资源简介

探索正方体表面涂色规律
【学习内容】第20-21页
【学习目标】
1.通过操作、观察、想象、交流等活动，综合应用正方体的特征，探究正方体的涂色问题。
2.在探究规律的过程中，发展空间想象能力和推理意识，积累数学活动经验。
3.激发探索规律的兴趣,产生对数学的好奇心和求知欲。
【学习重点】综合应用正方体的特征，探究正方体的涂色问题。
【学习难点】探究正方体表面涂色规律，发展空间观念和推理意识。
【学习过程】
（一）观察现象，提出问题
1.动画演示：把正方体的6个面涂色，再把棱平均切分成3份。
认真观察，你能提出什么数学问题？
预设：1.大正方体被平均分成了几个小正方体？
2.每个小正方体有几个面涂色？
3.这些小正方体有多少种不同的涂色情况？
4.2面涂色的正方体在哪儿？有几个？
5.没有涂色的正方体在哪儿？有几个？
6.……
问题梳理：
小正方体块数；
涂色的情况；
每种涂色情况所在的位置；
每种涂色情况小正方体的块数。
3.初步解决问题
小正方体块数：根据体积的学习经验，可以解决，一排有3个，有3排，有3层，共有3×3×3=27（个）
通过观察发现，有4种涂色情况：3面涂色的在顶点位置上，2面涂色的在棱中间位置上，1面涂色的在面中间的位置上，没有涂色的在大正方体的中心位置上。4.聚焦核心问题：
下面我们就来研究“每种涂色情况的小正方体分别有多少个？”
【设计意图：为学生创设问题情境，学生基于已有的学习经验能够解决一部分问题，逐渐聚焦核心问题：“每种涂色情况的小正方体分别有多少个？”】
（二）自主探究，解决问题
1.探究棱长是3厘米的大正方体中小正方体的涂色情况
（1）出示学习单，明确活动要求。
学具：表面涂色的正方体小木块和棱长为3厘米的正方体图片
活动要求：
研究棱长为3厘米的大正方体中“3面涂色”、“2面涂色”、“1面涂色”、以及“没有涂色”的小正方体的数量和位置。
借助学具，看一看、数一数、拆一拆、涂一涂。
把发现的结果记录在学习单中，并和小伙伴交流你的想法。
棱长 3面涂色的小正方体个数 2面涂色的小 正方体个数 1面涂色的小 正方体个数 没有涂色的小 正方体个数
3厘米
独立探究。
小组交流。
全班分享。
预设：
把大正方体拆成小正方体，再数出每类涂色的个数。
找到各种涂色小正体的位置，根据位置判断3面涂色，2面涂色和1面涂色的个数，没有涂色的是打开正方体外面的一层观察到结果。
推理的方法找到没有涂色的小正方体个数。
想象的方法找到没有涂色的小正方体个数。
（5）动画演示
把大正方体的棱平均分成3份的各种涂色小正方体的位置与个数。
【设计意图：学生借助学具在看一看、数一数、拆一拆、涂一涂的活动中，探究棱长为3厘米的正方体中小正方体的涂色问题，积累分析图形的经验，发展空间想象能力和推理意识。】
2.探究棱长是4厘米的大正方体中小正方体的涂色情况
（1）出示学习单，明确活动要求。
活动要求：
研究棱长为4厘米的大正方体中小正方体的涂色情况。
借助图片，看一看、涂一涂，写一写。
把发现的结果记录在学习单中，并和小伙伴交流你的想法。
棱长 3面涂色的小正方体个数 2面涂色的小 正方体个数 1面涂色的小 正方体个数 没有涂色的小 正方体个数
4厘米
独立探究。
小组交流。
全班分享。
预设：
①在图片上涂色研究
②在图片上标数研究
③列式计算
3面涂色：1×8=8（个）
2面涂色：（4-2）×12=24（个）
1面涂色：4×6=24（个）
没有涂色：2×2=4（个）
（5）对比不同研究方法
图式建立联系，理解算式意义。
质疑：没有涂色用“2×2=4（个）”表示对不对？
展示其他同学研究没有涂色小正方体个数的情况。
预设：
用小正方体的总个数减去其他涂色的小正方体个数得到没有涂色的个数。得出没有涂色的小正方体应该有8个。
认为没有涂色的小正方体有2层，每层有4个。
认为没有涂色的小正方体组成了一个棱是2的正方体。
动画演示验证。
（6）小结：通过刚才的研究，观察只能发现我们能看到的，而推理和想象却能发现我们看不到的，推理和想象是我们学习图形的好帮手！
3.探究棱长是5厘米的大正方体中小正方体的涂色情况
（1）出示学习单，明确活动要求。
活动要求：
研究棱长为5厘米的大正方体中小正方体的涂色情况。
借助前面的研究经验，想一想，算一算，有困难的可以画一画。
把发现的结果记录在学习单中，并和小伙伴交流你的想法。
棱长 3面涂色的小正方体个数 2面涂色的小 正方体个数 1面涂色的小 正方体个数 没有涂色的小 正方体个数
5厘米
（2）独立探究。
（3）小组交流。
（4）全班分享。
预设：
①3面涂色和2面涂色的小正方体个数。
3面涂色的在顶点上，8个；
2面涂色的在棱的中间位置，（5-2）×12=36（个）
②1面涂色的小正方体个数
出示正确和错误的结果。
展示学生的正确做法：
情况1：画图法。
明确：每个面上有9个，6个面共54个。
情况2：列式法。
×6=54（个）
结合图理解算式的含义。
③没有涂色的小正方体个数
出示正确和错误的结果。
展示学生的正确做法:
情况1:用小正方体的总个数减去其他涂色的小正方体个数得到没有涂色的个数。
情况2:=27（个）
动画演示结果，理解情况2算式表示的含义。
【设计意图：探究棱长为4厘米、5厘米的正方体涂色问题中，学生的思维逐渐从画一画、数一数到想一想、算一算，将图与式建立联系，发展空间观念和推理意识。】
4.对比观察，发现规律
观察棱长为3、4、5的大正方体中小正方体的涂色情况，你发现了什么规律？
棱长 3面涂色的小正方体个数 2面涂色的小 正方体个数 1面涂色的小 正方体个数 没有涂色的小 正方体个数
3
4
5
……
n
预设：
棱长 3面涂色的小正方体个数 2面涂色的小 正方体个数 1面涂色的小 正方体个数 没有涂色的小 正方体个数
3 8 12×（3-2） 6×（3-2）2 （3-2）3
4 8 12×（4-2） 6×（4-2）2 （4-2）3
5 8 12×（5-2） 6×（5-2）2 （5-2）3
……
n 8 12×（n-2） 6×（6-2）2 （n-2）3
（1）3面涂色的小正方体的个数=正方体顶点的个数=8个
（2）2面涂色的小正方体的个数=正方体棱的条数乘棱长减2的差=12×（棱长-2）=12×（n-2）
（3）1面涂色的小正方体的个数=正方体的面数×棱长减2的差的平方=6×（棱长-2）2=6×（n-2）2
（4）没有涂色的小正方体的个数=正方体的棱长减2的差的立方=（棱长-2）3=（n-2）3
【设计意图：将棱长3厘米、4厘米、5厘米正方体中小正方体涂色个数的计算方法与学过的正方体的特征、表面积、体积建立联系，积累分析图形的经验，发展空间观念和推理意识。】
（三）回顾反思
1.回顾这节课的研究历程，想一想我们是怎么研究的？
2.通过本节课的学习你又有哪些收获呢？
布置作业
1. 数学书第22页第6题
2. 数学书第23页第1题

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