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直线的方程
课前必备知识
课标要求
1.理解直线的倾斜角和斜率的概念，掌握过两点的直线斜率计算公式.2.掌握确定直线位置的几何要素，掌握直线方程的几种形式，了解斜截式与一次函数的关系．
知识梳理
1．直线的倾斜角
(1)定义：当直线l与x轴相交时，我们以x轴作为基准，x轴__正向__与直线l __向上的方向__之间所成的角α叫做直线l的倾斜角．当直线l与x轴平行或重合时，规定它的倾斜角为__0°__．
(2)倾斜角的取值范围是__[0°，180°)__．
2．直线的斜率
(1)定义：一条直线的倾斜角α的__正切值__叫做这条直线的斜率，斜率通常用小写字母k表示，即k＝__tan_α__，倾斜角是90°的直线，它的斜率__不存在__．
(2)经过两点的直线的斜率公式
经过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(x1≠x2)的直线的斜率公式为k＝____．
3．直线的截距
直线与x轴交点的__横坐标__叫做直线在x轴上的截距；直线与y轴交点的__纵坐标__叫做直线在y轴上的截距．
4．直线方程的五种形式
名称 方程形式 适用范围
点斜式 __y－y1＝k(x－x1)__ 不垂直于__x__轴
斜截式 __y＝kx＋b__ 不垂直于__x__轴
两点式 ＝ 不垂直于__坐标轴__
截距式 ＋＝1 不垂直于__坐标轴__，且不过__原点__
一般式 Ax＋By＋C＝0 A2＋B2≠0
　　5.特殊位置的直线方程
(1)与x轴重合的直线方程为__y＝0__；
(2)与y轴重合的直线方程为__x＝0__；
(3)经过点(a，b)且平行于x轴的直线方程为__y＝b__；
(4)经过点(a，b)且平行于y轴的直线方程为__x＝a__；
(5)过原点且斜率为k的直线方程为__y＝kx__．
6．中点坐标公式、重心坐标公式
(1)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，两点的中点为M(x，y)，则
(2)设△ABC的三个顶点的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，(x3，y3)，△ABC的重心为G(x，y)，则
课前训练
1．(教材母题选必修2.2.1练习T2改编)直线x＋y＋1＝0的倾斜角是(　　)
A． B．
C． D．
解析：D　由直线的方程得直线的斜率为k＝－，设直线的倾斜角为α，则tan α＝－.又α∈[0，π)，所以α＝.故选D.
2．方程y＝k(x－2)表示(　　)
A．通过点(2，0)的所有直线
B．通过点(2，0)且不垂直于y轴的所有直线
C．通过点(2，0)且不垂直于x轴的所有直线
D．通过点(2，0)且除去x轴的所有直线
解析：C　y＝k(x－2)为直线的点斜式方程，只能表示斜率存在的直线，且直线过点(2，0).故选C.
3．(教材母题选必修习题2.2T2)已知A(0，2)，B(3，0)，C(m，1－m)三点共线，则m＝________．
解析：－3　直线AB的方程为＋＝1，代入(m，1－m)得＋＝1，解得m＝－3.
4．下列结论正确的是(　　)
A．经过定点P(x0，y0)的直线都可以用方程y－y0＝k(x－x0)表示
B．不经过原点的直线都可以用方程＋＝1表示
C．经过定点A(0，b)的直线都可以用方程y＝kx＋b表示
D．经过任意两个不同的点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)的直线都可以用方程(y－y1)·(x2－x1)＝(x－x1)(y2－y1)表示
解析：D　对于A，当直线垂直于x轴时，不正确；
对于B，当直线垂直于x轴或平行于x轴时，不正确；
对于C，当直线垂直于x轴(与y轴重合)时，不正确．故选D.
5．(2022·新课标Ⅱ卷)图1是中国古代建筑中的举架结构，AA′，BB′，CC′，DD′是桁，相邻桁的水平距离称为步，垂直距离称为举，图2是某古代建筑屋顶截面的示意图．其中DD1，CC1，BB1，AA1是举，OD1，DC1，CB1，BA1是相等的步，相邻桁的举步之比分别为＝0.5，＝k1，＝k2，＝k3.已知k1，k2，k3成公差为0.1的等差数列，且直线OA的斜率为0.725，则k3＝(　　)
A．0.75 B．0.8
C．0.85 D．0.9
解析：D　设OD1＝DC1＝CB1＝BA1＝1，
则CC1＝k1，BB1＝k2，AA1＝k3，
依题意，有k3－0.2＝k1，k3－0.1＝k2，
且＝0.725，
所以＝0.725，故k3＝0.9，故选D.
课堂核心考点
考点1　直线的倾斜角与斜率
【例1】 (1)(多选)下列说法中正确的是(　　)
A．直线的倾斜角越大，直线的斜率就越大
B．若A(1，－3)，B(1，3)，则直线AB的倾斜角为90°
C．若直线过点(1，2)，且它的倾斜角为45°，则这条直线必过点(3，4)
D．若直线的倾斜角为α，则直线的斜率为tan α
(2)已知两点A(－1，5)，B(0，0)，若直线l：(k＋1)x－(2k－2)y＋2k－6＝0与线段AB有公共点，则直线l倾斜角的取值范围为____________________．
解析：(1)BC　对于A，若直线的倾斜角大于90°，则直线的斜率存在负值，A错误；
由A(1，－3)，B(1，3)，可知直线AB与x轴垂直，则其倾斜角为90°，B正确；
对于C，直线的倾斜角为45°，则斜率k＝1，又过(1，2)，且＝1，C正确；
直线斜率的定义为倾斜角的正切值，但不能是tan 90°，D错误．故选BC.
(2)[0，]∪[，π)
由直线l：(k＋1)x－(2k－2)y＋2k－6＝0，
变形可得(x－2y＋2)k＋x＋2y－6＝0，
由解得
可得直线l恒过定点P(2，2)，则kPA＝＝－1，kPB＝＝1.
结合图象可得，若直线l与线段AB有公共点，则直线l斜率的取值范围为[－1，1]，
由斜率定义k＝tan α，可得直线l倾斜角的取值范围为[0，]∪[，π).
(1)直线的倾斜角的范围是[0，π)，而这个区间不是正切函数的单调区间，因此，根据倾斜角求斜率的范围及根据斜率求倾斜角的范围时，要分[0，)与(，π)两种情况讨论．
(2)由正切函数的图象可以得到，当α∈[0，)时，斜率k∈[0，＋∞)；当α＝
时，斜率不存在；当α∈(，π)时，斜率k∈(－∞，0).
变式探究
1．如图，图中的直线l1，l2，l3的斜率分别为k1，k2，k3，则(　　)
A．k1＜k2＜k3 B．k3＜k1＜k2
C．k3＜k2＜k1 D．k1＜k3＜k2
解析：D　由题图可知，直线l1的倾斜角α1是钝角，故k1＜0，直线l2与l3的倾斜角α2与α3均为锐角且α2＞α3，所以0＜k3＜k2，因此k1＜k3＜k2，故选D.
2．折纸艺术是我国民间的传统文化，将一矩形OABC纸片放在平面直角坐标系中，O(0，0)，A(2，0)，C(0，1)，将矩形折叠，使O点落在线段BC上，设折痕所在直线的斜率为k，则实数k的取值范围是(　　)
A．[0，1] B．[0，2]
C．[－1，0] D．[－2，0]
解析：D　如图，要想使折叠后O点落在线段BC上，可取BC上任意一点D，作线段OD的垂直平分线l，以l为折痕可使O与D重合．因为kOD≥kOB＝，所以k＝－≥－2，且k<0.又当折叠后O与C重合时，k＝0，所以－2≤k≤0，所以实数k的取值范围是[－2，0].故选D.
考点2　直线的方程及求法
【例2】 (1)(多选)过点(－3，1)且在两坐标轴上的截距相等的直线的方程可能是(　　)
A．x＋3y＝0 B．x＋y＋2＝0
C．x－y＋2＝0 D．x－3y＝0
(2)在等腰三角形MON中，MO＝MN，点O(0，0)，M(－1，3)，点N在x轴的负半轴上，则直线MN的方程为(　　)
A．3x－y－6＝0 B．3x＋y＋6＝0
C．3x－y＋6＝0 D．3x＋y－6＝0
(3)数学家欧拉在1765年发表的《三角形的几何学》一书中有这样一个定理：三角形的外心、垂心和重心都在同一直线上．这条直线被后人称为三角形的欧拉线．已知△ABC的顶点分别为A(0，2)，B(－1，0)，C(4，0)，则△ABC的欧拉线方程为(　　)
A．4x－3y－6＝0 B．3x＋4y＋3＝0
C．4x＋3y－6＝0 D．3x＋4y－3＝0
解析：(1)AB　当截距均为0时，设直线的方程为y＝kx，将点(－3，1)的坐标代入得k＝－，此时直线的方程为x＋3y＝0；当截距均不为0时，设直线的方程为＋＝1，将点(－3，1)的坐标代入得a＝－2，此时直线的方程为x＋y＋2＝0.故选AB.
(2)C　因为MO＝MN，所以直线MN的斜率与直线MO的斜率互为相反数，所以kMN＝－kMO＝3，所以直线MN的方程为y－3＝3(x＋1)，即3x－y＋6＝0，故选C.
(3)C　因为△ABC的顶点分别为A(0，2)，B(－1，0)，C(4，0)，所以△ABC的重心为G(1，).
因为kAB＝2，kAC＝－，所以kAB·kAC＝－1，所以AB⊥AC，
所以△ABC的外心为边BC的中点D(，0).
因为三角形的外心、垂心和重心都在同一直线上，
所以△ABC的欧拉线为直线GD，
所以△ABC的欧拉线方程为
＝，
即4x＋3y－6＝0，故选C.
(1)确定一条直线需要两个条件，只要找到直线上两点的坐标或直线上一点的坐标与直线的斜率即可．
(2)确定直线的方程的常用方法有两种
①直接法：根据已知条件确定适当的直线方程形式，直接写出直线的方程．
②待定系数法：先设出直线方程，再根据已知条件求出待定的系数，最后代入求出方程．
(3)选择直线方程时，应有分类讨论意识．选用点斜式或斜截式，先要讨论斜率是否存在；选用截距式前，先要讨论在两坐标轴上的截距是否存在或是不是0.
变式探究
3．已知△ABC中，B(2，1)，C(－2，3)，则BC边所在直线的方程为______________．
解析：x＋2y－4＝0　因为△ABC中，B(2，1)，C(－2，3)，可得直线BC的斜率为k＝＝－，
所以BC边所在直线的方程为y－1＝－(x－2)，即x＋2y－4＝0.
4．直线l过点(5，10)，且到原点的距离为5，则直线l的方程是___________________．
解析：x－5＝0或3x－4y＋25＝0
当斜率不存在时，所求直线方程为x－5＝0，满足题意；
当斜率存在时，设斜率为k，则所求直线方程为y－10＝k(x－5)，即kx－y＋10－5k＝0.
由点到直线的距离公式，得＝5，解得k＝.
故所求直线方程为3x－4y＋25＝0.
综上，所求直线方程为x－5＝0或3x－4y＋25＝0.
5．已知直线l过A(－2，1)，并在两坐标轴上的截距的绝对值相等，那么这样的直线l共有(　　)
A．1条 B．2条
C．3条 D．4条
解析：C　由题意，该直线斜率存在且不为0，设所求直线的方程为y－1＝k(x＋2).
令x＝0，则y＝2k＋1；令y＝0，则x＝－－2.
因为直线l在两坐标轴上截距的绝对值相等，
所以|2k＋1|＝|－－2|，
化简得2k2＋3k＋1＝0或2k2－k－1＝0，
解得k＝－或k＝－1或k＝1，
所以过A(－2，1)并在两坐标轴上的截距的绝对值相等的直线有3条．
故选C.
考点3　直线方程的综合应用
【例3】 过点P(2，1)作直线l分别交x轴、y轴的正半轴于A，B两点．
(1)求|OA|·|OB|的最小值，及此时直线l的截距式方程；
(2)求|PA|·|PB|的最小值，及此时直线l的截距式方程．
解析：(1)根据题意可设直线l的方程为＋＝1(a>0，b>0)，则A(a，0)，B(0，b).
因为直线l过点P(2，1)，所以＋＝1(a>0，b>0).
又＋≥2(当且仅当＝，即a＝4，b＝2时取等号)，
所以2≤1，即ab≥8，
所以|OA|·|OB|＝ab的最小值为8，此时直线l的截距式方程为＋＝1.
(2)由(1)可知＋＝1，所以b＝>0，则a>2，
所以|PA|·|PB|
＝·
＝·
＝·
＝2
≥2＝4，
当且仅当(a－2)2＝，即a＝3时取等号．
所以|PA|·|PB|的最小值为4，
此时a＝3，b＝3，直线l的截距式方程为＋＝1.
1．与直线方程有关的最值或范围问题．先设出直线方程，建立目标函数，再利用函数的单调性或基本不等式求解．
2．看到直线与两坐标轴相交且同时出现与坐标原点O有关的三角形面积或周长等问题时，要想到利用直线的截距式方程求解．
变式探究
6．设m∈R，过定点A的动直线x＋my＝0和过定点B的动直线mx－y－m＋3＝0相交于点P(P与A，B不重合)，则△PAB面积的最大值是(　　)
A． B．5
C．2 D．
解析：D　由题意知直线x＋my＝0过定点A(0，0)，直线mx－y－m＋3＝0可变为m(x－1)－y＋3＝0，所以该直线过定点B(1，3)，所以|AB|2＝12＋32＝10.
又1×m＋m×(－1)＝0，所以直线x＋my＝0与直线mx－y－m＋3＝0互相垂直，
所以|PA|2＋|PB|2＝|AB|2＝10，
所以10＝|PA|2＋|PB|2≥2|PA|·|PB|，即|PA|·|PB|≤5，当且仅当|PA|＝|PB|＝时取等号，
所以S△PAB＝|PA|·|PB|≤，
即△PAB面积的最大值是.故选D.
7．已知直线l：kx－y＋1＋2k＝0(k∈R).
(1)证明：直线l过定点．
(2)若直线l不经过第四象限，求实数k的取值范围．
(3)若直线l交x轴负半轴于点A，交y轴正半轴于点B，△AOB的面积为S(O为坐标原点)，求S的最小值并求此时直线l的方程．
解析：(1)证明：直线l的方程可化为k(x＋2)＋(1－y)＝0，
令解得
所以无论k取何值，直线过定点(－2，1).
(2)由方程知，当k≠0时，直线在x轴上的截距为－，在y轴上的截距为1＋2k，要使直线不经过第四象限，则解得k＞0.
当k＝0时，直线为y＝1，符合题意，
故实数k的取值范围是[0，＋∞).
(3)由题意可知k＞0，由直线l的方程，得A(－，0)，B(0，1＋2k).
因为S＝·|OA|·|OB|
＝·||·|1＋2k|
＝·＝(4k＋＋4)
≥×(2×2＋4)
＝4，
当且仅当k＞0且4k＝，即k＝时等号成立，
所以Smin＝4，此时直线l的方程为x－2y＋4＝0.直线的方程
课前必备知识
课标要求
1.理解直线的倾斜角和斜率的概念，掌握过两点的直线斜率计算公式.2.掌握确定直线位置的几何要素，掌握直线方程的几种形式，了解斜截式与一次函数的关系．
知识梳理
1．直线的倾斜角
(1)定义：当直线l与x轴相交时，我们以x轴作为基准，x轴__正向__与直线l __向上的方向__之间所成的角α叫做直线l的倾斜角．当直线l与x轴平行或重合时，规定它的倾斜角为__0°__．
(2)倾斜角的取值范围是__[0°，180°)__．
2．直线的斜率
(1)定义：一条直线的倾斜角α的__正切值__叫做这条直线的斜率，斜率通常用小写字母k表示，即k＝__tan_α__，倾斜角是90°的直线，它的斜率__不存在__．
(2)经过两点的直线的斜率公式
经过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(x1≠x2)的直线的斜率公式为k＝____．
3．直线的截距
直线与x轴交点的__横坐标__叫做直线在x轴上的截距；直线与y轴交点的__纵坐标__叫做直线在y轴上的截距．
4．直线方程的五种形式
名称 方程形式 适用范围
点斜式 __y－y1＝k(x－x1)__ 不垂直于__x__轴
斜截式 __y＝kx＋b__ 不垂直于__x__轴
两点式 ＝ 不垂直于__坐标轴__
截距式 ＋＝1 不垂直于__坐标轴__，且不过__原点__
一般式 Ax＋By＋C＝0 A2＋B2≠0
　　5.特殊位置的直线方程
(1)与x轴重合的直线方程为__y＝0__；
(2)与y轴重合的直线方程为__x＝0__；
(3)经过点(a，b)且平行于x轴的直线方程为__y＝b__；
(4)经过点(a，b)且平行于y轴的直线方程为__x＝a__；
(5)过原点且斜率为k的直线方程为__y＝kx__．
6．中点坐标公式、重心坐标公式
(1)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，两点的中点为M(x，y)，则
(2)设△ABC的三个顶点的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，(x3，y3)，△ABC的重心为G(x，y)，则
课前训练
1．(教材母题选必修2.2.1练习T2改编)直线x＋y＋1＝0的倾斜角是(　　)
A． B．
C． D．
2．方程y＝k(x－2)表示(　　)
A．通过点(2，0)的所有直线
B．通过点(2，0)且不垂直于y轴的所有直线
C．通过点(2，0)且不垂直于x轴的所有直线
D．通过点(2，0)且除去x轴的所有直线
3．(教材母题选必修习题2.2T2)已知A(0，2)，B(3，0)，C(m，1－m)三点共线，则m＝________．
4．下列结论正确的是(　　)
A．经过定点P(x0，y0)的直线都可以用方程y－y0＝k(x－x0)表示
B．不经过原点的直线都可以用方程＋＝1表示
C．经过定点A(0，b)的直线都可以用方程y＝kx＋b表示
D．经过任意两个不同的点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)的直线都可以用方程(y－y1)·(x2－x1)＝(x－x1)(y2－y1)表示
5．(2022·新课标Ⅱ卷)图1是中国古代建筑中的举架结构，AA′，BB′，CC′，DD′是桁，相邻桁的水平距离称为步，垂直距离称为举，图2是某古代建筑屋顶截面的示意图．其中DD1，CC1，BB1，AA1是举，OD1，DC1，CB1，BA1是相等的步，相邻桁的举步之比分别为＝0.5，＝k1，＝k2，＝k3.已知k1，k2，k3成公差为0.1的等差数列，且直线OA的斜率为0.725，则k3＝(　　)
A．0.75 B．0.8
C．0.85 D．0.9
课堂核心考点
考点1　直线的倾斜角与斜率
【例1】 (1)(多选)下列说法中正确的是(　　)
A．直线的倾斜角越大，直线的斜率就越大
B．若A(1，－3)，B(1，3)，则直线AB的倾斜角为90°
C．若直线过点(1，2)，且它的倾斜角为45°，则这条直线必过点(3，4)
D．若直线的倾斜角为α，则直线的斜率为tan α
(2)已知两点A(－1，5)，B(0，0)，若直线l：(k＋1)x－(2k－2)y＋2k－6＝0与线段AB有公共点，则直线l倾斜角的取值范围为____________________．
变式探究
1．如图，图中的直线l1，l2，l3的斜率分别为k1，k2，k3，则(　　)
A．k1＜k2＜k3 B．k3＜k1＜k2
C．k3＜k2＜k1 D．k1＜k3＜k2
2．折纸艺术是我国民间的传统文化，将一矩形OABC纸片放在平面直角坐标系中，O(0，0)，A(2，0)，C(0，1)，将矩形折叠，使O点落在线段BC上，设折痕所在直线的斜率为k，则实数k的取值范围是(　　)
A．[0，1] B．[0，2]
C．[－1，0] D．[－2，0]
考点2　直线的方程及求法
【例2】 (1)(多选)过点(－3，1)且在两坐标轴上的截距相等的直线的方程可能是(　　)
A．x＋3y＝0 B．x＋y＋2＝0
C．x－y＋2＝0 D．x－3y＝0
(2)在等腰三角形MON中，MO＝MN，点O(0，0)，M(－1，3)，点N在x轴的负半轴上，则直线MN的方程为(　　)
A．3x－y－6＝0 B．3x＋y＋6＝0
C．3x－y＋6＝0 D．3x＋y－6＝0
(3)数学家欧拉在1765年发表的《三角形的几何学》一书中有这样一个定理：三角形的外心、垂心和重心都在同一直线上．这条直线被后人称为三角形的欧拉线．已知△ABC的顶点分别为A(0，2)，B(－1，0)，C(4，0)，则△ABC的欧拉线方程为(　　)
A．4x－3y－6＝0 B．3x＋4y＋3＝0
C．4x＋3y－6＝0 D．3x＋4y－3＝0
(1)确定一条直线需要两个条件，只要找到直线上两点的坐标或直线上一点的坐标与直线的斜率即可．
(2)确定直线的方程的常用方法有两种
①直接法：根据已知条件确定适当的直线方程形式，直接写出直线的方程．
②待定系数法：先设出直线方程，再根据已知条件求出待定的系数，最后代入求出方程．
(3)选择直线方程时，应有分类讨论意识．选用点斜式或斜截式，先要讨论斜率是否存在；选用截距式前，先要讨论在两坐标轴上的截距是否存在或是不是0.
变式探究
3．已知△ABC中，B(2，1)，C(－2，3)，则BC边所在直线的方程为______________．
4．直线l过点(5，10)，且到原点的距离为5，则直线l的方程是___________________．
5．已知直线l过A(－2，1)，并在两坐标轴上的截距的绝对值相等，那么这样的直线l共有(　　)
A．1条 B．2条
C．3条 D．4条
考点3　直线方程的综合应用
【例3】 过点P(2，1)作直线l分别交x轴、y轴的正半轴于A，B两点．
(1)求|OA|·|OB|的最小值，及此时直线l的截距式方程；
(2)求|PA|·|PB|的最小值，及此时直线l的截距式方程．
1．与直线方程有关的最值或范围问题．先设出直线方程，建立目标函数，再利用函数的单调性或基本不等式求解．
2．看到直线与两坐标轴相交且同时出现与坐标原点O有关的三角形面积或周长等问题时，要想到利用直线的截距式方程求解．
变式探究
6．设m∈R，过定点A的动直线x＋my＝0和过定点B的动直线mx－y－m＋3＝0相交于点P(P与A，B不重合)，则△PAB面积的最大值是(　　)
A． B．5
C．2 D．
7．已知直线l：kx－y＋1＋2k＝0(k∈R).
(1)证明：直线l过定点．
(2)若直线l不经过第四象限，求实数k的取值范围．
(3)若直线l交x轴负半轴于点A，交y轴正半轴于点B，△AOB的面积为S(O为坐标原点)，求S的最小值并求此时直线l的方程．

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