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第13章 三角形的边角关系专题讲义
沪科版数学八年级上册
1、三角形中的重要线段
ⅰ从三角形的一个顶点到它对边所在直线的垂线段叫作三角形的高线,也叫作三角形的高
【三角形三条高线或延长线交于一点，为该三角形的垂心】
ⅱ三角形中,一个角的平分线与这个角对边相交,顶点与交点之间的线段叫作三角形的角平分线
【三角形三条角平分线交于一点，为该三角形的内心】
ⅲ三角形中,连接一个顶点与它对边中点的线段叫作三角形的中线
【三角形三条中线交于一点，这个交点就是三角形的重心】
角平分线模型：
①“内内模型”【模型结论】∠BPC=90°+
在△ABC中，∠B和∠C的角平分线交于一点P，则∠BPC与∠A存在的数量关系？
证明思路：
在△ABC中，∠ABC+∠ACB=180°-∠A
又∵BP平分∠ABC,CP平分∠ACB
∴∠PBC=，∠PCB=
在△PBC中，∠BPC=180°-（∠PBC+∠PCB）=180°-（+）
=180°-（180°-∠A）=90°+
②“内外模型”
已知B、C、D三点在同一直线上，在△ABC中，∠ABC的内角平分线与外角∠ACD的角平分线交于点P，问∠P与∠A存在的数量关系？【模型结论】∠P=
证明思路：
∵BP平分∠ABC,CP平分∠ACD
∴∠ABC=2∠PBC,∠ADC=2∠PCD
∵∠ACD和∠PCD分别是△ABC和△PBC的外角
∴∠ACD=∠A+∠ABC，∠PCD=∠PBC+∠P
∴∠A+∠ABC=2（∠PBC+∠P）
∠A+∠ABC=2∠PBC+2∠P
∴∠A=2∠P
③“外外模型”
△ABC的外角平分线BP和CP交于点P，问∠BPC与∠C的数量关系？【模型结论】∠P=90°-
证明思路：
∵∠HBC和∠ICB是△ABC的外角
∴∠HBC+∠ICB=∠A+∠ACB+∠ABC+∠A=180°＋∠A
∵BP、CP分别平分∠HBC和∠ICB
∴∠PBC= ，∠PCB=
∴∠PBC+∠PCB=+=（∠HBC+∠ICB）=（180°＋∠A)=90°+
在△BPC中
∴∠BPC=180°-（∠PBC+∠PCB)=90°-
1.如图，将三角形纸片ABC按下面四种方式折叠，则AD是△ABC的高的是( )
2.如图,在△ABC中,AD是高,AE是∠BAC的平分线.若∠B=α,∠C=β,则∠DAE=( )
如图,BD是△ABC的中线,点E,F分别为BD,CE的中点.若△AEF的面积为4.则△ABC的面积是
（ ▲ ）
A.16
B.12
C.10
D.8
4.如图,△ABC中,点E是BC上一点,EC=2BE,点D是AC的中点,若则=_________.
5、如图，AD，AE，AF分别是△ABC的高线，角平分线和中线，
(1)下列结论：①BF=AF， ②∠BAE=∠CAE，③④∠C与∠CAD互余，其中正确的是 (只填序号)；
(2)若∠C=56°，∠B=36°，求∠DAE的度数；
(3)若∠C>∠B，直接写出∠DAE与∠C，∠B 之间的数量关系。
6.如图，在平面直角坐标系中，直线y=-x+b分别交x轴、y轴的正半轴于A，B两点，且.
(1)b的值为 .
(2)F(m,n)为第二象限内的一点,连接FA,交y轴于点D,连接FB,则△ABF的面积为(用含m，n的式子表示) .
7. 如图,在 Rt△ABC 中,∠ACB=90°,点 D 在AB 边上,将△CBD沿CD折叠,使点 B恰好落在AC 边上的点E处.若∠A=27°,则∠CDE= °.
8.如图，在△ABC中，∠ABC，∠ACB的平方线交于点O，∠BOC=130°.
(1)∠A的度数为 .
(2)若CD平分外角ACF，交BO的延长线于点D，点E是△ABC的两外角平分线的交点，则∠E ∠D的度数为 .
9.如图,已知△ABC中,BC=6,AC=10.
(1) 画 AC 边上的中线 BD,并求 AD长;
(2) 画 BC 边上的高 AH,若AH=5,求的面积.
如图,在△ABC中,点D在边AB上，点E在BC的延长线上，射线EA与射线CD 相交于点F，∠BAG是△ABC的外角.现有以下三个选项：( ②∠CEF=∠CFE；③AF平分∠BAG.请你从中选择两个作为条件，剩下的一个作为结论，构成一个真命题，并加以证明.
条件: ,结论: .(填序号)
11.如图,AD是△ABC的高,CE是△ACB的角平分线,F是AC的中点,
(1)求∠AEC的度数;
(2)若△BCF与△BAF的周长差为3,AB=7,能否求出BC的值 若能,请写出理由和结果；若不能，请你补充条件并解答.
12.如图1, 已知.A，B两点同时从点O出发，点A沿射线ON运动，点B沿射线OM 运动.
(1) 如图2, 点C为三条内角平分线交点，连接BC，AC ，在点A，B的运动过程中，∠ACB的度数是否发生变化 若不发生变化，求其值；若发生变化，请说明理由；
(2)如图3，在(1)的条件下，连接OC 并延长，与∠ABM 的角平分线交于点P，与AB交于点Q.①∠P与∠BAO的数量关系为 .
②在△BCP中，如果有一个角是另一个角的求∠BAO的度数.
13.如图,点D在△ABC的边BC上,连接AD.
(1)如图1,M为AD的中点.
①若CD=3BD,记△ABD,△CMD的面积分别为,,求:的值.
②若,∠MCD=∠MDC,求∠AMC的度数.(用含α的式子表示)
(2)如图2,若△ABD与△ACD的周长相等,设BC=a,AC=b,AB=c.求BD的长(用含a,b,c的式子表示)
14.如图,在△ABC中,∠BAC=,点D在边AC上,DE⊥BC于点E,BM为△ABC的角平分线,∠ADE的平分线交BC于点G.
(1)如图1,延长AB,交DG于点F,若BM∥DG,∠F=30°.求的度数.
(2)如图2,当，DG与MB的延长线交于点H，用含的代数式表示
∠BHD，并说明理由.
(3)如图3,若90°180°,DG与线段BM交于点N,用含的代数式表示∠BND,并说明理由.
答案
A 2. A 3. A 4. 9
5.（1）②③④
在△ABC中，∠B=36°，∠C=56°
∴∠BAC=180°-36°-56°=88°
∵AE平分∠BAC
∴∠EAC=∠BAC=×88°=44°
∵AD⊥BC
∴∠ADC=90°
∴∠DAC=90°-56°=34°
∴∠EAC-∠DAC=44°-34°=10°
即∠DAE=10°
∠DAE=（∠E-∠B）
6.（1）4（2）8-2m-2n
7. ∠CDE=72°
8. (1) ∠A=80°(2) ∠E-∠D=10°
9. (1) 画AC边上的中线BD：取AC中点D，连接BD，则AD=AC。
已知AC=10，故AD=5
(2) △ABC的面积公式为×底×高，以BC为底、AH为高：
=×6×5=15
10. 条件：①CD⊥AB，②∠CEF=∠CFE；结论：③AF平分∠BAG
证明：
∵CD⊥AB，∴∠CDB=90°，则∠B+∠BCD=90°。
又∠ACB=90°，∴∠ACD+∠BCD=90°，故∠B=∠ACD。
∵∠CEF=∠CFE，且∠CEF=∠B+∠BAE，∠CFE=∠ACD+∠CAF，
∴∠BAE=∠CAF，即AF平分∠BAG。
11. (1) ∵CE平分∠ACB，∠ACB=46°，∴∠ACE=23°。
∵AD是高，∠BAD=65°
∴∠B=25°
∴∠BAC=180°-∠B-∠ACB=109°
在△AEC中：
∠AEC=180°-∠BAC-∠ACE=48°
(2) 能
证明如下：
∵F是AC中点
∴AF=CF
△BCF与△BAF的周长差为：
(BC+CF+BF)-(AB+AF+BF)=BC-AB
已知周长差为3，AB=7，
∴BC-7=3
得BC=10
12. (1) ∠ACB的度数不变，值为120°
理由：
在△ABO中，∠MON=60°
∴∠OAB+∠OBA=120°。
∵C是△ABO内角平分线交点
∴∠CAB=∠OAB，∠CBA=∠OBA，
∴∠CAB+∠CBA=60°
故∠ACB=180°-60°=120°
(2) ①∠P=∠BAO
②∠BAO的度数为60°或90°
设∠P=x
当∠P=2∠BCP时，则∠BCP=x
∵x+x=90°
解得x=60°
∴∠BAO=2∠P=120°
∵∠BOA+∠BAO+∠OBA＞180°
不满足题意，舍去
当∠P=∠BCP时，则∠BCP=x
∵x+2x=90°
解得x=30°
∴∠BAO=2∠P=60°
当∠P=∠CBP=45°时，
∴∠BAO=2∠P=90°
13. 解题过程
(1) ① :=2:3
理由：
∵CD=3BD
∴:=1:3
∵M是AD中点
∴=，
因此:=1:=2:3
② ∠AMC=3
理由：
∠B=2∠BAD=，故∠BAD=，∠ADC=；
∵∠MCD=∠MDC=，
∴∠AMC=∠MCD+∠MDC=3
(2) BD=理由：
△ABD与△ACD周长相等，故AB+BD=AC+CD，
∵CD=BC-BD=a-BD，
代入得c+BD=b+(a-BD)，解得BD=
14. (1)=60°
理由：
DG平分∠ADE，BM∥DG，∠F=30°，故∠ABM=30°，
BM是角平分线，∠ABC=60°，结合角度关系得∠BAC=60°
(2)
∵BM平分∠ABC,DH平分∠ADE
设∠ABM=∠CBM=x,∠ADH=∠EDH=y
∵∠DEG=90°
∴∠DGE=90°-∠EDH=90°-y
∴∠HGB=90°-y
又∵∠BHD=∠CBM-∠HGB=x-（90°-y)①
在四边形ABED中，∠A+∠ABE+∠DEB+∠ADE=360°
∴+2x+90°+2y=360°
∴+2（x+y)=270°
把①式代入得+2（∠BHD+90°）=270°
∴∠BHD=45°-
(3) ∠BND=225°-
理由：
∵DG平分∠ADE，BM平分∠ABC，
设∠ABM=∠CBM=x,∠ADG=∠EDG=y
在四边形ABED中
∵∠A+∠ABE+∠BED+∠ADE=360°
∴+2x+90°+90°+2y=360°
在四边形ABND中
∵∠A+∠ABM+∠BND+∠ADN=360°
∴+x+∠BND+y=360°
∴∠BND=225°-
时间：45分钟　满分：60分
1. 如图,在△ABC中,AD是BC边上的高,AE平分求的度数.
2. 如图, △ABC中, ∠1=∠2, G为AD中点, 延长BG交AC于E, 且满足BE⊥AC, F为AB上一点，且CF⊥AD于点H；下列判断：
①线段AG是△ABE的角平分线；
②△ABG与△DBG的面积相等;
③线段AE 是△ABG的边 BG上的高;
④线段 GE 是△ADC的边AD上的中线.
其中正确的个数是（ ▲ ）
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
3. 如图,在中，∠ABC与∠ACB 的平分线交于点P，根据下列条件，求的度数.
(1)若则
(2)从上述计算中，我们能发现： (用含∠A的式子表示)，并说明理由.
4如图,在△ABC中,BE⊥AC于点E,AF是∠CAB的平分线,交BE于点F,∠C=75°,∠CBA=35°,
求∠AFB的度数.
5.如图,在△ABC中,BO,CO分别平分∠ABC,∠ACB,CE为外角∠ACD的平分线,交BO的延长线于点E.
(1)求证:∠A=2∠E.
(2)试探究∠BOC与∠E之间的数量关系，并说明理由.
6、如图, 在△ABC中, BE是角平分线,点D在边AB上(不与点 A,B 重合) , 连接CD交BE于点O.
(1) 若CD是中线, BC=3, AC=2,求△BCD与△ACD 的周长差;
(2) 若CD是高, ∠ABC=64°,求∠BOC的度数.
7.如图1,线段AD,BC 相交于点O,连接AB,CD,我们把形如图1的图形称为“8字形”.
(1)求证:
(2)如图2,点M是线段AO上一点,连接CM,求的度数；
(3)如图3,点E是DC延长线上一点,与的平分线交于点P，试猜想与∠D之间的数量关系，并说明理由.
8.如图, 和有一条公共边BC，BP平分CP平分
(1)如图1,若点P是AB与CD的交点,且,
①直接写结果:∠ABD-∠ACD的度数是 °;
②求∠BPC 的度数;
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(2)如图2,点A,D分别是射线BM和CN 上的动点,点P在△ABC与外,当∠MBC+时,请探究∠BPC与∠BAC,∠BDC 之间的数量关系
答案
1. 求∠DAE的度数
在△ABC中，∠B=45°，∠C=72°
则∠BAC=180°-∠B-∠C = 180°-45°-72°=63°
∵AE平分∠BAC，
∴∠BAE=∠BAC=31.5°
∵AD是高，
∴∠ADB = 90°
在△ABD中，∠BAD=180°-90°-45°=45°
∴∠DAE=∠BAD-∠BAE=45°-31.5°=13.5°
2. 正确判断的个数
①：∠1=∠2，AD是∠BAE的平分线，∴AG是△BAE的角平分线（正确）
②：G是AD中点，△ABG与△DBG等底等高，面积相等（正确）
③：BE⊥AC，即AE⊥BG，故AE是△ABG边BG上的高（正确）
④：G是AD中点，但GE不对应△ADC的中线（错误）
正确个数为3，选C
3. 求∠BPC的度数【内内模型】
(1)∠ABC+∠ACB=180°-∠A=180°-68°=112°
BP、CP平分∠ABC、∠ACB，故∠PBC+∠PCB=×112°=56°
∠BPC=180°-56°=124°
(2) 公式：∠BPC=90°+∠A
理由：∠PBC+∠PCB=(∠ABC+∠ACB)=(180°-∠A)=90°-∠A
故∠BPC=180°-(90°-∠A)=90°+∠A
4. 求∠AFB的度数
在△CAB中，∠C=75°，∠CBA=70°
则∠CAB=180°-∠C-∠CBA=180°-75°-35°=70°
∵AF平分∠CAB
∴∠FAB = ×70°=35°
∵BE⊥AC
∴∠AEB = 90°
在△AEF中，∠AFE =180°-90°-35°=55°
∴∠AFB=180°-∠AFE =180°-55°=125°
5. 证明与数量关系
(1) 证明∠A=2∠E：
∵CE平分∠ACD，BO平分∠ABC，
∴∠ECD=∠ACD，∠EBC =∠ABC
∵∠ECD是△EBC的外角，
∴∠E=∠ECD-∠EBC =∠ACD-∠ABC=(∠ACD-∠ABC)
又∵∠ACD是△ABC的外角
∴∠ACD-∠ABC=∠A
∴∠E=∠A
即∠A=2∠E
(2) ∠BOC与∠E的关系：∠BOC=90°+∠E
理由：
由第3题结论，∠BOC= 90°+∠A
由(1)知∠A =∠E，故∠BOC=90°+∠E
第6题
(1) ∵CD是中线，∴AD=BD。
△BCD的周长=BD+BC+CD，
△ACD的周长=AD+AC+CD，
周长差=(BD+BC+CD)-(AD+AC +CD)=BC-AC=3-2=1。
∵BE是角平分线，∠ABC=64°
∴∠OBC=∠ABC=32°。
又∵CD是高，∴∠BDC=90°，
在△BOD中，∠BOD=180°-90°-32°=58°，
∴∠BOC=180°-58°=122°。
第7题
(1) 证明：
在△AOB中，∠A+∠B+∠AOB=180°
在△COD中，∠C+∠D+∠COD=180°
又∵∠AOB=∠COD（对顶角相等）
∴∠A+∠B=∠C+∠D
(2)
∵∠BOD是△AOB的外角
∴∠BOD=∠A+∠B
又∵∠COD是△MCO的外角
∴∠COD=∠OMC+∠OCM
∵∠BOD+∠COD=180°
即∠A+∠B+∠OMC+∠OCM=180°
(3) 数量关系：∠P=90°-(∠A+∠D)。
理由：
∵BP平分∠ABC，CP平分∠BCE，
∴∠PBC=∠ABC，∠PCB=∠BCE，
又∵∠BCE=180°-∠BCD，
∠P=180°-（∠PCB+∠PBC）=180°-∠BCE-∠ABC=180°-(180°-∠BCD）-∠ABC
=90°+∠BCD-∠ABC，
由(1)知∠A+∠B=∠C+∠D
即∠A+∠ABC=∠BCD+∠D
∠BCD -∠ABC=∠A-∠D，
所以∠P=90°+∠BCD-∠ABC=90°+(∠A-∠D)。
第8题
(1) 图1相关计算
① ∠ABD-∠ACD的度数：
在△ABD和△ACD中，由对顶角相等（∠APD=∠BPC），得：
∠A+∠ACD=∠D+∠ABD（外角的性质）
故∠ABD-∠ACD=∠A-∠D=87°-78°=9°
② 求∠BPC的度数：
∵BP平分∠CBD、CP平分∠ACB
设∠PBC=∠PBD=x，∠PCB=∠PCA=y
∵∠A+∠ACP=∠D+∠PBD
∴∠A+y=∠D + x
即87°+y=78°+x①
在△DBC中
∠D+∠DBC+∠DCB=180°
即87°+2x+y=180°②
联立①②，可解得方程组
化简得：∠BPC=180°- 34°-43°=103°
(2) 图2中∠BPC与∠BAC、∠BDC的数量关系
已知∠MBC +∠NCB = 64°，则∠ABC+∠DCB=64°
∵BP平分∠CBD，CP平分∠ACB，
∴∠PBC=∠CBD，∠PCB =∠ACB。
∠BPC=180°-(∠PBC +∠PCB)=180°-(∠CBD+∠ACB)
又∠CBD=180°-∠BDC-∠NCB，∠ACB=180°-∠MBC-∠BAC
∴∠BPC=180°-(180°-∠BDC-∠NCB)-(180°-∠MBC-∠BAC)
=∠BAC + ∠BDC+∠NCB+∠MBC
=∠BAC + ∠BDC+32°

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