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26.1.1反比例函数 教学设计
一、内容与内容解析
（一）教学内容
本节课是人教版初中数学九年级（下册）第26章“反比例函数”的第一节。内容包括：反比例函数的概念、表达式及简单应用。教材先通过三个实际情境问题（路程一定时速度与时间的关系、矩形面积一定时长与宽的关系、总产量一定时单产量与数量的关系），引导学生列出变量之间的函数关系式，再通过观察这些关系式的共同特征，抽象出反比例函数的定义。随后，教材明确反比例函数的三种表达式，并通过例题巩固反比例函数的概念辨析与解析式确定，为后续学习反比例函数的图象和性质奠定基础。
（二）教学内容解析
从知识脉络来看，反比例函数是继正比例函数、一次函数之后，学生学习的第三种基本初等函数，是对函数概念的进一步深化和拓展。本节课的内容既是对之前函数知识的延续，又为后续学习反比例函数的图象、性质及实际应用提供了理论基础，在整个函数体系中起到了承上启下的作用。
从数学思想来看，本节课蕴含了抽象概括思想（从实际情境中抽象出反比例函数概念）、建模思想（将实际问题转化为反比例函数模型）和数形结合思想（为后续图象学习埋下伏笔）。这些思想方法的渗透，有助于提升学生的数学思维能力和问题解决能力。
从教学价值来看，反比例函数在实际生活中应用广泛，如工程问题、行程问题、经济问题等，通过本节课的学习，能让学生体会数学与生活的紧密联系，感受数学的实用价值，激发学习数学的兴趣。基于以上分析，确定本节课的教学重点为：
【教学重点】掌握反比例函数解析式的特点，能用待定系数法求出反比例函数解析式。
二、目标与目标解析
（一）教学目标
1.理解反比例函数的概念，能准确识别反比例函数；
2.掌握反比例函数的三种表达式，并能根据已知条件求出反比例函数的解析式；
3.能结合实际情境，判断两个变量之间是否成反比例关系。
（二）教学目标解析
知识与技能的核心基础，学生只有先理解反比例函数的概念、掌握表达式，才能进行后续的图象分析和性质应用。其中，“识别反比例函数” 是基础要求，“求解析式” 是核心技能，“判断反比例关系” 是概念的实际应用延伸。
过程与方法目标注重学生的学习体验，通过 “实际情境→列出关系式→观察特征→抽象概念” 的流程，让学生主动参与知识的形成过程，而非被动接受，这有助于学生深刻理解概念的本质。数学建模能力的培养是本节课的重点，通过将实际问题转化为反比例函数模型，让学生体会数学与生活的联系。
情感态度与价值观目标贯穿教学始终，通过贴近生活的情境、层层递进的问题设计，让学生在学习中获得成就感，激发学习兴趣，同时培养良好的学习习惯和思维品质，促进学生全面发展。
三、学生学情分析
学生已具备的知识与经验：学生在学习本节课之前，已经掌握了正比例函数、一次函数和二次函数的基本概念和性质，具备了一定的函数图象绘制能力和函数值计算能力。他们能够理解函数的概念，知道函数是描述变量之间依赖关系的数学模型，并且能够通过列表、描点、连线等方法绘制简单函数的图象。然而，对于反比例函数这一新的函数类型，学生可能还比较陌生，需要从实际情境出发，逐步引导其理解反比例函数的意义和性质。
【教学难点】能体会反比例函数的意义，感受函数学习基本思路与数学思想。
四、教学过程分析
（一）复习引入
下列问题中，变量间具有函数关系吗？如果有，它们的解析式有什么 共同特点？
(1)京沪线铁路全程为1463km，某次列车的平均速度(单位：)随此次列车的全程运行时间(单位：)的变化而变化;
(2)某住宅小区要种植一个面积为的矩形草坪，草坪的长(单位：)
随宽(单位：)的变化而变化;
(3)已知北京市的总面积为平方千米，人均占有的土地面积(单位：平方千米/人)随全市总人口(单位：人)的变化而变化.
设计意图：通过复习旧知，激活学生已有的知识储备，降低新知识的学习难度。
（二）主动参与、感悟新知
观察， ， 这三个函数解析式回答下列问题：
问题1：观察以上三个解析式，你觉得它们有什么共同特点？
问题2：你能根据特点给出此类函数的定义及其一般形式吗？
问题3：反比例函数中自变量x和函数y的取值范围分别是什么？
问题4：反比例函数的解析式还可以有其他形式吗？
问题5：你能举出一些生活中有关反比例函数的例子吗？
设计意图：通过小组合作自主探究反比例函数的定义、表达形式、自变量取值范围，使学生感受反比例函数的基本特征，发展学生用数学语言描述反比例函数的能力，进一步体会建模思想。
总结1：一般地，形如(k为常数且)的函数称为反比例函数. 其中是自变量，是函数，叫比例系数.
2、反比例函数的三种表达方式：(注意)
一般
负指数形式
乘积形式
练习一：下列哪些关系式中的y是x的反比例函数？如果是反比例函数请指出k的值。
当m= 时，是反比例函数.
例1.已知是的反比例函数，并且当时，.
(1)写出关于的函数解析式;
(2)当时，求的值.
解:(1) 设,
∵当时，，∴
解得:.
(2)把代人，得
用待定系数法求反比例函数解析式的一般步骤是：
（1）设，即设所求的反比例函数解析式为（）．
（2）代，即将已知条件中对应的值代入中得到关
于的方程．
（3）解，即解方程，求出的值．
（4）定，即将值代入中，确定函数解析式．
变式练习：已知与成反比例，并且当时，.
(1)写出关于的函数解析式；
(2)当时，求的值．
解:(1)设
∵当时，,∴解得：
∴关于的函数解析式为:
(2)当时,代入解析式的
（三）课堂总结
1、本节课研究了什么问题？
2、本节课经历了怎样的研究过程？用到了哪些数学思想？
3、对今后数学研究的启发？你还有哪些疑惑呢？
【设计意图】梳理知识脉络，提炼核心方法，帮助学生形成系统的认知，同时加深对代数式价值的理解。
（四）布置作业、巩固提高
1.下列函数中，y 是 x 的反比例函数的是 ( )
A. B. C. D.
2.填空
(1) 若是反比例函数，则 m 的取值范围是 .
若是反比例函数，则 m 的取值范围是 .
已知函数是反比例函数，求 m 的值.
已知变量 y 与 x2成反比例，且当 x = 3时，y = 4.
写出 y 关于 x 的函数解析式；
(2) 当 y = 6 时，求 x 的值.
4.如图，已知菱形 ABCD 的面积为180平方厘米，设它的两条对角线 AC，BD的长分别为x cm，y cm. 写出变量 y与 x 之间的关系式，并指出它是什么函数.

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