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第4章 指数与对数
4.2 对数
4.2.2 对数的运算性质（第1课时）
▍教学目标
掌握对数的运算性质，能够运用性质和公式进行运算、化简和求值，会解决实际问题．
根据已有的指数幂的运算性质和对数的定义，通过探讨研究，类比得出对数的运算性质．
数学运算：对数的运算． 逻辑推理：类比指数的运算性质推导出对数的运算性质． 数学抽象：从对数的运算中发现对数的运算性质．
▍情境设置
【问题1】 对数的概念是什么？
[学生活动] 若（，），则．
【问题2】 指数式与对数式有哪些相同点与不同点？
[学生活动] 本质相同，外在表现形式不同，名称不同．
【练习1】 求下列各式的值：
； ； （且）； ．
[学生活动] ； ； ．
【问题3】 并不像前三题那样可以分别求出两个对数值然后再相加，指数运算中有没有遇到类似的题目？你有什么思路？
[学生活动] 利用指数的运算性质化简．
【问题4】 设，，即求？化为指数式，即：，，如何出现？
[学生活动] 两个指数式相乘，，从而，所以．
【问题5】 我们已经学习了哪些指数运算性质？
[学生活动] （，）， （，）， （，，）．
【探究1】 既然对数与指数的本质相同，你能否类比指数的运算性质结合上题的计算过程发现（或推导出）对数有哪些运算性质？
▍概念的探究与建构
【问题6】 结合上题的计算过程，你可以化简（且，，）吗？
[学生活动] 设，，则，，所以，所以，即：．
【问题7】 你能从中归纳出对数的一个运算性质吗？
形成知识 对数运算性质： ， 其中，且，，．
[学生活动] 学生表达，师生共同完善补充．
【探究2】 你能证明下面两个运算性质吗？ （且，，）； （且，，）．
[学生活动] 学生表达，师生共同完善补充．
形成知识 对数运算性质： ， ， 其中，且，，． 对数运算性质的文字语言： 两正数的积的对数等于这两个正数的对数的和； 两正数的商的对数等于被除数的对数减去除数的对数； 一个正数的次幂的对数等于倍的该数的对数．
▍知识的运用与升华
【例题1】 求下列各式的值：
； ．
[解析] ． ．
[处理建议] 师生共同完成，熟悉运算性质．
【例题2】 已知，，求下列各式的值（结果保留位小数）：
； ．
[解析] ； ．
[处理建议] 师生共同完成．
【例题3】 求下列各式的值：
(1)； (2)； (3)； (4)．
[处理建议] 师生共同完成，过程略．
▍课堂反馈
1． 计算的值为__________________．
2． 计算下列各式的值：
； ．
3． 已知（，，），求值．
▍课堂总结
【问题8】 通过本节课的学习和研究，你有哪些收获或启示？
[学生活动] 学生交流在本节课学习中的体会、收获，交流学习过程中的体验和感受，师生合作共同完成小结．
知识框图 知识与技能层面：对数的运算性质． 思想与方法层面：归纳、猜想、证明等方法，类比思想．第4章 指数与对数
4.2 对数
4.2.2 对数的运算性质（第2课时）
▍教学目标
进一步熟悉对数的运算性质．
发现并掌握对数的换底公式，会用换底公式将一般的对数化为常用对数或自然对数．
会用换底公式进行一些简单的化简与证明，并在应用中体现化简与转化的数学思想．
数学运算：对数的运算． 逻辑推理：类比指数的运算性质推导出对数的运算性质． 数学抽象：从实例中抽象出对数的换底公式．
▍情境设置
【问题1】 对数有哪些运算性质？
[学生活动] ； ； ． 其中，且，，，．
【问题2】 对数的运算法则应用的前提是什么？
[学生活动] 且，，，，且底数相同．
【问题3】 你能计算出，，的值吗？
[学生活动] ，，．
【问题4】 ，，的值有什么关系吗？
[学生活动] ．
【问题5】 ，，的值有什么关系吗？
[学生活动] ．
▍概念的探究与建构
【问题6】 如何利用科学计算器计算？ （科学计算器通常只能对常用对数或自然对数进行计算）
[学生活动] 设，有（*）， 两边取以为底的对数，得． 而，所以，所以． 这样我们可以用科学计算器中的“”计算出． 如果对（*）式两边同时取自然对数得． 这样我们可以用科学计算器中的“”计算出． 因此．
【问题7】 大家观察，，，，这四组式子有什么共同特点？
[学生活动] 每个对数式都可以转化为两个同底的对数式相除．
【问题8】 这是一些特殊情况，能否推广到一般情况呢？也就是说：能否表示为两个同底的对数式相除的形式呢？如果可以，你可以猜出结论吗？
[学生活动] 猜想：（，，，，）．
【问题9】 你可以证明你的猜想吗？
[学生活动] 证明：设，则． 两边取以为底的对数，得， 即，所以． 故．
形成知识 ，其中，，，，，． 这个公式我们称为对数的换底公式．
▍知识的运用与升华
【例题1】 求下列各式的值：
； ； ．
[解析] ； ； ．
[处理建议] 师生共同完成，熟悉运算性质．
【变式】 求下列各式的值：
； ．
[解析] 原式； 原式．
[处理建议] 学生黑板板演，教师点评．
【探究】 ？？
[学生活动] 学生独立探究，得出结论： ； ．
【例题2】 若，，请用，表示下列各式的值：
； ； ．
[解析] ； ； ．
【例题3】 2000年A国国内生产总值（GDP）为89442亿元，如果A国GDP年均增长左右，按照这个增长速度，在2000年的基础上，经过多少年以后，A国GDP才能实现比2000年翻两番的目标？
【例题4】 要测定古物的年代，可以用放射性碳法：在动植物的体内都含有微量的放射性．动植物死亡后，停止了新陈代谢，不再产生，且原有的会自动衰变．经过年（的半衰期），它的残余量只有原始量的一半．经过科学测定，若的原始含量为，则经过年后的残留量为． 用放射性碳法，测得我国辽东半岛普兰店附近的泥炭中发掘出的古莲子中的残余量占原来的，试推算古莲子的生活年代．
▍课堂反馈
1． 求下列各式的值：
； ．
2． 若，,请用,表示．
▍课堂总结
【问题10】 通过本节课的学习和研究，你有哪些收获或启示？
[学生活动] 学生交流在本节课学习中的体会、收获，交流学习过程中的体验和感受，师生合作共同完成小结．
知识框图 知识与技能层面： 对数换底公式：（，，）． 两个重要结论：；． 思想与方法层面：归纳、猜想、特殊到一般等思想方法．

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