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指数函数
第1课时 指数函数的图像和性质
教学目标：
1．通过实际问题了解指数函数的实际背景；理解指数函数的概念和意义，根据图象理解和掌握指数函数的性质；体会具体到一般数学研究方法及数形结合的思想。
2.通过借助计算器画出具体指数函数的图像和性质，使学生探索并理解指数函数的图像和性质。
3．通过本节学习，培养学生的数学运算、直观想象和数学抽象的能力。
教学重、难点：
重点：指数函数的概念、图像和性质。
难点：指数函数性质的归纳，概括及其应用。
学法与教具：
学法：观察法、合作探究法
教具：多媒体
教学过程
引入新课
问题1：某种细胞分裂时，由1个分裂成2个，2个分裂成4个……1个这样的细胞分裂x次后，请你写出得到的细胞个数y与x的函数关系式。
分裂次数 细胞个数
……
由上面的对应关系，我们可以归纳出，第次分裂后，细胞的个数为.
问题2：我国古代庄子《天下篇》记载有这样一段话：一尺之棰，日取其半，万世不竭。设棰的长度为1，请你写出x天剩下的长度y与x的函数关系式。
时间 剩余长度
经过1天
经过2天
经过3天
……
由上面的对应关系，我们可以归纳出，经过天后，剩下的长度
这里的与是不是以前所学过的函数呢？它们的图像和性质如何呢？
设计意图：创设情境，让学生感受到数学知识源于生活，激发学生学习兴趣，为引出课题作准备。
新知探究
探究一、指数函数的定义
学生活动：函数与的共同特征有哪些？
设计意图：让学生体验数学概念是怎样得出的，有利于提炼出指数函数的概念。
讨论结果：对于两个解析式我们看到每给自变量x一个值，y都有唯一确定的值和它对应，且它们的自变量x都在指数的位置上，它们的底数都大于0，但一个大于1，一个小于1，2与虽然不同，但它们是两个函数关系中的常量，因为变量只有x和y．
对于上述两个解析式，我们把两个函数关系中的常量用一个字母a来表示，这样我们得到指数函数的定义:
一般地，函数y=ax(a>0，a≠1)叫做指数函数，其中x叫自变量，因为a>0，x可以取任意的实数，所以指数函数的定义域是实数集R．
学生活动：定义中为什么明确规定a>0，a≠1
设计意图：让学生全面认识和理解指数函数的概念。
讨论结果：当a=0时，x>0时，ax总为0；x≤0时，ax没有意义．
当a<0时，如a=－2，x=，ax=(－2)=显然是没有意义的．
当a=1时，ax恒等于1，没有研究的必要．
因此规定a>0，a≠1．
练习 判断下列函数是否是一个指数函数？
y=x2，y=8x，y=2·4x，y=(2a－1)x(a>，a≠1)，y=(－4)x，y=πx，y=6x+2．
活动：学生观察，小组讨论，尝试解决以上题目，学生紧扣指数函数的定义解题，因为y=x2，y=2·4x，y=6x+2都不符合y=ax的形式，教师强调y=ax的形式的重要性，即a前面的系数为1，a是一个正常数（也可是一个表示正常数的代数式），指数必须是x的形式或通过转化后能化为x的形式．
解：y=8x，y=(2a－1)x(a>，a≠1)，y=πx是指数函数；y=x2，y=2·4x，y=(－4)x，y=6x3+2不是指数函数．
设计意图：让学生更加深刻理解指数函数的概念。
探究二、指数函数的图像和性质
学生活动：画出函数与的图像.
列表
x －3.00 －2.00 －1.00 0.00 1.00 2.00
y=2x 1 2 4
作图如下：
列表
x －3.00 －2.00 －1.00 0.00 1.00 2.00
y=()x 8 4 2 1
作图如下：
学生讨论：1.两个函数图像的相同点有哪些？
2.两个函数图像的不同点有哪些？
设计意图：分组画图，提高课堂效率，以突破难点，培养学生分析问题的能力和数形结合的能力。
讨论结果：1.都位于x轴的上方，都过点（0，1），左右无限延伸.
2.函数的图像是上升的，函数的图像是下降的.
(学生课后完成：画出函数y=3x，y=6x，y=()x，y=()x的图像，观察函数图象的特点.)
抽象概括
一般地，指数函数y=ax在底数a＞1及0＜a＜1这两种情况下的图象和性质如下表所示：
a＞1 0＜a＜1
图象
性质 定义域：R
值域：（0，+∞）
过定点（0，1），即x=0时y=1
在R上是增函数，当x＜0时，0＜y＜1；当x＞0时，y＞1 ④在R上是减函数，当x＜0时，y＞1；当x＞0时，0＜y＜1
设计意图：使学生对指数函数的图像和性质从感性认识上升到理性认识，培养学生的抽象概括能力。
例题解析
例1 比较下列各题中的两个值的大小:
（1）1.72.5与1.73；(2)0.8－0.1与0.8－0.2；(3)1.70.3与0.93.1．
解法一：用计算器直接计算：1.72.5≈3.77，1.73≈4.91，
所以1.72.5<1.73．同理0.8－0.1<0.8－0.2，1.70.3>0.93.1．
解法二：利用函数单调性
（1）1.72.5与1.73的底数是1.7，它们可以看成函数y=1.7x，当x=2.5和3时的函数值；因为1.7>1，所以函数y=1.7x在R上是增函数，而2.5<3，所以1.72.5<1.73；
（2）0.8－0.1与0.8－0.2的底数是0.8，它们可以看成函数y=0.8x，当x=－0.1和－0.2时的函数值；因为0<0.8<1，所以函数y=0.8x在R上是减函数，而－0.1>－0.2，所以0.8－0.1<0.8－0.2；
（3）因为1.70.3>1，0.93.1<1，所以1.70.3>0.93.1．
例2 （1）求使不等式成立的的集合；
（2）已知，求实数的取值范围.
分析：（1）先将不等式两边化成同底的幂，再利用函数单调性求解；
分底数a＞1和0设计意图：实践运用，及时巩固所学知识，使学生进一步深化理解指数函数的概念、性质。
课堂练习
1．比较a=0.80.7，b=0.80.9，c=1.20.8的大小．
2．比较a与a的大小（a＞0且a≠0）．
3．函数y=ax+5(a>0，a≠1)恒过定点________．
设计意图：在练习中查漏补缺，及时巩固；对学生核心素养的达成情况进行评价反馈，为改善课堂教学策略及方法提供依据。
课堂小结
1．指数函数的定义．
2．指数函数的图象和性质．
3．利用函数的图象说出函数的性质，即数形结合的思想，它是一种非常重要的数学思想和研究方法．
4．利用指数函数的单调性比较几个数的大小，特别是中间变量法．
设计意图：总结本节课知识，有利于学生系统掌握所学内容，培养学生善于总结、归纳的能力。
布置作业
设计意图：分层次布置作业，让不同层次学生都学有所获，提高学生的应用能力.
教学反思：在指数函数图像和性质的教学中，引导学生通过列表法画出特殊指数函数的图像，并通过观察图像的变化规律，抽象概括出一般指数函数的图像、定义域、值域、单调性等性质，加深对指数函数图像和性质的理解，培养数形结合的思想方法。

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