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1.3　公式法
第1课时　用平方差公式因式分解
课题 第1课时　用平方差公式因式分解 授课人
教 学 目 标 1.掌握平方差公式的特点,能熟练地用平方差公式对多项式进行因式分解. 2.在引导学生逆用乘法公式的过程中,培养学生逆向思维的意识和能力. 3.经历探索利用平方差公式进行因式分解的过程,发展学生的逆向思维,感受数学知识的完整性. 4.利用平方差公式因式分解. 5.培养学生良好的互动交流的习惯,体会数学在实际问题中的应用价值.
教学 重点 　　在掌握平方差公式的形式和特点的基础上,熟练地用公式对多项式进行因式分解.
教学 难点 　　变形后套用平方差公式进行因式分解.
授课 类型 新授课 课时
教具 多媒体课件
教学活动
教学 步骤 师生活动 设计意图
回顾 前面我们学习了因式分解的概念及其提公因式法因式分解.下面的问题你能解决吗 1.填空: (1)(a+b)(a-b)=　　　　; (2)(a+b)2=　　　　; (3)(a-b)2=　　　　. 2.下列由左边到右边的变形,属于因式分解的是 (　　) A.3x+3y-5=3(x+y)-5　　 B.(x+1)(x-1)=x2-1 C.x2-9=(x+3)(x-3) D.x2+1=x(x+) 3.用提公因式法将多项式4a2b3-8a4b2+10a3b因式分解,公因式是 (　　) A.2a2b　　　　B.2a2b2　　　　C.4a2b　　　　D.4ab2 　　学生回忆并回答,为本节课做知识储备.
活动 一: 创设 情境 导入 新课 【课堂引入】 请同学们计算下列各式. (1)(a+5)(a-5);　　　(2)(4m+3n)(4m-3n). 运用数学“互逆”的思想,引导学生回答下面的两道题目,寻找规律. 1.因式分解:a2-25. 2.因式分解:16m2-9n. 　　从学生已有的知识出发,激发学生强烈的好奇心和求知欲.
活动 二: 探究 与 应用 【探究】 用平方差公式因式分解 平方差公式:(x+y)(x-y)=x2=x2-y2. 问题1:把x2-y2中的字母x改为2a,字母y改为b,能得到什么样的多项式 怎样把得到的多项式因式分解 问题2:把x2-y2中的字母x改为5a,字母y改为b,能得到什么样的多项式 怎样把得到的多项式因式分解 问题3:把x2-y2中的字母x改为a+b,字母y改为2b,能得到什么样的多项式 怎样把得到的多项式因式分解 问题4:把x2-y2中的字母x改为a+b,字母y改为a-b+1,能得到什么样的多项式 怎样把得到的多项式因式分解 归纳总结:把乘法公式(x+y)(x-y)=x2-y2从右到左使用,就可以把某些形式的多项式因式分解.这种因式分解的方法叫作公式法. 注意:对于平方差公式中的字母x,y,教学中还要强调一下,可以表示数,也可以表示含字母的单项式或多项式等式字子. 通过问题,培养学生转化思维的能力. 经历思考、交流归纳出公式.
【应用举例】 例1　把多项式25x2-4y2因式分解. [解析] 由25x2=(5x)2和4y2=(2y)2可知,25x2-4y2=(5x)2-(2y)2,于是从右到左使用平方差公式,就可以把25x2-4y2因式分解. 解:25x2-4y2=(5x)2-(2y)2=(5x+2y)(5x-2y). 例2　把多项式(x+y)2-(x-y)2因式分解. 解:(x+y)2-(x-y)2=[(x+y)+(x-y)][(x+y)-(x-y)]=2x·2y=4xy. 例3　把多项式x4-y4因式分解. 解:x4-y4=(x2)2-(y2)2=(x2+y2)(x2-y2)=(x2+y2)(x+y)(x-y). 例4　把多项式x5-x3y2因式分解. [解析] 多项式x5-x3y2的各项有公因式x3,故应先提公因式,然后运用公式法进行因式分解. 解:x5-x3y2=x3(x2-y2)=x3(x+y)(x-y). 例5　把多项式x4-9因式分解. 解:x4-9=(x2)2-32=(x2+3)(x2-3)=(x2+3)[x2-()2]=(x2+3)(x+)(x-). 教师活动:启发学生从平方差公式的角度因式分解,请学生上讲台板演. 学生活动:分成小组,合作探究. 　　通过例题的作用,培养学生对整体思想的认识. 使学生明确在进行因式分解时,必须进行到每一个因式都不能分解为止.
【拓展提升】 例6　利用平方差公式说明问题: (1)试说明当n是正整数时,n3-n的值一定是6的倍数; (2)试说明两个连续偶数的平方差能被一个奇数整除; (3)设n为整数,用因式分解说明(2n+1)2-25能被4整除. 教师应注意提醒学生第(2)题怎样去设元.学生合作交流探究这三道题的解法. 　　知识的综合与拓展,提高学生的应考能力.
活动 三: 课堂 总结 反思 【达标测评】 1.填空:81x2-　　　　=(9x+y)(9x-y);x2-0.25y2=　　　　. 2.计算:2012-1992=　　　　. 3.下列多项式中能用平方差公式因式分解的是 (　　) A.a2+(-b)2　　　　　　　　　B.5m2-20mn C.-x2-y2 D.-x2+9 4.把下列多项式因式分解: (1)1-16a2; (2)9a2x2-b2y2; (3)49(a-b)2-16(a+b)2; (4)81a4-b4. 　　通过设置达标测评,进一步巩固所学新知,同时检测学习效果,做到堂堂清.
【课堂总结】 1.课堂小结: 本节课你学到了什么,谈谈你的感受吧! 因式分解应注意分解到每个因式都不能再分解为止. 2.布置作业: (1)教材P11练习T1,T2. (2)教材P13习题1.3T1. 　　系统归纳本节知识点,提高学生归纳问题的能力.
【知识网络】 　　框架图式总结,更容易形成知识网络.
【教学反思】 ①[授课流程反思] 导入时教师要提醒学生如果多项式是二项式,通常考虑应用平方差公式因式分解;如果多项式中有公因式可提,应先提取公因式,而且还要“提”净. ②[讲授效果反思] 运用平方差公式因式分解,首先应注意公式的特征.分析多项式的次数和项数,然后再套用公式. ③[师生互动反思] 教师出示幻灯片后要放手让学生独立思考求解,然后师生共同讨论,纠正学生解题中可能发生的错误,并对各种错误进行评析. ④[习题反思] 好题题号　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 错题题号　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　反思,更进一步提升.
第2课时　用完全平方公式因式分解
课题 第2课时　用完全平方公式因式分解 授课人
教 学 目 标 1.掌握完全平方公式的特点,能熟练地用公式对多项式因式分解.同时进一步培养学生逆向思维的意识和能力. 2.经历探索利用完全平方公式因式分解的过程,感受逆向思维的意义,掌握因式分解的基本步骤. 3.培养学生良好的推理能力,体会“化归”与“换元”的思想方法,形成灵活的应用能力. 4.培养学生严谨的推理能力,以及自主合作的精神.
教学 重点 　　熟练地运用公式法对多项式因式分解.
教学 难点 　　熟练地运用公式法对多项式因式分解.
授课 类型 新授课 课时
教具 多媒体课件
教学活动
教学 步骤 师生活动 设计意图
回顾 上节课我们学习了运用平方差公式因式分解,同学们能解决下面的题目吗 把下列多项式因式分解: (1)-9x2+4y2;(2)(x+3y)2-(x-3y)2;(3)x2-0.01y2. 　　学生回忆并回答,复习巩固前一节的内容.
活动 一: 创设 情境 导入 新课 【课堂引入】 我们已掌握了运用“提公因式法因式分解”和“运用平方差公式因式分解”,其中“运用平方差公式因式分解”是借助于多项式乘法公式中的平方差公式的逆向使用来实现多项式的因式分解的.在多项式乘法中我们还学习了两个完全平方公式:(x+y)2=x2+2xy+y2,(x-y)2=x2-2xy+y2,能应用这两个公式来因式分解吗 　　直接利用复习引入重点.
活动 二: 探究 与 应用 【探究】 运用完全平方公式因式分解 1.填空: (1)(x+y)2=　　　　　　; (2)(x-y)2=　　　　　　. 2.根据乘法公式,你能将多项式x2+2xy+y2与x2-2xy+y2因式分解吗 把整式乘法的完全平方公式(x+y)2=x2+2xy+y2,(x-y)2=x2-2xy+y2的等号两边互换,就得到因式分解的完全平方公式x2+2xy+y2=(x+y)2,x2-2xy+y2=(x-y)2. 问题1:我们把式子x2-2xy+y2中的字母x改为a,字母y改为2,得到多项式a2-4a+4,怎样把a2-4a+4因式分解 若把-4a改为+4a,又怎样因式分解
活动 二: 探究 与 应用 问题2:我们把式子x2-2xy+y2中的字母x改为a,字母y改为,得到多项式a2-3a+,怎样把a2-3a+因式分解 若把-3a改为+3a呢 问题3:我们把式子x2-2xy+y2中的字母x改为2a,字母y改为2,得到多项式4a2-8a+4,怎样把4a2-8a+4因式分解 若把-8a改为+8a呢 问题4:我们把式子x2-2xy+y2中的字母x改为x2,字母y不变,得到什么样的多项式 怎样把得到的多项式因式分解 问题5:我们把式子x2-2xy+y2中的字母x改为a+b,字母y改为6,得到什么样的多项式 怎样把得到的多项式因式分解 归纳总结: 1.能用完全平方公式因式分解的多项式的特点: (1)多项式是三项式; (2)其中有两项同号,且此两项能写成两数或两式的平方和的形式; (3)另一项是这两数或两式乘积的2倍或-2倍. 2.两项的平方和,加上(或减去)这两项的乘积的2倍,等于这两项的和(或差)的平方. 　　学生独立思考、合作交流,在前一节学习运用平方差公式因式分解经验的基础上,总结运用完全平方公式因式分解的方法.
【应用举例】 例1　把多项式9x2-6x+1因式分解. [解析] 由于9x2=(3x)2,1=12,2·3x·1=6x,因此9x2-6x+1符合完全平方公式(x-y)2=x2-2xy+y2右边的形式,于是从右到左使用完全平方公式(x-y)2=x2-2xy+y2,就可把9x2-6x+1因式分解. 解:9x2-6x+1=(3x)2-2·3x·1+12=(3x-1)2. 例2　把下列多项式因式分解: (1)-4x2+12xy-9y2;　　　　　(2)x5+2x3y+xy2. 解:(1)-4x2+12xy-9y2=-(4x2-12xy+9y2)=-[(2x)2-2·2x·3y+(3y)2]=-(2x-3y)2. (2)x5+2x3y+xy2=x(x4+2x2y+y2)=x[(x2)2+2·x2·y+y2]=x(x2+y)2. 例3　把多项式x4-2x2+1因式分解. 解:x4-2x2+1=(x2)2-2·x2·1+12=(x2-1)2=[(x+1)(x-1)]2=(x+1)2(x-1)2. 例4　把下列多项式因式分解: (1)(x+y)2-4(x+y)+4; (2)(a-b)2+12(a-b)+36. [解析] (1)中,将x+y看作一个整体,则原式可以运用完全平方公式因式分解; (2)中,将a-b看作一个整体,则原式可以运用完全平方公式因式分解. 解:(1)(x+y)2-4(x+y)+4=(x+y)2-2·(x+y)·2+22=(x+y-2)2. (2)(a-b)2+12(a-b)+36=(a-b)2+2·(a-b)·6+62=(a-b+6)2. 　　充分发挥例题的作用,要学生熟悉解题步骤与格式.
【拓展提升】 例5　若二项式x2+4加上一个单项式后成为一个完全平方式,则这样的单项式共有 (　　) A.2个　　　　B.3个　　　　C.4个　　　　D.5个 例6　已知-3y=x+2z,求x2-9y2+4z2+4xz的值. 例7　已知x+y=7,xy=10,求下列各式的值: (1)x2+y2;(2)(x-y)2. 　　此栏目给学生创造了一个知识运用迁移及巩固的机会,使学生各抒己见,并培养学生分析问题、解决问题的能力.
活动 三: 课堂 总结 反思 【达标测评】 1.下列各式中,能用完全平方公式因式分解的是 (　　) A.4x2-1　　B.4x2+4x-1　　C.x2-xy+y2　　D.x2-x+ 2.若4x2-mx+9是完全平方式,则m的值是 (　　) A.3 B.4 C.12 D.±12 3.把下列多项式因式分解: (1)x2y2-2xy+1;(2)a2+a+;(3)4-12(a-b)+9(b-a)2. 　　通过设置达标测评,进一步巩固所学新知,同时检测学习效果,做到堂堂清.
【课堂总结】 1.课堂小结: 由于多项式的因式分解与整式乘法正好相反,因此把整式乘法公式反过来写,就得到多项式因式分解的公式,主要的有以下三个:x2-y2=(x+y)(x-y);x2+2xy+y2=(x+y)2,x2-2xy+y2=(x-y)2. 师生讨论:在运用公式因式分解时,要注意每个公式的形式与特点,通过对多项式的项数、次数等的总体分析来确定是否可以用公式法因式分解以及用哪个公式因式分解,通常情况下,当多项式是二项式时,考虑用平方差公式因式分解;当多项式是三项时,应考虑用完全平方公式因式分解;在有些情况下,多项式不一定能直接用公式法因式分解,需要进行适当的组合、变形、代换后,再使用公式法因式分解. 2.布置作业: (1)教材P13习题T1,T2. (2)教材P13习题1.3T2. 　　结合上节因式分解的方法加以总结,培养学生综合运用多种方法因式分解的能力.
【知识网络】 　　框架图式总结,更容易形成知识网络.
【教学反思】 ①[授课流程反思] 导入时注意引导学生关注公式的结构特征. ②[讲授效果反思] 学生通过例题的学习及练习,自己总结在综合运用提公因式法和运用公式法因式分解时要注意的问题和解题步骤,可由1名或几名学生回答,互相补充,教师归纳. ③[师生互动反思] 师生共同讨论后形成共识:(1)如果多项式各项有公因式,应先提公因式,再进一步分解;(2)因式分解必须分解到每个因式都不能再分解为止;(3)因式分解的结果必须是几个整式的积的形式.我们可以用整式乘法检查因式分解的结果是否正确. ④[习题反思] 好题题号　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 错题题号　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　反思,更进一步提升.

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