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第4章 指数与对数
4.2 对数
4.2.1 对数的概念
▍教学目标
理解对数的概念，会熟练地进行指数式与对数式的互化．
体会引入对数的必要性．
学生在学习过程中感受化归与转化、类比、特殊到一般的数学思想方法．
数学抽象：从实际问题中抽象出对数的概念； 数学运算：指数式与对数式互化．
▍情境设置
[教师引导] 光在某种介质中传播，每经过，其强度减弱为原来的一半，假设最初的强度是，则光的强度关于介质厚度的函数关系式为：．
【问题1】 经过了，光的强度是多少？
[学生活动] ．
【问题2】 反过来，如果我们知道了光的强度，怎么求出所经过的介质厚度呢？比如经过多少厘米，强度为？
【问题3】 经过多少厘米，强度为呢？
[教师引导] 述问题如何转化为数学问题？（，则？） 方程有解吗？若有解，有几个？
[学生活动] 通过几何画板让学生观察得到：中的存在且唯一．（体现函数与方程的思想） 说明：由于指数函数尚未学习到，借助于数形结合转化．
▍概念的探究与建构
【思考1】 如何表示方程的解？
[教师引导] 分数问题：“4个苹果平均分成2份，每人分得2个；2瓶矿泉水平均分成2份，每人分得1瓶；（这些都能用自然数表示）1个蛋糕平均分成2份，每人分得半个．”半个能不能用自然数表示？（不能）我们如何解决的？引入一个新的符号——分数线，得到一个新形式的数——分数．
[学生活动] 大家想一想，初中遇到过类似的状况吗？
[教师引导] 平方根问题：在初中学方的概念后，我们知道了方程的解为有理数和，而方程的解能不能用有理数表示呢？（不能）我们同样发现有解却无法表示，于是引入一个新的符号——根号，得到一个新形式的数“”．
【问题4】 方程的解是多少？你有办法了吗？
[教师引导] 引导学生需要创造一个新的符号，引进一个新形式的数．这个指数是由和确定的．因此我们要创造一个用和表示的数！
形成知识 如果满足，记，也就是底数为时，与幂值相对应的数，称为对数． 说明：是一个数，一个新形式的数，一个无理数，一个使得成立的数． 同时，也表示一种运算，由底数和幂求指数的运算——对数运算．
[学生活动] 请学生模仿写出方程的解． 请学生讨论与的含义．
【问题5】 你能归纳出对数的概念吗？
[学生活动] 学生表达，师生共同完善补充．
形成知识 一般地，如果（，），那么就称是以为底的对数，记作，其中，叫作对数的底数，叫作真数． 写法：格式四线三格．； 读法：以为底，的对数． 指数和对数的关系： 乘方和开方可以等价互化，我们还知道加减、乘除也是可以等价互化的，类比得到，指数和对数两者也是可以等价互化的．它们是同一个关系的两种不同表示． 对数式中底数和真数的范围．
▍知识的运用与升华
【例题1】 将下列指数式改写成对数式：
； ； ； ．
[答案]
【例题2】 将下列对数式改写成指数式：
； ； ．
[答案]
形成知识 通常将以10为底的对数称为常用对数，如，等．为了方便起见，对数简记为，如，等． 在科学技术中，常常使用以为底的对数，这种对数称为自然对数．是一个无理数．正数的自然对数一般简记为，如，分别记为，等．
【例题3】 求下列各式的值：
； ．
[解析] 由，得． 设，则根据对数的定义知，即， 得：，，所以．
方法归纳 根据对数定义直接求解； 转化为指数方程进行求解．
【练习】 求下列各式的值：
； ； ； ； ； ．
[学生活动] 通过上面的计算你可以得到哪些一般性的结论？
[教师引导] 因为，所以（，）； 因为，所以（，）； 因为，所以（，）．
▍课堂反馈
根据对数的定义，写出下列各对数的值（，）：
； ； ； ； ； ．
2． 填空：
题号指数式对数式
▍课堂总结
【问题6】 通过本节课的学习和研究，你有哪些收获或启示？
[学生活动] 学生交流在本节课学习中的体会、收获，交流学习过程中的体验和感受，师生合作共同完成小结．
知识框图 知识与技能层面： 对数的定义，常用对数，自然对数，对数的简单性质，学会了对数和指数的互化以及对数的简单计算． 思想与方法层面：归纳、猜想、证明等方法，类比思想、方程思想、函数与方程思想、数形结合思想．

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