资源简介

7.1 复数的概念
《7.1.1 数系的扩充与复数的概念》教学设计
课题 7.1.1数系的扩充和复数的概念
教材 人教A版（2019）高中教科书数学必修第二册第七章第一节
课型 概念新授课 课时安排 第一课时
教材 分析 本单元教学内容为《普通高中课程标准数学教科书-必修二》（2019人教A版）第七章《复数》，本单元教学一共分为2课时，第一课时为数系的扩充和复数的概念；第二课时为复数的几何意义.具体教学内容如下： 1.从实数系扩充到复数系的过程和方法，复数的概念及代数表示； 2.复数代数表示的几何意义，共轭复数的概念. 3.新课标把复数内容从选修变为必修，强调了该部分知识的必要性。新课标中对复数的代数表示式的要求提高，由了解变为理解. 4.本节课的学习可以让学生回顾数集扩充的过程，体会虚数引入的必要性和合理性，进而理解复数的有关概念，掌握两复数相等的充要条件，为今后学习复数的几何意义、四则运算及三角表示做好铺垫。本节是该章的基础课、起始课，具有承前启后的作用.
学情 分析 在义务教育阶段，学生已系统经历从自然数集到实数集的扩充过程（如引入负数、分数、无理数），对数系扩充的“必要性-方法-性质”逻辑链（如解决方程无解问题、构建运算规则）有初步认知。同时，学生在前序学习中已具备类比迁移能力（如通过有理数系扩充到实数系的案例，理解“数域扩展”的共性），为本节课类比“实数系扩充到复数系”的方法（如引入虚数单位i解决x +1=0无解问题）奠定了能力基础。
学习 目标 1.了解引入复数的必要性；理解复数的概念；理解复数的代数表示式；理解复数相等的含义. 2.感受数集扩充过程中人类理性思维的作用，提升数学抽象、逻辑推理素养. 3.提高数学学习兴趣，拓宽数学视野. 达成目标的标志： 1.能够通过方程的解感受引入复数的必要性，体会实际需要与数学内部的矛盾。 2.学生能够归纳出数系扩充的一般规则，体会扩充的合理性， 3.能说明虚数i的由来，能够明晰复数代数表示式的基本结构，会对复数进行分类，知道两个复数相等的含义。
教学重 难点 1、教学重点：复数的概念、分类以及复数相等的充要条件； 2、教学难点：对虚数单位的理解，以及复数分类和相等条件的应用． 重难点应对策略: 1.适当介绍数的发展简史，增强学生学习的生动性。 2.通过解方程问题引导，借助已有的数集扩充的经验，从特殊到一般，帮助学生梳理出数集扩充过程中体现的“规 则 ”，感受引入复数的必要性和合理性。
教学 策略 教学方法 讲授法、讨论法、探究法、多媒体教学法相结合。
教学形式 PPT和板书相结合
设计意图 通过讲授法梳理数系扩充脉络（如从自然数到复数），结合问题链（如“实数集为何无法满足x +1=0？”）突破复数概念（虚数单位i、复数代数表示式a+bi）及两复数相等的充要条件等重难点，帮助学生构建知识体系，强化数学抽象与逻辑推理能力。 围绕“虚数单位i的由来”“复数分类标准”等核心问题，学生通过小组讨论对比有理数系、实数系扩充过程，自主归纳数系扩充规则（如“引入新数解决方程无解问题”），培养合作探究精神与理性思维。 利用PPT动态展示数系扩充过程（如动画演示实数集到复数集的扩展），结合板书推导复数运算规则，辅以图片、视频（如复数在物理中的应用）增强直观理解，激发学习兴趣，实现“寓教于乐”。
教 学 过 程 教师活动 学生活动 设计意图
(一) 课前 预学 温故 知新 播放关于数系发展历程的视频，引导学生观察数系是如何随着社会发展和数学自身的需要而不断扩充的，在播放结束后，提问学生从视频中看到数系扩充的原因有哪些。 【总结】数系扩充的原则 数集的每一次扩充，都是在原来数集的基础上添加“新数”得到的，引入新数就要引入新运算，而加法和乘法运算是上述数系中最基本的运算． 通过认真观看视频，主动思考教师提出的问题，并积极参与回答。数系扩充的驱动力来自人类生活的实际需求与数学发展的必然要求。 请学生观看视频，聚焦数系扩充的演变过程，思考其背后的实际需求（如生活应用与数学逻辑）。随后，通过讨论总结规律，为学习复数概念做铺垫，并提升观察与总结能力。
(二) 导学1 探究 学习 二、数系扩充的引入 问题1：在实数集中有解吗？为什么无实数解？ 预设回答：在实数集中没有解。因为在实数集中对-1开平方没有意义。 【追问】怎样才能使方程有解？类比前面数系的扩充，你能想到什么 预设回答：引入新数扩充实数集，使负数开方在新数集中有意义。 问题2：引入什么新数能解决所有负数开平方问题？（提示：负数不能开平方的根本原因是什么？） 预设回答：-1不能开平方。引入一个新数，使它的平方等于-1问题就解决了。 教师：同学们真聪明！现在让我们一起来看看以前的数学家事怎么定义这个数的。 接着介绍虚数单位i的由来，即由瑞士著名数学家欧拉在 1777 年提出，用 “imaginary” 一词的首字母表示，本意是虚幻的。 问题3：把新引进的数i添加到实数集中，希望数i和实数之间仍能像实数那样进行加法和乘法运算，并满足相应运算律，那么新数系由哪些数组成？引导学生思考并讨论。 独立思考问题 1 和问题 2，回答x2 1=0的解为x=±1，x2+1=0在实数集上无解；对于追问和问题 3，学生进行小组讨论，尝试根据运算律找出新数系可能包含的数的形式。 在小组讨论中，学生围绕“复数如何分类？”“虚数的实部与虚部有何意义？”等问题展开合作，通过观点碰撞与思维互补，主动探索复数的分类标准（实数、虚数→纯虚数、非纯虚数）及其性质。这一过程不仅培养学生合作交流能力，更鼓励创新思维（如提出分类的新视角），实现从“被动接受”到“主动建构”的转变。
(二） 导学2 激学 导思 二、复数相关概念讲解 追问2： 复数能比较大小吗？ 在理解复数相关概念（如实部、虚部、虚数单位i）的基础上，通过教师提出的问题链（如“复数何时退化为实数？”“复数何时等于0？”“复数比较大小需满足什么条件？”），引导学生从已有知识（实数性质、方程解法）出发，主动思考复数与实数的内在联系。通过逐步推理，学生得出以下核心结论 在复数概念理解的基础上，教师引导学生及时总结归纳新知识（如实数、虚数、纯虚数的分类标准，复数相等与比较大小的条件），通过结构化梳理（如思维导图、表格对比），帮助学生构建系统化的复数知识体系。同时，通过针对性提问（如“虚数单位i的引入如何解决实数集无法解决的问题？”“复数比较大小为何需限制为实数？”）和层层追问（如“若复数a+bi与c+di相等，则a=c且b=d，能否反推？”），引导学生从具体实例（如方程x +1=0的解）出发，抽象出复数运算的普遍规律，培养由特殊到一般的数学思维。
(二) 导学3 新知 探究 三、复数分类探究 例1．指出下列数中，哪些是实数，哪些是虚数，哪些是纯虚数，为什么？ （1） (2) (3) (4) (5)π (6)0 分析步骤： 是否为标准形式？ 实部是？虚部是？（注意符号） 小结：化标准 得“虚实” 小组讨复数的分类方法，回答复数可分为实数和虚数，虚数又可分为纯虚数和非纯虚数；对追问的几个复数进行分类，并指出虚数的实部与虚部。 在复数概念理解的基础上，引导学生通过小组讨论与实例分析（如对形如“3+0i”“0+2i”“1+3i”的复数进行分类），深入探究复数的分类标准（实数、虚数→纯虚数、非纯虚数）。通过对比不同分类结果的异同，学生自主归纳出分类的核心依据（如虚部是否为0、实部与虚部的关系），培养归纳总结能力与逻辑思维能力。例如，在讨论“1+0i”与“0+2i”的分类时，学生需明确“实部为0且虚部不为0”是纯虚数的关键条件，从而强化对分类标准的理解。
(二) 导学4 典例 讲解 分析步骤： 题目已知什么信息？ 是否为复数的标准代数形式？ 实部和虚部分别需要满足什么条件？ 小结：化标准 定条件 得结论 问题7：已知复数,什么情况下二者相等？（提示：将类比为未知数） 分析步骤： 将视为未知数，此时变成什么？ 预设回答：，变成两个一元一次多 项式。 两个多项式相等满足什么条件？ 预设回答：两个多项式相等对应项系数相等 【探究3小结2】 【探究3巩固2】 分别求满足下列关系的实数与的值. ; ; . 分析步骤： 等号两边的复数是否为标准式？ 两个复数相等满足什么条件？ 解： (1)根据复数相等的定义，得解得， . (2)根据复数相等的定义，得解得， . (3)根据复数相等的定义，得解得， . 小结：化标准 虚实对应相等. 在理解复数分类标准（实数、虚数→纯虚数、非纯虚数）的基础上，学生需认真阅读题目，明确题目中关于m的约束条件（如“复数z=2+mi为实数”“复数z=1+mi为纯虚数”）。通过分析复数的实部与虚部与m的关系，构建解题思路 在复数分类标准（实数、虚数→纯虚数、非纯虚数）理解的基础上，通过典型例题（如“已知复数z=2+mi为实数，求m的值”“若复数z=1+mi为纯虚数，求m的取值范围”）的讲解，引导学生分步解题
(三) 互学1 变式 训练 展示练习和两个变式训练题，让学生独立完成。在学生做题过程中，继续巡视，关注学生的解题情况，对有困难的学生进行个别辅导。学生完成后，选取部分学生的答案进行展示和点评，强调解题的规范性和注意事项。 完成练习后，学生通过观看同学答案展示（如不同解题思路的对比），听取教师对解题逻辑、运算规范性的点评，主动反思自身解题过程（如是否遗漏分类条件、运算是否准确）。针对错误（如误判复数类型、计算失误），及时修正并总结改进策略（如“实部为0时需排除虚部为0的情况”），强化对复数性质的理解与应用能力。 在独立完成复数分类相关练习（如判断复数类型、求解m的取值范围）及变式训练题的过程中，学生通过反复应用分类标准（实数、虚数→纯虚数、非纯虚数）与解题方法（如“分类-列式-求解”流程），进一步巩固对复数性质（如虚部为0时退化为实数）的理解，提升数学思维的系统性与逻辑性。
(四) 悟学1 归纳 小结 课堂小结 问题8：本节课学习了哪些新的知识？实数集是如何扩充到复数集的？ 追问：本节课学习了复数的哪些内容？ 形如(())的数称为复数. (1)其中称为虚数单位，满足. (2)称为的实部，称为的虚部； (3)复数的分类：实数，虚数，纯虚数； 复数的相等关系. 回顾本节课的学习内容，思考自己的收获和疑惑，积极发言分享自己的学习体会。 通过学生课堂总结（如“复数分类的关键点”“易错题型分析”）及课后反思（如“解题中的逻辑漏洞”“运算失误原因”），教师及时了解学生学习情况（如对分类标准的掌握程度、运算能力的薄弱环节），为后续教学（如针对性练习、核心素养强化）提供数据支持，实现“以学定教”的精准化教学。
(五) 悟学2 课后 作业 必做题：教材73页 第1题和第三题 选做题：教材94页 第1题（1）小题 记录作业内容，明确作业要求，课后按时完成作业。 通过分层作业，满足不同层次学生的学习需求，巩固本节课所学知识，培养学生的自主学习能力和探究精神。
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