资源简介

4.3 等比数列
题型01 等比数列的通项 5
题型02 等比中项 7
题型03 等比数列的判断 9
题型04 等比数列的性质 11
题型05 等比数列的前n项和 13
题型06 等比数列前n项和的性质 15
知识点1： 等比数列的概念
1．定义：一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比都等于同一个常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列公比，通常用字母q表示(q≠0)．
2．递推公式形式的定义：＝q(n∈N*且n>1)．
知识点2： 等比中项
如果在a与b中间插入一个数G，使a，G，b成等比数列，那么G叫做a与b的等比中项，此时，G2＝ab．
知识点3： 等比数列的通项
1．若等比数列{an}的首项为a1，公比为q，则an＝a1qn－1(n∈N*)．
2．若等比数列{an}的公比为q，则an＝a1qn－1＝amqn－m＝·qn．
知识点4： 等比数列的性质
1．若k＋l＝m＋n(k，l，m，n∈N*)，则ak·al＝am·an．
2．若m，p，n成等差数列，则am，ap，an成等比数列．
3．在等比数列{an}中，连续取相邻k项的和(或积)构成公比为qk(或)的等比数列．
4．若{an}，{bn}是项数相同的等比数列，公比分别是p和q，那么{anbn}与也都是等比数列，公比分别为pq和．
知识点5： 等比数列的前n项和公式
1．Sn＝．
2．Sn＝
知识点6： 等比数列前n项和的性质
1．数列{an}为公比不为－1的等比数列(或公比为－1，且n不是偶数)，Sn为其前n项和，则Sn，S2n－Sn，S3n－S2n仍构成等比数列．
2．若{an}是公比为q的等比数列，则Sn＋m＝Sn＋qnSm(n，m∈N*)．
3．在等比数列{an}中，连续取相邻k项的和(或积)构成公比为qk(或)的等比数列．
1．等比数列的求解．
(1)等比数列的通项公式涉及4个量a1，an，n，q，只要知道其中任意三个就能求出另外一个．
(2)在这四个量中，a1和q是等比数列的基本量，只要求出这两个基本量，问题便迎刃而解．
2．等比中项．
(1)由等比中项的定义可知＝ G2＝ab G＝±，所以只有a，b同号时，a，b的等比中项有两个，异号时，没有等比中项．
(2)在一个等比数列中，从第二项起，每一项(有穷数列的末项除外)都是它的前一项和后一项的等比中项．
(3)a，G，b成等比数列等价于G2＝ab(ab>0)．
3．等比数列的性质．
(1)充分发挥项的“下标”的指导作用，分析等比数列项与项之间的关系，选择恰当的性质解题．
(2)简便快捷，但是适用面窄，有一定的思维含量．
4．等比数列的判断．
(1)定义法：若数列{an}满足＝q(n∈N*，q为常数且不为零)或＝q(n≥2，且n∈N*，q为常数且不为零)，则数列{an}是等比数列．
(2)通项公式法：若{an}的通项公式为an＝a1qn－1(a1≠0，q≠0)，则数列{an}是等比数列．
(3)等比中项法：若a＝anan＋2(n∈N*且an≠0)，则数列{an}为等比数列．
(4)构造法：在条件中出现an＋1＝kan＋b关系时，往往构造数列，方法是把an＋1＋x＝k(an＋x)与an＋1＝kan＋b对照，求出x即可．
5．等比数列前n项和运算的技巧．
(1)在等比数列的通项公式和前n项和公式中，共涉及五个量：a1，an，n，q，Sn，其中首项a1和公比q为基本量，且“知三求二”，常常列方程组来解答．
(2)对于基本量的计算，列方程组求解是基本方法，通常用约分或两式相除的方法进行消元，有时会用到整体代换，如qn，都可看作一个整体．
(3)在解决与前n项和有关的问题时，首先要对公比q＝1或q≠1进行判断，若两种情况都有可能，则要分类讨论．
6．等比数列前n项和问题的求解．
(1)运用等比数列的前n项和公式，要注意公比q＝1和q≠1两种情形，在解有关的方程(组)时，通常用约分或两式相除的方法进行消元．
(2)灵活运用等比数列前n项和的有关性质．
7．错位相减法求和．
(1)适用范围：它主要适用于{an}是等差数列，{bn}是等比数列，求数列{anbn}的前n项和．
(2)利用“错位相减法”时，在写出Sn与qSn的表达式时，应注意使两式交错对齐，以便于作差，正确写出(1－q)Sn的表达式．
(3)利用此法时要注意讨论公比q是否等于1的情况．
题型01 等比数列的通项
（2025秋 苏州月考）设等比数列{an}的公比为q，若a1+a5＝4，a2a4＝4，则q＝（　　）
A．1 B．﹣2 C．或2 D．﹣1或1
【答案】D
【分析】根据给定条件，利用等比数列的性质求出a1，a5，再求出公比．．
【解答】解：等比数列{an}中，a1a5＝4，所以a2a4＝4，
因为a1+a5＝4，解得a5＝a1＝2，
由等比数列的性质得q4＝1，所以q＝﹣1或q＝1．
故选：D．
【变式练1】（多选）（2025春 娄星区校级期末）在等比数列{an}中，a2＝2，a6＝32，则{an}的公比可能为（　　）
A．﹣1 B．﹣2 C．2 D．4
【答案】BC
【分析】根据等比数列的通项即可求解．
【解答】解：因为在等比数列{an}中，a2＝2，a6＝32，
设等比数列的公比为q，则，所以q＝±2．
故选：BC．
【变式练2】（2025秋 市中区校级月考）已知正项等比数列{an}的前n项和为Sn，公比为q，a2+a3＝6a1，则q＝　　　　．
【答案】2．
【分析】根据已知有S3＝7S1，结合等比数列的前n项和及通项公式得q2+q﹣6＝0求公比，再由an＞0确定最终值．
【解答】解：正项等比数列{an}中，a2+a3＝6a1，
知a1+a2+a3＝7a1，a1+a2+a3＝7a1，即，
所以q2+q﹣6＝0，解得q＝2或q＝﹣3，
因为an＞0，所以q＞0，所以q＝2．
故答案为：2．
【变式练3】（2025秋 常熟市月考）（1）已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若a1＝2，，求S10；
（2）已知在等比数列{an}中，a1＝2，a3＝8，求公比q和{an}的通项公式．
【答案】（1）；
（2）q＝±2；
an＝2n或an＝（﹣1）n﹣1 2n．
【分析】（1）根据等差数列的性质求解即可；
（2）根据等比数列的性质求解即可．
【解答】解：（1）等差数列{an}的前n项和为Sn，a1＝2，，
得公差d2，
故S10＝10a1d；
（2）等比数列{an}中，a1＝2，a3＝8，故公比q＝±±2，
故an＝2×2n﹣1＝2n或an＝2×（﹣2）n﹣1＝（﹣1）n﹣1 2n．
题型02 等比中项
（2025春 南岗区校级期中）已知a＞0，b＞0，且9是3a和3b的等比中项，则的最小值是（　　）
A． B．36 C．9 D．49
【答案】C
【分析】由题可得3a 3b＝92，化为a+b＝4，再利用“乘1法”与基本不等式的性质即可得出．
【解答】解：∵9是3a和3b的等比中项，∴3a 3b＝92，∴a+b＝4，
∵a＞0，b＞0，∴（a+b）（）（26）（26+2）＝9，当且仅当b＝5a时取等号．
故选：C．
【变式练1】（2025春 湖北期中）在等比数列{an}中，a3，a15是方程x2+10x+9＝0的两个实数根，则（　　）
A． B． C． D．3
【答案】A
【分析】利用韦达定理得到a3a15＝9，a3+a15＝﹣10＜0，进而判断出a3，a15＜0，再利用等比中项性质求出a9＝﹣3，最后得到目标式的值即可．
【解答】解：因为a3，a15是方程x2+10x+9＝0的两个实数根，
所以a3+a15＝﹣10＜0，a3a15＝9，故a3，a15＜0，所以a9＝a3 q6＜0，
又，解得a9＝﹣3，得到，故A正确．
故选：A．
【变式练2】（2025春 黄浦区校级月考）2和8的等比中项的值是　　　　．
【答案】±4．
【分析】根据等比中项的性质求解即可．
【解答】解：2和8的等比中项的值是±4．
故答案为：±4．
【变式练3】（2025春 江门校级月考）若等比数列{an}满足a1+a2+a3＝168，a2﹣a5＝42，求a5，a7的等比中项．
【答案】±3．
【分析】由已知结合等比数列的通项公式先求出首项及公比，然后结合等比数列的性质可求．
【解答】解：因为等比数列{an}满足a1+a2+a3＝168，a2﹣a5＝42，
所以，解得q，a1＝96，
故a5，a7的等比中项±a6＝±3．
题型03 等比数列的判断
（2025春 喀什市期中）下列数列是等比数列的是（　　）
A．3，9，15，21，27
B．1，1.1，1.21，1.331，1.464
C．13，16，19，112，115
D．4，﹣8，16，﹣32，642
【答案】B
【分析】由已知结合等比数列定义检验各选项即可判断．
【解答】解：结合等比数列的定义可知，从第二项起，任一项与它的前一项的比都为同一个常数，
故ACD错误，B正确．
故选：B．
【变式练1】（多选）（2025春 丹东期末）已知数列{an}，{bn}均为等比数列，且项数相同，则（　　）
A．数列是等比数列
B．数列{an+bn}是等比数列
C．数列是等比数列
D．数列是等比数列
【答案】AC
【分析】根据等比数列的定义判断A、C；应用特殊数列an＝1，bn＝﹣1判断B、D．
【解答】解：因为数列{an}，{bn}均为等比数列，且项数相同，
所以an≠0，bn≠0，设公比分别为m，q且均不为0，
则是首项为，公比为m2的等比数列，A对；
若an＝1，bn＝﹣1，满足题设，但an+bn＝0，故{an+bn}不为等比数列，B错；
是首项为，公比为的等比数列，C对；
若an＝1，bn＝﹣1，则anbn＝﹣1，无意义，则不为等比数列，D错．
故选：AC．
【变式练2】（2025秋 德州月考）已知数列{an}中a1＝1，an+1＝2an+3，n∈N*．
（1）证明数列{an+3}是等比数列；
（2）若数列{bn}的通项公式为bn＝（n+1） （an+3），求{bn}的前n项和Sn．
【答案】（1）证明见解析；
（2）．
【分析】（1）根据等比数列的概念，计算证明为常数，即可；
（2）由（1）知，数列{an+3}是首项为4，公比为2的等比数列，从而知，进而得，再采用错位相减法，即可得解．
【解答】解：（1）证明：数列{an}中a1＝1，an+1＝2an+3，n∈N*，
可得an+1+3＝2（an+3），即，为常数，
故数列{an+3}是首项为4，公比为2的等比数列．
（2）由等比数列的通项公式可得，即，
所以，
故，
所以，
两式相减得，﹣Sn＝8+8+16+...+2n+1﹣（n+1） 2n+2＝4（n+1） 2n+2＝﹣n 2n+2，
所以．
【变式练3】（2025春 临高县校级期末）已知数列{an}满足a1＝1，an+1＝2an+1．
（1）证明：{an+1}是等比数列；
（2）求数列{an}的前n项和Sn；
（3）若bn＝n an，求数列{bn}的前n项和Tn．
【答案】（1）证明见解析．
（2）．
（3）．
【分析】（1）根据递推公式可得an+1+1＝2（an+1），结合等比数列定义分析证明；
（2）根据（1）可得，结合等比数列求和公式运算求解；
（3）由（2）可得，利用分组求和结合错位相减法运算求解．
【解答】解：（1）证明：∵{an}满足a1＝1，an+1＝2an+1，∴an+1+1＝2（an+1），
∵a1+1＝2≠0，
∴{an+1}是以2为首项，2为公比的等比数列．
（2）由（1）可得，即，
∴数列{an}的前n项和为：
．
（3）由（2）可知，
设，，
则，，
两式相减得：，
∴，
∴数列{bn}的前n项和为：
．
题型04 等比数列的性质
（2025秋 渝中区校级月考）等比数列{an}满足a1013＝3，则a1a2025＝（　　）
A． B．3 C．6 D．9
【答案】D
【分析】根据给定条件，利用等比数列性质求解即得．
【解答】解：由题可得：．
故选：D．
【变式练1】（2025春 辽宁月考）记公比大于1的等比数列{an}的前n项和为Sn，a1+a5＝82，a2a4＝81，则S4＝（　　）
A．30 B．40 C．121 D．160
【答案】B
【分析】由已知结合等比数列的性质先求出a1＝1，a5＝81，进而可求q，然后结合等比数列的求和公式即可求解．
【解答】解：设正项等比数列{an}的公比为q（q＞1），
则a1+a5＝82，a2a4＝a1a5＝81，
解得a1＝1，a5＝81或a1＝81，a5＝1（舍），
则，解得q＝3，
所以S440．
故选：B．
【变式练2】（2025 湛江一模）在等比数列{an}中，a3 a5＝49，a4+a6＝70，则a8＝（　　）
A．﹣567 B．567 C．451 D．699
【答案】B
【分析】由已知根据等比中项可得a4＝±7，分两种情况求解即可．
【解答】解：由，解得a4＝±7，
当a4＝﹣7时，a4+a6＝﹣7﹣7q2＝70，所以q2＝﹣11＜0，故舍去，
所以a4＝7，所以a4+a6＝7+7q2＝70，所以q2＝9，
即．
故选：B．
【变式练3】（2025秋 黑龙江期中）等比数列{an}满足a5＝3，则a3a7＝　　　　．
【答案】9．
【分析】利用等比数列的性质直接求解．
【解答】解：由等比数列的性质可知，a3a7＝a5a5＝3×3＝9．
故答案为：9．
题型05 等比数列的前n项和
（2025 船山区校级二模）等比数列{an}的前n项和为Sn，且a2＝2，4a1+a3＝8，则S5＝（　　）
A．63 B．48 C．31 D．15
【答案】C
【分析】由等比数列基本量的运算建立方程可求得首项与公比，再由等比数列的前n项和公式计算即可．
【解答】解：设等比数列{an}的公比为q，
则a2＝a1q＝2，，
解得a1＝1，q＝2，所以．
故选：C．
【变式练1】（多选）（2025秋 南充校级月考）已知{an}是递增的等比数列，其前n项和为Sn，若，则下列说法正确的是（　　）
A． B．
C． D．{Sn+2}是等比数列
【答案】ACD
【分析】根据已知条件结合等比数列的性质，求出{an}的公比和首项，再利用等比数列的通项公式及前n项和公式逐一分析判断各选项．
【解答】解：设等比数列{an}的公比为q，
对于A，因为，
所以，
化简变形得：6q2﹣13q+6＝0，解得或
因为{an}是递增的等比数列，所以，故A正确；
对于B，因为，所以a1＝1，
所以，故B错误；
对于C，因为，所以，故C正确；
对于D，因为，
所以，
所以数列{Sn+2}是首项为3，公比为的等比数列，故D正确．
故选：ACD．
【变式练2】（2025春 陕西期中）已知等比数列{an}的前n项和．
（Ⅰ）求实数a的值；
（Ⅱ）若Sm＝80，求m．
【答案】（Ⅰ）a＝1；
（Ⅱ）m＝4．
【分析】（Ⅰ）根据等比数列的定义，求出a1、a2、a3，可求出公比q和a1；
（Ⅱ）由（Ⅰ）可得3m﹣1＝80，可解出m．
【解答】解：（Ⅰ）设等比数列的公比为q，
因为a1＝S1＝3﹣a，a2＝S2﹣S1＝6，a3＝S3﹣S2＝18，
所以q3，则a12，即3﹣a＝2，所以a＝1；
（Ⅱ）由（Ⅰ），Sm＝3m﹣1＝80，解得m＝4．
【变式练3】（2025秋 兰州月考）已知等比数列{an}的各项均为正数，a1＝2，Sn为其前n项和，且S1+2S2＝S3．
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）若Sn＝254，求n的值．
【答案】（1）；
（2）7．
【分析】（1）只需根据题意求得q即可；
（2）根据等比数列求和公式列方程求解即可．
【解答】解：（1）设等比数列{an}的公比为q，
由S1+2S2＝S3，得a1+2a1+2a2＝a1+a2+a3，
整理得a3﹣2a1﹣a2＝0，即，
又a1＝2，所以q2﹣q﹣2＝0，解得q＝2或q＝﹣1，
因为等比数列{an}的各项均为正数，所以q＞0，所以q＝2，
所以数列{an}的通项公式；
（2）由题知，
令2n+1﹣2＝254，得2n+1＝256＝28，
故n＝7．
题型06 等比数列前n项和的性质
（2025秋 河北月考）已知等比数列{an}的前n项和为Sn，若S4＝7，S12＝511，则S8＝（　　）
A．56 B．﹣56 C．63 D．﹣63
【答案】C
【分析】根据等比数列前n项和的性质建立方程，求解S8即可．
【解答】解：由等比数列前n项和的性质知，S4，S8﹣S4，S12﹣S8成等比数列，且公比为正数，则7，S8﹣7，511﹣S8成等比数列，
所以（S8﹣7）2＝7（511﹣S8），即7S8﹣3528＝0，
解得S8＝﹣56或S8＝63，
因为S4，S8﹣S4，S12﹣S8三者同号，所以S8＝63．
故选：C．
【变式练1】（2025秋 邵阳月考）已知等比数列{an}的前n项和为Sn，若S4＝1，S8＝17，则S12的值为（　　）
A．81 B．145 C．256 D．273
【答案】D
【分析】根据等比数列的性质，计算即可得出答案．
【解答】解：因为数列{an}是等比数列，则有（S8﹣S4）2＝S4×（S12﹣S8），
又由S4＝1，S8＝17，所以S8﹣S4＝16，
所以，
所以S12＝256+17＝273．
故选：D．
【变式练2】（2025春 云南期中）已知正项等比数列{an}的前n项和为Sn，若S4＝4，则S2+S6的最小值为（　　）
A．8 B． C． D．10
【答案】B
【分析】由等比数列的性质及已知条件可得，则，然后利用基本不等式可求得结果．
【解答】解：由正项等比数列{an} 知S2，S4﹣S2，S6﹣S4成等比数列，
则，
又S4＝4，所以，
所以，当且仅当，即S2＝2时取等号，
故S2+S6的最小值为．
故选：B．
【变式练3】（2025春 建平县校级期末）已知等比数列{an}的前n项和为Sn，且S5＝3，S10＝9，则S15＝　　　　．
【答案】21．
【分析】根据等比数列片段和的性质可求S15的值．
【解答】解：因为Sn为等比数列{an}的前n项和，
所以S5，S10﹣S5，S15﹣S10为等比数列，
故3（S15﹣9）＝36，解得S15＝21．
故答案为：214.3 等比数列
题型01 等比数列的通项 5
题型02 等比中项 6
题型03 等比数列的判断 7
题型04 等比数列的性质 8
题型05 等比数列的前n项和 9
题型06 等比数列前n项和的性质 10
知识点1： 等比数列的概念
1．定义：一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比都等于同一个常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列公比，通常用字母q表示(q≠0)．
2．递推公式形式的定义：＝q(n∈N*且n>1)．
知识点2： 等比中项
如果在a与b中间插入一个数G，使a，G，b成等比数列，那么G叫做a与b的等比中项，此时，G2＝ab．
知识点3： 等比数列的通项
1．若等比数列{an}的首项为a1，公比为q，则an＝a1qn－1(n∈N*)．
2．若等比数列{an}的公比为q，则an＝a1qn－1＝amqn－m＝·qn．
知识点4： 等比数列的性质
1．若k＋l＝m＋n(k，l，m，n∈N*)，则ak·al＝am·an．
2．若m，p，n成等差数列，则am，ap，an成等比数列．
3．在等比数列{an}中，连续取相邻k项的和(或积)构成公比为qk(或)的等比数列．
4．若{an}，{bn}是项数相同的等比数列，公比分别是p和q，那么{anbn}与也都是等比数列，公比分别为pq和．
知识点5： 等比数列的前n项和公式
1．Sn＝．
2．Sn＝
知识点6： 等比数列前n项和的性质
1．数列{an}为公比不为－1的等比数列(或公比为－1，且n不是偶数)，Sn为其前n项和，则Sn，S2n－Sn，S3n－S2n仍构成等比数列．
2．若{an}是公比为q的等比数列，则Sn＋m＝Sn＋qnSm(n，m∈N*)．
3．在等比数列{an}中，连续取相邻k项的和(或积)构成公比为qk(或)的等比数列．
1．等比数列的求解．
(1)等比数列的通项公式涉及4个量a1，an，n，q，只要知道其中任意三个就能求出另外一个．
(2)在这四个量中，a1和q是等比数列的基本量，只要求出这两个基本量，问题便迎刃而解．
2．等比中项．
(1)由等比中项的定义可知＝ G2＝ab G＝±，所以只有a，b同号时，a，b的等比中项有两个，异号时，没有等比中项．
(2)在一个等比数列中，从第二项起，每一项(有穷数列的末项除外)都是它的前一项和后一项的等比中项．
(3)a，G，b成等比数列等价于G2＝ab(ab>0)．
3．等比数列的性质．
(1)充分发挥项的“下标”的指导作用，分析等比数列项与项之间的关系，选择恰当的性质解题．
(2)简便快捷，但是适用面窄，有一定的思维含量．
4．等比数列的判断．
(1)定义法：若数列{an}满足＝q(n∈N*，q为常数且不为零)或＝q(n≥2，且n∈N*，q为常数且不为零)，则数列{an}是等比数列．
(2)通项公式法：若{an}的通项公式为an＝a1qn－1(a1≠0，q≠0)，则数列{an}是等比数列．
(3)等比中项法：若a＝anan＋2(n∈N*且an≠0)，则数列{an}为等比数列．
(4)构造法：在条件中出现an＋1＝kan＋b关系时，往往构造数列，方法是把an＋1＋x＝k(an＋x)与an＋1＝kan＋b对照，求出x即可．
5．等比数列前n项和运算的技巧．
(1)在等比数列的通项公式和前n项和公式中，共涉及五个量：a1，an，n，q，Sn，其中首项a1和公比q为基本量，且“知三求二”，常常列方程组来解答．
(2)对于基本量的计算，列方程组求解是基本方法，通常用约分或两式相除的方法进行消元，有时会用到整体代换，如qn，都可看作一个整体．
(3)在解决与前n项和有关的问题时，首先要对公比q＝1或q≠1进行判断，若两种情况都有可能，则要分类讨论．
6．等比数列前n项和问题的求解．
(1)运用等比数列的前n项和公式，要注意公比q＝1和q≠1两种情形，在解有关的方程(组)时，通常用约分或两式相除的方法进行消元．
(2)灵活运用等比数列前n项和的有关性质．
7．错位相减法求和．
(1)适用范围：它主要适用于{an}是等差数列，{bn}是等比数列，求数列{anbn}的前n项和．
(2)利用“错位相减法”时，在写出Sn与qSn的表达式时，应注意使两式交错对齐，以便于作差，正确写出(1－q)Sn的表达式．
(3)利用此法时要注意讨论公比q是否等于1的情况．
题型01 等比数列的通项
（2025秋 苏州月考）设等比数列{an}的公比为q，若a1+a5＝4，a2a4＝4，则q＝（　　）
A．1 B．﹣2 C．或2 D．﹣1或1
【答案】D
【分析】根据给定条件，利用等比数列的性质求出a1，a5，再求出公比．．
【解答】解：等比数列{an}中，a1a5＝4，所以a2a4＝4，
因为a1+a5＝4，解得a5＝a1＝2，
由等比数列的性质得q4＝1，所以q＝﹣1或q＝1．
故选：D．
【变式练1】（多选）（2025春 娄星区校级期末）在等比数列{an}中，a2＝2，a6＝32，则{an}的公比可能为（　　）
A．﹣1 B．﹣2 C．2 D．4
【变式练2】（2025秋 市中区校级月考）已知正项等比数列{an}的前n项和为Sn，公比为q，a2+a3＝6a1，则q＝　　　　．
【变式练3】（2025秋 常熟市月考）（1）已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若a1＝2，，求S10；
（2）已知在等比数列{an}中，a1＝2，a3＝8，求公比q和{an}的通项公式．
题型02 等比中项
（2025春 南岗区校级期中）已知a＞0，b＞0，且9是3a和3b的等比中项，则的最小值是（　　）
A． B．36 C．9 D．49
【答案】C
【分析】由题可得3a 3b＝92，化为a+b＝4，再利用“乘1法”与基本不等式的性质即可得出．
【解答】解：∵9是3a和3b的等比中项，∴3a 3b＝92，∴a+b＝4，
∵a＞0，b＞0，∴（a+b）（）（26）（26+2）＝9，当且仅当b＝5a时取等号．
故选：C．
【变式练1】（2025春 湖北期中）在等比数列{an}中，a3，a15是方程x2+10x+9＝0的两个实数根，则（　　）
A． B． C． D．3
【变式练2】（2025春 黄浦区校级月考）2和8的等比中项的值是　　　　．
【变式练3】（2025春 江门校级月考）若等比数列{an}满足a1+a2+a3＝168，a2﹣a5＝42，求a5，a7的等比中项．
题型03 等比数列的判断
（2025春 喀什市期中）下列数列是等比数列的是（　　）
A．3，9，15，21，27
B．1，1.1，1.21，1.331，1.464
C．13，16，19，112，115
D．4，﹣8，16，﹣32，642
【答案】B
【分析】由已知结合等比数列定义检验各选项即可判断．
【解答】解：结合等比数列的定义可知，从第二项起，任一项与它的前一项的比都为同一个常数，
故ACD错误，B正确．
故选：B．
【变式练1】（多选）（2025春 丹东期末）已知数列{an}，{bn}均为等比数列，且项数相同，则（　　）
A．数列是等比数列
B．数列{an+bn}是等比数列
C．数列是等比数列
D．数列是等比数列
【变式练2】（2025秋 德州月考）已知数列{an}中a1＝1，an+1＝2an+3，n∈N*．
（1）证明数列{an+3}是等比数列；
（2）若数列{bn}的通项公式为bn＝（n+1） （an+3），求{bn}的前n项和Sn．
【变式练3】（2025春 临高县校级期末）已知数列{an}满足a1＝1，an+1＝2an+1．
（1）证明：{an+1}是等比数列；
（2）求数列{an}的前n项和Sn；
（3）若bn＝n an，求数列{bn}的前n项和Tn．
题型04 等比数列的性质
（2025秋 渝中区校级月考）等比数列{an}满足a1013＝3，则a1a2025＝（　　）
A． B．3 C．6 D．9
【答案】D
【分析】根据给定条件，利用等比数列性质求解即得．
【解答】解：由题可得：．
故选：D．
【变式练1】（2025春 辽宁月考）记公比大于1的等比数列{an}的前n项和为Sn，a1+a5＝82，a2a4＝81，则S4＝（　　）
A．30 B．40 C．121 D．160
【变式练2】（2025 湛江一模）在等比数列{an}中，a3 a5＝49，a4+a6＝70，则a8＝（　　）
A．﹣567 B．567 C．451 D．699
【变式练3】（2025秋 黑龙江期中）等比数列{an}满足a5＝3，则a3a7＝　　　　．
题型05 等比数列的前n项和
（2025 船山区校级二模）等比数列{an}的前n项和为Sn，且a2＝2，4a1+a3＝8，则S5＝（　　）
A．63 B．48 C．31 D．15
【答案】C
【分析】由等比数列基本量的运算建立方程可求得首项与公比，再由等比数列的前n项和公式计算即可．
【解答】解：设等比数列{an}的公比为q，
则a2＝a1q＝2，，
解得a1＝1，q＝2，所以．
故选：C．
【变式练1】（多选）（2025秋 南充校级月考）已知{an}是递增的等比数列，其前n项和为Sn，若，则下列说法正确的是（　　）
A． B．
C． D．{Sn+2}是等比数列
【答案】ACD
【分析】根据已知条件结合等比数列的性质，求出{an}的公比和首项，再利用等比数列的通项公式及前n项和公式逐一分析判断各选项．
【解答】解：设等比数列{an}的公比为q，
对于A，因为，
所以，
化简变形得：6q2﹣13q+6＝0，解得或
因为{an}是递增的等比数列，所以，故A正确；
对于B，因为，所以a1＝1，
所以，故B错误；
对于C，因为，所以，故C正确；
对于D，因为，
所以，
所以数列{Sn+2}是首项为3，公比为的等比数列，故D正确．
故选：ACD．
【变式练2】（2025春 陕西期中）已知等比数列{an}的前n项和．
（Ⅰ）求实数a的值；
（Ⅱ）若Sm＝80，求m．
【变式练3】（2025秋 兰州月考）已知等比数列{an}的各项均为正数，a1＝2，Sn为其前n项和，且S1+2S2＝S3．
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）若Sn＝254，求n的值．
题型06 等比数列前n项和的性质
（2025秋 河北月考）已知等比数列{an}的前n项和为Sn，若S4＝7，S12＝511，则S8＝（　　）
A．56 B．﹣56 C．63 D．﹣63
【答案】C
【分析】根据等比数列前n项和的性质建立方程，求解S8即可．
【解答】解：由等比数列前n项和的性质知，S4，S8﹣S4，S12﹣S8成等比数列，且公比为正数，则7，S8﹣7，511﹣S8成等比数列，
所以（S8﹣7）2＝7（511﹣S8），即7S8﹣3528＝0，
解得S8＝﹣56或S8＝63，
因为S4，S8﹣S4，S12﹣S8三者同号，所以S8＝63．
故选：C．
【变式练1】（2025秋 邵阳月考）已知等比数列{an}的前n项和为Sn，若S4＝1，S8＝17，则S12的值为（　　）
A．81 B．145 C．256 D．273
【变式练2】（2025春 云南期中）已知正项等比数列{an}的前n项和为Sn，若S4＝4，则S2+S6的最小值为（　　）
A．8 B． C． D．10
【变式练3】（2025春 建平县校级期末）已知等比数列{an}的前n项和为Sn，且S5＝3，S10＝9，则S15＝　　　　．

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