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2.1.2　椭圆的简单几何性质
教学目标及重难点　
1.掌握椭圆的几何性质，了解椭圆标准方程中a，b，c的几何意义.（重点）
2.会用椭圆的几何意义解决相关问题．（重点、难点）
导语
与利用直线的方程、圆的方程研究它们的几何性质一样，我们利用椭圆的标准方程研究椭圆的几何性质，包括椭圆的范围、形状、大小、对称性和特殊点等．
一、椭圆的几何性质
问题1　观察椭圆＋＝1(a>b>0)的形状，你能从图上看出它的范围吗？它具有怎样的对称性？椭圆上哪些点比较特殊？
提示　范围：－a≤x≤a，－b≤y≤b；对称性：对称轴为x轴，y轴，对称中心为原点；
顶点：A1(－a,0)，A2(a,0)，B1(0，－b)，B2(0，b)．
知识梳理
焦点的位置 焦点在x轴上 焦点在y轴上
图形
标准方程 ＋＝1(a>b>0) ＋＝1(a>b>0)
范围 －a≤x≤a，－b≤y≤b －b≤x≤b，－a≤y≤a
顶点 A1(－a,0)，A2(a,0)，B1(0，－b)，B2(0，b) A1(0，－a)，A2(0，a)，B1(－b,0)，B2(b,0)
轴长 短轴长＝2b，长轴长＝2a 短半轴长＝b，长半轴长＝a
焦点 (±，0) (0，±)
焦距 |F1F2|＝2
对称性 对称轴：x轴、y轴　对称中心：原点
注意点：
(1)椭圆的焦点一定在它的长轴上．
(2)椭圆上到中心的距离最小的点是短轴的两个端点，到中心的距离最大的点是长轴的两个端点．
(3)椭圆上到焦点的距离最大和最小的点分别是长轴的两个端点，最大值为a＋c，最小值为a－c.
问题2　观察图，我们发现，不同椭圆的扁平程度不同，扁平程度是椭圆的重要形状特征，你能用适当的量定量刻画椭圆的扁平程度吗？这个定量对椭圆的形状有何影响？
提示　利用离心率e＝来刻画椭圆的扁平程度．
如图所示，在Rt△BF2O中，cos∠BF2O＝，记e＝，
则0知识梳理
椭圆的离心率：e＝∈(0,1)．
注意点：
(1)e＝＝.
(2)离心率的范围为(0,1)．
(3)e越大，椭圆越扁；e越小，椭圆越圆．
例1　设椭圆方程mx2＋4y2＝4m(m＞0)的离心率为，试求椭圆的长轴长、短轴长、焦点坐标及顶点坐标．
解　椭圆方程可化为＋＝1.
①当0＜m＜4时，a＝2，b＝，c＝，
∴e＝＝＝，
∴m＝3，∴b＝，c＝1，
∴椭圆的长轴长和短轴长分别是4,2，焦点坐标为F1(－1,0)，F2(1,0)，顶点坐标为A1(－2,0)，A2(2,0)，B1(0，－)，B2(0，)．
②当m＞4时，a＝，b＝2，
∴c＝，
∴e＝＝＝，解得m＝，
∴a＝，c＝，
∴椭圆的长轴长和短轴长分别为，4，焦点坐标为F1，F2，顶点坐标为A1，A2，B1(－2,0)，B2(2,0)．
反思感悟　用标准方程研究几何性质的步骤
(1)将椭圆方程化为标准形式．
(2)确定焦点位置．(焦点位置不确定的要分类讨论)
(3)求出a，b，c.
(4)写出椭圆的几何性质．
跟踪训练1　已知椭圆C1：＋＝1，设椭圆C2与椭圆C1的长轴长、短轴长分别相等，且椭圆C2的焦点在y轴上．
(1)求椭圆C1的长半轴长、短半轴长、焦点坐标及离心率；
(2)写出椭圆C2的方程，并研究其几何性质．
解　(1)由椭圆C1：＋＝1，可得其长半轴长为10，短半轴长为8，
焦点坐标为(6,0)，(－6,0)，离心率e＝.
(2)椭圆C2：＋＝1.几何性质如下：
①范围：－8≤x≤8，－10≤y≤10；②对称性：对称轴：x轴，y轴；对称中心：原点；③顶点：长轴端点(0,10)，(0，－10)，短轴端点(－8,0)，(8,0)；④焦点：(0,6)，(0，－6)，焦距为12；⑤离心率：e＝.
二、由椭圆的几何性质求标准方程
例2　求适合下列条件的椭圆的标准方程．
(1)在x轴上的一个焦点与短轴两个端点的连线互相垂直，且焦距为6；
(2)过点(3,0)，离心率e＝.
解　(1)依题意可设椭圆方程为＋＝1(a>b>0)．
如图所示，△A1FA2为等腰直角三角形，OF为斜边A1A2的中线(高)，
且|OF|＝c，|A1A2|＝2b，
所以c＝b＝3，
所以a2＝b2＋c2＝18，
故所求椭圆的标准方程为＋＝1.
(2)当椭圆的焦点在x轴上时，
设椭圆的标准方程为＋＝1(a>b>0)，
由题意，得a＝3，
因为e＝，所以c＝，从而b2＝a2－c2＝3，
所以椭圆的标准方程为＋＝1；
当椭圆的焦点在y轴上时，
设椭圆的标准方程为＋＝1(a>b>0)，
由题意，得b＝3，
因为e＝，所以＝，
把b＝3代入，得a2＝27，
所以椭圆的标准方程为＋＝1.
综上可知，所求椭圆的标准方程为＋＝1或＋＝1.
反思感悟　利用椭圆的几何性质求标准方程的步骤
(1)确定焦点位置．
(2)设出相应椭圆的标准方程．
(3)根据已知条件构造关于参数的关系式，利用方程(组)求参数．
(4)写出椭圆的标准方程．
跟踪训练2　(1)若椭圆的对称轴为坐标轴，长轴长与短轴长的和为18，一个焦点的坐标是(3,0)，则椭圆的标准方程为______________．
答案　＋＝1
解析　由题意，得
解得
因为椭圆的焦点在x轴上，
所以椭圆的标准方程为＋＝1.
(2)已知椭圆的对称轴是坐标轴，O为坐标原点，F是一个焦点，A是一个顶点，椭圆的长轴长为6，且cos∠OFA＝，则椭圆的标准方程是__________．
答案　＋＝1或＋＝1
解析　因为椭圆的长轴长是6，cos∠OFA＝，
所以点A不是长轴的端点(是短轴的端点)．
所以|OF|＝c，|AF|＝a＝3，
所以＝，所以c＝2，b2＝32－22＝5，
所以椭圆的标准方程是＋＝1或＋＝1.
三、求椭圆的离心率
例3　设椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，P是C上的点，PF2⊥F1F2，∠PF1F2＝30°，则C的离心率为________．
答案　
解析　方法一　由题意可设|PF2|＝m，结合条件可知|PF1|＝2m，|F1F2|＝m，故离心率e＝＝＝＝＝.
方法二　由PF2⊥F1F2可知P点的横坐标为c，将x＝c代入椭圆方程可解得y＝±，所以|PF2|＝.又由∠PF1F2＝30°可得|F1F2|＝|PF2|，故2c＝·，变形可得(a2－c2)＝2ac，等式两边同除以a2，得(1－e2)＝2e，解得e＝或e＝－(舍去)．
延伸探究
1．若将本例中“PF2⊥F1F2，∠PF1F2＝30°”改为“∠PF2F1＝75°，∠PF1F2＝45°”，求C的离心率．
解　在△PF1F2中，
∵∠PF1F2＝45°，∠PF2F1＝75°，
∴∠F1PF2＝60°，
设|PF1|＝m，|PF2|＝n，|F1F2|＝2c，m＋n＝2a，
则在△PF1F2中，有＝＝，
∴＝，
∴e＝＝＝＝.
2．若将本例中“PF2⊥F1F2，∠PF1F2＝30°”改为“C上存在点P，使∠F1PF2为钝角”，求C的离心率的取值范围．
解　由题意，知c>b，∴c2>b2.
又b2＝a2－c2，
∴c2>a2－c2，即2c2>a2.∴e2＝>，
∴e>，又0∴C的离心率的取值范围为.
反思感悟　求椭圆离心率及取值范围的两种方法
(1)直接法：若已知a，c可直接利用e＝求解．若已知a，b或b，c可借助于a2＝b2＋c2求出c或a，再代入公式e＝求解．
(2)方程法或不等式法：若a，c的值不可求，则可根据条件建立a，b，c的关系式，借助于a2＝b2＋c2，转化为关于a，c的齐次方程或不等式，再将方程或不等式两边同除以a的最高次幂，得到关于e的方程或不等式，即可求得e的值或取值范围．
跟踪训练3　(1)已知椭圆的方程为2x2＋3y2＝m(m>0)，则此椭圆的离心率为(　　)
A. B. C. D.
答案　B
解析　椭圆的方程可化为＋＝1，
e＝＝＝＝.
(2)椭圆的左、右焦点分别为F1，F2，过点F1作直线与椭圆相交，被椭圆截得的最短的弦MN的长为，若△MF2N的周长为20，则椭圆的离心率为(　　)
A. B. C. D.
答案　C
解析　设椭圆的方程为＋＝1(a>b>0)，则由椭圆的定义，可得|MF1|＋|MF2|＝|NF1|＋|NF2|＝2a.由△MF2N的周长为20，可得4a＝20，即a＝5.过点F1作直线与椭圆相交，当直线垂直于x轴时，弦长最短，令x＝－c，代入椭圆的方程，可得y＝±，即＝，解得b2＝9，所以c＝＝4，所以椭圆的离心率为e＝＝.
1．知识清单：
(1)椭圆的简单几何性质．
(2)由椭圆的几何性质求标准方程．
(3)求椭圆的离心率．
2．方法归纳：分类讨论、方程法(不等式法)．
3．常见误区：忽略椭圆离心率的范围0＜e＜1及长轴长与a的关系．
1．(多选)已知椭圆C：16x2＋4y2＝1，则下列结论正确的是(　　)
A．长轴长为 B．焦距为
C．焦点坐标为 D．离心率为
答案　CD
解析　由椭圆方程16x2＋4y2＝1化为标准方程可得＋＝1，
所以a＝，b＝，c＝，
所以长轴长为2a＝1，焦距为2c＝，焦点坐标为，离心率为e＝＝.
2．已知椭圆的离心率为，焦点是(－3,0)和(3,0)，则该椭圆的方程为(　　)
A.＋＝1 B.＋＝1
C.＋＝1 D.＋＝1
答案　A
解析　由题意知c＝3，＝，
则a＝6，∴b2＝a2－c2＝27，
∴椭圆的方程为＋＝1.
3．若椭圆的两个焦点与短轴的一个端点构成一个正三角形，则该椭圆的离心率为(　　)
A. B. C. D.
答案　A
解析　不妨设椭圆的左、右焦点分别为F1，F2，B为椭圆的上顶点．
依题意可知，△BF1F2是正三角形．
∵在Rt△OBF2中，|OF2|＝c，|BF2|＝a，∠OF2B＝60°，
∴cos 60°＝＝，
即椭圆的离心率e＝.
4．若椭圆C：＋＝1的一个焦点坐标为(0,1)，则C的长轴长为________．
答案　2
解析　∵椭圆的一个焦点坐标为(0,1)，
∴m2－1－m＝1，即m2－m－2＝0，
解得m＝2或m＝－1，
由于＋＝1表示的是椭圆，
则m>1，∴m＝2，
则椭圆方程为＋＝1，
∴a＝，2a＝2.

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