资源简介

任意角和弧度制
教材分析：
三角函数是高中数学函数主线上的一个重要的板块，是高中阶段最典型的周期函数。
本节课复习内容包括：角的概念，弧度制，任意角的三角函数，三角函数线.其中，角的概念，涉及到将锐角范围推广到任意角，是后面表示任意角、研究任意角三角函数值的基础；弧度制，将角度制下的角对应到实数，为后面定义三角函数做好铺垫；任意角的三角函数，则是借助单位圆，利用比值定义的方式，建立了角的集合与实数集之间的一一对应关系；三角函数线的引入，从几何图形的角度，让三角函数值的计算更加直观.
学情分析：
任意角、弧度制与任意角的三角函数，是高一学习的内容。从前段时间综合试卷的考试情况来看，学生对任意角（特别是角度范围的表示）存在许多困惑，对弧度制表示角还不能很好的适应，对一些特殊角的三角函数值存在混淆的情形。
通过对学生练习和考试情况进行分析，学生对相关知识遗忘较为严重。本节内容整体难度不大，通过教师的讲解，学生应逐步建立知识体系。
教学目标：
回忆角的概念，会判断象限角和终边相同的角；
能借助弧度制下的角，计算扇形的弧长、面积等；
掌握三角函数线的概念，能应用它分析与角的范围、三角函数值的范围相关的问题.
教学重点：
概念梳理：象限角，终边相同的角，三角函数线
公式使用：角度制、弧度制下的角的转化公式，扇形弧长、面积公式.
教学难点：
利用三角函数线研究三角函数值（取值范围）.
教具使用：
教学PPT
板书设计
标题：任意角、弧度制与任意角的三角函数 角的分类： 终边相同的角： 角的转化公式： 任意角三角函数的定义： （教室一体机） 扇形弧长： 扇形面积： 三角函数线： （解题过程板书）
教学流程：
一问一答，梳理知识
角是如何形成的？
角的定义：角可以看成平面内 绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的 ．
角的符号是如何确定的？角的分类一：角按旋转方向分为 、 和 ．
何为象限角？我们所学习的角都是象限角吗？这些类型的角该如何表示？
角的分类二：按照角的终边所处的位置分为 和 ．
-300°是第几象限角？
495°转化为弧度制下的角该如何表示？
半径为1cm，圆心角为135°的扇形，其周长为多少？面积呢？
三角函数值是如何定义的？各象限角与其三角函数值的符号与有何联系？
sinα＝ ，cosα＝ ，tanα＝ (x≠0)
三角 函数 定义域 第一象 限角 第二象 限角 第三象 限角 第四象 限角
sinα ＋ ＋ － －
cosα ＋ － － ＋
tanα ＋ － ＋ －
你能将sin70°，cos70°，tan70°按从小到大的顺序排列吗？
考点探究，明晰规律
考点一　象限角与终边相同的角
例1(1)若角α的顶点为原点，始边在x轴的非负半轴上，终边在直线y＝－x上，则角α的所有取值的集合是(　　)
A．B．
C．D．
(2)集合中的角所表示的范围(阴影部分)是(　　)
1.表示区间角的三个步骤
1先按逆时针方向找到区域的起始和终止边界.
2按由小到大分别标出起始和终止边界对应的－360°～360°范围内的角α和β，写出最简区间.
3起始、终止边界对应角α，β再加上360°的整数倍，即得区间角集合.
2.象限角的两种判断方法
1图象法：在平面直角坐标系中，作出已知角并根据象限角的定义直接判断已知角是第几象限角.
2转化法：先将已知角化为k·360°＋α0°≤α<360°，k∈Z的形式，即找出与已知角终边相同的角α，再由角α终边所在的象限判断已知角是第几象限角.
3.求或nθn∈N*所在象限的方法
1将θ的范围用不等式含有k表示.
2两边同除以n或乘以n.
3对k进行讨论，得到或nθn∈N*所在的象限.
(1)设集合M＝，N＝，那么(　 )
A．M＝N B．M N C．N M D．M∩N＝
(2)已知角α的终边在图示阴影表示的范围内(不包括边界)，则角α用集合可表示为 ．
考点二　扇形的弧长、面积公式
例2　(1)已知扇形的周长是4 cm，则扇形面积最大时，扇形的圆心角的弧度数是(　　)
A．2 B．1 C． D．3
(2)若圆弧长度等于该圆内接正三角形的边长，则圆弧所对圆心角的弧度数是________．
(1)如果一个圆的半径变为原来的一半，而弧长变为原来的倍，则该弧所对的圆心角是原来的 倍．
(2)弧长为3π，圆心角为135°的扇形半径为 ，面积为 .
考点三　任意角的三角函数的定义
命题视角1　　三角函数的定义
例3角θ的终边经过点P(4，y)，且sinθ＝－，则tanθ＝(　　)
A．－ B． C．－ D．
三角函数的定义主要应用于两方面
(1)已知角的终边上一点P的坐标，则可先求出点P到原点的距离，然后用三角函数的定义求解三角函数值，特别地，若角α的终边落在某条直线上，一般要分类讨论．
(2)已知角α的某个三角函数值，可依据三角函数值设出角α终边上某一符合条件的点的坐标来解决相关问题．
已知角θ的顶点与原点重合，始边与x轴的非负半轴重合，终边在直线y＝2x上，则cos2θ－sin2θ＝(　　)
A．－　　 　B．－　 　　C．　 　　D．
命题视角2　三角函数的符号
例4　若sinαtanα<0，且<0，则角α是(　　)
A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角
在平面直角坐标系xOy中，角α以Ox为始边，终边经过点P(－1，m)(m≠0)，则下列各式的值一定为负的是(　 　)
A．sinα＋cosα B．sinα－cosα C．sinαcosα D．
命题视角3 三角函数线的应用
例5函数y＝lg(3－4sin2x)的定义域为________．
已知α∈，a＝sinα，b＝cosα，c＝tanα，那么a，b，c的大小关系是c>b>a.
课后自测
（1）角－870°的终边所在的象限是(　 　)
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
（2）将－300°化为弧度为(　 　)
A．－π B．－π C．－π D．－π
（3）已知角α的终边过点P(－1,2)，则sinα＝(　 　)
A． B． C．－ D．－
（4）下列与的终边相同的角的集合中正确的是(　 　)
A．{α|α＝2kπ＋45°，k∈Z} B．
C．{α|α＝k·360°－315°，k∈Z} D．
（5）已知扇形的圆心角为60°，其弧长为2π，则此扇形的面积为 .
4.课堂小结：
会用集合形式表示象限角和终边相同的角；
理解三角函数线在研究三角函数值时的重要作用；
掌握角度制与弧度制下的角的转化公式，掌握扇形弧长和面积公式.

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