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初中数学北京版（2024）九年级上册
18.2 黄金分割
课题 18.2 黄金分割 授课类型 新授课
授课人
教学内容 课本 页
教学目标 结合生活实例理解黄金分割定义，掌握黄金比近似值 0.618，能运用该知识解决简单实际问题，熟练用尺规作线段的黄金分割点。 通过观察、测量、作图等实践活动，经历黄金分割概念形成与探究过程，提升动手操作、逻辑推理能力，深化对成比例线段的理解。 感受黄金分割在生活、艺术、建筑中的广泛应用，体会数学的实用与美学价值，增强团队意识与自信心，激发数学探索兴趣。
教学重难点 重点：黄金分割的概念理解及简单应用。 难点：尺规作线段黄金分割点的原理及操作。
教学准备 多媒体课件（含动物照片、芭蕾舞视频、不同脸型图片、黄金分割应用案例）；学具（直尺、圆规、计算器、草稿纸、不同比例矩形卡片）
教与学互动设计（教学过程） 设计意图
1.情境导入，激发兴趣（5 分钟） 教师依次展示： （1）3 张构图不同的同一动物照片，让学生投票 “最美观” 的一张，提问：“这张照片的主要景物位置有什么特点？” 芭蕾舞演员踮脚尖与不踮脚尖的对比视频，追问：“踮脚尖后为何更显优美？” 4 张五官相似但比例不同的人脸轮廓图，引导讨论：“美的面部是否存在共同规律？”教师总结：这些美的现象背后隐藏着特殊数学规律 —— 黄金分割，引出课题。 从学生熟悉的生活场景切入，通过视觉对比和提问引发思考，激发探究兴趣，自然建立 “生活美” 与 “数学规律” 的关联，为后续概念学习铺垫。
2.探究新知，建立概念（15 分钟） 【探究1】 数据观察，发现规律 模型抽象：将照片宽度、演员身高抽象为线段 AB，最美位置对应点设为 C，明确 AC、BC 的含义。 实践测量：学生以小组为单位，测量课件中线段 AB、AC、BC 的长度（或使用给定数据），用计算器计算和的比值（保留三位小数），记录结果。 规律总结：引导学生观察各组数据，发现两个比值均近似等于 0.618，且=。 【概念建立】教师给出定义：点 C 把线段 AB 分成两条线段 AC 和 BC（AC>BC），如果=，那么称线段 AB 被点 C 黄金分割，点 C 叫做线段 AB 的黄金分割点，AC 与 AB 的比叫做黄金比（精确值为，近似值为 0.618）。 【概念辨析】强调 “AC>BC” 的前提，明确黄金分割点是线段上的特殊点，黄金比是固定比值。 【生活拓展】展示摄影三分法（九宫格交点）、主持人舞台站位、人体黄金分割（肚脐、咽喉）等案例，让学生直观感受应用场景。教师：同学们还记得我们上节课学习正切时，对于正切有哪些要注意的吗？ 通过 “抽象 — 测量 — 计算 — 总结” 的流程，让学生亲身经历概念形成过程，避免被动接受；结合生活实例拓展，强化对黄金分割 “实用性” 的认知，突破 “概念理解” 的重点。
3.动手实践，巩固技能（12 分钟） 【活动1】寻找身边的黄金分割 1.小组讨论：身边哪些物体或场景可能存在黄金分割？（如课本长宽比、窗户尺寸、手指关节长度） 2.验证实践：选择 1-2 个实例，通过测量、计算验证是否符合黄金分割规律，小组代表分享过程与结果。 【活动 2】尺规作图：作线段的黄金分割点 教师板演步骤（边操作边讲解原理）： 已知线段 AB，过 B 作 AB 的垂线，截取 BD= AB； 连接 AD，以 D 为圆心、DB 为半径画弧，交 AD 于 E； 以 A 为圆心、AE 为半径画弧，交 AB 于 C，点 C 即为黄金分割点。 学生同步作图，教师巡视指导（纠正垂线绘制、半径截取等误区）。 验证思考：设 AB=2，计算 BD、AD、AE、AC 的长度，验证和是否等于黄金比。 【实际应用】东方明珠塔问题：塔高 463 米，在靠近塔尖的黄金分割点处设计球体，求球体距离地面的高度（精确到 0.01 米）。学生列式计算：463×0.618≈286.13（米），教师拓展：精确位置可通过尺规作图确定。 从 “寻找验证” 到 “动手作图”，再到 “实际计算”，层层递进巩固技能；作图环节结合原理讲解，帮助学生理解 “为什么这样作”，突破 “尺规作图” 的难点；实际应用问题体现数学与生活的联系，提升应用能力。
4.延伸拓展，感受美感（5 分钟） 【黄金矩形探究】 1. 展示不同比例的矩形卡片，学生投票 “最美观” 的矩形，测量并计算宽与长的比值，发现接近 0.618 的矩形更受欢迎。 2. 定义黄金矩形：宽与长的比为黄金比的矩形。 3. 实例展示：蒙娜丽莎画框、手机屏幕、建筑门窗等黄金矩形应用，引导学生体会 “数学美” 与 “生活美” 的统一。 拓展黄金分割的衍生概念，丰富知识体系；通过矩形审美投票和实例展示，进一步强化 “数学服务于审美” 的认知，提升学生的审美素养。
5.课堂小结，自我完善（3 分钟） 1. 核心知识：黄金分割的定义、黄金比、尺规作图方法； 2. 学习方法：观察 — 猜想 — 验证 — 应用； 3. 核心思想：数学来源于生活，又服务于生活。 小组代表发言，教师补充梳理。 通过小组讨论和总结，帮助学生梳理知识脉络，提炼学习方法，培养归纳反思的习惯，深化对数学思想的理解。
6.布置作业 1. 基础作业：用黄金分割知识劝说 “不束衬衣” 的同学，说明束衬衣更符合人体黄金分割比例，更显协调美观。 2. 实践作业： （1）用黄金分割构图法拍摄一张照片，标注黄金分割点，下节课分享； （2）分组搜集黄金分割在不同领域的应用资料，制作 5 页以内的 PPT，下周班级展示。 基础作业侧重知识应用，实践作业兼顾动手能力和合作探究能力；分层设计满足不同需求，同时将学习延伸到课外，强化知识的实际运用。
板书设计 18.2 黄金分割黄金分割的定义、黄金比、尺规作图方法 方法：观察 — 猜想 — 验证 — 应用教师题目讲解 学生活动区投影区
提纲掣领，重点突出。
教后反思 本节课通过生活情境导入、实践探究推进，有效激发了学生的学习兴趣，大部分学生能理解黄金分割概念并完成基础操作。但在尺规作图环节，部分学生对 “为什么截取 BD=AB” 的原理理解不透彻，后续需结合勾股定理进一步推导说明；此外，可增加更多跨学科案例（如音乐、艺术中的黄金分割），进一步拓宽学生视野，强化知识的关联性。 反思，更进一步提升。

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