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2.2　分式的加法和减法
第1课时　同分母分式的加减法
课题 第1课时　同分母分式的加减法 授课人
教 学 目 标 1.熟练掌握同分母分式的加减运算. 2.掌握分式的符号变换法则. 3.体验知识的化归思想和思维的灵活性,培养学生整体思考、分析问题的能力. 4.会解决有关同分母分式相加减的计算问题. 5.让学生充分参与到数学学习的过程中,使学生在整体思考中开阔视野,渗透化归、对立统一的辩证观点.
教学 重点 　　同分母分式的加减运算.
教学 难点 　　对于互为相反数的分母,先通过变换符号变成同分母分式,再进行分式加减法的混合运算.
授课 类型 新授课 课时
教具 多媒体
教学活动
教学 步骤 师生活动 设计意图
回顾 回顾小学学过的同分母分数的加、减法. +=　1　;-= 　. 　　温故知新,为本节课的类比学习打下基础.
活动 一: 创设 情境 导入 新课 【课堂引入】 针对上述分数的计算,我们从同分母分数的加减法中得出法则:　同分母的分数相加减,分母不变,把分子相加减　. 由于分式的计算与分数相似,那么对于同分母分式的加减,是否也存在类似的计算方法呢 请大家思考. 　　类比同分母分数的加减,让学生归纳同分母分式的加减的方法,激发学生探究的热情.
活动 二: 探究 与 应用 【探究】 同分母分式的加、减法运算法则 给出小学数学中一道简单的分数加法题目. 计算:+=　2　;+=　1　. 将分数类比为分式,用类似的方法进行计算: (1)+= 　;(2)-= 　;(3)-= 　. 教师提问:(1)计算的结果是什么 (2)你是怎样做的 怎样想的 (引导学生概括)同分母分式加减法的运算法则: 同分母的分式相加减,分母不变,把分子相加减. 　　运用类比的方法,从学生熟知的知识入手,有利于学生接受新知识. 通过学生的探究、归纳总结,让学生充分参与到数学学习的过程中,体会学习的乐趣.
【应用举例】 例1　计算:(1)+;(2)-. 变式一:(同分母分式相减,减式的分子是多项式时一定要把这个多项式添加括号) 计算:-=　1　. 变式二:(注意分式减法的符号变化和约分) 计算:-.[答案:] 变式三:(多个同分母分式加减,分母不变,分子相加减,最后将结果化为最简分式或整式) 计算:-+.[答案:] 例2　计算:+. 变式四:(加法运算通过分母变号变成减法计算) 计算:+.[答案:]
活动 二: 探究 与 应用 变式五:(固定一个分母,改变其他所有分母的符号,使之全部变成同分母分式) 计算:+-. [答案:-] 变式六:(交换偶次方的各项的位置,分式的值不变,在计算过程中能够采用公式的尽量采用公式,降低难度) 计算:+-.[答案:1] 　　通过例题教学,使学生掌握基础知识和基本的运算方法,掌握解决数学问题的基本技能,增强学生解决问题的能力.
【拓展提升】 例3　若a是有理数,则m=-+-+一定不是 (D) A.正整数　　　B.负整数　　　C.负分数　　　D.0 例4　计算:+-.[答案:] 　　从分母及符号的变形中去综合知识,提高学生分析问题、解决问题的能力,培养学生的变形意识和应变能力.
活动 三: 课堂 总结 反思 【达标测评】 教材P32练习T1,T2. 　　实时训练,实时指点,能有针对性地掌握课堂效果,能有效地弥补学生掌握知识的缺陷.
【作业布置】 教材P36习题2.2 T1. 　　根据内容,重点设置作业,巩固课堂教学效果.
【知识网络】 　　框架图式总结,更容易形成知识网络.
【教学反思】 ①[授课流程反思] 新课导入从数的计算方法去体现“式”的类似计算方法,采用类比的思想,让学生轻松自如,在欢快的环境中减少学习压力,为分式加减的计算及分母的变形做好充分的准备. ②[讲授效果反思] 在通过改变分母的符号变成同分母的过程中,让学生掌握符号变化规律,在知晓规律的情况下进行加减,注意在教学中要突出结果为最简分式或整式,也就是说要将结果进行化简. ③[师生互动反思] 由于教学时联系到小学的计算,在教学设计中让学生感受到自己很棒,提高自信心,增强学生对同分母分式的加减运算的学习乐趣. ④[习题反思] 好题题号　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 错题题号　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　反思,更进一步提升.
第2课时　通　分
课题 第2课时　通　分 授课人
教 学 目 标 1.理解最简公分母和分式通分的意义. 2.能正确、熟练地将异分母分式通分. 3.让学生养成对分母因式分解的过程学习的思考. 4.培养学生利用不同分式的分母去寻找公因式的方法解决问题的思考. 5.利用分解因式和寻找公因式的方法去解决实际问题. 6.通过数学的学习活动,培养学生积极主动的学习品质,体验“数学的分解”与寻找内涵的本质特征.
教学 重点 　　如何根据分式的不同分母去找最简公分母.
教学 难点 　　分母是多项式的分式的通分.
授课 类型 新授课 课时
教具 多媒体
教学活动
教学 步骤 师生活动 设计意图
回顾 1.多项式因式分解的方法: (1)提取公因式法:　am+an=a(m+n)　; (2)平方差公式:　a2-b2=(a+b)(a-b)　; (3)完全平方公式:　a2±2ab+b2=(a±b)2　. 2.数2,4,6的最小公倍数是　12　. 　　回忆与本节教学内容有关的知识点,为突破本节难点做准备.
活动 一: 创设 情境 导入 新课 【课堂引入】 发动学生计算:(1)+= 　; (2)-= 　. 在计算后请同学们想一想: (1)(1)中的分母相同吗 (2)中的分母相同吗 (2)你是如何将它变成相同的呢 　　让学生通过分数的加减运算联系到分式的加减运算,从而激发学生强烈的好奇心和求知欲,引入本节课所要研究的内容.
活动 二: 探究 与 应用 【探究1】 如何确定最简公分母 从【课堂引入】来看,需先对两个分数进行通分,化成同分母的分数,再进行加减.(1)中分母2,3的最小公倍数是6;(2)中分母3,5的最小公倍数是15,然后分别乘不同的数使得每个分数的分母变成相同,如+=+;-=-. 若将上述的分数变成分式,将分母改成含字母的式子,将如何呢 如:把下面的分式化为同分母分式: (1),;(2),. 将异分母的分式变成同分母的分式的关键是找最简公分母,那么如何去找最简公分母呢 一般取各个分母的所有因式的最高次幂的积作为公分母(这样的公分母称为最简公分母). 确定最简公分母的方法: (1)取各分母系数的最小公倍数; (2)凡单独出现的字母都连同它的指数作为最简公分母的一个因式; (3)同底数幂取次数最高的,得到的因式的积就是最简公分母. 【探究2】 通分 通分:(1),;(2),;(3),. 步骤:(1)取各分式的分母中系数的最小公倍数; (2)各分式的分母中出现的所有字母或因式都要取到; (3)相同字母(或因式)的幂取指数最大的; (4)所得的系数的最小公倍数与各字母(或因式)的最高次幂的积(其中系数都取正数)即为最简公分母. 分析:分式的通分,即要求把几个异分母的分式分别化为与原来的分式相等的同分母的分式.通分的关键是确定几个分式的公分母;分式的分母是多项式时,应先将各分母分解因式,然后再按上述方法确定公分母. 归纳:利用分式的基本性质,把异分母的分式化成同分母的分式的过程,叫作分式的通分. 　　从教学的两个主要内容——找分式的最简公分母和通分去实施探究活动,让学生从问题的探究中概括寻找最简公分母的方法和通分的步骤,让学生参与活动,在快乐的学习中掌握规律.
活动 二: 探究 与 应用 【应用举例】 例1　把分式与通分. 例2　把分式与通分. 例3　把分式与通分. 变式一:(分别将每个分式的分母因式分解后,再找最简公分母) ,,的最简公分母是 (D) A.(x+3)2(x+2)(x-2) B.(x2-9)(x+2) C.(x2-9)2(x-4) D.(x+3)(x-3)(x+2)(x-2) 变式二:(因式分解寻找最简公分母时,注意符号的变化) 把分式,,通分. 解:最简公分母是3(a-3)2(a+3), =, =, =. 　　应用与变式相结合,便于巩固提高,培养学生解决问题的能力. 通过类比式的变式,让学生体验知识的相互联系,为学生变化性学习与拓展性学习打下基础,从而抓住重点,突破难点. 教师要引导学生充分讨论,让知识的深度应用得到充分的发挥.
【拓展提升】 例3　分别把下列各组分式通分: (1),,; (2),,. 解:(1)==, ==, ==. (2)=, =-, =. 　　从基础题入手训练,给学生充足的时间和空间思考、讨论,必要时进行恰当引导,帮助学生综合拓展.
活动 三: 课堂 总结 反思 【达标测评】 教材P34练习T1,T2. 　　实时训练,实时指点,能有针对性地掌握课堂效果,能有效地弥补学生掌握知识的缺陷.
【作业布置】 教材P36习题2.2 T2. 　　根据内容,重点设置作业,巩固课堂教学效果.
【知识网络】 　　框架图式总结,更容易形成知识网络.
【教学反思】 ①[授课流程反思] 引入新课时,通过复习小学知识以达到温故而知新的目的.教师要注意激发学生的学习兴趣. ②[讲授效果反思] 在讲解教材例题时,教师要注意引导学生对解题方法及步骤进行讨论,培养学生养成整理数学问题的习惯. ③[师生互动反思] 在讲解教材例题时,可以让学生畅所欲言,互相补充,以此完善寻找最简公分母及通分的方法与步骤. ④[习题反思] 好题题号　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 错题题号　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　反思,更进一步提升.
第3课时　异分母分式的加减法
课题 第3课时　异分母分式的加减法 授课人
教 学 目 标 1.理解与掌握异分母分式的加减法法则,并能熟练地运用法则进行分式的混合运算. 2.对通过通分把异分母分式转化为同分母分式进行加减运算的思考. 3.全面分析分式运算法则及其混合运算顺序的思考. 4.通过将异分母分式转化为同分母分式,提高学生正确利用分式加减混合运算去解决实际的计算问题的能力. 5.让学生在实际的计算中体验分式加减中分母变形的重要性. 6.让学生在学习活动中感受分式的化归思想与分式加减及分式的约分、化简、求值等问题息息相关,让学生认识到知识是相互联系、相互统一的一个整体.
教学 重点 　　异分母分式的加减法.
教学 难点 　　异分母分式的加减混合运算.
授课 类型 新授课 课时
教具 多媒体
教学活动
教学 步骤 师生活动 设计意图
回顾 1.通分:(1),,;(2),,. 2.同分母的分式加减运算: (1)+= 　;(2)-= 　; (3)-= 　. 教师提问:1.计算的结果是什么 2.你是怎样做的 怎样想的 　　温故知新,为本节课的讲述做铺垫.
活动 一: 创设 情境 导入 新课 【课堂引入】 对于下列问题,请帮林林算一算: 林林家距离学校1千米,骑自行车需要a分钟.若某一天林林从家里出发晚了2分钟,则他每分钟应多骑多少千米才能使到达学校的时间和往常一样 (教师通过课件展示问题,引导学生积极动脑解决问题) 我们不妨观察-中的两项,它们不是同分母的分式,提出困惑:不是同分母分式的加减运算该如何进行呢 大家不妨先把它们化为同分母分式,然后试试看. 　　让学生经历将实际问题转化为数学问题的建模过程,激发学生探究的热情.
活动 二: 探究 与 应用 【探究】 异分母分式的加减 给出小学数学中一道简单的分数加法题目. 计算:+=　2　;+= 　. 通过上述两道题,能否对分式进行类比计算呢 问题:(1)+= (2)+= (3)-= 引导学生概括:(异分母分式加减的法则) 先通分,把异分母分式化为同分母的分式,然后再根据同分母分式的加减法法则进行计算. 议一议:(下面是两位同学将异分母的分式加减化成同分母的分式加减) 小明:+=+=+==; 小亮:+=+==. 小明认为,只要把异分母的分式化成同分母的分式,异分母分式的加减问题就变成了同分母分式的加减问题. 小亮同意小明的这种看法,但他俩的具体做法不同. 你对这两种做法有何评判 与同伴交流. 　　运用类比的方法,从学生熟知的知识入手,有利于学生接受新知识. 通过学生的自我探究、归纳总结,让学生充分参与到数学学习的过程中,体会学习的乐趣.
活动 二: 探究 与 应用 发现:异分母分式的加减同分母分式的加减. 教师提醒学生:通分的关键是找最简公分母.先通分,化成同分母分式,再进行加减运算.
【应用举例】 例1　计算:(1)-;(2)-+. 变式一:计算:+. 解:原式=+=. 变式二:计算:+. 解:原式=+=. 例2　计算:(1)+;(2)-. 变式三:计算:-. 解:-==. 变式四:计算:+-. 解:原式=+-===. 例3　计算:x+1+. 变式五:计算:-x+y. 解:-x+y=-==. 　　例题教学使学生掌握基础知识、基本的运算方法,以及解决数学问题的基本技能,增强学生解决问题的能力. 例题的教学让学生掌握基本的数学语言、规范的书写格式,提高学生综合进行计算及处理数、式的变化能力.
【拓展提升】 例4　观察下列各式: -==,-==,…,-=. 根据上式所反映出来的规律,计算:+++…+. 解: +++…+=(1-+-+-+…+-)=(1-)=. 例5　计算:+-. 解:原式=--=-=+=+==. 　　学生在掌握基础知识和基本技能的基础上,怀着浓厚的兴趣去进行深层次的合作探究,体验解决问题的过程,提高了思维能力. 培养学生分析问题和解决问题的能力,完成由实践上升到理论这一认知过程.
活动 二: 探究 与 应用 例6　已知+=,求AB的值. 解:因为+===,所以解得所以AB=-1.
活动 三: 课堂 总结 反思 【达标测评】 教材P36练习T1,T2. 　　实时训练,实时指点,能有针对性地掌握课堂效果,能有效地弥补学生掌握知识的缺陷.
【作业布置】 教材P36习题2.2T3,T4,T5,T6. 　　根据内容,重点设置作业,巩固课堂教学效果.
【知识网络】 　　框架图式总结,更容易形成知识网络.
【教学反思】 ①[授课流程反思] 教师提出的要求要明确,由学生自主探索出分式加减法的运算法则及字母表示形式.教师切忌大包大揽. ②[讲授效果反思] 教师引导学生寻找解决问题的突破口,由师生共同完成.由分层练习提高学生的抽象表达能力,让学生体会数学符号语言的精练.锻炼学生运用法则解决问题的能力,使他们既准确又有速度,提高学生的计算能力. ③[师生互动反思] 师生共同完成例题,使学生感受到自己很棒,自己能够通过思考学会新知识,提高自信心.让学生进一步体会同分母分式的加减运算. ④[习题反思] 好题题号　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 错题题号　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　反思,更进一步提升.

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