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6.2.2分层抽样
【教学目标】
1． 通过实例，了解分层抽样的特点和适用范围，了解分层抽样的必要性。
2．通过实例，掌握分层抽样的方法。
3．在简单的问题情境中，能根据实际问题的特点，设计恰当的抽样方法解决问题。
【教学重点】 理解分层抽样的必要性；掌握分层抽样的方法。
【教学难点】 在简单的问题情境中，能根据实际问题的特点，设计恰当的抽样方法解决问题。
【教学方法】 教师启发讲授，学生探究学习．
【教学手段】 计算机、投影仪．
【教学过程】
一、创设情境，引入课题
课前布置任务：
阅读案例并思考其后的问题：
1936年美国总统选举盖洛普的预测
在前面《文学摘要的破产》一文中，我们了解到：《文学摘要》杂志对1936年美国总统选举进行了民意调查，调查预测兰登会以57%对43%的压倒性优势获胜。但是选举结果却是罗斯福以62%对38%的压到性优势获胜。《文学摘要》杂志的预测不仅结果错误，而且误差居然达到19%。如此大的误差，让人惊异不已。此后不久《文学摘要》杂志就破产了。
同一年，盖洛普（Gallup,1901~1983）于一年前刚创立了他的民意调查机构。他根据一个约5万人参加的民意调查，预测共和党人兰登的得票率为44%，民主党人罗斯福的得票率为56%。与《文学摘要》杂志针锋相对，盖洛普认为罗斯福将连任下一届总统。
盖洛普虽然依据的是区区5万人的民意调查，但他坚信自己的调查方法是精心设计的、科学的，自己的预测结果是正确的，民主党人罗斯福将当选总统。
罗斯福的得票率 误差
《文学摘要》杂志（样本238万）预测 43% 19%
盖洛普（样本5万）预测 56% 6%
实际选举结果 62%
此后，《文学摘要》杂志于1938年停刊，而盖洛普所创立的调查机构自此以后越来越兴旺。1958年，他将该机构改组成盖洛普公司。在盖洛普及其公司人员的不断努力下，公司最终成了国际性权威的民意和商业调查咨询公司。难怪有人说1936年的这次选举最大的赢家不是罗斯福，而是盖洛普。
盖洛普的预测误差为什么比《文学摘要》杂志的预测误差小得多，尽管他的样本只有5万人，这与他选取调查对象的方法有关。
1936年美国总统选举，盖洛普首先根据普查局的数据了解某地区的各项指标，例如性别、年龄、种族、住处和房屋租金等的分布情况。其中房屋租金的多少反映了这个家庭的贫穷与富裕的情况。接下来根据该地区各项指标的分布情况按比例确定调查人数。然后派调查员亲自去调查访问。
例如盖洛普要求访问员在 St. Louis 地区访问13个对象，必须满足下列条件：
6人住在近郊，7人住在市中心；
男的7人，女的6人；
7个男的中：3人40岁以下，4人40岁以上；1个黑人，6个白人；
对女的有类似的定额规定；
对6名男白人支付的房屋月租（1948年价格）有如下规定：
1人支付的金额不少于44.01美元；
3人支付的金额在18.01到44美元之间；
2人支付的金额不多于18美元。
由此看来，盖洛普的预测误差比《文学摘要》杂志的预测误差小得多是可想而知的。
思考：请归纳总结盖洛普的预测误差比《文学摘要》杂志的预测误差小得多的原因是什么？
预案：盖洛普的调查面向全体选民，根据选民的类别按比例作调查，样本中性别、年龄、种族、住处和房屋租金等的比例与根据普查局了解到的该地区的分布情况大致相同。这样的样本能代表总体，被调查的5万人的意愿能代表美国全体选民的意愿。这就是盖洛普的预测误差小的原因。
二、启发引导，理解方法
问题：当总体中不同群体的差异比较明显时，如何才能得到有代表性的样本，使样本能够客观反映总体的情况呢？
预案：当总体由差异明显的几个部分组成时，为了使抽取的样本更好地反映总体的情况，把总体中各个个体按照某种特征或某种规则划分成互不交叉的层，然后对各层按其在总体中所占比例独立进行简单随机抽样。
概念：当总体由差异明显的几个部分组成时，为了使抽取的样本更好地反映总体的情况，把总体中各个个体按照某种特征或某种规则划分成互不交叉的层，然后对各层按其在总体中所占比例独立进行简单随机抽样，这种抽样方法称为分层抽样。
分析：这个问题中的总体人数较多，而且观众对栏目喜爱程度差异较大，为使样本更好地反映总体的情况，我们可以对不同星级评价的用户按其在总体中所占比例独立进行简单随机抽样。
点评：
从上面的抽样过程可以看出，分层抽样保证了样本中包含有各种特征的抽样单位，样本的结构与总体的结构保持一致性，这对提高样本的代表性是非常重要的。
问题：试着总结分层抽样的操作步骤。
预案：（1）分层：将总体按某种特征分成互不相交的层。
（2）确定比例：根据样本容量n与总体的个体数N计算抽样比k=n/N 。
（3）确定各层应抽取的样本容量ni≈k*Ni （Ni为第i层所含的个体数），使得各ni之和为n。（若k*Ni不是整数，取ni=[k*Ni]或者[k*Ni]+1,且能保证各ni之和等于n即可。）
（4）在每一层进行抽样（各层分别按简单随机抽样或系统抽样的方法抽取），综合每层抽样，组成样本。
三、课堂练习，实践操作
练习：
一个地区共有5个乡镇，人口3万人，其中人口比例为3：2：5：2：3，从3万人中抽取一个300人的样本，分析某种疾病的发病率，已知这种疾病与不同的地理位置及水土有关，问应采取什么样的方法？并写出具体过程。
预案：
解：因为疾病与地理位置和水土均有关系，所以不同乡镇的发病情况差异明显，因而采用分层抽样的方法，具体过程如下：
(1)将3万人分为5层，其中一个乡镇为一层。
(2)按照样本容量的比例随机抽取各乡镇应抽取的样本。
300×3/15=60（人），300×5/15=100（人），
300×2/15=40（人），300×3/15=60（人)
因此各乡镇抽取人数分别为60人,40人,100人,40人,60 人。（3）将300人组到一起，即得到一个样本。
练习：
预案：调查（1）采用分层抽样，调查（2）采用简单随机抽样。
四、课堂小结，强化提升
1.请比较简单随机抽样、分层抽样的优点、缺点及适用范围。
预案：
2.科学的抽样方法可以提高用样本估计总体的精度。影响精度的不仅有抽样方法，还有样本容量。一般地，样本容量较大时，可以获得比较精确的估计。

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