资源简介

3.2.1 双曲线的标准方程(教学设计)
(第一课时)
一、教学目标
1、通过双曲线轨迹的探索过程，体验双曲线的特征，总结双曲线的定义。
2、通过类比椭圆的标准方程，推导并掌握双曲线的标准方程。
3、通过对双曲线概念和标准方程的探索，培养学生观察分析的能力，体验数形结合思想，激发学生探究事物运动规律，进一步培养认清事物的本质特征。
二、教学重点及难点
※重点：准确理解表述双曲线的定义，标准方程的推导
※难点：会用待定系数法确定双曲线的方程及实际生活中双曲线的应用
三、教学方法
引导探究法、类比法。
四、教学过程
、新课引入
从双曲线在生活中的应用引入新课，通过数学实验感受双曲线的形成及特征，然后由椭圆的定义类比引出双曲线的定义。
（二）、动手演示，感受双曲线的形成
在椭圆定义中，到两定点的距离之“和”改为到两定点的距离之“差”为定值，则点的轨迹又会如何？能否利用手头的工具来演示得到满足这样条件的曲线呢？
（师生共同探索作图方案，主要解决如何来实现距离之差为定值）
（三）、剖析特征，提炼双曲线定义
1 分析演示结果:①如图(A)，
②如图(B)，
由①②可得： （差的绝对值）
2 双曲线定义：
（引导学生类比椭圆的定义概括出双曲线的定义）
平面内与两个定点F1、F2的距离的差的绝对值等于常数（小于|F1F2|）的点的轨迹叫做双曲线，这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点的距离叫做双曲线的焦距．
即：（）
（直观感觉双曲线有“两条”（两支），每一支“有点象”抛物线．）
几类特殊情况分析：
①常数等于||时： |||－|||=||，此时点的轨迹为两条射线。
②常数大于||时： |||－|||||，此时无轨迹。
③常数等于0时: =0则||=||, 此时点的轨迹是线段的垂直平分线。
巩固练习：
1、已知,是定点，动点满足，且，则点M的轨迹为（ ）
A 双曲线 B 直线 C 圆 D 射线
已知点,,动点满足,则点的轨迹为（ ）
A 一条射线 B 一条线段 C 两条射线 D 双曲线的一支
（四）、类比椭圆，推导标准方程
1 推导：（回忆椭圆的标准方程的推导步骤，来推导双曲线的标准方程）
①建系：以,所在的直线为轴，线段的中点为原点建立直角坐标系
②设点：设，，，
③列式：由，得
④化简：
，
令（），得，即．
2 标准方程：
①双曲线的标准方程
当焦点在x轴上，中心在原点时，方程形式：
当焦点在y轴上，中心在原点时，方程形式：
②参数a,b,c的关系及判断焦点在哪个轴上
（） （焦距）
判断：与的焦点位置，呢？
③与椭圆的对比(从定义阐述，方程结构特征，,,之间的关系，焦点坐标的判断着手分析共性与区别)
（五）、应用解题，巩固知识要点
例1 已知双曲线两个焦点分别是，，双曲线上一点到距离差的绝对值等于6，求双曲线的标准方程.
解：因为双曲线的焦点在x轴上，所以设它的标准方程为
（>0,b>0）.
因为2=6,2c=10,所以=3,c=5,所以
因此，双曲线的标准方程
例2 已知A,B两地相距800 m,在A地听到炮弹爆炸声比在B地晚2 s,且声速为340 m/s,求炮弹爆炸点的轨迹方程.
分析:首先根据题意,判断轨迹的形状.由声速及A，B两处听到爆炸声的时间差,可知A，B两处与爆炸点的距离的差为定值. 这样，爆炸点在以A，B为焦点的双曲线上.因为爆炸点离A处比离B处远，所以爆炸点应在靠近B处的双曲线的一支上.
解：如图，建立直角坐标系，设P的坐标为（x,y），则：
即： 又
所以：
因为所以
因此轨迹方程为：
※ 举一反三：
1.若在A,B两地同时听到炮弹爆炸声,则炮弹爆炸点的轨迹是什么
解: 爆炸点的轨迹是线段AB的垂直平分线.
2.根据两个不同的观测点测得同一炮弹爆炸声的时间差，可以确定爆炸点在某条曲线上，但不能确定爆炸点的准确位置. 而现实生活中为了安全，我们最关心的是炮弹爆炸点的准确位置，怎样才能确定爆炸点的准确位置呢
解:再增设一个观测点C，利用B，C（或A，C）两处测得的爆炸声的时间差，可以求出另一个双曲线的方程，解这两个方程组成的方程组，就能确定爆炸点的准确位置.这是双曲线的一个重要应用.
※ 探究：
如图，点A，B的坐标分别是（-5,0），（5,0），直线AM，BM相交于点M，且它们的斜率之积是4/9，试求点M的轨迹方程，并由点M的轨迹方程判断轨迹的形状.(与2.2例3比较，你有什么发现？)
五、课堂小结
1.双曲线定义及标准方程；
2.双曲线焦点位置的确定方法；
3.求双曲线标准方程的关键(定位，定量)；
4.双曲线与椭圆之间的区别与联系；
5.类比方法及数形结合思想.
六、作业
课本137页 习题3.2 学而时习之：1、2

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