资源简介

　直线与圆、圆与圆的位置关系
课前必备知识
课标要求
1.能根据给定直线、圆的方程，判断直线与圆位置关系.2.能根据给定两个圆的方程，判断两圆的位置关系.3.能用直线和圆的方程解决一些简单的问题。
知识梳理
1．直线与圆的位置关系
直线l：Ax＋By＋C＝0，圆：(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0).
(1)几何方法
圆心(a，b)到直线Ax＋By＋C＝0的距离d＝____和圆的半径r的大小关系：
d__<__r 直线与圆相交；
d__＝__r 直线与圆相切；
d__>__r 直线与圆相离．
(2)代数方法
由消元，得到的一元二次方程的判别式为Δ，则
Δ__>__0 直线与圆相交；
Δ__＝__0 直线与圆相切；
Δ__<__0 直线与圆相离．
2．圆与圆的位置关系
(1)几何方法
两圆(x－a1)2＋(y－b1)2＝r(r1>0)与(x－a2)2＋(y－b2)2＝r(r2>0)的圆心距为d，则
d>r1＋r2 两圆__相离__；
d＝r1＋r2 两圆__外切__；
|r1－r2|d＝|r1－r2|(r1≠r2) 两圆__内切__；
0≤d<|r1－r2|(r1≠r2) 两圆__内含__(d＝0时为同心圆).
(2)代数方法
方程组
有两组不同的实数解 两圆__相交__；
有两组相同的实数解 两圆__相切__；
无实数解 两圆__相离__或__内含__．
常用结论
(1)过圆x2＋y2＝r2上一点P(x0，y0)的圆的切线方程为x0x＋y0y＝r2.
(2)过圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2上一点P(x0，y0)的圆的切线方程为(x0－a)(x－a)＋(y0－b)(y－b)＝r2.
(3)过圆x2＋y2＝r2外一点M(x0，y0)作圆的两条切线，则两切点所在直线方程为x0x＋y0y＝r2.
(4)过圆x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F>0)外一点P(x0，y0)引圆的两条切线，切点为T，则切线长为|PT|＝.
(5)直线与圆相交所得弦长的计算
直线与圆相交时，若l为弦长，d为弦心距，r为半径，则有l＝2.
(6)两圆相交的公共弦方程
将两圆方程(x2，y2的系数相同)相减，所得到的方程就是两圆公共弦所在的直线方程．
课前训练
1．(教材母题选必修2.5例2)过点(2，2)作圆(x－1)2＋y2＝5的切线，则切线方程为(　　)
A．x－2y＋2＝0
B．3x＋2y－10＝0
C．x＋2y－6＝0
D．x＝2或x＋2y－6＝0
2．(教材母题选必修习题2.5T1)直线l：x＋my＋1－m＝0与圆C：(x－1)2＋(y－2)2＝9的位置关系是(　　)
A．相交 B．相切
C．相离 D．无法确定
3．(教材母题选必修2.5.2例5)两圆x2＋y2－2y＝0与x2＋y2－4＝0的位置关系是(　　)
A．相交 B．内切
C．外切 D．内含
4．若圆C：x2＋y2－2x＋4y＋1＝0的弦MN的中点为A(2，－3)，则直线MN的方程是(　　)
A．2x－y－7＝0 B．x－y－5＝0
C．x＋y＋1＝0 D．x－2y－8＝0
5．(教材母题选必修习题2.5T9)圆x2＋y2－4＝0与圆x2＋y2－4x＋4y－12＝0的公共弦长为________．
课堂核心考点
考点1　直线与圆的位置关系及应用
【例1】 (1)(2025·天津期末)过点(1，0)且与圆x2＋y2－4x－4y＋7＝0相切的直线方程为(　　)
A．2x－y－2＝0
B．3x－4y－3＝0
C．2x－y－2＝0或x＝1
D．3x－4y－3＝0或x＝1
(2)(2025·全国甲卷)已知b是a，c的等差中项，直线ax＋by＋c＝0与圆x2＋y2＋4y－1＝0交于A，B两点，则|AB|的最小值为(　　)
A．2 B．3
C．4 D．2
(3)(2025·河南洛阳高三校联考)已知圆M：(x－5)2＋(y－5)2＝16，点N在直线l：3x＋4y－5＝0上，过点N作直线NP与圆M相切于点P，则△MNP的周长的最小值为____________．
(1)判断直线与圆的位置关系的常见方法：
①几何法：利用d与r的关系判断．
②代数法：联立方程求解，然后利用Δ判断．
注意：若直线恒过定点，且定点在圆内，可判断直线与圆相交．
(2)过某一点求圆的切线方程，一般要判断此点是否在圆上．若在圆上，该点为切点，切线只有一条；若在圆外，切线应该有两条．
(3)求圆的切线方程或割线方程，常采用待定系数法，再转化到圆心与所求直线的距离确定其中的参数值．
注意：设点斜式方程时，要特别注意斜率不存在的情况是否符合要求．
变式探究
1．(2025·江西南昌校考)圆心在直线y＝2x上，与x轴相切，且被直线x－y＝0截得的弦长为的圆的方程为_______________．
2．(2025·贵州贵阳校考)若圆C：x2＋y2－12x＋10y＋25＝0上有四个不同的点到直线l：3x＋4y＋c＝0的距离为3，则实数c的取值范围是(　　)
A．(－∞，17) B．(－17，13)
C．(－13，17) D．(－12，18)
3．(2023·新课标Ⅰ卷)过点(0，－2)与圆x2＋y2－4x－1＝0相切的两条直线的夹角为α，则sin α＝(　　)
A．1 B．
C． D．
考点2　圆与圆的位置关系及应用
【例2】 (1)已知圆C1：x2＋y2＋2x＋2y－8＝0与圆C2：x2＋y2－2x＋10y－24＝0相交于A，B两点，则公共弦AB的长为________，经过A，B两点且面积最小的圆的方程为____________________．
(2)设直线3x＋4y－5＝0与圆C1：x2＋y2＝9交于A，B两点，若圆C2的圆心在线段AB上，且圆C2与圆C1相切，切点在圆C1的劣弧AB上，则圆C2的半径的最大值是(　　)
A．1 B．2
C．3 D．4
1．判断圆与圆的位置关系时，一般用几何法，其步骤是：
(1)确定两圆的圆心坐标和半径长；
(2)利用平面内两点间的距离公式求出圆心距d，求r1＋r2，|r1－r2|；
(3)比较d，r1＋r2，|r1－r2|的大小，写出结论．
2．若两圆相交，则两圆公共弦所在直线的方程可由两圆的方程作差消去x2，
y2项得到．
3.弦长问题
(1)利用垂径定理：半径r，圆心到直线的距离d，弦长l具有关系r2＝d2＋()2，
这也是求弦长最常用的方法．
(2)利用交点坐标：若直线与圆的交点坐标易求出，求出交点坐标后，直接用
两点间的距离公式计算弦长．
(3)利用弦长公式：设直线l：y＝kx＋b与圆的两交点为(x1，y1)，(x2，y2)，将直线方程代入圆的方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，消元后，得到关于x的一元二次方程，再利用根与系数关系得弦长l＝|x1－x2|＝＝.
变式探究
4．已知圆C1：x2＋y2＋4ax＋4a2－4＝0和圆C2：x2＋y2－2by＋b2－1＝0只有一条公切线，若a，b∈R且ab≠0，则＋的最小值为(　　)
A．3 B．8
C．4 D．9
5．(多选)已知圆O1：x2＋y2－2x－3＝0和圆O2：x2＋y2－2y－1＝0的交点为A，B，则(　　)
A．两圆的圆心距|O1O2|＝2
B．直线AB的方程为x－y＋1＝0
C．圆O2上存在两点P和Q使得|PQ|＞|AB|
D．圆O1上的点到直线AB的最大距离为2＋
考点3　直线与圆、圆与圆的综合及应用
【例3】 如图，圆C：x2－(1＋a)x＋y2－ay＋a＝0.
(1)若圆C与x轴相切，求圆C的方程．
(2)已知a>1，圆C与x轴相交于M，N两点(点M在点N的左侧).过点M任作一条直线与圆O：x2＋y2＝4相交于A，B两点．问：是否存在实数a，使得∠ANM＝∠BNM？若存在，求出实数a的值；若不存在，请说明理由．
1．处理直线与圆、圆与圆的位置关系，要全面地考虑各种位置关系，防止漏解，如设切线为点斜式，要考虑斜率不存在的情况是否符合要求，两圆相切应考虑外切和内切两种情况．
2．研究圆的有关问题要注意数形结合，充分利用圆的性质，如“垂直于弦的直径必平分弦”“圆的切线垂直于经过切点的半径”“两圆相切时，切点与两圆圆心三点共线”等，寻找解题途径，简化运算．
变式探究
6．在平面直角坐标系中，已知半径为2的圆C，圆心在x轴正半轴上，且与直线x－y＋2＝0相切．
(1)求圆C的方程．
(2)在圆C上，是否存在点P，满足|PQ|＝|PO|，其中，点Q的坐标是(－1，0)？若存在，指出有几个这样的点；若不存在，请说明理由．
(3)若在圆C上存在点M(m，n)，使得直线l：mx＋ny＝1与圆O：x2＋y2＝1相交于不同的两点A，B，求实数m的取值范围，并求出使得△OAB的面积最大的点M的坐标及对应的△OAB的面积．　直线与圆、圆与圆的位置关系
课前必备知识
课标要求
1.能根据给定直线、圆的方程，判断直线与圆位置关系.2.能根据给定两个圆的方程，判断两圆的位置关系.3.能用直线和圆的方程解决一些简单的问题。
知识梳理
1．直线与圆的位置关系
直线l：Ax＋By＋C＝0，圆：(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0).
(1)几何方法
圆心(a，b)到直线Ax＋By＋C＝0的距离d＝____和圆的半径r的大小关系：
d__<__r 直线与圆相交；
d__＝__r 直线与圆相切；
d__>__r 直线与圆相离．
(2)代数方法
由消元，得到的一元二次方程的判别式为Δ，则
Δ__>__0 直线与圆相交；
Δ__＝__0 直线与圆相切；
Δ__<__0 直线与圆相离．
2．圆与圆的位置关系
(1)几何方法
两圆(x－a1)2＋(y－b1)2＝r(r1>0)与(x－a2)2＋(y－b2)2＝r(r2>0)的圆心距为d，则
d>r1＋r2 两圆__相离__；
d＝r1＋r2 两圆__外切__；
|r1－r2|d＝|r1－r2|(r1≠r2) 两圆__内切__；
0≤d<|r1－r2|(r1≠r2) 两圆__内含__(d＝0时为同心圆).
(2)代数方法
方程组
有两组不同的实数解 两圆__相交__；
有两组相同的实数解 两圆__相切__；
无实数解 两圆__相离__或__内含__．
常用结论
(1)过圆x2＋y2＝r2上一点P(x0，y0)的圆的切线方程为x0x＋y0y＝r2.
(2)过圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2上一点P(x0，y0)的圆的切线方程为(x0－a)(x－a)＋(y0－b)(y－b)＝r2.
(3)过圆x2＋y2＝r2外一点M(x0，y0)作圆的两条切线，则两切点所在直线方程为x0x＋y0y＝r2.
(4)过圆x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F>0)外一点P(x0，y0)引圆的两条切线，切点为T，则切线长为|PT|＝.
(5)直线与圆相交所得弦长的计算
直线与圆相交时，若l为弦长，d为弦心距，r为半径，则有l＝2.
(6)两圆相交的公共弦方程
将两圆方程(x2，y2的系数相同)相减，所得到的方程就是两圆公共弦所在的直线方程．
课前训练
1．(教材母题选必修2.5例2)过点(2，2)作圆(x－1)2＋y2＝5的切线，则切线方程为(　　)
A．x－2y＋2＝0
B．3x＋2y－10＝0
C．x＋2y－6＝0
D．x＝2或x＋2y－6＝0
解析：C　显然点(2，2)在圆上，由常用结论(2)可得(2－1)(x－1)＋(2－0)y＝5，即x＋2y－6＝0，故选C.
2．(教材母题选必修习题2.5T1)直线l：x＋my＋1－m＝0与圆C：(x－1)2＋(y－2)2＝9的位置关系是(　　)
A．相交 B．相切
C．相离 D．无法确定
解析：A　已知直线l：x＋my＋1－m＝0过定点(－1，1)，将点(－1，1)代入圆的方程可得(－1－1)2＋(1－2)2<9，可知点(－1，1)在圆内，
所以直线l：x＋my＋1－m＝0与圆C：(x－1)2＋(y－2)2＝9相交．故选A.
3．(教材母题选必修2.5.2例5)两圆x2＋y2－2y＝0与x2＋y2－4＝0的位置关系是(　　)
A．相交 B．内切
C．外切 D．内含
解析：B　两圆方程可化为x2＋(y－1)2＝1，x2＋y2＝4.两圆圆心分别为O1(0，1)，O2(0，0)，半径分别为r1＝1，r2＝2.因为|O1O2|＝1＝r2－r1，所以两圆内切．故选B.
4．若圆C：x2＋y2－2x＋4y＋1＝0的弦MN的中点为A(2，－3)，则直线MN的方程是(　　)
A．2x－y－7＝0 B．x－y－5＝0
C．x＋y＋1＝0 D．x－2y－8＝0
解析：B　由圆的方程可知圆心C(1，－2)，则kCA＝－1，由题可知CA⊥MN，所以kMN＝1.
又MN过点A(2，－3)，根据点斜式公式可知直线MN的方程是x－y－5＝0.故选B.
5．(教材母题选必修习题2.5T9)圆x2＋y2－4＝0与圆x2＋y2－4x＋4y－12＝0的公共弦长为________．
解析：2　
联立方程由常用结论(6)得两圆公共弦所在直线方程为x－y＋2＝0.又圆x2＋y2＝4的圆心到直线x－y＋2＝0的距离为＝.由勾股定理得弦长的一半为＝，则所求弦长为2.
课堂核心考点
考点1　直线与圆的位置关系及应用
【例1】 (1)(2025·天津期末)过点(1，0)且与圆x2＋y2－4x－4y＋7＝0相切的直线方程为(　　)
A．2x－y－2＝0
B．3x－4y－3＝0
C．2x－y－2＝0或x＝1
D．3x－4y－3＝0或x＝1
(2)(2025·全国甲卷)已知b是a，c的等差中项，直线ax＋by＋c＝0与圆x2＋y2＋4y－1＝0交于A，B两点，则|AB|的最小值为(　　)
A．2 B．3
C．4 D．2
(3)(2025·河南洛阳高三校联考)已知圆M：(x－5)2＋(y－5)2＝16，点N在直线l：3x＋4y－5＝0上，过点N作直线NP与圆M相切于点P，则△MNP的周长的最小值为____________．
解析：(1)D　圆x2＋y2－4x－4y＋7＝0，即圆(x－2)2＋(y－2)2＝1的圆心坐标为(2，2)、半径为1，显然过点(1，0)且斜率不存在的直线为x＝1，与圆(x－2)2＋(y－2)2＝1相切，满足题意．
设圆过点(1，0)且斜率存在的直线为y＝k(x－1)，与圆(x－2)2＋(y－2)2＝1相切，
所以d＝＝r＝1，解得k＝，
所以满足题意的直线方程为3x－4y－3＝0或x＝1.故选D.
(2)C　因为a，b，c成等差数列，所以2b＝a＋c，c＝2b－a，
代入直线方程ax＋by＋c＝0得ax＋by＋2b－a＝0，即a(x－1)＋b(y＋2)＝0.
令得
故直线恒过(1，－2).
设P(1，－2)，圆化为标准方程得C：x2＋(y＋2)2＝5.
设圆心为C，画出直线与圆的图形，由图可知，当PC⊥AB时，|AB|最小，|PC|＝1，|AC|＝|r|＝，此时|AB|＝2|AP|＝2＝2＝4.故选C.
(3)10＋2　由圆M：(x－5)2＋(y－5)2＝16知圆心M(5，5)，半径r＝4.
因为NP与圆M相切于点P，所以MP⊥NP，
所以|PN|＝
＝，
所以|MN|越小，|PN|越小．
当MN⊥l时，|MN|最小，因为圆心M到直线l的距离为＝6，所以|MN|的最小值为6，此时，|PN|＝2，|MP|＋|MN|＋|PN|＝10＋2，
故△MNP的周长的最小值为10＋2.
(1)判断直线与圆的位置关系的常见方法：
①几何法：利用d与r的关系判断．
②代数法：联立方程求解，然后利用Δ判断．
注意：若直线恒过定点，且定点在圆内，可判断直线与圆相交．
(2)过某一点求圆的切线方程，一般要判断此点是否在圆上．若在圆上，该点为切点，切线只有一条；若在圆外，切线应该有两条．
(3)求圆的切线方程或割线方程，常采用待定系数法，再转化到圆心与所求直线的距离确定其中的参数值．
注意：设点斜式方程时，要特别注意斜率不存在的情况是否符合要求．
变式探究
1．(2025·江西南昌校考)圆心在直线y＝2x上，与x轴相切，且被直线x－y＝0截得的弦长为的圆的方程为_______________．
解析：(x－1)2＋(y－2)2＝4或(x＋1)2＋(y＋2)2＝4
设所求圆的圆心为(a，2a)，半径为r.
因为圆与x轴相切，所以r＝|2a|.
又圆心到直线x－y＝0的距离d＝＝|a|，
所以2＝2＝，解得a＝1或a＝－1，
所以所求圆的圆心为(1，2)或(－1，－2)，半径r＝2，
所以圆的方程为(x－1)2＋(y－2)2＝4或(x＋1)2＋(y＋2)2＝4.
2．(2025·贵州贵阳校考)若圆C：x2＋y2－12x＋10y＋25＝0上有四个不同的点到直线l：3x＋4y＋c＝0的距离为3，则实数c的取值范围是(　　)
A．(－∞，17) B．(－17，13)
C．(－13，17) D．(－12，18)
解析：C　将圆C的方程化为标准方程为(x－6)2＋(y＋5)2＝36，圆心为C(6，－5)，半径为6.
设与直线l平行且到直线l的距离为3的直线的方程为3x＋4y＋m＝0，
则＝3，解得m＝c＋15或m＝c－15.
所以直线3x＋4y＋c－15＝0，3x＋4y＋c＋15＝0均与圆C相交，
所以
解得－13因此，实数c的取值范围是(－13，17).故选C.
3．(2023·新课标Ⅰ卷)过点(0，－2)与圆x2＋y2－4x－1＝0相切的两条直线的夹角为α，则sin α＝(　　)
A．1 B．
C． D．
解析：B　因为x2＋y2－4x－1＝0，
即(x－2)2＋y2＝5，可得圆心C(2，0)，半径r＝.
过点P(0，－2)作圆C的切线，切点分别为A，B.
因为|PC|＝＝2，
则|PA|＝＝，
可得sin ∠APC＝＝，cos ∠APC＝＝，
则sin ∠APB＝sin 2∠APC
＝2sin ∠APC cos ∠APC
＝2××＝，
cos ∠APB＝cos 2∠APC
＝cos2∠APC－sin2∠APC
＝()2－()2＝－<0，
即∠APB为钝角，
所以sinα＝sin (π－∠APB)＝sin ∠APB＝.故选B.
考点2　圆与圆的位置关系及应用
【例2】 (1)已知圆C1：x2＋y2＋2x＋2y－8＝0与圆C2：x2＋y2－2x＋10y－24＝0相交于A，B两点，则公共弦AB的长为________，经过A，B两点且面积最小的圆的方程为____________________．
(2)设直线3x＋4y－5＝0与圆C1：x2＋y2＝9交于A，B两点，若圆C2的圆心在线段AB上，且圆C2与圆C1相切，切点在圆C1的劣弧AB上，则圆C2的半径的最大值是(　　)
A．1 B．2
C．3 D．4
解析：(1)2　(x＋2)2＋(y－1)2＝5
两圆的方程作差可得x－2y＋4＝0.
所以圆C1与圆C2的公共弦AB所在的直线方程为x－2y＋4＝0，
联立方程
解得或
不妨设A(－4，0)，B(0，2)，
所以|AB|＝＝2.
以AB为直径的圆即为面积最小的圆，方程为(x＋2)2＋(y－1)2＝5.
(2)B　圆C1：x2＋y2＝9的圆心为原点O(0，0)，半径r1＝3.
依题意，圆C2的圆心C2在圆C1内，设半径为r2，如图所示．
因为圆C2与圆C1内切，则|OC2|＝r1－r2，
即r2＝r1－|OC2|，
又点C2在线段AB上，
过O作OP⊥AB于P，
则|OP|＝＝1，
显然|OC2|≥|OP|，当且仅当点C2与点P重合时取“＝”，
所以(r2)max＝r1－|OP|＝3－1＝2，
所以圆C2的半径的最大值是2.故选B.
1．判断圆与圆的位置关系时，一般用几何法，其步骤是：
(1)确定两圆的圆心坐标和半径长；
(2)利用平面内两点间的距离公式求出圆心距d，求r1＋r2，|r1－r2|；
(3)比较d，r1＋r2，|r1－r2|的大小，写出结论．
2．若两圆相交，则两圆公共弦所在直线的方程可由两圆的方程作差消去x2，
y2项得到．
3.弦长问题
(1)利用垂径定理：半径r，圆心到直线的距离d，弦长l具有关系r2＝d2＋()2，
这也是求弦长最常用的方法．
(2)利用交点坐标：若直线与圆的交点坐标易求出，求出交点坐标后，直接用
两点间的距离公式计算弦长．
(3)利用弦长公式：设直线l：y＝kx＋b与圆的两交点为(x1，y1)，(x2，y2)，将直线方程代入圆的方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，消元后，得到关于x的一元二次方程，再利用根与系数关系得弦长l＝|x1－x2|＝＝.
变式探究
4．已知圆C1：x2＋y2＋4ax＋4a2－4＝0和圆C2：x2＋y2－2by＋b2－1＝0只有一条公切线，若a，b∈R且ab≠0，则＋的最小值为(　　)
A．3 B．8
C．4 D．9
解析：D　因为圆C1：x2＋y2＋4ax＋4a2－4＝0和圆C2：x2＋y2－2by＋b2－1＝0只有一条公切线，
所以两圆相内切，其中C1(－2a，0)，r1＝2，C2(0，b)，r2＝1，
故|C1C2|＝，
由题设可知＝2－1，
即4a2＋b2＝1，
＋＝(4a2＋b2)(＋)
＝＋＋5
≥2＋5＝9，
当且仅当2a2＝b2时等号成立．故选D.
5．(多选)已知圆O1：x2＋y2－2x－3＝0和圆O2：x2＋y2－2y－1＝0的交点为A，B，则(　　)
A．两圆的圆心距|O1O2|＝2
B．直线AB的方程为x－y＋1＝0
C．圆O2上存在两点P和Q使得|PQ|＞|AB|
D．圆O1上的点到直线AB的最大距离为2＋
解析：BD　由圆O1：x2＋y2－2x－3＝0和圆O2：x2＋y2－2y－1＝0，
化简得圆O1：(x－1)2＋y2＝4和圆O2：x2＋(y－1)2＝2，
则圆O1的圆心坐标为(1，0)，半径为2，圆O2的圆心坐标为(0，1)，半径为.
对于A，两圆的圆心距|O1O2|＝＝，A错误；
对于B，将两圆方程作差可得－2x＋2y－2＝0，即得公共弦AB的方程为x－y＋1＝0，B正确；
对于C，直线AB经过圆O2的圆心(0，1)，所以线段AB是圆O2的直径，故圆O2中不存在比AB长的弦，C错误；
对于D，圆O1的圆心坐标为(1，0)，半径为2，圆心到直线AB：x－y＋1＝0的距离为＝，所以圆O1上的点到直线AB的最大距离为2＋，D正确．故选BD.
考点3　直线与圆、圆与圆的综合及应用
【例3】 如图，圆C：x2－(1＋a)x＋y2－ay＋a＝0.
(1)若圆C与x轴相切，求圆C的方程．
(2)已知a>1，圆C与x轴相交于M，N两点(点M在点N的左侧).过点M任作一条直线与圆O：x2＋y2＝4相交于A，B两点．问：是否存在实数a，使得∠ANM＝∠BNM？若存在，求出实数a的值；若不存在，请说明理由．
解析：(1)由题意可联立方程
得x2－(1＋a)x＋a＝0，
由题意知Δ＝(1＋a)2－4a＝(a－1)2＝0，所以a＝1，
故所求圆C的方程为x2－2x＋y2－y＋1＝0.
(2)令y＝0，得x2－(1＋a)x＋a＝0，
即(x－1)(x－a)＝0，解得x＝1或x＝a，
所以M(1，0)，N(a，0).
假设存在实数a，使得∠ANM＝∠BNM.
当直线AB与x轴不垂直时，设直线AB的方程为y＝k(x－1)，代入x2＋y2＝4，得(1＋k2)x2－2k2x＋k2－4＝0.
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
从而x1＋x2＝，x1x2＝.
因为NA，NB的斜率之和为
＋
＝，
又因为(x1－1)(x2－a)＋(x2－1)(x1－a)＝2x1x2－(a＋1)(x1＋x2)＋2a＝－(a＋1)＋2a＝，
因为∠ANM＝∠BNM，
所以NA，NB的斜率互为相反数，
所以＋＝0，即＝0，得a＝4.
当直线AB与x轴垂直时，仍然满足∠ANM＝∠BNM，即NA，NB的斜率互为相反数．
综上，存在a＝4，使得∠ANM＝∠BNM.
1．处理直线与圆、圆与圆的位置关系，要全面地考虑各种位置关系，防止漏解，如设切线为点斜式，要考虑斜率不存在的情况是否符合要求，两圆相切应考虑外切和内切两种情况．
2．研究圆的有关问题要注意数形结合，充分利用圆的性质，如“垂直于弦的直径必平分弦”“圆的切线垂直于经过切点的半径”“两圆相切时，切点与两圆圆心三点共线”等，寻找解题途径，简化运算．
变式探究
6．在平面直角坐标系中，已知半径为2的圆C，圆心在x轴正半轴上，且与直线x－y＋2＝0相切．
(1)求圆C的方程．
(2)在圆C上，是否存在点P，满足|PQ|＝|PO|，其中，点Q的坐标是(－1，0)？若存在，指出有几个这样的点；若不存在，请说明理由．
(3)若在圆C上存在点M(m，n)，使得直线l：mx＋ny＝1与圆O：x2＋y2＝1相交于不同的两点A，B，求实数m的取值范围，并求出使得△OAB的面积最大的点M的坐标及对应的△OAB的面积．
解析：(1)设圆心是(a，0)(a＞0)，它到直线x－y＋2＝0的距离是d＝＝2，解得a＝2或a＝－6(舍去)，
所以所求圆C的方程是(x－2)2＋y2＝4.
(2)假设存在这样的点P(x，y)，
则由|PQ|＝|PO|，得x2＋y2＋4x＋2＝0，即点P在圆D：(x＋2)2＋y2＝2上，点P也在圆C：(x－2)2＋y2＝4上．
因为|CD|＝4＞rc＋rd＝2＋，
所以圆C与圆D外离，圆C与圆D没有公共点．
所以不存在点P满足条件．
(3)因为点M(m，n)在圆C上，
所以(m－2)2＋n2＝4，
即n2＝4－(m－2)2＝4m－m2且0≤m≤4.
因为原点到直线l：mx＋ny＝1的距离h＝＝＜1，解得＜m≤4.
又|AB|＝2，
所以S△OAB＝|AB|h＝
＝＝，
因为≤＜1，所以当＝，即m＝时，S△OAB取得最大值，此时点M的坐标是(，)或(，－)，对应的△OAB的面积的最大值是.

展开更多......

收起↑