资源简介

等 差 数 列
一、教学内容分析
等差数列在生活中有着广泛的应用，是在学生学习了函数、数列的有关概念和数列通项公式的基础上，是学生进一步理解、掌握函数思想，学生探究特殊数列的开始，为今后学习等比数列提供了“联想”、“类比”的思想方法。它对后续内容的学习，无论在知识上，还是在方法上都具有积极的意义。
二、学生学习情况分析
我所教的是我校高二的学生，经过了一年多的学习，大部分学生知识经验已较为丰富，具备了较强的抽象思维能力和演绎推理能力，但也有一部分学生的基础较弱，学习数学的兴趣还不是很浓，所以我在授课时针对个体差异，注重从具体的生活实例出发，注重引导、启发、研究和探讨以符合这类学生的心理发展特点，从而促进思维能力的进一步发展。
三、设计思想
1．教法
⑴诱导思维法：有利于学生对等差数列的概念进行主动建构；有利于突出重点，突破难点；在学生参与到知识的形成过程中，有利于调动学生的主动性和积极性，发挥其创造性，诱导学生进行理性分析与推导，从而得出通项公式。
⑵分组讨论法：如何判断一个数列是否为等差数列，学生分组交流探究出判别方法。
⑶讲练结合法：对等差数列的通项公式及时巩固，抓住重点，突破难点。
2．学法
引导学生首先从三个现实问题给出的数组特点并抽象概括出等差数列的概念；接着就等差数列定义的特点，推导出等差数列的通项公式；可以对各种能力的同学引导认识多元的推导思维方法。
用多种方法对等差数列的通项公式进行推导。 在引导分析时，留出“空白”，让学生去联想、探索，同时鼓励学生大胆质疑，围绕中心各抒己见，把思路方法和需要解决的问题弄清。
四、教学目标
（1）理解和掌握等差数列的概念；能用定义法在3分钟内判断某一数列是否为等差数列，准确率为95% 。
（2）能在3分钟内写出已知首项和公差的任意一个等差数列的通项公式，准确率为95%。
（3）学生在教师的引导下，通过对特殊数列的分析，研究得到等差数列的概念，提高观察、探究与发现规律的能力。
（4）学生在教师的引导下，通过等差数列通项公式的推导，提高分析，比较、概括、归纳、推理能力。
五、教学重点与难点
重点：
①等差数列的概念。
②等差数列的通项公式的推导过程及应用。
难点：
理解等差数列“等差”的特点及通项公式的含义。
六、教学过程：
教学情景的设计：
1．小明觉得自己英语成绩很差，目前他的单词量只 yes,no,you,me,he 5个他决定从今天起每天背记10个单词，那么从今天开始，他的单词量逐日增加，依次为：5，15，25，35，…
（问：多少天后他的单词量达到3000？）
2．小芳觉得自己英语成绩很棒，她目前的单词量多达3000她打算从今天起不再背单词了，结果不知不觉地每天忘掉5个单词，那么从今天开始，她的单词量逐日递减，依次为：3000，2995，2990，2985，…
（问：多少天后她那3000个单词全部忘光？）
从上面两例中，我们分别得到两个数列
① 5，15，25，35，… 和 ② 3000，2995，2990，2980，…
请同学们仔细观察一下，看看以上两个数列有什么共同特征？？
·共同特征：从第二项起，每一项与它前面一项的差等于同一个常数（即等差）；（误：每相邻两项的差相等——应指明作差的顺序是后项减前项），我们给具有这种特征的数列一个名字——等差数列
（把学生的回答写在黑板上，通过反例的说明，让学生深刻的理解这四组数列的共同特征：1、同一常数， 2、从第二项起）
T：用数学符号语言：
S4： HYPERLINK "http://www." EMBED Equation.3 - HYPERLINK "http://www." EMBED Equation.3 =d
T：等价么？
S5：应加上（d是常数） n≥2,n∈N*
（让学生充分进行讨论，注意文字描述与符号描述的严谨性）
T：对式子进行变形可得： HYPERLINK "http://www." EMBED Equation.3 = HYPERLINK "http://www." EMBED Equation.3 +d（d是常数） n≥2,n∈N*
，如果我们能跳出d的思维定势，能得到很多的公式变形。（为今后更好的研究其特征，埋下伏笔）
T：这样的数列在你日常生活中存在？
S：举例： 1，2，3，4，5，6，7 ，··· ( http: / / www. ) d=1
10，15，20，25，30，35，40 d=5
d=-10
（让学生举例，加深对数列的感性认识）
T：满足这样特征的数列很多，所以我们有必要为这样的数列取一个名字？
S：等差数列
（让学生给出数学的定义，并有自己的语言进行交流。当然也允许学生 ( http: / / www. )提出“等加数列”等的说法，教师可进行比较，差有利于加一加进行消项等）
定义：一般的，如果一个数列从第二项起，每一项与前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫等差数列，d为公差。 HYPERLINK "http://www." EMBED Equation.3 为数列的首项。
HYPERLINK "http://www." EMBED Equation.3 ， HYPERLINK "http://www." EMBED Equation.3 ， HYPERLINK "http://www." EMBED Equation.3 ，··· HYPERLINK "http://www." EMBED Equation.3 ···（n≥2, ( http: / / www. ),n∈N*）
（提出课题《等差数列的概念（一）》）
（对定义进行分析，强调：1、同一常数， 2、从第二项起。同时在学生的举例中改动几个数，问学生破坏定义的什么要求，注意对数列概念的严谨性分析。3, 从数列中取出连续的有限个让学生观察还是不是等差数列）
T：我们把问题推广到一般情况。若一个数列 HYPERLINK "http://www." EMBED Equation.3 ， HYPERLINK "http://www." EMBED Equation.3 ， HYPERLINK "http://www." EMBED Equation.3 ，···，an ，···是等差数列，它的公差是d，那么数列{ an }的通项公式是什么？
方法1． n=2 HYPERLINK "http://www." EMBED Equation.3
n=3 HYPERLINK "http://www." EMBED Equation.3
n=4 HYPERLINK "http://www." EMBED Equation.3
·····
HYPERLINK "http://www." EMBED Equation.3
当n=1时，也成立。
（归纳、猜想。培养学生合情推理的能力）
方法2。 HYPERLINK "http://www." EMBED Equation.3 用累加得 HYPERLINK "http://www." EMBED Equation.3 ， 当n=1时，也成立。
整理得： HYPERLINK "http://www." EMBED Equation.3 n∈N*[来源:www.]
（回过来再说明等差的优点，体现用等差概念的优势，化繁为简，化腐朽为神奇，体现“数学之美”；并让学生自由的交流，进行“再创造”，可推出 HYPERLINK "http://www." EMBED Equation.3 ，n、m∈N*
第二通项公式 ：
由上述关系还可得：
即：
则：=
即的第二通项公式 ∴ d=
如：
例题讲解
例1 ⑴求等差数列8，5，2…的第20项
⑵ -401是不是等差数列-5，-9，-13…的项？如果是，是第几项？
解：⑴由
n=20，得
⑵由
得数列通项公式为：
由题意可知，本题是要回答是否存在正整数n，使得成立解之得n=100，即-401是这个数列的第100项
例2 在等差数列中，已知，，求,,
解法一：∵，，则
∴
解法二：∵
∴
小结：第二通项公式
练习：
1.求等差数列3，7，11，……的第4项与第10项.
2．求等差数列10，8，6，……的第20项.
小结 ： 通过本节学习，首先要理解与掌握等差数列的定义及数学表达式：－=d ，（n≥2，n∈N）.其次，要会推导等差数列的通项公式：，并掌握其基本应用.最后，还要注意一重要关系式：和=pn+q (p、q是常数)的理解与应用.
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