资源简介

第5章 函数概念与性质
5.1 函数的概念和图象（第1课时）
▍教学目标
理解函数的定义、函数的定义域、值域及对应法则．
掌握判定函数和函数相等的方法．
学会求函数的定义域与函数值．
数学抽象：通过教材中四个实例总结函数定义． 逻辑推理：相等函数的判断． 数学运算：求函数定义域和求函数值． 数据分析：运用分离常数法和换元法求值域．
▍情境设置
【问题1】 初中（传统）的函数的定义是什么？初中学过哪些函数？
[学生活动] 小组讨论．
[教师引导] 初中已学习过函数的概念，函数的概念从运动变化的观点描述了变量之间的依赖关系．
【问题2】 初中我们已经学习了一些具体的函数，为什么现在还要学习函数呢？由初中的函数定义你能判断“”是否表示一个函数吗？函数与函数表示同一个函数吗？
[学生活动] 小组讨论．
[教师引导] 仅用初中的函数概念很难回答这些问题，我们需要从新的角度来认识函数概念．这就是今天我们要学习的：函数的概念（板书）．
【问题3】 下面3个问题中都涉及了变量，每个问题中的变量是什么？它们分别有什么关系？如何用集合语言阐述3个问题的共同特点？ 人口数量变化趋势是我们制定一系列相关政策的依据．从人口统计年鉴中可以查得我国1979~2014年人口数据资料（年末）如下表所示，你能根据该表说出我国人口的变化情况吗？ 一物体从静止开始下落，下落的距离（单位：m）与下落时间（单位：s）之间近似地满足关系式．若一物体下落2s，你能求出它下落的距离吗？ 下图为某市一天24小时内的气温变化图． 上午6时的气温约是多少？全天的最高气温、最低气温分别是多少？ 在什么时刻，气温为0℃？ 在什么时段内，气温在0℃以上？
[教师引导] 引导学生归纳出三个实例中变量之间的关系均可描述为：对于数集中的每一个，按照某种对应关系，在数集中都有唯一确定的与它对应，进一步抽象出函数的定义．
▍概念的探究与建构
【问题4】 你能用给函数下一个定义吗？
[学生活动] 小组讨论．
[教师引导] 学生表达，师生共同完善补充．
形成知识 一般地，给定两个非空实数集合和，如果按照某种对应关系，对于集合中的每一个实数，在集合中都有唯一的实数和它对应，那么就称为从集合到集合的一个函数．记作，． 其中，叫作自变量，集合叫作函数的定义域．
【问题5】 函数有哪些特点？
形成知识 集合和集合都是非空数集． 对应关系的方向是从到，且对应关系不一定是表达式，还可以是表格或图象． 每一个：对于集合中的每一个元素，集合中都有元素和它对应，即输入值取遍集合中的每一个值； 唯一：对于集合中的每一个元素，集合中都是唯一的元素和它对应，即每一个输入值在集合中都有唯一的输出值（“一对一”或“多对一”的是函数关系，“一对多”的不是函数关系）． 是一个抽象的符号，可以理解成在“对应关系”的作用下得到．因此，是使“对应”得以实现的方法和途径，即对应的函数值，而不是乘．在同时研究两个或多个函数时，常用不同符号表示不同的函数，除用符号外，还常用、、等符号来表示． 给定函数时要指明函数的定义域．对于用表达式表示的函数，如果没有指明定义域，那么，就认为函数的定义域是指使函数表达式有意义的自变量的取值集合．
【问题6】 构成函数定义有几个要素分别是什么？如何判断两个函数是同一函数？
[教师引导] 从数和形两个角度分析．
形成知识 函数的三要素： 定义域，值域和对应关系；对应关系、定义域、值域只有当这三要素完全相同时，两个函数才能称为同一函数．
▍知识的运用与升华
【例题1】 下列图象具有函数关系的是？（　　） ABCDEF
判断下列对应是否为函数： ，，； ，这里，，； 当为有理数时，当为无理数时． 与函数相同的函数是（　　）． A．　B．　C．　D．
[答案] AD B
方法归纳 判断是否为同一函数，定义域优先原则： 先看定义域，若定义域不同，则函数不相等． 若定义域相同，则化简函数解析式，看对应关系是否相等．
【例题2】 求下列函数的定义域：
； ．
[解析] 要使函数有意义，则即： ∴定义域为． 要使函数有意义，则即： ∴定义域为．
方法归纳 如果是整式，那么函数的定义域是实数集； 如果是分式，那么函数的定义域是使分母不为的实数的集合； 如果为偶次根式，那么函数的定义域是使根号内的式子大于或等于的实数的集合； 如果是次方式，那么函数的定义域是底数不为的实数的集合； 如果是由几个部分的数学式子构成的，那么函数的定义域是使各部分式子都有意义的实数的集合； 如果函数有实际背景，那么除符合上述要求外，还要符合实际情况．
【例题3】 已知函数（）： 求，，的值； 当时，求函数的值域．
[答案] ，， 值域为
【思考】 与有何区别与联系？
[教师引导] 表示当自变量时函数的值，是一个常量，而是自变量的函数，它是一个变量，是的一个特殊值．
【变式】 已知（），当函数值域为时，求函数定义域．
[答案] 定义域为
▍课堂反馈
1． 下列函数表示同一函数的是（ ）． A．， B．， C．， D．汽车匀速运动时，路程与时间的函数关系（）与一次函数（）
[答案] D
[解析] A选项中定义域不同，不是同一函数； B选项中解析式不同，不是同一函数； C选项中，与的解析式不同，不是同一函数； D选项是同一函数．
2． 求下列函数的定义域：
； ．
[答案]
▍课堂总结
【问题7】 通过本节课的学习和研究，你有哪些收获或启示？
[学生活动] 学生交流在本节课学习中的体会、收获，交流学习过程中的体验和感受，师生合作共同完成小结．
知识框图 知识与技能层面： 函数的概念，函数三要素，定义域、值域； 同一函数的判断； 在函数中定义域“优先”的原则． 思想与方法层面： 研究问题涵盖的思想与方法：数形结合、分类讨论思想……第5章 函数概念与性质
5.1 函数的概念和图象（第2课时）
▍教学目标
进一步理解函数的定义域和值域，并用图象法求值域．
掌握用描点法作一些简单函数的图象并能简单运用．
从“形”的角度进一步加深对两个变量之间函数关系的理解．
数学抽象：用集合语言表示函数图象． 数据分析：会画基本的函数图象． 数学运算：求函数的值域．
▍情境设置
【问题1】 初中学了哪几个基本初等函数？
[学生活动] 一次函数、二次函数、反比例函数．
【问题2】 你能说出画这些函数的步骤吗？
[学生活动] 通过列表、描点、连线三步，画出函数的图象．
[教师引导] 我们把这种作图方法称为“描点作图法”．
【问题3】 你能根据图象，求出函数，，的值域吗？
[学生活动] 值域依次为：，，．
[教师引导] 值域就是定义域中所有的值对应的函数值所构成的集合．
【追问1】 把【问题3】中的定义域都改成，值域又是多少呢？
[教师引导] 定义域不同，图象有变化，值域可能也会不同．这也是求值域的一种方法“图象法”．
【追问2】 你会画的图象吗？
[教师引导] 投影学生所作图象，与板演图象对比．
【追问3】 哪个图象画得更准确？为什么？
[教师引导] 从定义域中的每个值所对应函数值来看，的对应值是所对应值的．函数的图象也是两条曲线，这两条曲线也是由点构成的，我们只要明确点的位置就能准确画出图象．
▍概念的探究与建构
【问题4】 上任意一点的横、纵坐标如何表示？ （横坐标为，纵坐标为，其中）
[教师引导]
【追问4】 对于一般函数图象呢？
[教师引导] 函数的图象即集合内的所有的点组成的图形．作函数，的图象，就是作出点集． 函数，的图象在轴上的投影构成的集合对应着函数的定义域，在轴上的投影构成的集合对应着函数的值域．
形成知识 将自变量的一个值作为横坐标，相应的函数值作为纵坐标，就得到坐标平面上的一个点．当自变量取遍函数定义域中的每一个值时，就得到一系列这样的点．所有这些点组成的集合（点集）为，即，所有这些点组成的图形就是函数的图象．
▍知识的运用与升华
【例题1】 作出下列函数的图象，并求函数的值域． （且）； （）．
[分析] 中函数的定义域为，图象为直线上的孤立点． 中函数图象为抛物线的一部分，点在图象上，用实心点表示，点不在图象上，用空心点表示．
[解析] ∵且， ∴定义域为， ∴图象为直线上的个孤立点，如图． 由图象可知，值域为． （）， 故函数图象为二次函数图象上在区间上的部分，如图． 时，，时，，∴函数的值域为．
【变式1】 将【例题1】（2）中的定义域改为，求函数的图象与值域．
[解析] 图象变成函数在上的部分图象，如图．值域变为．
方法归纳 画函数的图象，需首先关注函数的定义域．定义域决定了函数的图象是一系列点、连续的线或是其中的部分． 描点作图，要找出关键“点”，再连线．如一次函数的图象描出端点或与坐标轴的交点，两点连线即得；二次函数的图象描出端点或与坐标轴的交点、顶点，连线即得．连线时还需标注端点的虚实． 函数的图象能体现函数的定义域、值域．这就是数形结合思想．
【思考】 设函数的定义域为，集合与集合相等吗？请说明理由．
[教师引导] 由于代表元素的不同，集合表示一个点集，表示函数，的图象；集合是一个数集，表示函数，的值域．
【例题2】 试画出函数的图象，并据图回答以下问题： 比较，，的大小； 若，试比较与的大小； 若关于的方程在内仅有一个实根，求实数的取值范围．
[解析] 根据图（1）容易发现，， 所以． 根据图（2）容易发现时，． 原方程可变形为：，进而转化为函数，和函数图象的交点个数问题，移动易知或时，只有一个交点． ∴或．
方法归纳 常借助函数图象求解以下几类问题： 比较函数值的大小； 求函数的值域； 分析两函数图象交点个数； 求解不等式或参数范围．
【变式2】 将【例题2】（2）中的“若”改为“”，其他条件不变，结果怎样？
[分析] 需对，所处的范围分情况讨论： 根据图象，若，则； 若，则． 若，①当时，；②当时，；③当时，．
【问题5】 设，则，的表达式是什么？在同一坐标系中作出这三者的图象，它们图象的形状一样吗？位置呢？
[学生活动] 学生作图．
[教师引导] ，，三者图象的形状相同，的图象可看成由的图象向上平移了个单位，的图象可看成由的图象向下平移了个单位．三者图象如图．
【追问5】 在同一坐标系中作出，，的图象，观察三者的形状和位置有什么异同？
[学生活动] 学生作图．
[教师引导] ，它们的图象形状相同，的图象可看成由的图象向左平移了一个单位，的图象可看成由的图象向右平移了个单位．如图．
形成知识 函数图象的平移变换： 左右平移：时，的图象向左平移个单位得到的图象；时，的图象向右平移个单位得到的图象． 上下平移：时，的图象向上平移个单位得到的图象；时，的图象向下平移个单位得到的图象．
【例题3】 用平移图象的方式作出的图象，并说明函数的值域．
[分析] 可以看作先向右移动一个单位，再向上移动个单位得到
[解析] 由图可知的值域为．
▍课堂反馈
1． 下列图形是函数（）的图象的是（　　）
[答案] B
2． 作出函数（）的图象，并回答下列问题 ________； 函数值域为______； 若，则与的大小关系是________．
[答案]
3． 若方程在内有唯一解，求实数的取值范围．
[答案] 由图可知：或时，方程有唯一解．
▍课堂总结
【问题6】 通过本节课的学习和研究，你有哪些收获或启示？
[学生活动] 学生交流在本节课学习中的体会、收获，交流学习过程中的体验和感受，师生合作共同完成小结．
知识框图 知识与技能层面： 作图象时一般应先确定函数的定义域，再在定义域内化简函数解析式，再列表描点，画出图象，并在画图象的同时注意一些关键点，如与坐标轴的交点、最高点或最低点，要分清这些关键点是实心点还是空心点． 在利用图象研究函数时，准确地作出函数的图象是解决问题的关键，只有这样，对性质的研究才更准确． 分析所给图象是不是函数图象的方法是：作一系列平行于轴的直线，若直线与图象最多只有一个交点，则该图象是函数的图象，否则就不是函数的图象． 思想与方法层面： 研究问题涵盖的思想与方法：数形结合、分类讨论、类比……

展开更多......

收起↑