资源简介

《7.4.1二项分布》教学设计
一、教学内容分析
本节内容选自人教A版选择性必修三第七章第4节，课题为《7.4.1二项分布》。内容包括n重伯努利试验、二项分布及其数字特征。
教材中的地位：二项分布作为特殊的离散型随机变量分布，是学习了离散型随机变量及其分布列、数字特征的一般性知识后的自然延伸，同时二项分布的“放回”与超几何分布的“不放回”形成对比过渡，二项分布中的高尔顿板可为正态分布模型的建立打下基础，因此该部分知识在教材中具有承上启下的作用。
思想价值：包含着由特殊到一般，由具体到抽象、数形结合和分类讨论思想，可提升学生数学抽象、逻辑推理、数学运算、数学建模等核心素养，发挥课程的育人价值。
二、教学对象分析
1.知识储备
通过前面课程的学习，学生已基本掌握了以下概率与统计的基础知识：独立事件概率、互斥事件概率、条件概率与全概率、离散型随机变量的分布列与数字特征等有关内容。
2.认知困难
高中学生虽然具有一定的抽象思维能力，但是从实际中抽象出数学模型对于学生来说还是比较困难的，需要教师的启发引导。
三、教学目标设计
1.课标要求
①通过具体实例，理解伯努利试验；
②掌握二项分布及其数字特征，并能解决简单的实际问题。
2.素养目标
①理解伯努利试验，会判断一个具体问题是否服从二项分布（逻辑推理、数学抽象）
②掌握随机变量服从二项分布的有关计算，会求服从二项分布的随机变量的均值和方差
（逻辑推理、数学运算）
③能从题目中抽象出二项分布模型，并能解决相应的实际问题。（数学建模）
目标达成标志：
①能明确伯努利实验及事件A的意义，正确定义随机变量X
②能通过实例，说明当X服从二项分布时分布列的写法并指出各部分的含义，能完成均值和方差计算
③能正确利用二项分布及其数字特征解决简单的实际问题
四、教学重难点
教学重点：n重伯努利实验，二项分布及其数字特征
教学难点：二项分布模型的构建，利用二项分布模型解决一些简单的实际问题
五、教学资源
1.几何画板动态演示抽奖情况（高尔顿板）
2.高尔顿板实物视频
3.教学平板投屏
4.思维导图
5.ppt教学课件
六、教学策略
教师活动：构建情境——引导归纳——点拨设疑——总结提升
学生活动：发现问题——探究分析——解决问题——形成体系
由此形成学生的认知过程：提出问题——初探概念——完善概念——应用巩固
七、教学过程设计
情境导入
创设情境：
商城开展抽奖活动，抽奖装置如图所示。将小球从顶端放入，小球下落的过程中，每次碰到圆钉后都等可能地向左或向右落下，最后落入底部的格子即可得到对应的奖励。
思考1：你认为稀有的特等奖会怎么安排？安排依据是什么呢？
思考2：设X为小球最终落入的号码数，该如何X的分布列？
师生活动：先由学生猜测位置可能，引出问题本质为比较概率大小。教师利用几何画板展示小球下落过程，观察小球可能的运动轨迹，发现小球每次碰到钉子时往左或往右的运动会影响最终的结果。实际上生活中的存在许多与小球碰到圆钉结果类似的现象。
【设计意图】数学源于生活，以商城抽奖的真实情景为导入，利用“特等奖”的安排激发学生探究背后数学原理的欲望，同时，通过信息技术的融合可直观演示小球下落的繁多情况，引出伯努利试验的概念的同时，引导学生用数学的眼光去观察世界，用数学的思维去思考世界。
概念初探
问题1：下列一次随机试验的共同点是什么？
师生活动：学生自主探究，描述出现的结果，可以发现共同点为只包含两种结果。
引出概念1：只包含两个可能结果的试验叫做伯努利试验。
追问：与两点分布（0-1分布）有什么关系？
引出概念2：将一个伯努利试验独立地重复进行n次所组成的随机试验称为n重伯努利试验。
师生共同归纳n重伯努利试验的特征:
(1)每次试验都只有两种结果，即事件要么发生，要么不发生；
(2)每次试验是在同样条件下进行的；
(3)各次试验中的事件是相互独立的；
(4)每次试验，某事件发生的概率相同。
问题2：下面3个随机试验是否为n重伯努利试验 试完成下表
(1) 抛掷一枚质地均匀的硬币10次. (2) 某飞碟运动员每次射击中靶的概率为0.8，连续射击3次.
(3) 一批产品的次品率为5%，有放回地随机抽取20件.
师生活动：学生自由发言，教师进行补充点评
追问1：伯努利试验与n重伯努利试验有何不同？
追问2：在伯努利试验中，我们关注什么？在n重伯努利试验中呢？
【设计意图】通过具体实例抽象概括出n重伯努利试验的概念和特征，利用追问突出本课重点，强调定义随机变量X的方法，在这个过程中培养学生逻辑推理和数学抽象的核心素养。
问题3：某飞碟运动员每次射击击中概率为0.8，在3次射击中的命中情况有哪些？试求投中次数X的概率分布列.
师生活动：教师先引导学生尝试列出3次设计的情况，用Ai表示“第i次投中”(i=1，2，3)，可通过树状图表示试验的可能结果：
由分步乘法计数原理，3次独立重复试验共有23=8种可能结果，它们两两互斥，每个结果都是3个相互独立事件的积，由概率的加法公式和乘法公式得
追问1：剩下情况的概率如何求？
追问2：可以用组合数来表示吗？
讨论投中时的位置情况可得：
问题4：怎么理解射击3次时命中次数X的分布列
师生活动：
讨论探究：根据上述分析你能表示射击4次命中2次的概率吗？n次射击时呢？
【设计意图】从具体的例子入手，以问题串追问的形式激发学生思考，层层深入，突出教学重点，发展学生逻辑推理、数学运算、数学抽象和数学建模的核心素养。
（三）概念完善
一般地，在n重伯努利试验中，设每次试验中事件A发生的概率为p(0如果随机变量X的分布列具有上式的形式，则称随机变量X服从二项分布，记作X~B(n,p)
追问：与二项式定理有什么关系？
把p看成b，1-p看成a，则就是二项式的展开式的通项
二项分布的分布列：
由分布列概率和为1得：=1
由二项式定理的逆用得：
【设计意图】从具体到抽象，从特殊到一般推导二项分布的分布列，让学生独立思考、相互交流，充分经历概念初探——概念完善这个探究过程，提升学生数学抽象、逻辑推理等素养。
（四）练习巩固
P77-3. 判断下列表述正确与否，并说明理由:
(1) 12道四选一的单选题，随机猜结果，猜对答案的题目数X~B(12, 0.25)；
(2) 100 件产品中包含10件次品，不放回地随机抽取6件，其中的次品数Y~B(6, 0.1).
【设计意图】强调二项分布的条件：每次试验结果只有两种、每次试验相互独立
例1 将一枚质地均匀的硬币重复抛掷10次，求：
（1）恰好出现5次正面朝上的概率；
（2）正面朝上出现的频率在[0.4，0.6]内的概率.
师生活动：重复抛硬币是最简单的n重伯努利试验，可让学生尝试独立完成，并用教学平板展示学生的答案，针对学生的回答情况进行示范性分析。
分析抛掷一枚质地均匀的硬币时，出现“正面朝上”和“反面朝上”两种结果且可能性相等，这是一个10重伯努利试验，因此，正面朝上的次数服从二项分布，问题（1）可加将对公式的理解和应用，问题（2）帮助学生进一步认识频率稳定到概率的意义。
解：设A=“正面朝上”，则P(A）=0.5.用X表示事件A发生的次数，X~B(10,0.5).
(1)恰好出现5次正面朝上等价于X=5，于是
;
(2)正面朝上出现的频率在[0.4，0.6]内等价于4≤X≤6，于是
通过对问题的分析，总结确定一个二项分布模型的步骤如下：
(1)明确伯努利试验及事件A的意义，确定事件A发生的概率P(A)；
(2)明确重复试验的次数n，并判断各次试验的独立性；
(3)设X为n重伯努利试验中事件A发生的次数，则X~B(n, p).
【设计意图】通过一个简单的具体问题，让学生体会用二项分布计算概率，增强学好数学的信心。教师引导总结，提升对概念的精细化理解，使学生熟悉确定二项分布模型的一般方法。
例2（小组探究） 小球下落的过程中，每次碰到圆钉后都等可能地向左或向右落下，最后落入底部的格子中.格子从左到右分别编号为0，1，2，…，10，X表示小球最后落入格子的号码，求X的分布列。
师生活动：学生进行小组探究活动，教师引导学生参考二项分布模型的确定步骤完成填空：
其中的伯努利试验是____________.
重复试验的次数是________.各次试验结果之间是否相互独立
定义每个试验中“成功”的事件A为___________________________.
A发生的概率是________.
事件A发生的次数与所落入格子的号码X的对应关系是什么
于是可写出分布列：
教师展示高尔顿板实物视频和对应的概率分布图让学生直观感知概率情况，为正态分布的学习做铺垫。
思考：二项分布作为离散型分布的一种特殊情况，能否求它的均值和方差呢？
【设计意图】仿照二项分布模型的确定的过程将复杂情景拆分成多个小问题，引导学生逐步掌握抽象模型特征的一般步骤，实现难点的突破和实现最近发展区内的发展。以小组的形式思考讨论，发挥学生主体作用，利用教学平板投屏展示结果，完成学生的自评、他评与师评，推进教学评一体化在课程中的落实。以实物视频展示和图像进行收尾，直观感受其图像特点，为之后正态分布的学习做铺垫。最后思考作为离散型变量分布列的特殊模型，该如何求期望和方差，从而引出本节课第三部分内容——二项分布的数字特征。
（五）探究实验
探究活动：若随机变量X服从二项分布,试猜想X的均值和方差是什么？
师生活动：教师提示n=1、2时，展示并思考均值和方差
学生观察结果后可猜想：E(X)=np; D(X)=np(1-p)
教师展示E(X)=np证明过程：
【设计意图】采用从特殊到一般地归纳猜测结果，再根据定义计算，有利于培养学生直观想象和逻辑推理等素养。
P77-1 将一枚质地均匀的硬币连续抛掷4次，X表示“正面朝上”出现的次数.
(1) 求X的分布列；
(2) E(X)＝_______，D(X)＝_________.
【设计意图】加深对二项分布分布列及数字特征的理解和应用。
（六）课堂小结
教师引导学生回顾本课所学，形成框架，并让学生回答以下问题：
1.怎么判断为n重伯努利事件/X服从二项分布？
2.二项分布的分布列计算:
3.二项分布的均值与方差:
4.如何确定二项分布模型？
【设计意图】以问题的形式梳理本节课的核心内容和主要方法，帮助形成知识体系。
作业布置
1.必做题（复习巩固）：课本p80习题7.4 1、2
2.必做题（综合应用）：课本p80习题7.4 3、课本p75 例3
3.选做题（发展性作业）：阅读并思考课本P81二项分布性质
【设计意图】分层设置作业，关注层次化差异和兴趣导向，符合新课标教学理念，推进双减政策在日常教学的落实。
板书设计
教学反思
本节课的成功之处：
1.设置情景激发兴趣
导入部分设置商场抽奖的真实情景，由学生猜想位置可能，教师通过几何画板展示下落过程，信息技术融入教学引导学生发现规律，激发学生探究背后数学原理的欲望，引出伯努利试验概念的同时，让学生用数学的眼光去观察世界，用数学的思维去思考世界。
2.问题设置环环相扣
应用巩固部分设置了三道练习，练习一强调二项分布的条件；练习二使学生熟悉确定二项分布模型的一般方法；练习三设置小组探究活动，通过填空引导学生逐步确定二项分布模型并解决问题。三道练习层层递进，将例2复杂情景拆分成多个小问题一一解决，实现难点的突破和最近发展区内的发展。
3.多元展示多方评价
设计思考交流、小组探究等形式，发挥学生主体作用；教师利用教学平板投屏展示结果，完成学生的自评、他评与师评，推进教学评一体化在课程中的落实。
4.作业分层设置，关注差异
在作业布置方面分为3个层次，第一层为复习巩固必做题，是基础题；第二层是综合应用，在这里安排了课本例3让学生课后思考完成；发展性作业选做题来自课本的探究与发现，我提供几何画板资源帮助学生在课下进行进一步的思考。这样的设计关注层次化差异和兴趣导向，符合新课标教学理念，推进双减政策在日常教学的落实。
本节课的不足之处：
本节课的知识容量比较大，时间紧，我将一道例题设置为作业，但二项分布数字特征的探究过程仍然很是仓促，对教学内容的安排和对时间的分配还需要深入考究。

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