资源简介

26.1.2 反比例函数的图象和性质（第1课时图象和性质）
教学设计
一、内容和内容解析
1.内容
本节课是人教版《义务教育教科书 数学》九年级下册第二十六章 反比例函数 26.1反比例函数，第1课时，内容包括：反比例函数的图象和性质.
2.内容解析
这节课主要围绕反比例函数的定义、图象、性质及其实际应用展开。通过本节课的学习，学生将能够掌握反比例函数的基本概念，理解其图象特征，并能运用反比例函数解决实际问题。教学内容与学生已有知识紧密相连，如一次函数、二次函数等，通过对比分析，使学生更好地理解反比例函数的本质.
基于以上分析，本节课的教学重点是: 学生能够理解反比例函数图象的性质，包括图象的形状、位置、对称性等。学生能够掌握反比例函数的增减性，并能根据函数表达式或图象判断函数的增减情况。学生能够运用反比例函数的图象与性质解决一些简单的数学问题，如比较函数值的大小、求函数的最值等.
二、目标和目标解析
1.目标
（1）学生能够理解反比例函数图象的性质，包括图象的形状、位置、对称性等;学生能够掌握反比例函数的增减性，并能根据函数表达式或图象判断函数的增减情况;学生能够运用反比例函数的图象与性质解决一些简单的数学问题，如比较函数值的大小、求函数的最值等;
（2）通过让学生自主探究、小组合作等方式，经历反比例函数图象的绘制、观察、分析和总结性质的过程，培养学生的探究能力和合作交流能力;在探究反比例函数图象与性质的过程中，引导学生运用类比、归纳等数学思想方法，提高学生的数学思维能力;
（3）通过对反比例函数图象与性质的探究，让学生体验数学的探究乐趣激发学生学习数学的兴趣;培养学生严谨的治学态度和勇于探索的精神，让学生在学习过程中获得成功的体验.
2.目标解析
（1）教材由问题引入，并引导学生通过绘图、观察、比较、归纳等方法，发展学生的数学建模能力.通过小组讨论，培养合作精神，让学生在探索问题的过程中，体验解决问题的方法和乐趣，增强学习兴趣.
（2）培养学生对图象的理解和运用能力，体会利用反比例函数图象特征，并能利用反比例图象的性质解决问题.
（3）鼓励学生在实践中探索，培养实验探究能力和解决问题的能力，激发学生对数学学习的兴趣，培养学生认真、严谨的学习态度和责任感，为后续数学学习打下坚实基础.
三、教学问题诊断分析
学生在之前已经学习了正比例函数和一次函数，对函数的概念、图象和性质有了一定的了解，具备了一定的函数学习基础。同时，学生也已经掌握了一些基本的数学方法和技能，如描点法画图、观察分析图象等，这为本节课的学习提供了有力的支持。然而，反比例函数的图象与性质与正比例函数和一次函数相比，有着明显的不同。反比例函数的图象是双曲线，这对于学生来说是一种全新的函数图象，其形状、变化趋势以及与坐标轴的关系等都需要学
生进行深入理解和探究。此外，反比例函数的性质在理解和应用上也存在一定的难度，学生可能会在理解反比例函数的增减性与自变量取值范围的关系等方面遇到困难。.
基于以上分析，本节课的教学难点为: 通过让学生自主探究、小组合作等方式，经历反比例函数图象的绘制、观察、分析和总结性质的过程，培养学生的探究能力和合作交流能力;在探究反比例函数图象与性质的过程中，引导学生运用类比、归纳等数学思想方法，提高学生的数学思维能力.
四、教学过程设计
（一）复习旧知
问题一、回顾过去学过的知识，一般从哪些方面去研究函数？
答案：图象
追问1.一次函数()和二次函数 ()的图象是分别是什么？
答案：一次函数的图象是一条直线，二次函数的图象是一条抛物线.
追问2.画函数图象的一般步骤有哪些？
答案：1、列 表；2、描 点；3、连 线
【设计意图】通过复习旧知引入，激发学生学习，让学生明白新旧知识的联系.
（二）新知探究
问题二、反比例函数 (k≠0)的图象是什么呢？请类比一次函数和二次函数图象的画法，试着画一画反比例函数和的图象
绘制反比例函数和的图象
一、列表
二、描点
三、连线
一、列表
二、描点
三、连线
追问1.观察这两个反比例函数的图象它们的形状是什么？
答案：它们的图象是两条双曲线
追问2.观察这两条双曲线它们分别位于哪些象限？
答案：它们的图象位于一、三象限
追问3.你能从它们的解析式出发解释问6的结果吗？
答案：因为,所以,同号得正，所以图象应位于一、三象限
追问4.在每一个象限内，随着的增大，如何变化？
答案：在每一个象限内，随的增大而减小
追问5.它们的图象与x轴或y轴是否有交点？(可结合解析式思考)
答案：因为与的取值不能为0，所以它们的图象无限趋近于坐标轴，但永无交点
追问6.它们的图象是否为对称图形
答案：它们的图象既是轴对称图形(对称轴是直线和直线)，也是中心对称图形(对称中心是原点)
追问7.在同一标系中，k的大小与它们的图象与坐标轴距离远近有何关系？
答案：的值越大，离坐标轴越远
归纳总结
反比例函数()的图象和性质：
(1)由两条曲线组成，且分别位于第一、三象限；
(2)在每个象限内，随的增大而减小;
(3)图像都是轴对称图形，有2条对称轴；也是中心对称图形，对称中心是原点;
(4)图象无限趋近于坐标轴，与坐标轴永不相交；
(5)的值越大，离坐标轴越远.
问题三、类比反比例函数和图象的探究，你能得到反比例函数和的图象特征吗？
归纳总结
反比例函数 () 的图象和性质：
(1)由两条曲线组成，且分别位于第二、四象限；
(2)在每个象限内，随的增大而增大.
(3)图像都是轴对称图形，有2条对称轴；也是中心对称图形，对称中心是原点,
(4)图象无限趋近于坐标轴，与坐标轴永不相交；
(5)的绝对值越大，离坐标轴越远.
追问1.观察四个函数图像，从对称性看，你还能得出什么结论？
答案：与的图象关于轴对称,也关于轴对称
【设计意图】从绘图出发，让学生通过观察，归纳得到反比例函数的图象与性质，从而理解反比例函数的图象和性质，知识生成自然. 鼓励学生在实践中探索，培养实验探究能力和解决问题的能力，激发学生对数学学习的兴趣，培养学生认真、严谨的学习态度和责任感，为后续数学学习打下坚实基础.
（三）新知应用
1. 反比例函数的图象大致是 ( C )
题1 题2
2.如图是下列四个函数中哪一个函数的图象（ ）
A. B. C. D.
3.已知反比例函数的图象经过_一、三_______象限,在每一象限内，随的__增大而减小___________
4.已知反比例函数的图象经过_二、四_______象限,在每一象限内，随的_增大而增大____________
5.点()和()在函数 上，则 < (填“>”“<”或“=”).
6.已知：如图是三个反比例函数在x轴上方的图象，由此观察得到的大小关系为_______________．
【设计意图】通过对这基础题的解答，让学生进一步熟悉反比例函数的图象与性质.
（四）典例讲解
例1.已知反比例函数的图象经过点A().
(1)求的值;
(2)这个函数的图象位于哪些象限？随的增大如何变化？
(3)点B()，C(,-4),D()是否在这个函数的图象上
(4)点E()，F()在这个函数的图象上,若,试比较、 的大小.
(5)点E()，F()在这个函数的图象上,若,试比较、 的大小.
(6)当时，求y的取值范围.
(7)当时，求的取值范围.
解(1)∵反比例函数图象经过点A()，
∴
∴
(2)这个函数图象分布在一、三象限，随的增大而减小
(3)∵反比例函数的解析式为
∴点B、C满足解析式，点D不满足解析式
即点B、C在这个函数图象上，点D不在函数图象上.
解(4)法一、利用反比例的性质解题
∵
∴在每一象限内，y随x的增大而减小，
∵
∴
法二、数形结合
通过画图可得：
此方法适用于选择或填空题
法三、赋特值
令代入解析式
∴，
∴
此方法适用于选择或填空题
(5)法一、利用解析式
∵
又∵为负，为正
∴为负，为正
∴
法二、数形结合
∵通过画图可得：
法三、赋特值：令
∵
∴，
∴
(6)当时,随的增大而减小
∴
这类型的题最好利用图象解决，不易出错
(7)当时,随的增大而减小
∴
例2.如图是反比例函数图象的一支.根据图象，回答下列问题
(1)图象的另一支位于哪个象限？常数的取值范围是什么？
(2)在这个函数图象的某一支上任取点A(，)和点B(，). 如果 ＞ ，那么和 有怎样的大小关系？
解:(1)反比例函数的图象只有两种可能：位于第一、第三象限，或者位于第二、第四象限，因为这个函数的图象的一支位于第一象限，所以另一支必位于第三象限.
∵这个函数的图象位于第一、第三象限，
∴，
解得.
(2)因为，所以在这个函数图象的任一支上，都随的增大而减小，因此当＞ 时， .
例3.已知反比例函数 ，在每个象限内，随的增大而增大，求的值.
解：∵反比例函数，在每个象限内，随的增大而增大，
∴解得：
【设计意图】通过典例讲解培养学生对图象的理解和运用能力，体会利用反比例函数图象特征，并能利用反比例图象的性质解决问题.
（五）针对训练
1.已知反比例函数 的图象在第一、三象限内，则的取值范围是__ ___.
2.已知反比例函数 的图象上有三个点(),(, ),(, ),则, , 的大小关系是__ ___________。
3.已知反比例函数的图象在第二、四象限，那么一次函数的图象经过 一、三、四象限 .
4.已知反比例函数的图象经过点A().
(1)求的值；
(2)这个函数的图象分布在哪些象限？当增大时，如何变化
(3)点B() ，C()是否在该函数的图象上？
(4)当时，求的取值范围．
解(1)∵图象经过点A()，
∴
∴
(2)这个函数图象分布在二、四象限，随的增大而增大
(3)∵反比例函数的解析式为
∴点B满足解析式，点C不满足解析式
即点B在这个函数图象上，点C不在函数图象上.
(4)当时,随的增大而增大
∴的取值范围为
5.已知反比例函数,当时，随着的增大而减小，求的值．
解：∵反比例函数，当时，随着的增大而减小，
∴解得：
【设计意图】通过此题练习培养学生分析问题，发现问题和综合解决问题的能力从而培养学生勇于探索、敢于创新的精神，体验数学活动中的探索性.
（七）拓展探究
1.已知P、Q两点分别在反比例函数和的图象上，若点与点关于y轴对称，求m的值
解：设，
点与点关于y轴对称，点，
P、Q两点分别在反比例函数和的图象上，
∴ ，解得：.
【设计意图】通过此题练习培养学生分析问题，发现问题和综合解决问题的能力从而培养学生勇于探索、敢于创新的精神，体验数学活动中的探索性.
（八）当堂巩固
1.下列图象中是反比例函数图象的是（ C ）
A　　　　 B　 　　　 C　 　　　 D
2．已知反比例函数，下列说法正确的是（ A ）
A．它的图象经过点 B．图象位于第一、三象限
C．它的图象不是中心对称图形 D．y随x的增大而增大
3. 在同一直角坐标系中，函数与的图象大致是( B )
4.若反比例函数的图象位于第二、四象限，则的取值范围是_____
5.已知点在反比例函数的图象上，则 （填“”或“”或“”）．
6.点在反比例函数的图像上，则当时，的取值范围是 ．
【设计意图】通过此题练习巩固学生对本节课所学知识的掌握和理解，并利用所学知识解决问题.
（九）课堂小结
【设计意图】通过课堂小结，使学生对本节课的知识有一个系统的回顾和认识，进而形成一个清晰的脉络，加深学生对本节课知识的理解与掌握．
（十）布置作业
P8 练习1、2题.
五、教学反思

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