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5.4 第一课时 三角函数的图象与性质
【题型1】正弦函数、余弦函数图象的初步认识 3
【题型2】“五点(画图)法”画函数的图象 5
【题型3】正弦函数、余弦函数图象的应用 11
【题型4】正弦函数、余弦函数的周期 14
【题型5】正弦函数、余弦函数的奇偶性及对称性 16
【题型6】三角函数周期性、奇偶性的应用 18
一、正弦函数、余弦函数图象的初步认识 1.正弦函数的图象叫做正弦曲线. 函数y=sin x，x∈R图象
2.余弦函数的图象叫做余弦曲线. 函数y=cos x，x∈R图象
二、正弦函数、余弦函数的周期 1.函数的周期性 一般地，设函数f(x)的定义域为D，如果存在一个非零常数T，使得对每一个x∈D都有x+T∈D，且f(x+T)=f(x)，那么函数f(x)就叫做周期函数.非零常数T叫做这个函数的周期.若T是函数的周期，则kT(k∈Z且k≠0)也是这个函数周期. 2.最小正周期 如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期. 3.正弦函数是周期函数，2kπ(k∈Z且k≠0)都是它的周期，最小正周期是2π. 4.余弦函数是周期函数，2kπ(k∈Z且k≠0)都是它的周期，最小正周期是2π. 三、正弦函数、余弦函数的奇偶性 正弦函数是奇函数，余弦函数是偶函数. 　正弦函数、余弦函数的对称性 函数y＝sinxy＝cosx对称中心点(kπ，0)(k∈Z)点(k∈Z)对称轴直线x＝kπ＋(k∈Z)直线x＝kπ(k∈Z)
(1)关键词“每一个x”体现了对定义域中每一个值都得成立. (2)周期函数的周期不唯一，任何T的非零整数倍都是函数的周期. (3)三角函数的周期是函数的整体性质，我们在研究函数时，只需研究一个周期上的图象和性质即可. (4)若不加特殊说明，一般求三角函数的周期的问题，求的是函数的最小正周期.
【题型1】正弦函数、余弦函数图象的初步认识
已知函数y＝2cosx（0≤x≤1000π）的图象和直线y＝2围成一个封闭的平面图形，则这个封闭图形的面积是　2000π　 ．
【答案】见试题解答内容
【分析】利用余弦函数的对称性可知，y＝2cosx的图象在[0，2π]上与直线y＝2围成封闭图形通过割补可得一边长分别为2，2π的矩形，面积为S＝4π，再根据余弦函数的周期性可求
【解答】解：如图，y＝2cosx的图象在[0，2π]上与直线y＝2围成封闭图形，
所以在[0，1000π]上封闭图形的面积为4π×500＝2000π．
故答案为：2000π
方法点拨 解决正弦、余弦函数图象的注意点 对于正弦、余弦函数的图象问题，要画出正确的正弦曲线、余弦曲线，掌握两者的形状相同，只是在坐标系中的位置不同，可以通过相互平移得到.
【变式1】（2024秋 六安月考）函数y＝﹣cosx（x∈[0，2π]）的图象与y＝cosx（x∈[0，2π]）的图象（　　）
A．关于x轴对称 B．关于原点对称
C．关于原点和x轴对称 D．关于y轴对称
【答案】A
【分析】由已知结合函数图象的对称变换即可求解．
【解答】解：根据函数的变换可知y＝cosx与y＝﹣cosx，x∈[0，2π]）的图象关于x轴对称．
故选：A．
【变式2】（2025春 苏州月考）函数y＝cosx，x∈[0，2π]的图象与函数的图象的交点个数是（　　）
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】C
【分析】通过方程解的个数即判断交点个数．
【解答】解：由题意知：方程在[0，2π]上有解，
因为方程在[0，2π]上的解为和，
所以两函数图象有2个交点．
故选：C．
【变式3】从函数y＝cosx，x∈[0，2π]的图象来看，对应于cosx的x有（　　）
A．1个值 B．2个值 C．3个值 D．4个值
【答案】B
【分析】画出函数y＝cosx，x∈[0，2π）的图象以及的图象，根据图象的交点个数得出选项．
【解答】解：如图所示，
y＝cosx，x∈[0，2π）与的图象有2个交点，
∴方程cosx有2个解．
故选：B．
【题型2】“五点(画图)法”画函数的图象
（2025春 崂山区期中）已知函数．
（1）若角α的终边经过点P（4，3），求f（α）的值；
（2）填写表格，并用五点法作出f（x）在x∈[0，2π]的图象；
x 0 2π
f（x）
（3）当时，求f（x）的值域．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）根据任意角三角函数的定义进行求解；
（2）根据正弦函数一个周期内的五点以及整体思想填写表格，再根据表格作出图象；
（3）由正弦函数的值域及整体思想，得到f（x）的值域．
【解答】解：（1）若角α的终边经过点P（4，3），则sinα，cosα，
所以f（α）＝2sin（α）＝2（sinαcosα）；
（2）填写表格如下：
0 π
x 0 2π
f（x） 0 2 0 ﹣2
图象如下：
（3）当时，x∈[，]，
当x时，f（x）min＝﹣2，当x时，f（x）max＝1，
所以f（x）值域为[﹣2，1]．
方法点拨 作形如y=asin x+b(或y=acos x+b)，x∈［0，2π］的图象的三个步骤
【变式1】（2023春 北京期中）已知函数，x∈R．
（Ⅰ）写出决定f（x）在[0，2π]上形状的关键的五个点，在答题卡上完成下表：
x
f（x） 0 2 0 ﹣2 0
（Ⅱ）求与y＝f（x）的交点坐标；
（Ⅲ）若对于任意x1，，都有|f（x1）﹣f（x2）|＜m成立，求实数m的取值范围．
【答案】（Ⅰ）见解答；
（Ⅱ），；
（Ⅲ） ．
【分析】（Ⅰ）由五点作图法完成表格即可；
（Ⅱ）由正弦函数的性质求解即可；
（Ⅲ） 将已知转化为f（x）max﹣f（x）min＜m成立，即可求解m的取值范围．
【解答】解：（Ⅰ）由五点作图法可得表格如下：
0 π 2π
x
f（x） 0 2 0 ﹣2 0
（Ⅱ）令f（x），即，
解得或（k∈Z），
解得或，
所以与函数y＝f（x）的交点坐标为，．
（Ⅲ）因为，所以．
所以．
当，即时，f（x）min＝﹣2；
当，即时，．
对任意x1，都有|f（x1）﹣f（x2）|＜m成立，
即f（x）max﹣f（x）min＜m成立，
即，所以实数m的取值范围是．
【变式2】（2024春 腾冲县期中）已知f（x）＝2sin（2x）．
（1）求f（x）的最小正周期；
（2）用五点作图法作出f（x）的简图．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）根据函数的周期公式，即可求f（x）的最小正周期；
（2）用五点作图法作出f（x）的简图．
【解答】解：（1）∵f（x）＝2sin（2x）．
∴f（x）的最小正周期T；
（2）用五点作图法作出f（x）的简图．列表：
2x 0 π 2π
x
2sin（2x） 0 2 0 ﹣2 0
函数的在区间[，]上的图象如下图所示：
【变式3】（2024秋 宜昌期末）已知函数f（x）sin（2x）．
（Ⅰ）用“五点法”画出函数y＝f（x）区间[0，π]内的图象；
（Ⅱ）把f（x）的图象向左平移个单位，得到g（x）的图象，求函数g（x）在[0，]上的最小值及相应x的值．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）用“五点法”列表，描点，连线即可．
（Ⅱ）把f（x）的图象向左平移个单位，求出g（x）的解析式，根据x在[0，]上求出内层范围，结合三角函数的性质即可求最小值及相应x的值．
【解答】解：函数f（x）sin（2x）．列表如下：
x 0 π
2x 0 π
f（x） ﹣1 0 0 ﹣1
（2）f（x）的图象向左平移个单位，可得：g（x）sin（2x）
∵x∈[0，]上，
∴2x∈[．]
当2x时，即x，g（x）取得最小值为1．
【题型3】正弦函数、余弦函数图象的应用
（2024秋 贵州期末）已知函数在上满足，则ω的取值范围是（　　）
A．（0，2] B．（0，4] C．（0，6] D．（0，8]
【答案】D
【分析】x∈ ωx∈[，ω]，结合题意，利用正弦函数的性质列式求解即可．
【解答】解：x∈ ωx∈[，ω]，
∵函数在上满足，
∴ω，
解得0＜ω≤8．
故选：D．
方法点拨 三角函数图象的应用 (1)解三角不等式：运用数形结合的方法. (2)函数零点、方程根的个数问题：构造函数转化为函数图象交点的个数问题来解决.
【变式1】（2025秋 湖北月考）若f（x）＝sin1，则函数y＝|f（x）|﹣1的零点为（　　）
A．kπ（k∈Z） B．（k∈Z）
C．kπ（k∈Z） D．（k∈Z）
【答案】D
【分析】由题意，令y＝|f（x）|﹣1＝0，解得sin0，利用正弦函数的性质即可求解．
【解答】解：因为f（x）＝sin1，
令y＝|f（x）|﹣11＝0，
解得sin0或sin2（舍去），
则2xkπ，k∈Z，
解得x，k∈Z．
故选：D．
【变式2】（2025 河南二模）已知方程在区间[0，8π]上有两个不相等的实数根x1，x2，则x1+x2＝（　　）
A．3π B．4π C．5π D．6π
【答案】C
【分析】利用换元法结合函数与方程的关系转化为函数交点问题，再结合正弦函数的对称性求解即可．
【解答】解：方程在区间[0，8π]上有两个不相等的实数根x1，x2，
因为x∈[0，8π]，所以，故，
而方程在区间[0，8π]上有两个不相等的实数根，
且令，则在区间上有两个不相等的实数根，
故，，两个根为t1，t2，
则y＝sint与在区间上有两个不同的交点，
记两个交点横坐标为t1，t2，由正弦函数性质得y＝sint关于对称，
则，解得t1+t2＝π，而，
得到，即x1+x2＝5π，故C正确．
故选：C．
【变式3】（2024秋 房县期末）已知函数在区间上有且仅有一个零点，则ω的取值范围为（　　）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】由函数解析式求出函数周期，由x的范围可得的范围，再由题意列关于ω的不等式组求解．
【解答】解：由，可得函数的周期为．
由，得．
由函数在区间上有且仅有一个零点，
得，且，即ω≤3，且，
当k＝0时，得，解得；
当k＝1时，得，解得；
当k＝2时，得，此不等式无解．
综上所述，实数ω的取值范围为．
故选：A．
【题型4】正弦函数、余弦函数的周期
（2025 邛崃市二模）函数的最小正周期是（　　）
A． B． C．π D．2π
【答案】D
【分析】利用三角函数的周期公式求解．
【解答】解：因为函数，
所以函数f（x）的最小正周期是2π．
故选：D．
方法点拨 求三角函数周期的方法 (1)定义法：利用周期函数的定义求解. (2)公式法：对形如y=Asin(ωx+φ)或y=Acos(ωx+φ)(A，ω，φ是常数，A≠0，ω≠0)的函数，T=. (3)图象法：画出函数图象，通过图象直接观察即可.
【变式1】（2025秋 青羊区月考）函数的最小正周期是（　　）
A． B． C．π D．2π
【答案】C
【分析】根据函数周期的定义，结合诱导公式判断与f（x）的关系，即可得到本题的答案．
【解答】解：对于函数y＝|sinx|，其周期为函数y＝sinx的周期的，
根据，
可知不是函数f（x）的一个周期，
因为，
所以π是函数f（x）的周期，
综上所述，的最小正周期是π．
故选：C．
【变式2】（2025春 淮南期中）函数的最小正周期为（　　）
A．3π B．2π C． D．π
【答案】C
【分析】根据和的图象的关系，再结合周期公式可求得结果．
【解答】解：的图象是由的图象将x轴下方的图象翻折到x轴上方和x轴上方的图象组成的，
∴的最小正周期是的最小正周期的一半，
∵的最小正周期为，
∴的最小正周期为．
故选：C．
【变式3】（2025 南开区学业考试）函数y＝sin（2x）的最小正周期是（　　）
A． B．π C． D．2π
【答案】B
【分析】直接利用正弦型函数的周期公式的应用求出结果．
【解答】解：函数y＝sin（2x）＝﹣sin（2x）的最小正周期是Tπ．
故选：B．
【题型5】正弦函数、余弦函数的奇偶性及对称性
（2025秋 南昌县月考）函数的图象的一条对称轴为（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】利用整体法求解对称轴方程，即可结合选项求解．
【解答】解：令，解得，
则函数图象对称轴为，
k＝0时，可得为函数图象的一条对称轴．
故选：A．
方法点拨 判断函数奇偶性的方法 (1)判断函数奇偶性应把握好的两个方面： 一看函数的定义域是否关于原点对称； 二看f(x)与f(-x)的关系. (2)对于三角函数奇偶性的判断，有时可根据诱导公式先将函数式化简后再判断. 提醒：研究函数性质应遵循“定义域优先”的原则. 函数y＝sinxy＝cosx对称中心点(kπ，0)(k∈Z)点(k∈Z)对称轴直线x＝kπ＋(k∈Z)直线x＝kπ(k∈Z)
【变式1】（2025秋 吉林月考）若函数为偶函数，则|φ|取得最小值时，（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据正弦函数的图象和性质，结合已知条件求出φ的表达式，进而求出|φ|取得最小值时的φ值，可得答案．
【解答】解：若f（x）＝sin（2xφ）为偶函数，则f（x）化简的结果是y＝sin2x或y＝﹣sin2x，
所以，解得．
当k＝0时，，；当k＝﹣1时，，，
所以|φ|取得最小值．可得．
故选：C．
【变式2】（2025 丹阳市开学）若函数为奇函数，则下列能满足条件的φ取值为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据三角函数的奇偶性，结合诱导公式算出，对照各选项可得正确答案．
【解答】解：若函数为奇函数，
则f（x）化简的结果为y＝sin2x或y＝﹣sin2x，
所以，则，当k＝0时，C项符合题意．
故选：C．
【变式3】（2025春 梧州月考）已知函数的图象关于直线x对称，则ω的取值可能是（　　）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】C
【分析】根据余弦函数的对称性，列式算出ω＝3k+1（k∈N），进而可得符合题意的ω值．
【解答】解：因为的图象关于直线x对称，
所以当x时，f（x）取得最大值或最小值，
可得，结合ω＞0，解得ω＝3k+1（k∈N），
当k＝1时，ω＝4，可知C项符合题意．
故选：C．
【题型6】三角函数周期性、奇偶性的应用
（2024秋 西湖区期末）已知函数的最小正周期为π，则f（x）的图象（　　）
A．关于点对称 B．关于对称
C．关于直线对称 D．关于直线对称
【答案】D
【分析】由已知结合周期公式先求出ω，然后结合正弦函数的对称性即可求解．
【解答】解：由Tπ，可得ω＝2，可得f（x）＝sin（2x），
对于A，f（）＝sin（2）＝sin0，故错误；
对于B，f（）＝sin（2）＝sin1≠0，故错误；
对于C，f（）＝sin（2）＝sin±1，故错误；
对于D，f（）＝sin（2）＝sin1，故正确．
故选：D．
方法点拨 三角函数周期性与奇偶性的解题策略 (1)利用周期函数的性质求函数值时，先把函数加减正整数个周期，把函数化简，再结合函数的奇偶性求解. (2)对y=Asin(ωx+φ)(其中A，ω，φ是常数，且A≠0，ω>0)， 当φ=kπ(k∈Z)时，是奇函数； 当φ=+kπ(k∈Z)时，是偶函数. 对y=Acos(ωx+φ)(其中A，ω，φ是常数，且A≠0，ω>0)， 当φ=kπ(k∈Z)时，是偶函数； 当φ=+kπ(k∈Z)时，是奇函数. φ为其他值时，均为非奇非偶函数.
【变式1】（2024秋 峨山县期末）已知函数的最小正周期为π，则f（x）图象的一个对称中心的坐标为（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】由最小正周期可求ω＝1，可得，利用，可求对称中心的坐标．
【解答】解：由，得ω＝1，所以．
令，则，
当k＝﹣1时，，
所以f（x）图象的一个对称中心的坐标为．
故选：D．
【变式2】（2024秋 安顺期末）已知函数的最小正周期为π，则f（x）的对称轴可以是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】由f（x）的最小正周期为π，求得ω＝1，再令，即可求解．
【解答】解：因为函数的最小正周期为π，
所以，则ω＝1，则，
令，则，
对比选项可知，只有当k＝1时，，符合题意，故D正确．
故选：D．
【变式3】（2025春 湖南期中）已知ω＞0，函数的最小正周期为T，若π＜T＜2π，且f（x）的图象关于直线对称，则（　　）
A．﹣1 B．﹣2 C．﹣3 D．﹣4
【答案】D
【分析】由周期范围求得1＜ω＜2，再结合对称轴求得，进而可求解．
【解答】解：函数的最小正周期为T，
因为π＜T＜2π，所以，解得1＜ω＜2．
又f（x）的图象关于直线对称，所以π＜T＜2π，
解得．
因为1＜ω＜2，
取k＝0，可得，
所以f（x）＝cos（）﹣3，故f（）＝cos（）﹣3＝﹣4．
故选：D．5.4 第一课时 三角函数的图象与性质
【题型1】正弦函数、余弦函数图象的初步认识 3
【题型2】“五点(画图)法”画函数的图象 4
【题型3】正弦函数、余弦函数图象的应用 7
【题型4】正弦函数、余弦函数的周期 9
【题型5】正弦函数、余弦函数的奇偶性及对称性 10
【题型6】三角函数周期性、奇偶性的应用 11
一、正弦函数、余弦函数图象的初步认识 1.正弦函数的图象叫做正弦曲线. 函数y=sin x，x∈R图象
2.余弦函数的图象叫做余弦曲线. 函数y=cos x，x∈R图象
二、正弦函数、余弦函数的周期 1.函数的周期性 一般地，设函数f(x)的定义域为D，如果存在一个非零常数T，使得对每一个x∈D都有x+T∈D，且f(x+T)=f(x)，那么函数f(x)就叫做周期函数.非零常数T叫做这个函数的周期.若T是函数的周期，则kT(k∈Z且k≠0)也是这个函数周期. 2.最小正周期 如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期. 3.正弦函数是周期函数，2kπ(k∈Z且k≠0)都是它的周期，最小正周期是2π. 4.余弦函数是周期函数，2kπ(k∈Z且k≠0)都是它的周期，最小正周期是2π. 三、正弦函数、余弦函数的奇偶性 正弦函数是奇函数，余弦函数是偶函数. 　正弦函数、余弦函数的对称性 函数y＝sinxy＝cosx对称中心点(kπ，0)(k∈Z)点(k∈Z)对称轴直线x＝kπ＋(k∈Z)直线x＝kπ(k∈Z)
(1)关键词“每一个x”体现了对定义域中每一个值都得成立. (2)周期函数的周期不唯一，任何T的非零整数倍都是函数的周期. (3)三角函数的周期是函数的整体性质，我们在研究函数时，只需研究一个周期上的图象和性质即可. (4)若不加特殊说明，一般求三角函数的周期的问题，求的是函数的最小正周期.
【题型1】正弦函数、余弦函数图象的初步认识
已知函数y＝2cosx（0≤x≤1000π）的图象和直线y＝2围成一个封闭的平面图形，则这个封闭图形的面积是　2000π　 ．
【答案】见试题解答内容
【分析】利用余弦函数的对称性可知，y＝2cosx的图象在[0，2π]上与直线y＝2围成封闭图形通过割补可得一边长分别为2，2π的矩形，面积为S＝4π，再根据余弦函数的周期性可求
【解答】解：如图，y＝2cosx的图象在[0，2π]上与直线y＝2围成封闭图形，
所以在[0，1000π]上封闭图形的面积为4π×500＝2000π．
故答案为：2000π
方法点拨 解决正弦、余弦函数图象的注意点 对于正弦、余弦函数的图象问题，要画出正确的正弦曲线、余弦曲线，掌握两者的形状相同，只是在坐标系中的位置不同，可以通过相互平移得到.
【变式1】（2024秋 六安月考）函数y＝﹣cosx（x∈[0，2π]）的图象与y＝cosx（x∈[0，2π]）的图象（　　）
A．关于x轴对称 B．关于原点对称
C．关于原点和x轴对称 D．关于y轴对称
【变式2】（2025春 苏州月考）函数y＝cosx，x∈[0，2π]的图象与函数的图象的交点个数是（　　）
A．0 B．1 C．2 D．3
【变式3】从函数y＝cosx，x∈[0，2π]的图象来看，对应于cosx的x有（　　）
A．1个值 B．2个值 C．3个值 D．4个值
【题型2】“五点(画图)法”画函数的图象
（2025春 崂山区期中）已知函数．
（1）若角α的终边经过点P（4，3），求f（α）的值；
（2）填写表格，并用五点法作出f（x）在x∈[0，2π]的图象；
x 0 2π
f（x）
（3）当时，求f（x）的值域．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）根据任意角三角函数的定义进行求解；
（2）根据正弦函数一个周期内的五点以及整体思想填写表格，再根据表格作出图象；
（3）由正弦函数的值域及整体思想，得到f（x）的值域．
【解答】解：（1）若角α的终边经过点P（4，3），则sinα，cosα，
所以f（α）＝2sin（α）＝2（sinαcosα）；
（2）填写表格如下：
0 π
x 0 2π
f（x） 0 2 0 ﹣2
图象如下：
（3）当时，x∈[，]，
当x时，f（x）min＝﹣2，当x时，f（x）max＝1，
所以f（x）值域为[﹣2，1]．
方法点拨 作形如y=asin x+b(或y=acos x+b)，x∈［0，2π］的图象的三个步骤
【变式1】（2023春 北京期中）已知函数，x∈R．
（Ⅰ）写出决定f（x）在[0，2π]上形状的关键的五个点，在答题卡上完成下表：
x
f（x） 0 2 0 ﹣2 0
（Ⅱ）求与y＝f（x）的交点坐标；
（Ⅲ）若对于任意x1，，都有|f（x1）﹣f（x2）|＜m成立，求实数m的取值范围．
【变式2】（2024春 腾冲县期中）已知f（x）＝2sin（2x）．
（1）求f（x）的最小正周期；
（2）用五点作图法作出f（x）的简图．
【变式3】（2024秋 宜昌期末）已知函数f（x）sin（2x）．
（Ⅰ）用“五点法”画出函数y＝f（x）区间[0，π]内的图象；
（Ⅱ）把f（x）的图象向左平移个单位，得到g（x）的图象，求函数g（x）在[0，]上的最小值及相应x的值．
【题型3】正弦函数、余弦函数图象的应用
（2024秋 贵州期末）已知函数在上满足，则ω的取值范围是（　　）
A．（0，2] B．（0，4] C．（0，6] D．（0，8]
【答案】D
【分析】x∈ ωx∈[，ω]，结合题意，利用正弦函数的性质列式求解即可．
【解答】解：x∈ ωx∈[，ω]，
∵函数在上满足，
∴ω，
解得0＜ω≤8．
故选：D．
方法点拨 三角函数图象的应用 (1)解三角不等式：运用数形结合的方法. (2)函数零点、方程根的个数问题：构造函数转化为函数图象交点的个数问题来解决.
【变式1】（2025秋 湖北月考）若f（x）＝sin1，则函数y＝|f（x）|﹣1的零点为（　　）
A．kπ（k∈Z） B．（k∈Z）
C．kπ（k∈Z） D．（k∈Z）
【变式2】（2025 河南二模）已知方程在区间[0，8π]上有两个不相等的实数根x1，x2，则x1+x2＝（　　）
A．3π B．4π C．5π D．6π
【变式3】（2024秋 房县期末）已知函数在区间上有且仅有一个零点，则ω的取值范围为（　　）
A． B．
C． D．
【题型4】正弦函数、余弦函数的周期
（2025 邛崃市二模）函数的最小正周期是（　　）
A． B． C．π D．2π
【答案】D
【分析】利用三角函数的周期公式求解．
【解答】解：因为函数，
所以函数f（x）的最小正周期是2π．
故选：D．
方法点拨 求三角函数周期的方法 (1)定义法：利用周期函数的定义求解. (2)公式法：对形如y=Asin(ωx+φ)或y=Acos(ωx+φ)(A，ω，φ是常数，A≠0，ω≠0)的函数，T=. (3)图象法：画出函数图象，通过图象直接观察即可.
【变式1】（2025秋 青羊区月考）函数的最小正周期是（　　）
A． B． C．π D．2π
【变式2】（2025春 淮南期中）函数的最小正周期为（　　）
A．3π B．2π C． D．π
【变式3】（2025 南开区学业考试）函数y＝sin（2x）的最小正周期是（　　）
A． B．π C． D．2π
【题型5】正弦函数、余弦函数的奇偶性及对称性
（2025秋 南昌县月考）函数的图象的一条对称轴为（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】利用整体法求解对称轴方程，即可结合选项求解．
【解答】解：令，解得，
则函数图象对称轴为，
k＝0时，可得为函数图象的一条对称轴．
故选：A．
方法点拨 判断函数奇偶性的方法 (1)判断函数奇偶性应把握好的两个方面： 一看函数的定义域是否关于原点对称； 二看f(x)与f(-x)的关系. (2)对于三角函数奇偶性的判断，有时可根据诱导公式先将函数式化简后再判断. 提醒：研究函数性质应遵循“定义域优先”的原则. 函数y＝sinxy＝cosx对称中心点(kπ，0)(k∈Z)点(k∈Z)对称轴直线x＝kπ＋(k∈Z)直线x＝kπ(k∈Z)
【变式1】（2025秋 吉林月考）若函数为偶函数，则|φ|取得最小值时，（　　）
A． B． C． D．
【变式2】（2025 丹阳市开学）若函数为奇函数，则下列能满足条件的φ取值为（　　）
A． B． C． D．
【变式3】（2025春 梧州月考）已知函数的图象关于直线x对称，则ω的取值可能是（　　）
A．2 B．3 C．4 D．5
【题型6】三角函数周期性、奇偶性的应用
（2024秋 西湖区期末）已知函数的最小正周期为π，则f（x）的图象（　　）
A．关于点对称 B．关于对称
C．关于直线对称 D．关于直线对称
【答案】D
【分析】由已知结合周期公式先求出ω，然后结合正弦函数的对称性即可求解．
【解答】解：由Tπ，可得ω＝2，可得f（x）＝sin（2x），
对于A，f（）＝sin（2）＝sin0，故错误；
对于B，f（）＝sin（2）＝sin1≠0，故错误；
对于C，f（）＝sin（2）＝sin±1，故错误；
对于D，f（）＝sin（2）＝sin1，故正确．
故选：D．
方法点拨 三角函数周期性与奇偶性的解题策略 (1)利用周期函数的性质求函数值时，先把函数加减正整数个周期，把函数化简，再结合函数的奇偶性求解. (2)对y=Asin(ωx+φ)(其中A，ω，φ是常数，且A≠0，ω>0)， 当φ=kπ(k∈Z)时，是奇函数； 当φ=+kπ(k∈Z)时，是偶函数. 对y=Acos(ωx+φ)(其中A，ω，φ是常数，且A≠0，ω>0)， 当φ=kπ(k∈Z)时，是偶函数； 当φ=+kπ(k∈Z)时，是奇函数. φ为其他值时，均为非奇非偶函数.
【变式1】（2024秋 峨山县期末）已知函数的最小正周期为π，则f（x）图象的一个对称中心的坐标为（　　）
A． B． C． D．
【变式2】（2024秋 安顺期末）已知函数的最小正周期为π，则f（x）的对称轴可以是（　　）
A． B． C． D．
【变式3】（2025春 湖南期中）已知ω＞0，函数的最小正周期为T，若π＜T＜2π，且f（x）的图象关于直线对称，则（　　）
A．﹣1 B．﹣2 C．﹣3 D．﹣4

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