C(100,50)、D(0,50)，现计划在公园内建一个休息亭，使休息亭到A、C两点的距离相等，且到B点的距离为50米，求休息亭的坐标。
（三）答案及解析
解析：
（1）AB=；
（2）C、D横坐标相同，CD=|5-(-2)|=7，或用公式得；
（3）EF=。
答案：（1）；（2）7；（3）13。
解析：由距离公式得PQ =(5-2) +(y-3) =9+(y-3) ，已知PQ=5，故PQ =25，即9+(y-3) =25→(y-3) =16→y-3=±4→y=7或y=-1。
答案：y=7或y=-1。
解析：计算三边长度，AB=；BC=；AC=。因为AB=AC，且AB +AC =(8)+(8)=16=BC ，故三角形为等腰直角三角形。
答案：等腰直角三角形，理由见解析。
解析：先求直线AB的方程，A(a,0)、B(0,a)，方程为x+y=a，即x+y-a=0。三角形ABC的面积可表示为距离（C到AB），也可表示为（OA、OB为直角边）。AB=，则，化简得|a|×1=→a -2|a|=0。因为a≠0，所以|a|=2→a=2或a=-2。
答案：a=2或a=-2。
解析：由题意得PA=PB，即，两边平方得(x-2) +(y-3) =(x-4) +(y-1) ，展开整理：x -4x+4+y -6y+9=x -8x+16+y -2y+1→4x-4y-4=0→x-y-1=0。轨迹为线段AB的垂直平分线。
答案：轨迹方程为x-y-1=0，轨迹是线段AB的垂直平分线。
解析：设休息亭坐标为(x,y)，由“到A(0,0)、C(100,50)距离相等”得，平方整理得200x+100y=12500→2x+y=125；由“到B(100,0)距离为50米”得，平方得(x-100) +y =2500。联立方程组，将y=125-2x代入第二个方程：(x-100) +(125-2x) =2500，展开整理得5x -600x+22500=0→x -120x+4500=0，解得x=30或x=90，对应y=65或y=-55（y=-55在公园外，舍去）。故休息亭坐标为(30,65)。
答案：(30,65)。
六、教学反思
亮点之处：本节课以生活情境切入，贴近学生实际，有效激发学习兴趣；公式推导遵循“特殊到一般”的思路，先解决平行于坐标轴的特殊情况，再过渡到一般情况，符合学生认知规律；通过“构造直角三角形”这一核心环节，清晰搭建几何与代数的联系，让学生理解公式的本质而非机械记忆；例题与练习设计覆盖“直接应用—求参数—实际问题”，层次分明，能有效落实教学目标。
不足分析：在公式推导过程中，部分学生对“构造直角三角形”的转化思路不够敏感，需教师反复引导才能跟上；计算过程中，学生容易出现符号错误和二次根式化简不彻底的问题，如负数平方前符号处理失误、未化简为；在含参数的问题中，部分学生忽略参数的实际意义（如练习6中y=-55需舍去），缺乏“检验结果合理性”的意识。
改进方向：后续教学中，可利用几何画板动态演示“两点位置变化时，直角三角形的构造及距离变化”，增强直观性；设置“运算小课堂”，针对符号运算、二次根式化简等易错点进行专项训练；在实际问题教学中，强调“建立坐标系—列关系式—求解—检验”的完整流程，培养学生的严谨思维；增加小组合作探究活动，让学生在交流中梳理推导思路，提升逻辑表达能力。
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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