资源简介

第二章 圆锥曲线
1.1 椭圆及其标准方程
教学内容分析
本节是“圆锥曲线”章节的开篇，围绕椭圆的定义和标准方程展开，是解析几何中从“几何定义”到“代数方程”转化的典型体现。
知识层面：先通过“平面截圆锥面”“细绳画椭圆”等方式引出椭圆定义；再通过坐标法推导焦点在轴、轴上的椭圆标准方程；最后结合例题和练习，巩固概念与应用。
思想方法：贯穿“数形结合”“坐标法”的解析几何核心思想，为后续双曲线、抛物线的学习提供方法范式，同时体现“从特殊到一般”“抽象概括”的数学思维。
学情分析
学生已学习“直线与圆”，具备解析几何的初步认知，能运用坐标法解决简单几何问题。且掌握了圆的基本概念和性质，椭圆作为圆的推广，这为学习椭圆提供了基础。但学生对“圆锥曲线”这一全新曲线类型的概念建构和方程推导仍需适应。针对基础薄弱学生：在“两次平方化简方程”“几何意义辨析”上易遇阻。学有余力学生：可引导其深入探究圆与椭圆的内在联系。
目标解析
通过观察平面截圆锥认识到：当平面与圆锥的轴夹角不同时，可以分别得到圆、椭圆、双曲线和抛物线。能通过实例知道圆锥曲线在科学、生活中有着广泛的应用。能通过章引言初步认识本章的学习内容、学习方法与学习价值。
通过“细绳画椭圆”探究椭圆的轨迹，抽象出椭圆的几何特征，会用精确的数学语言描述椭圆的定义，发展学生的数学抽象核心素养。
借助椭圆图形的几何特征，类比圆的建系过程，选择恰当的平面直角坐标系，遵循坐标法求曲线方程的一般步骤，推导出椭圆的标准方程。体会坐标法下求轨迹方程的过程中数形结合等思想方法，培养学生直观想象、逻辑推理、数学运算等核心素养。
通过GGB展示动态作图，感受信息技术与数学课程的深度融合，体会数学情景与科学情景的交融，培养学生创新实践能力。
通过椭圆的生成背景，将数学文化融入学习中，开拓学生数学视野，激发学习兴趣，体会数学的人文价值、科学价值、文化价值和应用价值。
四、重点与难点
重点：椭圆的定义与椭圆的标准方程。
难点：椭圆标准方程的推导。
五、教法与学法
教法：探究发现法、直观演示法、讲授法、分层指导法相结合。
学法：动手实践法、合作探究法、归纳总结法、分层学习法。
六、教具：
圆锥桶（如冰淇淋桶）、硬纸板、无弹性细绳、工字钉、PPT，GGB、投影仪、关系演示教具。
七、课前预习内容：
课本：47页【章前语】、椭圆及其标准方程和77页【阅读材料】
八、教学过程
情境引入，深入思考
情境：用一个垂直于圆锥的轴的平面截圆锥，所得的截线是一个圆，如果改变圆锥的轴与平面形成的角，会得到怎样的曲线？
【师生互动】
请学生上前演示：一位同学手持冰淇淋的圆锥桶，另一位同学拿一张硬纸板作为平面，将硬纸板垂直圆锥轴（即平面平行圆锥底面），让学生观察截线形状并回答；然后再缓慢倾斜硬纸板（双手逐渐转动纸板），追问截线形状？
教师用GGB动态展示平面截圆锥，用不垂直于圆锥曲线的轴的平面截圆锥，直观观察得到不同曲线，有椭圆、双曲线、抛物线，统称为圆锥曲线，引导学生理解曲线名称的来源和三种曲线之间必然存在的紧密联系。
问题1：世界首次月球自动采样的嫦娥六号运行的轨迹主要是什么曲线？在生活中你见到过这种形状的曲线吗？试着举出一些例子。
（上至天文，地球的运行轨道是椭圆形的；下至百姓家庭，茶几的桌面、手表的表盘、菜碟都可能是椭圆形。）
问题2：可以给椭圆下个定义吗？
【设计意图】
创设问题情境，了解圆锥曲线的来源，从圆锥曲线截线的角度直观感知圆锥曲线的形状，明确本章主要任务。将对椭圆的感性认识上升为理性认识，从直观几何转化为解析几何，同时结合实际应用激发学生兴趣，激发爱国情怀和民族自豪感，增强科技自信，厚植家国情怀。发展学生的数学抽象、直观想象的核心素养。
实验探究，定义椭圆
【探究活动】
让学生拿出准备好的纸板、工字钉（或图钉）、一根无弹性的细绳，两人一组合作，按照以下步骤操作：
活动1、把细绳的两端都固定在纸板的同一点处，套上铅笔，拉紧绳子，移动笔尖，这时笔尖画出的轨迹是一个什么图形？
活动2、如果把细绳的两端拉开一段距离，分别固定在纸板的两点处，用铅笔尖把绳子拉紧，使笔尖在纸板上慢慢移动，画出的是什么图形？
问题2-1：观察活动2画图过程中，存在哪些等量关系？尝试给出椭圆定义。
【师生互动】
学生按照规定，尝试画出曲线，并进行小组间展示。活动1的结果都是圆。
活动2预设：1、绳两端相距特别近，图形很接近圆；2、细绳两端相距适中，图形扁一些，椭圆形状更直观；3、细绳两端相距较远，笔尖绕着细绳转动更扁长的椭圆呈现了出来；4、绳子的两端固定住，绳子拉直了；5、细绳一端固定后，固定另一端时之前的一端被拉掉了。小组间展示有的画出了椭圆，有的画出了线段，有的什么也没画出来，原因在哪呢？让学生通过观察、讨论，归纳概括出如何画出椭圆。学生总结画图变化中的不变量。在归纳椭圆定义的过程中，根据实验中学生们出现的现象，如第4和第5种情形，结合学生回答的情况，突出体现“常数”及“常数的范围”等关键词与相应的特征。同时强调平面内的大前提。从而不断完善定义：平面内到两个定点的距离的和等于常数（大于）的点的集合（或轨迹）叫做椭圆。教师用GGB展示椭圆，强调椭圆定义的关键要素（两定点、距离和、常数大于）及介绍椭圆的焦点（这两个定点）、焦距（）。
【设计意图】
让学生通过小组合作进行画图操作，在曲线的形成过程中产生对椭圆的感性认识。引导学生观察、想象、概括，激发学生探索发现的兴趣，又培养了学生抽象思维、归纳概括的能力。
建系化简，推导方程
问题3：我们能不能用“数”的方法刻画椭圆？
问题3-1：【回顾】推导圆的标准方程的步骤有哪些？圆的标准方程的最简洁形式是什么？
问题3-2：观察椭圆的形状，它具有何种对称性呢？你认为怎样建立直角坐标系可能使所得的椭圆方程形式简单？
问题3-3：设椭圆的焦距，绳长为，如何推导椭圆的方程？
问题3-4：如何化简？
方法一：移项两边平方法。方法二：直接两边平方法。哪种方法更简洁呢？（教师可针对基础薄弱学生提供“移项平方步骤模板”）
问题3-5：在椭圆图形中，你能找到表示的线段吗？
（教师展示关系演示教具，直观呈现三者几何意义）
【师生互动】
教师引导学生回顾求圆的方程的步骤（建系、设点、列式、化简），当圆心在原点时，圆的方程最简洁，此时圆关于轴、轴、原点均对称。学生观察画出的椭圆思考，小组讨论回答，师生共同进行图象分析并得出结论：椭圆关于两定点所在直线对称，关于线段的中垂线对称，且两对称轴的交点是椭圆的对称中心。
【教师引导】
建立平面直角坐标系，以过焦点的直线为轴，线段的垂直平分线为轴。设为椭圆上的任意一点，椭圆的焦距是（），则，又设与距离之和等于()，由椭圆定义可知：
引入问题3-4，通过设问、点拨“怎么化简带根式的式子”突破难点，学生会提出两种方案：1是直接将根式平方；2是将其中一个根式平移再平方。这时教师让学生进行小组讨论，对比、分析这两种方法的优缺点。教师引导，发现以上同学们提出的这两种方法都需要进行两次平方，只是方法二计算较方法一较简单。先让学生各自在练习本上自行化简，在此过程中，教师一边巡视，一边给予指导和提示，然后选出2位学生的推导过程用投影仪展示出来，并请学生本人作简要陈述．将方程化简为①。教师引导学生思考的几何意义。令，则方程①可化为②。
教师强调：椭圆上任意一点的坐标都满足方程②；反之，以方程②的解为坐标的点与椭圆的两个焦点(c，0)，( c，0)的距离之和为，即以方程②的解为坐标的点都在椭圆上。我们称方程②是椭圆的方程，这个方程叫做椭圆的标准方程。让学生谈对 “标准” 的理解：方程形式最简洁，分析其特征及字母的几何意义。
【设计意图】
类比圆的方程的最简形式与坐标系的关系，根据椭圆的对称性选择最佳建系方法推导椭圆的方程，进而更好地理解标准方程之 “标准” 所在。利用两种常用的平方法推导方程，针对不同基础学生提供分层指导，引导学生在化简时分析方程结构特征，选择对应的化简方法，提高学生的直观想象、数学建模、逻辑推理、数学运算的核心素养。
类比推理，分类讨论
问题4：如果焦点在轴上，原点为焦点的中点，则椭圆方程是否与焦点在轴上的方程有什么不同？
问题4-1：观察椭圆的两种标准方程，如何判断焦点所在的坐标轴？
【师生互动】
教师提出问题4，学生提出利用类比的方法，可以得到椭圆的方程。教师也可以引导学生回答，如果椭圆的焦点在轴上（选取方式不同，调换，轴），只要将方程中的，调换，可得到焦点在轴上的标准方程是。教师提出问题4-1。学生观察、讨论、概括，教师进行点评。总结判断焦点位置的方法：看标准方程中分母的大小，分母大的对应的坐标轴即为焦点所在坐标轴。
【设计意图】
利用类比，化归的思想让学生体会问题的本质所在，只是位置不同，图形是一致的，得出焦点在轴上的椭圆的标准方程，避免繁杂计算。
例题研讨，学以致用
例1、判断下列方程是否为椭圆的标准方程，若是则判断焦点位置，并求焦点坐标。
(2) (3)
例2、写出适合下列条件的椭圆的标准方程：
两个焦点坐标分别是(-4，0)、（4，0），椭圆上一点P到两焦点的距离之和等于10；
两个焦点坐标分别是（0，－2）和（0，2）且过（，）。
例3、已知B，C是两个定点，｜BC｜＝6，且的周长等于16，求顶点A的轨迹方程。
练习：
课本52页：练习1、3
求适合下列条件的椭圆的标准方程。
经过点(2，0)和点(0，1)。
焦点在轴上，与轴的一个交点为P(0，－5)，椭圆的一个焦点为(0，3)。
【师生互动】
教师出示例1，让学生口述焦点坐标，考察学生对椭圆标准方程结构的理解。对于例2引导学生分析已知条件，并思考如何求满足条件的椭圆的标准方程。学生思考、讨论、交流解题思路，自主完成练习，并请3位学生进行板演。教师巡视教室，对学困生进行单独辅导，并对学生的板演结果进行点评。指出易错点（焦点位置需明确，即选对方程），学生自主完成例3时，并请 2 位学生进行板演。并对学生的板演结果进行点评，指出易错点（A、B、C三点共线时不符合题意）。教师追问：你还能用其他方法求例1（2）它的标准方程吗？（分别是定义法和待定系数法）试比较不同方法的特点。
【设计意图】
让生熟练掌握椭圆标准方程的结构特征，并能根据方程中的参数计算出焦点坐标;掌握根据已知条件求椭圆标准方程的方法，提高学生的直观想象、逻辑推理、数学运算等核心素养。通过求点的轨迹方程，让学生掌握解析几何中求点的轨迹方程的方法，提升学生的直观想象和数学运算核心素养。
归纳总结
问题5：在本节课的学习中，经历了怎样的学习历程？
问题5-1：在本节课的学习中，收获了哪些知识？哪些方法？
问题5-2：在本节课的学习中，你还存在哪些困惑？
【师生互动】
学生反思总结，交流表达，教师补充完善。
【设计意图】
培养学生反思总结的能力，引导学生质疑、思考形成知识体系。
布置作业
必做题：教材52页：练习1、2、5。
选做作业：
1.已知圆A：，圆A内一定点B（3，0），圆P过点B且与圆A内切，求圆心P 的轨迹方程。
2.已知两个定点A(-2,0),B(2,0),动点P满足直线PA和直线PB的斜率乘积为，求点P的轨迹方程，并指出该轨迹是什么曲线。
【师生互动】
学生根据自己的实际情况完成作业，教师完成批改点评。
【设计意图】
巩固新知，为后续的学习内容做好铺垫。
板书设计
1.1椭圆及其标准方程 椭圆的定义 椭圆标准方程的推导过程 3. 例题分析 （写要点） 练习 标准方程 焦点在轴上 焦点在轴上
教学反思
继续坚持之处
教学方法上：结合本节课的具体内容和学生的具体情况确立启发探究式教学，体现了认知心理学的基本理论。
学习的主体上：设计问题引领学生参与，给学生的主动参与提供时间和空间，基本做到：凡是学生能够自己观察的、讲的、思考探究的、动手操作的，都尽量让学生自己去做，让学生体会到他们是学习的主体。
学生参与度上：课堂教学真正面向全体学生，让每个学生都享受到发展的权利。在我的启发鼓励下，让学生充分参与进来，进行交流讨论，共同进步。
课程目标的实现上：既关注学生“四基”与“四能”的落地，又关注在这过程中对学生的思政教育和数学核心素养形成的情况。
学法指导上：采用激发兴趣、主动参与、积极体验、自主探究的讲解讨论相结合，鼓励学生发现问题，大胆分析问题和解决问题，进行主动探究学习，形成师生互动的教学氛围。
需要改进之处
本节课课堂容量偏大，从而导致学生在课堂上的思考的时间不够，课堂时间比较紧张。因此今后要合理地安排每一节课的课堂容量，给学生更多的思考时间和空间，提高课堂的效果。
过高估计学生的能力，小组合作推导椭圆标准方程时没能达到预期效果，计划是互教互学，共同进步，并从中体会解决问题的成就感，从而增进学生的合作意识和团队精神，但是因为班上只有一小部分同学基础比较扎实，大部分同学的计算能力不过关，半路夭折。课后，我认为如果能将小组合作问题提前让学生预习，学生在课下就进行研究，并找到自己解决不了的地方，课上小组解决，教师指导，应该会有好的效果。

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