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专题一 与中点有关的辅助线作法
方法呈现
方法 1 构造中位线
条 件：如图①，在 中，D为边AB的中点，且已知BC的长
辅助线：过点 D 作 BC 的平行线，交AC 于点 E(或取AC 的中点E，连接DE)
结 论:DE是 的中位线， (三角形的中位线平行于三角形的第三边，并且等于第三边的一半)
1. 如图,在Rt△ABC中, D为边BC的中点，E在边AB上，若 求 DE的长.
方法 2 构造中线
直角三角形中 条 件:如图②,在Rt△ABC中,∠ABC=90°,D为斜边AC的中点 辅助线：连接BD 结 论： (直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半)
等腰三角形中 条 件：如图③，在等腰△ABC中，D为底边 BC的中点 辅助线：连接AD 结 论:∠BAD=∠CAD,BD=DC,AD⊥BC(等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合，简写成“三线合一”)
2.如图，在等边 中，D为边BC的中点，BD=2,求 的面积.
3.如图，在四边形ABCD中，过点A 作 于点 E，且BE=2CE,,点 F,G分别是AE,AB 的中点,连接CF,GF,求证:
方法3 构造等腰三角形
条 件:如图④,在△ABC中,D为BC的中点,DE⊥BC交AC于点E
辅助线：连接BE
结 论：△BCE为等腰三角形，BE=CE(线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等)
4. 如图,在△ABC中,点D 为BC的中点,过点 D 作 交AC于点E.已知 45°,CE=2,求AB 的长.
典例精析
例1 如图，在 中，AB=AC=5, 点D,E分别是BC,AC的中点,连接AD,点 F 是BC上一点,且BF=3,连接EF. 若AD=3,求EF的长.
思路分析
为什么作→条件：点E 是AC的中点，AD=3
怎 么 作 →辅助线:过点E作EG∥AD交BC于点G(如图)(目的:构造三角形中位线解题)——方法1
得到什么→结论： 点G是CD的中点
思路跟踪：结合题干条件，在Rt△ADC中，根据勾股定理可求得CD的长，结合等腰三角形的性质得出BC的长，从而得出FC的长，再结合中位线的性质求出CG，EG的长，从而求出 FG的长，再利用勾股定理求出EF的长.
自主解答
解：
例2 如图,在△ABC中,∠C=45°,D为边AC的中点,E,F分别为AB,BC边上的点,且DE⊥DF.
(1)如图①,连接EF,若∠A=45°,AE=4,FC=3,求EF的长;
(2)如图②,若∠A=75°,∠CDF=30°,求 的长.
(1)如图①,连接EF,若∠A=45°,AE=4,FC=3,求EF 的长;
思路分析
为什么作 条件:∠A=∠C=45°,即△ABC为等腰直角三角形,∠ABC=90°,且D为边AC的中点
怎 么 作 辅助线：连接BD(如图①)(目的：利用等腰三角形“三线合一”和直角三角形斜边中线的性质)——方法2
得到什么→结论:BD⊥AC,∠ABD=∠CBD=45°,AD=CD=BD
思路跟踪:由BD⊥AC,DE⊥DF,根据同角的余角相等,得到∠EDB=∠FDC,结合BD=CD,∠ABD=∠C,可得出△EDB≌△FDC,即可得出BE=CF,则AE=BF,在Rt△EBF中利用勾股定理即可求出 EF 的长.
自主解答
解：
(2)如图②,若∠A=75°,∠CDF=30°,求 的长.
思路分析
为什么作→条件:∠C=45°,D为AC的中点
怎 么 作→辅助线：在BC上选一点G，使得DG=DC(如图②)(目的：构造等腰直角三角形)——链接：P20方法4
得到什么→结论:△CDG是等腰直角三角形,∠CDG=90°
思路跟踪：根据角的等量代换可证得△DGF∽△DEA，得出线段比例关系，再结合锐角三角函数求解.
自主解答
解：
针对训练
1.如图，平行四边形ABCD的面积为16，连接AC，BD 相交于点O，点E为OC的中点，连接BE 并延长使BE=EG,,连接AG交BD 于点 F,求四边形 OEGF 的面积.
2.如图①，已知 中,AB=AC,CE是AB边的中线,延长AB到点D,使得BD=AB.
(1)求证:(CD=2CE;
(2)如图②,若点 F是BC的中点,连接EF,若BF=2,EF=3,求△ABC的面积;
(3)如图③, 若 求BM的长.
专题一 与中点有关的辅助线作法
方法呈现
1、解:∵ D是BC 的中点,AC=6,如解图,过点 D 作DF∥AC交AB 于点F,(已知D 是 BC 的中点,且知道AC 的长,求 DE的长，考虑构造三角形的中位线，利用线段关系求解)
∴ F 是AB 的中点,
∵ ∠A=90°,∠DEB=30°,∴ ∠DFE=90°,在 Rt△DEF中,
2. 解:∵△ABC 是等边三角形,
∴AB=AC=BC,∠ABC=∠BCA=∠BAC=60°,
∵D是BC 的中点,
如解图,连接AD,(可知AB=AC,D 是 BC 边上的中点，要求△ABC 的面积，连接AD，考虑利用等腰三角形“三线合一”的性质求解)
∵BD=2,
∴AD=tan∠ABC·BD=tan60°·BD= BD=2 ,∴BC=2BD=4,
3. 证明:在四边形ABCD中,∵AE⊥BC,点G是AB的中点，
如解图,连接EG,(已知AE⊥BC,点 G 是AB的中点，在 Rt△ABE中，考虑构造中线，利用线段相等求解角相等)
又∵点 F是AE 的中点,
∴GF是△ABE的中位线,
∵BE=2CE,∴CE=GF,
∴ 四边形 GFCE 是平行四边形，
∴GE∥FC,∴∠BEG=∠ECF,
∴∠B=∠ECF.
4. 解:∵点D 是BC 的中点,DE⊥BC,如解图,连接BE,(已知点 D 是 BC 的中点,且DE⊥BC，考虑构造等腰三角形，利用等腰三角形“三线合一”求解)
∴ BE=CE=2,∴ ∠EBC=∠C=45°,
∴ ∠AEB=∠EBC+∠C=45°+45°=90°,
典例精析
例1 解:∵AB=AC=5,点 D 是 BC 的中点,AD=3,∴AD⊥BC,
∴在 Rt△ACD中,
∴ BC=2CD=2×4=8,
∴FC=BC-BF=8-3=5,
∵点E是AC 的中点,
如解图,过点 E 作 EG∥AD 交 BC 于点 G,(已知点 E 是AC 的中点及 AD 的长，考虑构造三角形的中位线，利用线段关系求解)
∴ EG是△ACD 的中位线,EG⊥BC,
∴FG=FC-CG=5-2=3,
∴ 在 Rt △EFG 中,
例2 解:(1)∵∠A=∠C=45°,
∴△ABC为等腰直角三角形，
∵D 是AC的中点,DE⊥DF,
如解图①，连接BD，(已知等腰直角△ABC，且D为边AC 的中点，考虑利用等腰三角形“三线合一”和直角三角形中线的性质求解)
∴ ∠ABD=∠CBD=45°,BD=AD=CD,BD⊥AC,
∵ ∠EDB+∠FDB =90°,∠FDB+∠FDC =90°,∴∠EDB=∠FDC,
在△EDB 和△FDC中,
∴ △EDB≌△FDC(ASA),∴BE=CF=3,
∵AB=BC,∴AE=BF=4,
在Rt△BEF中,
(2)∵∠C=45°,D 为AC的中点,如解图②,在BC 上选一点 G 使得DG=DC,(已知AD=CD,∠C=45°,考虑构造等腰直角三角形，利用等腰直角三角形的性质求解)
∴ △CDG是等腰直角三角形,∠CDG=90°,
∵ ∠EDF=∠GDF+∠EDG=90°,∠CDG=∠CDF + ∠GDF = 90°, ∠ADG = ∠ADE +∠EDG=90°,∠CDF=30°,
∴ ∠GDF=∠ADE=60°,∠DFG=75°,
∴ ∠DFG=∠A, ∠AED=∠DGC=45°,
如解图②,过点 F 作 FM⊥DG,交 DG于点 M,∴DC∥MF,∴∠DFM=∠CDF=30°,设DM=x,在Rt△DFM中,DF=2x,MF= x,在Rt△GFM 中,(
针对训练
1. 解:∵点E为OC 的中点,BE=EG,如解图,连接OG,CG,(点 E 为 OC,BG的中点，考虑构造平行四边形利用平行四边形对边平行且相等的性质求解)
∴ 四边形OBCG 为平行四边形，
∴BC=OG,BC∥OG,∴AD=OG,AD∥OG,如解图,连接DG,(因为AD=OG,AD∥OG,考虑连接DG，构造平行四边形，利用平行四边形对角线互相平分的性质证明点 F 为 OD 的中点)
∴ 四边形AOGD 为平行四边形，
∴点 F 为OD的中点,
∵点E为OC的中点，
如解图,连接EF,(因为点 E,F 分别为 OC,OD 的中点，考虑连接EF 构造中位线，利用线段关系求解)
∴EF为△OCD的中位线, 设△OEF 的高为h,则△OCD的高为2h, 2h·2EF,∴4S△OEF=S△OCD,
∵平行四边形ABCD 的面积为16，
∴ 四边形OEGF 的面积为4.
2. (1)证明:∵ BD=AB,∴B 是AD 的中点,如解图①,过点 B 作 BG∥CD 交AC 于点G,(已知BD=AB,且求证与 CD 有关的2 倍数量关系，考虑作△ACD 的中位线)
∴点 G是AC的中点,即AG=CG,
∵点E是AB 的中点,AB=AC,∴AG=AE,在△ABG和△ACE中,
∴ △ABG≌△ACE(SAS),∴BG=CE,
(2)解:∵AB=AC,点F 是BC的中点,如解图②,连接AF,(已知 AB=AC,点 F 是BC 的中点，考虑等腰三角形“三线合一”的性质)
∴AF⊥BC,CF=BF=2,
∵ CE 是AB 边的中线,∴ 点 E 是AB 的中点,
∴EF是△ABC的中位线,
∴AC=2EF=6,
在Rt△ACF 中,
∵BC=2BF=4,
(3)解:∵BM⊥AD,AB=BD,
如解图③,连接AM,(已知 BM⊥AD,AB =BD，考虑构造等腰三角形解题)
∴△ADM为等腰三角形，
∴∠MAD=∠D,
∵∠CAB=2∠D,
∴∠CAB=2∠MAD,
∵∠CAB=∠CAM+∠MAD,
∴∠MAB=∠CAM,
又∵AB=AC,AM=AM,
∴△ABM≌△ACM(SAS),
∴BM=CM,∠ABM=∠ACM=90°,
∴∠CAD=2∠D=60°,
在 Rt△ACM中,

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