资源简介

椭圆及其标准方程教学设计
一、教材与内容分析
1.1教材分析
本节课选自《2019人教A版高中数学选择性必修第一册》第三章圆锥曲线第一节第一小节，本节课主要学习椭圆的定义及其标准方程。
从知识上讲，椭圆的标准方程是解析法的进一步运用，同时它也是进一步研究椭圆几何性质的基础；从方法上讲，它为我们研究双曲线、抛物线这两种圆锥曲线提供了基本模式和理论基础；从教材编排上讲，现行教材中把三种圆锥曲线独编一章，更突出了椭圆的重要地位.因此本节课有承前启后的作用，是本章和本节的重点内容.是几何的研究实现了代数化。数与形的有机结合，在本章中得到了充分体现。
1.2内容分析
本节内容属于概念性知识。课标中指出，经历从具体情境中抽象出椭圆模型的过程，掌握椭圆的定义、标准方程。教学关键是概念，只有理解了概念，才能理解数学，所以教学中应重视其生成过程。
二、学情分析
学生已经在2019人教A版选择性必修一第二章学习了直线与圆的内容之后，积累了用坐标法处理几何问题的经验，具备了一定的解决平面几何问题的代数能力，基本掌握了数形结合的思想与化归与转化思想。
但是学生在运用解析的观点来研究几何问题的意识不强，能力有所欠缺，这对于椭圆的定义抽象概括会有一定影响．所以，就需要思考如何合理设计，以抓住教学重点，突破教学难点。
三、教学目标
（一）知识与技能目标
1、了解圆锥曲线的实际背景，感受圆锥曲线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用；
2、通过直观感受椭圆，学生能动手实践做出椭圆，并抽象出椭圆的定义；
3、学生能应用坐标法，掌握椭圆的标准方程及其推导，学会代数的方法解决实际几何问题
（二）过程与方法目标
　经历公式的推导过程，体会数形结合的数学思想，掌握解析法研究几何问题的一般方法，注重探索能力的培养。　
（三）情感态度与价值观目标
1 .通过主动探究、合作学习，感受探索的乐趣与成功的喜悦；培养学生认真参与、积极交流的主体意识和乐于探索创新的科学精神.
　　2 .通过椭圆知识的学习，进一步体会到数学知识的和谐美，几何图形的对称美；提高学生的审美情趣.
四、教学重点、难点
（一）重点:椭圆的定义、椭圆的标准方程 以及焦点、焦距和方程之间的关系
难点：动手实践做椭圆，抽象出椭圆的定义、推导椭圆的标准方程
五、教学方法与教学手段
教学方法：“问题诱导—启发讨论—探索结果”以及“直观观察—归纳抽象—总结规律”的一种探究式教学方法，注重“引、思、探、练”的结合。
教学手段:采用投影仪、多媒体、几何画板等现代教学手段，增大教学容量和直观性
教学过程设计
教师：同学们在头脑中对于椭圆的印象是什么呢？或者是在生活中有没有出现过椭圆的有关的实例呢？（设计意图：让学上直观的感受椭圆的形状以及了解椭圆在日常的生活与科学技术方面的应用）
教师：盛半杯水，将水杯放在水平桌面上，水平面是什么图形？
学生：圆形
教师：圆有哪些基本的几何特征呢？
学生：圆上的每一点到一定点的距离都相等，圆既是轴对称图形，又是中心对称图形
（问题一）教师：当水杯倾斜时，再观察水平面，此时的水平面是一个什么图形呢？
学生：椭圆
（PPT中展示相关的图片）
教师：很好，看来椭圆和圆之间又着密切的联系，那同学们想知道我们的椭圆有哪些几何特征吗？好的，接下来将一起来学习椭圆的定义
设计意图：（在学生已有的圆的概念的基础上，通过类比引入，注重新旧知识之间的有机联系，并且这种引入的方式更加贴近学生的学习与生活实际，其中圆的基本几何特征复习为后面引导学生探究椭圆的定义奠定了坚实的基础，唤起学生探究新知的欲望，培养学生的逻辑推理，直观想像等数学核心素养）
教师：（问题二）一个乒乓球置于地面上，从一点发出的点光源照射在乒乓球上在地面上留下的投影会是什么形状呢？
学生：圆、椭圆等
教师：（问题三）散射的光源投射出去的光柱是什么形状？
学生：是一个圆锥面
教师：同学们一起看到老师呈现的动态图形，以上面的光源照射乒乓球在地面上的投影为例。光源以一定的角度照射出的投影形状是椭圆为例
设计意图：（学生通过动画演示，会对曲线的外形轮廓建立直观感知，根据已有的数学活动经验，学生自然会发现并且提出问题：外形轮廓曲线会有怎样的几何特征？能否通过动画演示发现它的几何特征？激起学生强烈的求知欲望）
教师：接着用ggb，在平面的下方放置一个大球，使得他们都与截面相切（切点分别为），且与圆锥面相切，两球与圆锥面的公共点分别构成圆和,设点是平面与圆锥面的截线上的任意一点，再过点任作圆锥面的一条母线分别交圆和于两点，则和、和分别是上下两个球的切线。
（问题四）图中的线段和、和分别具有怎样的数量关系？是定值吗？让学生直接抽象出椭圆的定义。
设计意图:教师通过ggb动态展现双球，创设合适的教学情境，提供丰富的教学活动，为数学基本思想的感悟和基本活动经验的积累创造条件，帮助学生利用几何直观进行思维，让学生经历观察、探究过程，发现“截线上的任意一点M到两个切点F1、F2的距离之和为定值”这一个几何特征。
（问题五）
（1）取一条细绳(没有弹性)
（2）用图钉把它的两端固定在板上的两点F1、F2
（3）用铅笔尖（M）把细绳拉紧，在板上慢慢移动看看画出的图形
教师：同桌之间相互合作在白纸上画出笔尖运动的轨迹图
设计意图：（通过让学生们自己动手画椭圆，亲身感受动点运动的过程，积累感性经验，让学生获得了感知和认同;通过同学们的动手操作，让学生感受到椭圆的对称性、曲线的封闭性等性质，为后面的建系、方程的推导做了认知上的准备）
教师：根据前面我们学习了直线与圆的研究路径，在得出椭圆的定义，接下来该研究什么呢？
学生：椭圆的方程
教师：我们能够回顾类比圆的方程的推导过程，给出我们今天要学习的椭圆的大致研究步骤吗？
学生：
教师：回顾前面操作画图的步骤，观察椭圆的形状，同学们认为应该怎样建系才能使得椭圆方程的得出更为简单呢？同学们大胆猜测一下，椭圆具有对称性吗？对称轴在哪？对称中心在哪？
学生：以直线F1F2为X轴，以线段F1F2的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系(1、建系）
教师：在黑板上按照学生的思路画出如图所示的图形
假设焦距为2c（c＞0）则F1(-c,0),F2(c,0),M(x,y)为椭圆上任意一点，点M与点F1、F2之间的距离之和为2a（2、设点）
教师：（问题五）设完点之后我们知道需要列出式子来，依据什么列式？
学生：根据定义我们知道，椭圆上的任意一点满足的几何特征为
教师：将几何条件坐标化可得， （3、列式 ）
教师：上述方程是椭圆的方程吗？方程好象没有猜想简洁、漂亮，与课本上的标准方程也有一点距离。这时候发现方程的左右两端都含有根式，我们通常使用什么方法？
学生：方程两边同时平方去根号、移项之后再平方等
方法一：（4、化简）
对方程的两端同时平方则可得：
方法二：
方法三：等差中项法
设计意图：（课堂上学生会提出多种推导的方法，恰当的处理好预设与之间的关系，要预留充足的时间让学生完整的表达自己的想法，充分展示学生的思维过程，让学生经历对比选择最佳方法，发展学生的系统的思维能力）
教师：通过上述三种方法都能得到当椭圆的焦点再上时候，椭圆的标准方程为，并且在上述化简方程的过程当中令，老师想问同学们，分别代表的几何意义是什么呢？通过这个式子很容易联想到勾股定理，通过椭圆的定义，就很容易确定如下图所示的B点，因为
教师：如果焦点在轴上椭圆的标准方程又是什么呢？
学生：可以把轴当作轴，把轴当作轴再改变方向，因此只要用，代替方程当中的得到，即为焦点在轴上的椭圆的标准方程。
教师：回答的非常好！这就体现了化归与转化的数学思想，而不需要再进行重复的劳动
设计意图：（让学生弄清楚方程当中的字母的几何意义，加深对标准方程的理解;运用类比的方法，根据形状形同，位置不同，通过划归直接得出焦点在轴上椭圆的标准方程，避免再进行重复计算。）
例题讲解
已知椭圆的两个焦点坐标分别是(-2,0),(2,0),并且经过点，求它的标准方程？
巩固练习
求到点的距离之和为6的点M的轨迹方程
求到点的距离之和为6的点M的轨迹方程
求两个焦点的坐标分别为,并且经过点的椭圆的标准方程
设计意图：（通过解决简单问题，让学生熟悉求解椭圆标准方程的一般步骤和方法）
教学反思
数学概念课的设计要将教学内容与具体的情境结合起来，借助精心设计的问题，引发学生的认知冲突，注重学生在学习过程当中的动机生成，情感的激发，问题的解决，知识的建构，方法的迁移和思维的提升。本堂课从问题模型水杯倾斜中水面的变化开始，借助ggb动态演示，再让学生实践操作画出椭圆，最后引入方程的推导，化简,符合学生认知能力的发展顺序。
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