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第35讲 等差数列
【基础回顾】
1. 等差数列 的判定:
① (定义法);
② (中项法);
③ ; ④ .
2. 等差数列通项公式:① ; ② .
3. 等差数列前 项和公式: (公式推导方法: 倒序相加法、分组求和法)
① (均值型);
② (基本量型)
4. 等差数列 的性质:
①若 成等差数列,则 叫做 的等差中项,即 .
② 若 ,则 .
③设 为等差,则 等仍为等差, 是等比.
④等差数列 的连续 项和构成的数列: ,仍为等差数列 (公差为 ).
⑤ 是以 为首项, 为公差的等差数列.
⑥ 若 ,则 .
⑦ 若 ,则 .
⑧项之比与和之比的关系: 设等差数列 的前 项的和分别为 ,
则 . 【 】
⑨ 在等差数列中, .
5 求等差数列前n项和Sn的最值
①当a1>0，d<0时，满足的项数m使得Sn取得最大值Sm；
②当a1<0，d>0时，满足的项数m使得Sn取得最小值Sm
题型一 等差数列基本量的运算
【例题精讲】
1．已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若2a4+3a9＝5，则S13＝（　　）
A．13 B．14 C．16 D．20
【答案】A
【解答】解：设等差数列的公差为d，
因为2a4+3a9＝5，所以2a1+6d+3a1+24d＝5（a1+6d）＝5a7＝5，解得a7＝1，
所以．
故选：A．
2．已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若a1+a6＝4，a3+a8＝2，则S8等于（　　）
A． B．12 C．13 D．26
【答案】B
【解答】解：∵等差数列{an}是等差数列，
∴a1+a8＝a6+a3，
又∵a1+a6＝4，a3+a8＝2，
∴a1+a6+a3+a8＝2（a1+a8）＝4+2＝6，即a1+a8＝3，
∴．
故选：B．
3．已知数列{an}为等差数列，其前n项和为Sn，且a3＝7，，则S9＝（　　）
A．63 B．72 C．135 D．144
【答案】C
【解答】解：设等差数列{an}的公差为d，则，则．
由，得，解得d＝4．
又因为a3＝7，所以a1＝a3﹣2d＝﹣1，
所以．
故选：C．
（多选）4．已知Sn是等差数列{an}的前n项和，a1＝10，S9＝18，则（　　）
A．a5＝0 B．S11＝0
C．当n＝5时，Sn取最大值 D．Sn的最小值是0
【答案】BC
【解答】解：设等差数列{an}的公差为d，
因为a1＝10，S9＝18，
所以90+36d＝18，解得d＝﹣2，
对于A，a5＝a1+4d＝2，故A错误；
对于B，110﹣110＝0，故B正确；
对于C，D，10n﹣n（n﹣1）＝﹣n2+11n，
所以当n＝5或6时，Sn取得最大值，Sn无最小值，故C正确，D错误．
故选：BC．
（多选）5．已知{an}为等差数列，其前n项和为Sn，a1＝12，S5＝S8，则下列结论正确的有（　　）
A．a7＝0
B．S5＝40
C．当且仅当n＝6时，Sn最大
D．满足Sn＞0的最大整数n为14
【答案】AB
【解答】解：对于A，因为{an}为等差数列，所以S8﹣S5＝a8+a7+a6＝3a7＝0，所以a7＝0，故A正确；
对于B，因为{an}为等差数列，且a1＝12，所以，所以数列{an}的公差为﹣2，
所以an＝12﹣2（n﹣1）＝﹣2n+14，
所以，故B正确；
对于C，由a7＝0，得S6＝S7，当n＜7时，an＞0，当n＞7时，an＜0，
所以当n＝6或n＝7时，Sn最大，故C错误；
对于D，当n＜7时，an＞0，当n＞7时，an＜0，
又因为a1+a13＝2a7＝0，所以，
所以当n≥14时，Sn＜0，当n≤12时，Sn＞0，
所以满足Sn＞0的最大整数n为12，故D错误．
故选：AB．
题型二 等差数列通项的性质
【例题精讲】
1．在等比数列{an}中，a4，a16是方程x2+30x+36＝0的两个根，则a10＝（　　）
A．±6 B．6 C．36 D．﹣6
【答案】D
【解答】解：等比数列{an}中，a4，a16是方程x2+30x+36＝0的两个根，
∴，
由，
∴由等比数列的性质可得，．
故选：D．
2．已知等差数列{an}中，a2+a4＝6，则a1+a3+a5＝（　　）
A．15 B．9 C． D．
【答案】B
【解答】解：a2+a4＝6，则2a3＝6，那么a3＝3．
则a1+a3+a5＝（a1+a5）+a3＝2a3+a3＝3a3．
把a3＝3代入可得3a3＝3×3＝9．
故选：B．
3．在等差数列{an}中，a6＝3，则（　　）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】D
【解答】解：因为a6＝3，令{an}的公差为d，
则．
故选：D．
（多选）4．已知等差数列{an}的公差为d，前n项和为Sn，a3＝16，a5＝12，则（　　）
A．d＝﹣2
B．a1＝24
C．a2+a6＝28
D．Sn取得最大值时，n＝11
【答案】AC
【解答】解：∵等差数列{an}的公差为d，前n项和为Sn，a3＝16，a5＝12，
∴d2，故D正确；
根据d＝﹣2，可得a1＝20，故B错误；
∵a2+a6＝2a1+6d＝28．故C正确；
根据Sn＝na119n﹣n2 取得最大值时，n＝9或10，故D错误，
故选：AC．
（多选）5．设{an}是等差数列，下列结论中正确的是（　　）
A．若a1+a2＞0，则a2+a3＞0
B．若a1a2＜0，则a2a3＞0
C．若0＜a1＜a2，则
D．（a2﹣a1）（a2﹣a3）＞0
【答案】BC
【解答】解：设{an}的公差为d，
对于A，∵a1+a2＝2a1+d＞0，∴a2+a3＝2a1+d+2d，
∵公差d的正负不确定，
∴2a1+3d的正负不确定，故A错误；
对于B，∵a1a2＜0，∴a1，a2异号，
当a1＜0，a2＞0时，由等差数列的单调性可知a3＞0，即a2a3＞0，
当a1＞0，a2＜0时，由等差数列的单调性可知a3＜0，即a2a3＞0，
∴若a1a2＜0，则a2a3＞0，故B正确；
对于C，a1+a3＝2a2，
∴，∴，
又∵a2＞a1，∴不存在a1＝a2＝a3使原式取等情况，
∴，故C正确；
对于D，，故D错误．
故选：BC．
题型三 等差数列前n项和的性质
【例题精讲】
1．设等差数列{an}的前n项和为Sn，已知a5+a6＝53，则S10＝（　　）
A．530 B．430 C．265 D．215
【答案】C
【解答】解：a5+a6＝53，则S105（a5+a6）＝265．
故选：C．
2．已知两个等差数列{an}，{bn}的前n项和分别是Sn，Tn，且，则（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【解答】解：根据题意，在两个等差数列{an}，{bn}中，若，
不妨Sn＝（2n+4）kn，Tn＝（3n+1）kn，k为常数，
则．
故选：B．
3．已知等差数列{an}的前n项和Sn满足：S2025＜S2024＜S2026，则数列的最小项是第（　　）项．
A．2026 B．2027 C．4048 D．4049
【答案】A
【解答】解：等差数列{an}中，S2025＜S2024＜S2026，
则a2025＝S2025﹣S2024＜0，a2026＝S2026﹣S2025＞0，a2025+a2026＝S2026﹣S2024＞0，
因此等差数列{an}为递增数列，
而，
，
则n≤2025时，an＜0，Sn＜0，；
当n≥2026时，an＞0，则Sn＜0，此时2026≤n≤4049，数列{Sn}为递增数列，
随着n的增大，an增大，减小，Sn增大，但，Sn＜0，则增大，
n＝2026时，最小．
故选：A．
（多选）4．设Sn是等差数列{an}的前n项和，若S15＜0，，则（　　）
A．d＜0
B．|a7|＜|a8|
C．当Sn取得最大值时，n＝7
D．使Sn＞0成立的最大整数n为13
【答案】AC
【解答】解：对于A，因为Sn是等差数列{an}的前n项和，
所以由，
由，因为a8＜0，所以a7＞0，
因为数列{an}是等差数列，所以等差数列的公差d＝a8﹣a7＜0，故A正确；
对于B，因为a7+a8＞0，且a8＜0，所以a7＞0，且|a7|＞|a8|，故B不正确；
对于C，因为a8＜0，a7＞0，所以该数列的前7项都是正数，从第8项起每项都是负数，
所以当n＝7时，Sn取得最大值，故C正确；
对于D，因为a7+a8＞0，
所以，
又因为S15＜0，所以使Sn＞0成立的最大整数n为14，故D不正确．
故选：AC．
（多选）5．已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若S23＞0，S24＜0，则下列结论正确的是（　　）
A．数列{an}是递增数列
B．a13＞0
C．当Sn取得最大值时，n＝12
D．|a13|＞|a12|
【答案】CD
【解答】解：ABD选项，设{an}的公差为d，
，故a12＞0，
，故a12+a13＜0，
所以a13＜0，且|a13|＞|a12|，d＝a13﹣a12＜0，
即{an}是递减数列，AB错误，D正确．
C选项，由于{an}是递减数列，a12＞0，a13＜0，
故当Sn取得最大值时，n＝12，C正确．
故选：CD．
题型四 等差数列前n项和的最值问题
【例题精讲】
（多选）1．设等差数列{an}的前n项和为Sn，若Sn有最大值，且，则下列结论正确的是（　　）
A．当Sn最大时，n＝2023
B．使Sk＞0的最大k值为4045
C．S4046＜S1＜S4045
D．在数列中，当n＝2023时，取最大值
【答案】ACD
【解答】解：等差数列{an}的前n项和为Sn，Sn有最大值，且，
由，得a2024（a2023+a2024）＜0，
则或，即或，
∵Sn有最大值，∴，
∴当Sn最大时，n＝2023，故A正确；
∵S4046＝2023（a2023+a2024）＞0，S4047＝4047a2024＜0，
∴使Sk＞0的最大k值不为4045，故B错误；
根据等差数列前n项和的函数性质，Sn先增大后减小，
∵Sn的图象过原点，S1＞0且S4046＞0，
又S4046＝a1+（a2+ +a4046）＝S1+4045a2024＜S1，
S4045＝a1+（a2+ +a4045）＝S1+2022（a2023+a2024）＞S1，
∴S4046＜S1＜S4045，故C正确；
当1≤n≤4046时，Sn＞0，
∵a1＞a2＞ ＞a2023＞0＞a2024＞a2025＞ ＞a4046，
∴当2024≤n≤4046时，，当1≤n≤2023时，，
∵且0＜S1＜S2＜ ＜S2023，
∴，
∴在数列中，当n＝2023时，取最大值，故D正确．
故选：ACD．
（多选）2．已知等差数列{an}前n项和为Sn，若S8＜S6＜S7，则下列说法正确的是（　　）
A．|a6+a7|＜|a8+a9|
B．当n＝8时，Sn最大
C．使得Sn＜0成立的最小自然数n＝14
D．时，n≤7
【答案】AC
【解答】解：设等差数列{an}的公差为d，
若S8＜S6＜S7，则a7＝S7﹣S6＞0，a7+a8＝S8﹣S6＜0，
所以a8＜0，d＝a8﹣a7＜0，即等差数列{an}为递减数列，
对于A，由上述分析知，a7＞0，a6＞0，a8＜0，a9＜0，
|a6+a7|﹣|a8+a9|＝a6+a7+a8+a9＝2（a7+a8）＜0，
则|a6+a7|＜|a8+a9|，故A正确；
对于B，由a8＜0，a7＞0，知等差数列{an}前7项为正数，其余项为负数，
故当n＝7时，Sn最大，故B错误；
对于C，因为a1+a14＝a7+a8＜0，
故，，
所以使得Sn＜0成立的最小自然数n＝14，故C正确；
对于D，因为a1＞a2＞ ＞a7＞0＞a8＞a9＞ ，
所以0＜S1＜S2＜S3＜S4＜…＜S7，S7＞S8＞S9＞S10＞…＞S13＞0，当n≥14时Sn＜0，
所以当n≤7或n≥14时，，故D错误．
故选：AC．
（多选）3．设等差数列{an}的前n项和为Sn，公差为d，已知a7＜0，a7+a8＞0，则下列说法正确的是（　　）
A．Sn的最小值为S7
B．满足Sn＞0的最小n值是14
C．满足Sn＜0的最大n值是14
D．数列的最小项为第8项
【答案】ABD
【解答】解：等差数列{an}中，a7＜0，a7+a8＞0，
所以a7＜0，a8＞0，a1＜0，d＞0，
故n＝7时，Sn取得最小值，A正确；
S1313a7＜0，S147（a7+a8）＞0，
则满足Sn＞0的最小n值是14，B正确，C错误；
因为数列的前7项为负，从第8项开始为正数，且S1，S2，…，S13为负，S14，S15，…，为正，
所以n≤7时，0，当8≤n≤13时，0，且随着n的增大而增大，当n＞13时，0，
故n＝8时，最小，D正确．
故选：ABD．
4．已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若a1＝29，且S10＝S20，则Sn的最大值为 　225　 ．
【答案】225．
【解答】解：等差数列{an}的前n项和为Sn，a1＝29，且S10＝S20，
设等差数列{an}的公差为d，
所以S20﹣S10＝a11+a12+ +a20＝5（a11+a20）＝10a1+145d＝290+145d＝0，
解得d＝﹣2，，
所以当n＝15时，Sn取得最大值为225．
故答案为：225．
5．已知Sn是等差数列{an}的前n项和，S9＝126，a4+a10＝40，则的最小值为 　28　 ．
【答案】28．
【解答】解：因为等差数列{an}中，S9＝126，a4+a10＝40，
所以，
解得a1＝2，d＝3，
所以Sn＝2n，
则3n1，
结合对勾函数的单调性可知n＝4或5时，上式取得最小值28．
故答案为：28．
题型五 等差数列的判定与证明：定义法，等差中项法
【例题精讲】
1．在等差数列{an}中，已知公差d＝﹣3，a3＝﹣4．
（1）判断﹣12和﹣58是否是数列{an}中的项．如果是，是第几项？如果不是，请说明理由；
（2）求数列{an}的前n项和Sn．
【答案】（1）﹣12不是数列{an}中的项，﹣58是数列{an}中的项，是第21项．
（2）n2n．
【解答】解：（1）∵等差数列{an}中，公差d＝﹣3，a3＝﹣4，
∴﹣4＝a1+2×（﹣3），∴a1＝2，
∴an＝2+（n﹣1）×（﹣3）＝5﹣3n，
令5﹣3n＝﹣12，∴n，∴﹣12不是数列{an}中的项，
令5﹣3n＝﹣58，∴n＝21，∴﹣58是数列{an}中的项，是第21项．
（2）Snn2n．
2．已知正项数列{an}，其前n项和Sn满足an（2Sn﹣an）＝1（n∈N*）．
（1）求证：数列{Sn2}是等差数列，并求出Sn的表达式；
（2）数列{an}中是否存在连续三项ak，ak+1，ak+2，使得，，构成等差数列？请说明理由．
【答案】（1）证明过程见解答；Sn；
（2）数列{an}中不存在连续三项ak，ak+1，ak+2，使得，，构成等差数列．理由见解答．
【解答】解：（1）证明：依题意，正项数列{an}中，1，即a1＝1，
当n≥2时，an＝Sn﹣Sn﹣1，即（Sn﹣Sn﹣1）[2Sn﹣（Sn﹣Sn﹣1）]＝1，
整理，得1，又，
∴数列{Sn2}是以1为首项，1为公差的等差数列，
∴n，∵数列{an}是正项数列，∴Sn；
（2）数列{an}中不存在连续三项ak，ak+1，ak+2，使得，，构成等差数列．
理由如下：
当n≥2时，an＝Sn﹣Sn﹣1，
∵a1＝1，即 n∈N*，都有，
∴，
假设数列{an}中存在连续三项ak，ak+1，ak+2，使得，，构成等差数列，
则2（），即，
两边同时平方，得k+1+k+2k﹣1+k+2+2，
∴（k+1）k＝（k﹣1）（k+2），
整理得k2+k＝k2+k﹣2，∴0＝﹣2，不成立，故假设错误，
∴数列{an}中不存在连续三项ak，ak+1，ak+2，使得，，构成等差数列．
3．已知数列{an}满足：．
（1）求证：为等差数列；
（2）设数列{anan+1}的前n项和Sn，证明：．
【答案】（1）已知数列{an}满足：，
则，
又，
即数列是以1为首项，3为公差的等差数列；
（2）由（1）可得：，
即，
则，
则．
【解答】证明：（1）已知数列{an}满足：，
则，
又，
即数列是以1为首项，3为公差的等差数列；
（2）由（1）可得：，
即，
则，
则．
4．设数列{an}的前n项和为Sn已知．
（Ⅰ）求a2的值；
（Ⅱ）求证为等差数列；
（Ⅲ）证明：对一切正整数n，有．
【答案】（Ⅰ）4；（Ⅱ）证明见解答；（Ⅲ）证明见解答．
【解答】解：（Ⅰ）由，
可得n＝1时，2a1＝2S1＝a212，解得a2＝4；
（Ⅱ）证明：由，
可得2Sn＝nan+1n3﹣n2n＝nan+1，①
当n≥2时，2Sn﹣1＝（n﹣1）an，②
①﹣②可得2an＝nan+1﹣（n﹣1）an﹣n（n+1），
化为1（常数），
由a2＝4；可得2﹣1＝1，
所以数列{}是以首项为1，公差为1的等差数列；
（Ⅲ）证明：由（Ⅱ）可得n，则an＝n2（n≥2），
当n＝1时，上式显然成立，所以an＝n2（n∈N*），
①当n＝1时，1，所以原不等式成立．
②当n＝2时，1，则原不等式也成立．
③当n≥3时，由n2＞（n﹣1）（n+1），可得，
则......1...
＝1（1...）＝1（1）（），
所以当n≥3时，原不等式也成立，
综上，可得对一切正整数n，有．
5．已知数列{an}的首项为，且满足an+1+4an+1an﹣an＝0．
（1）证明：数列为等差数列；
（2）设数列的前n项和为Sn，求数列{（﹣1）nSn}的前n项和．
【答案】（1）证明见解答；
（2）．
【解答】证明：（1）∵an+1+4an+1an﹣an＝0，，
an﹣an+1＝4anan+1，显然an+1an≠0，
∴，
∴数列是以首项为2，公差为4的等差数列．
解：（2）由（1）知，
数列的前n项和为，
，
设数列{（﹣1）nSn}的前n项和为 Tn，
当n为偶数时，，
，
当n为奇数时，，
∴．
课时精练
一．选择题（共8小题）
1．已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若a2＝3，S5﹣S3＝16，则S7＝（　　）
A．36 B．49 C．58 D．64
【答案】B
【解答】解：设等差数列{an}的公差为d，
由已知，a2＝a1+d＝3，S5﹣S3＝2a1+7d＝16，解得a1＝1，d＝2，
故a4＝a1+3d＝7，
所以．
故选：B．
2．已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若a1+a6＝4，a3+a8＝2，则S8等于（　　）
A． B．12 C．13 D．26
【答案】B
【解答】解：∵等差数列{an}是等差数列，
∴a1+a8＝a6+a3，
又∵a1+a6＝4，a3+a8＝2，
∴a1+a6+a3+a8＝2（a1+a8）＝4+2＝6，即a1+a8＝3，
∴．
故选：B．
3．已知等差数列{an}的公差d＞0，a1＝1，，则d＝（　　）
A．4 B．3 C．2 D．1
【答案】B
【解答】解：由a1＝1，a3＝9，得（1+d）2﹣（1+2d）＝9，
整理得d2﹣9＝0，解得d＝3或d＝﹣3（舍去）．
故选：B．
4．已知两个等差数列{an}，{bn}的首项分别为1和2，且a10+b10＝30，则数列{an+bn}的前20项的和为（　　）
A．165 B．630 C．60 D．330
【答案】B
【解答】解：根据题意，设等差数列{an}，{bn}的公差分别为d1，d2，
数列{an+bn}的前n项的和Sn，
由a10+b10＝30，a1＝1，b1＝2，得a1+9d1+b1+9d2＝30，
解得d1+d2＝3，
所以a20+b20＝a1+19d1+b1+19d2＝a1+b1+19（d1+d2）＝60，
．
故选：B．
5．若等差数列{an}的前n项和为S，且满足S45＞0，S46＜0，对任意正整数n，都有|an|≥|am|，则m的值为（　　）
A．21 B．22 C．23 D．24
【答案】C
【解答】解：依题意，，则a23＞0，
又，则a23+a24＜0，a24＜﹣a23＜0，
等差数列{an}的公差d＝a24﹣a23＜0，因此数列{an}单调递减，
a1＞a2＞ ＞a22＞a23＞0＞a24＞a25＞ ，且|a23|＜|a24|，
即任意正整数n，|an|≥|a23|恒成立，
所以对任意正整数n，都有|an|≥|am|成立的m＝23．
故选：C．
6．已知等差数列{an}的前n项和为Sn，对任意的n∈N*，均有S5≤Sn成立，则的值的取值范围是（　　）
A．（3，+∞） B．[3，+∞）
C．（﹣∞，﹣3）∪[3，+∞） D．（﹣∞，﹣3]∪[3，+∞）
【答案】B
【解答】解：由题意知S5是等差数列{an}的前n项和中的最小值，必有a1＜0，公差d＞0，
若a5＝0，此时S4＝S5，S4，S5 是等差数列 {an} 的前n项和中的最小值，此时a5＝a1+4d＝0，即a1＝﹣4d，
则；
若a5＜0，a6＞0，此时S5是等差数列{an}的前n项和中的最小值，
此时a5＝a1+4d＜0，a6＝a1+5d＞0，
即，
则113，
综合可得， 的取值范围是[3，+∞）．
故选：B．
7．设等差数列{an}的前n项和为Sn，已知，则k＝（　　）
A．11 B．9 C．8 D．6
【答案】D
【解答】解：等差数列{an}的前n项和为Sn，，
∵数列{an}为等差数列，
∴ak﹣1+ak+1＝2ak，a1+a2k﹣1＝2ak，
又，
∴ak（ak﹣2）＝0，∴ak＝0或ak＝2，
∵，
∴ak≠0，则ak＝2，
∴2（2k﹣1）＝22，解得k＝6．
故选：D．
8．若两个等差数列{an}和{bn}的前n项和分别是Sn和Tn，已知，则（　　）
A．7 B． C． D．
【答案】D
【解答】解：．
故选：D．
二．多选题（共3小题）
（多选）9．已知等差数列{an}的前n项和为Sn，S6＝﹣9，an+2﹣an＝﹣6，则（　　）
A．等差数列{an}的公差d＝﹣3
B．Sn的最大值为S2或S3
C．a2+a3+a7+a8＝﹣24
D． n∈N*，an＜an+1
【答案】ABC
【解答】解：根据题意，设等差数列{an}的公差为d，
由于S6＝﹣9，an+2﹣an＝﹣6，
则，即，解得，故A正确；
因此可得数列{an}是以6为首项，﹣3为公差的等差数列，
由d＜0，则数列{an}为递减数列，即 n∈N*，an＞an+1，故D错误；
又an＝6+（n﹣1）×（﹣3）＝﹣3n+9，
当n＝3时，a3＝0，所以Sn的最大值为S2或S3，故B正确；
由a2+a3+a7+a8＝4a5＝4（﹣15+9）＝﹣24，故C正确．
故选：ABC．
（多选）10．已知数列{an}的前n项和为Sn.（　　）
A．若Sn＝n2﹣1，则{an}是等差数列
B．若Sn＝2n﹣1，则{an}是等比数列
C．若{an}是等差数列，则S99＝99a50
D．若{an}是等比数列，且a1＞0，q＞0，则S2n﹣1 S2n+1＞S2n2
【答案】BC
【解答】解：若Sn＝n2﹣1，则有a1＝S1＝0，a2＝S2﹣S1＝22﹣12＝3，a3＝S3﹣S2＝32﹣22＝5，2a2≠a1+a3，此时数列{an}不是等差数列，∴选项A错误；
若Sn＝2n﹣1，则当n＝1时，有a1＝S1＝1，当n≥2时，有an＝Sn﹣Sn﹣1＝2n﹣2n﹣1＝2n﹣1，故an＝2n﹣1，2，此时数列{an}是等比数列，∴选项B正确；
又由等差数列的性质可得：S9999a50，故选项C正确；
∵当a1＞0，q＝1时，有an＝a1，S2n﹣1S2n+1＝（2n﹣1）（2n+1）a12＝（4n2﹣1）a12，S2n2＝（2na1）2＝4n2a12，
此时S2n﹣1S2n+1＜S2n2，故选项D错误，
故选：BC．
（多选）11．记Sn为等差数列{an}的前n项和，已知a1＞0，{an}的公差为d，且（S8﹣S6）S13＜0，则（　　）
A．a8＜0
B．S8＜S6＜S7
C．
D．满足Sn＞0的n的最大值为15
【答案】ABC
【解答】解：等差数列{an}中，a1＞0，且（S8﹣S6）S13＜0，
得，
即13（a8+a7）×a7＜0①，则，
所以a8a7＜0，又a1＞0，
若d＞0，则a8＞0，a7＞0，不合题意，
所以d＜0，则a8＜0，a7＞0，A正确；
结合①知，a8+a7＝S8﹣S6＜0，则S8＜S6，
又S7＝S6+a7＞S6，所以S8＜S6＜S7，B正确；
由a8+a7＝a1+7d+a1+6d＝2a1+13d＜0，所以，
由a7＝a1+6d＞0，所以，
由a8＝a1+7d＜0，所以，
所以，C正确；
由，所以，
由C知，，所以n的最大值为13，D错误．
故选：ABC．
三．填空题（共3小题）
12．在公差不为0的等差数列{an}中，若a3是ax与ay的等差中项，则的最小值为 　　 ．
【答案】．
【解答】解：在公差不为0的等差数列{an}中，已知a3是ax与ay的等差中项，
则2a3＝ax+ay，又等差数列的性质可得x+y＝6，
又x、y均为正整数，
所以，
当且仅当，即x＝2，y＝4时等号成立，
即的最小值为．
故答案为：．
13．已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且，则　　 ．
【答案】．
【解答】解：由等差数列的性质知，，
所以，所以．
故答案为：．
14．若an＝n﹣1，n∈N*，记数列{an}的前n项和为Sn，则的最小值为 　　 ．
【答案】．
【解答】解：因为an＝n﹣1，n∈N*，记数列{an}的前n项和为Sn，
可得a1＝1﹣1＝0，
可得，
所以，
令t＝n（n﹣1），则t≥2，t∈N，
所以，
令，
则，
所以当t＜10时，f'（t）＜0，此时f（t）单调递减，
当t＞10时，f'（t）＞0，此时f（t）单调递增，
因为t＝n（n﹣1），且n∈N*，
当t＝4×3＝12时，，
当t＝3×2＝6时，，
所以的最小值为．
故答案为：．
四．解答题（共5小题）
15．已知数列{an}为等差数列，a5＝9，a3+a6+a9＝33．
（1）求数列{an}的通项公式．
（2）若bn+an＝19，求数列{|bn|}的前n项和Sn．
【答案】（1）an＝2n﹣1；
（2）．
【解答】解：数列{an}为等差数列，a5＝9，a3+a6+a9＝33．
（1）设等差数列{an}的公差为d，
因为a3+a6+a9＝3a6＝33，所以a6＝11．
又因为a5＝9，则a6﹣a5＝d＝2，
所以an＝a5+2（n﹣5）＝2n﹣1．
（2）由（1）知，bn＝19﹣an＝20﹣2n．
当n≤10时，|bn|＝bn＝20﹣2n，
；
当n≥11时，|bn|＝﹣bn＝2n﹣20，
n2﹣19n+180．
综上，．
16．已知正项数列{an}，其前n项和Sn满足an（2Sn﹣an）＝1（n∈N*）．
（1）求证：数列{Sn2}是等差数列，并求出Sn的表达式；
（2）数列{an}中是否存在连续三项ak，ak+1，ak+2，使得，，构成等差数列？请说明理由．
【答案】（1）证明过程见解答；Sn；
（2）数列{an}中不存在连续三项ak，ak+1，ak+2，使得，，构成等差数列．理由见解答．
【解答】解：（1）证明：依题意，正项数列{an}中，1，即a1＝1，
当n≥2时，an＝Sn﹣Sn﹣1，即（Sn﹣Sn﹣1）[2Sn﹣（Sn﹣Sn﹣1）]＝1，
整理，得1，又，
∴数列{Sn2}是以1为首项，1为公差的等差数列，
∴n，∵数列{an}是正项数列，∴Sn；
（2）数列{an}中不存在连续三项ak，ak+1，ak+2，使得，，构成等差数列．
理由如下：
当n≥2时，an＝Sn﹣Sn﹣1，
∵a1＝1，即 n∈N*，都有，
∴，
假设数列{an}中存在连续三项ak，ak+1，ak+2，使得，，构成等差数列，
则2（），即，
两边同时平方，得k+1+k+2k﹣1+k+2+2，
∴（k+1）k＝（k﹣1）（k+2），
整理得k2+k＝k2+k﹣2，∴0＝﹣2，不成立，故假设错误，
∴数列{an}中不存在连续三项ak，ak+1，ak+2，使得，，构成等差数列．
17．已知{an}为等比数列，a1＝1，2a2是4a1，a3的等差中项．
（1）求{an}的通项公式；
（2）求数列{nan}的前n项和．
【答案】（1）an＝2n﹣1；
（2）Sn＝（n﹣1） 2n+1．
【解答】解：（1）设{an}的公比为q，2a2是2a1，a3的等差中项，
所以4a2＝4a1+a3，a1≠0，即q2﹣4q+4＝0，解得q＝2，
所以an＝2n﹣1；
（2）设{nan}的前n项和为Sn，a1＝1，an＝2n﹣1，
所以，①
，②
①﹣②得：
，
所以Sn＝（n﹣1） 2n+1．
18．已知数列{an}中，a1＝3，a3＝15，且数列为等差数列．
（1）求{an}的通项公式；
（2）记Sn为数列的前n项和，证明：．
【答案】（1）．
（2）证明见解答．
【解答】解：（1）由a1＝3，a3＝15，可得，，
又数列为等差数列，所以公差d1，
所以，
所以．
（2）证明：因为，
所以
，
因为n∈N*，所以，
故．
19．已知等差数列{an}的前n项和为Sn，a2＝3，S4＝10．
（1）求{an}的通项公式；
（2）求Sn；
（3）若n≥N0（N0∈N*）时，有2Sn3（n+1）﹣2，求N0的最小值．
【答案】（1）an＝5﹣n；
（2）；
（3）11．
【解答】解：（1）设等差数列的公差为d，
由，，解得，
所以an＝4+（n﹣1）×（﹣1）＝5﹣n；
（2）由（1）可得an＝5﹣n，
所以Sn（a1+an）（4+5﹣n）n2n；
（3）因为，
所以，
整理得n2﹣11n+10＞0，解得n＜1或n＞10，
又因为n∈N*，，所以正整数N0的最小值为11．第35讲 等差数列
【基础回顾】
1. 等差数列 的判定:
① (定义法);
② (中项法);
③ ; ④ .
2. 等差数列通项公式:① ; ② .
3. 等差数列前 项和公式: (公式推导方法: 倒序相加法、分组求和法)
① (均值型);
② (基本量型)
4. 等差数列 的性质:
①若 成等差数列,则 叫做 的等差中项,即 .
② 若 ,则 .
③设 为等差,则 等仍为等差, 是等比.
④等差数列 的连续 项的和构成的数列: ,仍为等差数列 (公差为 ).
⑤ 是以 为首项, 为公差的等差数列.
⑥ 若 ,则 .
⑦ 若 ,则 .
⑧项之比与和之比的关系: 设等差数列 的前 项的和分别为 ,
则 . 【 】
⑨ 在等差数列中, .
5 求等差数列前n项和Sn的最值
①当a1>0，d<0时，满足的项数m使得Sn取得最大值Sm；
②当a1<0，d>0时，满足的项数m使得Sn取得最小值Sm
题型一 等差数列基本量的运算
【例题精讲】
1．已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若2a4+3a9＝5，则S13＝（　　）
A．13 B．14 C．16 D．20
2．已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若a1+a6＝4，a3+a8＝2，则S8等于（　　）
A． B．12 C．13 D．26
3．已知数列{an}为等差数列，其前n项和为Sn，且a3＝7，，则S9＝（　　）
A．63 B．72 C．135 D．144
（多选）4．已知Sn是等差数列{an}的前n项和，a1＝10，S9＝18，则（　　）
A．a5＝0 B．S11＝0
C．当n＝5时，Sn取最大值 D．Sn的最小值是0
（多选）5．已知{an}为等差数列，其前n项和为Sn，a1＝12，S5＝S8，则下列结论正确有（　　）
A．a7＝0
B．S5＝40
C．当且仅当n＝6时，Sn最大
D．满足Sn＞0的最大整数n为14
题型二 等差数列通项的性质
【例题精讲】
1．在等比数列{an}中，a4，a16是方程x2+30x+36＝0的两个根，则a10＝（　　）
A．±6 B．6 C．36 D．﹣6
2．已知等差数列{an}中，a2+a4＝6，则a1+a3+a5＝（　　）
A．15 B．9 C． D．
3．在等差数列{an}中，a6＝3，则（　　）
A．2 B．3 C．4 D．5
（多选）4．已知等差数列{an}的公差为d，前n项和为Sn，a3＝16，a5＝12，则（　　）
A．d＝﹣2
B．a1＝24
C．a2+a6＝28
D．Sn取得最大值时，n＝11
（多选）5．设{an}是等差数列，下列结论中正确的是（　　）
A．若a1+a2＞0，则a2+a3＞0
B．若a1a2＜0，则a2a3＞0
C．若0＜a1＜a2，则
D．（a2﹣a1）（a2﹣a3）＞0
题型三 等差数列前n项和的性质
【例题精讲】
1．设等差数列{an}的前n项和为Sn，已知a5+a6＝53，则S10＝（　　）
A．530 B．430 C．265 D．215
2．已知两个等差数列{an}，{bn}的前n项和分别是Sn，Tn，且，则（　　）
A． B． C． D．
3．已知等差数列{an}的前n项和Sn满足：S2025＜S2024＜S2026，则数列的最小项是第（　　）项．
A．2026 B．2027 C．4048 D．4049
（多选）4．设Sn是等差数列{an}的前n项和，若S15＜0，，则（　　）
A．d＜0
B．|a7|＜|a8|
C．当Sn取得最大值时，n＝7
D．使Sn＞0成立的最大整数n为13
（多选）5．已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若S23＞0，S24＜0，则下列结论正确的是（　　）
A．数列{an}是递增数列
B．a13＞0
C．当Sn取得最大值时，n＝12
D．|a13|＞|a12|
题型四 等差数列前n项和的最值问题
【例题精讲】
（多选）1．设等差数列{an}的前n项和为Sn，若Sn有最大值，且，则下列结论正确的是（　　）
A．当Sn最大时，n＝2023
B．使Sk＞0的最大k值为4045
C．S4046＜S1＜S4045
D．在数列中，当n＝2023时，取最大值
（多选）2．已知等差数列{an}前n项和为Sn，若S8＜S6＜S7，则下列说法正确的是（　　）
A．|a6+a7|＜|a8+a9|
B．当n＝8时，Sn最大
C．使得Sn＜0成立的最小自然数n＝14
D．时，n≤7
（多选）3．设等差数列{an}的前n项和为Sn，公差为d，已知a7＜0，a7+a8＞0，则下列说法正确的是（　　）
A．Sn的最小值为S7
B．满足Sn＞0的最小n值是14
C．满足Sn＜0的最大n值是14
D．数列的最小项为第8项
4．已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若a1＝29，且S10＝S20，则Sn的最大值为 　 　 ．
5．已知Sn是等差数列{an}的前n项和，S9＝126，a4+a10＝40，则的最小值为 　 　 ．
题型五 等差数列的判定与证明：定义法，等差中项
【例题精讲】
1．在等差数列{an}中，已知公差d＝﹣3，a3＝﹣4．
（1）判断﹣12和﹣58是否是数列{an}中的项．如果是，是第几项？如果不是，请说明理由；
（2）求数列{an}的前n项和Sn．
2．已知正项数列{an}，其前n项和Sn满足an（2Sn﹣an）＝1（n∈N*）．
（1）求证：数列{Sn2}是等差数列，并求出Sn的表达式；
（2）数列{an}中是否存在连续三项ak，ak+1，ak+2，使得，，构成等差数列？请说明理由．
3．已知数列{an}满足：．
（1）求证：为等差数列；
（2）设数列{anan+1}的前n项和Sn，证明：．
4．设数列{an}的前n项和为Sn已知．
（Ⅰ）求a2的值；
（Ⅱ）求证为等差数列；
（Ⅲ）证明：对一切正整数n，有．
5．已知数列{an}的首项为，且满足an+1+4an+1an﹣an＝0．
（1）证明：数列为等差数列；
（2）设数列的前n项和为Sn，求数列{（﹣1）nSn}的前n项和．
课时精练
一．选择题（共8小题）
1．已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若a2＝3，S5﹣S3＝16，则S7＝（　　）
A．36 B．49 C．58 D．64
2．已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若a1+a6＝4，a3+a8＝2，则S8等于（　　）
A． B．12 C．13 D．26
3．已知等差数列{an}的公差d＞0，a1＝1，，则d＝（　　）
A．4 B．3 C．2 D．1
4．已知两个等差数列{an}，{bn}的首项分别为1和2，且a10+b10＝30，则数列{an+bn}的前20项的和为（　　）
A．165 B．630 C．60 D．330
5．若等差数列{an}的前n项和为S，且满足S45＞0，S46＜0，对任意正整数n，都有|an|≥|am|，则m的值为（　　）
A．21 B．22 C．23 D．24
6．已知等差数列{an}的前n项和为Sn，对任意的n∈N*，均有S5≤Sn成立，则的值的取值范围是（　　）
A．（3，+∞） B．[3，+∞）
C．（﹣∞，﹣3）∪[3，+∞） D．（﹣∞，﹣3]∪[3，+∞）
7．设等差数列{an}的前n项和为Sn，已知，则k＝（　　）
A．11 B．9 C．8 D．6
8．若两个等差数列{an}和{bn}的前n项和分别是Sn和Tn，已知，则（　　）
A．7 B． C． D．
二．多选题（共3小题）
（多选）9．已知等差数列{an}的前n项和为Sn，S6＝﹣9，an+2﹣an＝﹣6，则（　　）
A．等差数列{an}的公差d＝﹣3
B．Sn的最大值为S2或S3
C．a2+a3+a7+a8＝﹣24
D． n∈N*，an＜an+1
（多选）10．已知数列{an}的前n项和为Sn.（　　）
A．若Sn＝n2﹣1，则{an}是等差数列
B．若Sn＝2n﹣1，则{an}是等比数列
C．若{an}是等差数列，则S99＝99a50
D．若{an}是等比数列，且a1＞0，q＞0，则S2n﹣1 S2n+1＞S2n2
（多选）11．记Sn为等差数列{an}的前n项和，已知a1＞0，{an}的公差为d，且（S8﹣S6）S13＜0，则（　　）
A．a8＜0
B．S8＜S6＜S7
C．
D．满足Sn＞0的n的最大值为15
三．填空题（共3小题）
12．在公差不为0的等差数列{an}中，若a3是ax与ay的等差中项，则的最小值为 　 　 ．
13．已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且，则　 　 ．
14．若an＝n﹣1，n∈N*，记数列{an}的前n项和为Sn，则的最小值为 　 　 ．
四．解答题（共5小题）
15．已知数列{an}为等差数列，a5＝9，a3+a6+a9＝33．
（1）求数列{an}的通项公式．
（2）若bn+an＝19，求数列{|bn|}的前n项和Sn．
16．已知正项数列{an}，其前n项和Sn满足an（2Sn﹣an）＝1（n∈N*）．
（1）求证：数列{Sn2}是等差数列，并求出Sn的表达式；
（2）数列{an}中是否存在连续三项ak，ak+1，ak+2，使得，，构成等差数列？请说明理由．
17．已知{an}为等比数列，a1＝1，2a2是4a1，a3的等差中项．
（1）求{an}的通项公式；
（2）求数列{nan}的前n项和．
18．已知数列{an}中，a1＝3，a3＝15，且数列为等差数列．
（1）求{an}的通项公式；
（2）记Sn为数列的前n项和，证明：．
19．已知等差数列{an}的前n项和为Sn，a2＝3，S4＝10．
（1）求{an}的通项公式；
（2）求Sn；
（3）若n≥N0（N0∈N*）时，有2Sn3（n+1）﹣2，求N0的最小值．

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