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第49讲 直线与椭圆的位置关系
【基础回顾】
知识点1．点与椭圆的位置关系
已知点P(x0，y0)，椭圆＋＝1(a>b>0)，则
(1)点P(x0，y0)在椭圆内 ＋<1；
(2)点P(x0，y0)在椭圆上 ＋＝1；
(3)点P(x0，y0)在椭圆外 ＋>1．
知识点2．直线与椭圆位置关系的判断
已知直线y＝kx＋m，椭圆＋＝1，联立得(b2＋a2k2)x2＋2a2kmx＋a2m2－a2b2＝0，
若该一元二次方程的判别式为Δ，则
Δ>0 有两个交点 相交；
Δ＝0 有一个交点 相切；
Δ<0 无交点 相离．
知识点3．弦长公式
设直线与椭圆的交点坐标为A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则|AB|＝|x1－x2|＝
或|AB|＝|y1－y2|＝，
k为直线的斜率且k≠0．
【必备知识】
已知椭圆＋＝1(a＞b＞0)：
(1)通径的长度为．
(2)A1，A2为椭圆的长轴端点，P是椭圆上异于A1，A2的任一点，则kPA1·kPA2＝－．
(3)AB是椭圆的不平行于对称轴的弦，O为原点，M为AB的中点，则kOM·kAB＝－．
(4)过原点的直线交椭圆于A，B两点，P是椭圆上异于A，B的任一点，则kPA·kPB＝－．
(5)点P(x0，y0)在椭圆上，过点P的切线方程为＋＝1．
题型一 直线与椭圆的位置关系
(1)利用判别式处理直线与椭圆的位置关系的步骤
(2)对于过定点的直线，也可以通过定点在椭圆内部或椭圆上判定直线和椭圆有公共点．
【例题精讲】
1．已知椭圆C：1，则椭圆C上的点到直线l：x+2y﹣25＝0的距离的最大值为（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解答】解：法（i）设椭圆C上的点为P（3cosθ，2sinθ），
则点P到直线l的距离为，其中，
由sin（θ+φ）∈[﹣1，1]，故椭圆C上的点到直线l的距离的最大值为．
法（ii）设与直线l：x+2y﹣25＝0平行且与椭圆相切的直线为x+2y+m＝0，m≠﹣25，
则，整理可得：25y2+16my+4m2﹣36＝0，
Δ＝162m2﹣4×25×（4m2﹣36）＝0，可得m＝±5，
即所求的直线方程为x+2y±5＝0，
可得与直线x+2y﹣25＝0的距离为6或4，
所以椭圆上的点到直线l的距离的范围为[4，6]．
所以椭圆上的点到直线的最大距离为6．
故选：D．
2．直线kx+y+2k﹣1＝0（k∈R）与椭圆交点个数为（　　）
A．1 B．2 C．1或2 D．无法确定
【答案】C
【解答】解：因为直线方程为kx+y+2k﹣1＝0（k∈R），
即y﹣1+k（x+2）＝0，
所以直线过定点（﹣2，1），
将点（﹣2，1）代入椭圆的方中，
可得，
所以此定点在椭圆上．
即直线与椭圆有1个或2个交点．
故选：C．
3．若直线l：y＝x+m与椭圆C：没有公共点，则m的取值范围为（　　）
A．（﹣2，2） B．（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞）
C． D．
【答案】D
【解答】解：由，整理可得：14x2+18mx+9m2﹣45＝0，
故Δ＝324m2﹣56（9m2﹣45）＜0，解得或，
即实数m的取值范围为（﹣∞，）∪（，+∞）．
故选：D．
4．已知直线l：x＝m（y﹣3）与曲线有两个公共点，则m的取值范围是　　 ．
【答案】．
【解答】解：曲线可变形为，其中x≥0，
又直线l：x＝m（y﹣3）过定点（0，3），
联立，
消x可得：，
当直线l与曲线C相切时，，
则，
又m＜0，
则，
由图可得：当直线l与曲线C有两个公共点，m的取值范围是．
故答案为：．
5．已知直线l：y＝x﹣3与椭圆相交，则C的长轴长的取值范围是 　　 ．
【答案】．
【解答】解：联立，消去y并整理得5x2﹣6x+9﹣4m＝0，
此时Δ＝36﹣20（9﹣4m）＞0，
解得，
易知椭圆C的长轴长为4，
所以椭圆C的长轴长的取值范围为．
故答案为：．
题型二 弦长问题
求弦长的方法
(1)当弦的两端点的坐标易求时，可直接利用两点间距离公式求解．
(2)当直线的斜率存在时，可利用弦长公式求解，但利用弦长公式时不要忽略判别式应大于0．
提醒：运用弦长公式时，设直线方程也很考究．若直线经过的定点在纵轴上，一般设为斜截式方程y＝kx＋t；若直线经过的定点在横轴上，一般设为x＝my＋n．
【例题精讲】
1．已知F是椭圆的左焦点，经过坐标原点的直线与C交于P，Q两点，若|PF|＝2|QF|，则|PQ|＝（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【解答】解：设F′为C的右焦点，连接PF′，QF′，如图，
因为PQ与FF'互相平分，所以四边形PFQF′为平行四边形，
所以|QF|＝|PF′|，由椭圆定义知，|PF|+|PF′|＝2|QF|+|QF|＝4，
所以，，
在△PFF′中，，
所以．
在△PQF中，|PQ|2＝|PF|2+|QF|2﹣2|PF||QF|cos∠PFQ
，解得|PQ|．
故选：C．
2．已知椭圆C：的一个焦点是F，过原点的直线与C相交于点A，B，△ABF的面积是，则|AB|＝（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【解答】解：因为椭圆C的方程为，
所以a＝3，b＝1，c＝2，
易知直线AB的斜率存在，
设直线AB的方程为y＝kx，
此时S△ABF＝S△OBF+S△AOF|xB﹣xA|，
联立，消去y并整理得（9+k2）x2﹣9＝0，
由韦达定理得，
所以，
解得k＝±6，
则|AB|．
故选：D．
3．已知椭圆的焦点为F，过坐标原点的直线与椭圆C交于A，B两点，若|AF|＝2|BF|，则|AB|＝（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【解答】解：已知椭圆的坒駡点为F，过坐标原点的直线与椭圆C交于A，B两点，
取椭圆的右焦点为F1，根据椭圆的对称性可知|BF|＝|AF1|，
则四边形AFBF1为平行四边形，
根据椭圆的定义得|AF|+|AF1|＝|AF|+|BF|＝2a＝6，
又|AF|＝2|BF|，
所以|AF|＝4，|AF1|＝|BF|＝2，
在三角形AFF1中，，
在三角形AFB中，，
解得．
故选：A．
4．已知F1、F2是椭圆的两个焦点，点M在C上，则的最小值为　　 ．
【答案】．
【解答】解：F1，F2是椭圆C：的两个焦点，点M在C上，|MF1|+|MF2|＝6，
所以，
当且仅当|MF1|＝|MF2|＝3时，取等号，
所以的最小值为．
故答案为：．
5．已知椭圆，过C的右焦点作x轴的垂线交C于A，B两点，则|AB|＝　3　 ．
【答案】3．
【解答】解：由题可得椭圆C的右焦点F（1，0），
则过右焦点F（1，0）与x轴垂直的直线方程为x＝1，
将x＝1代入椭圆C的方程，可得，
解得：或，
所以|AB|＝3．
故答案为：3．
题型三 中点弦问题
解决圆锥曲线“中点弦”问题的方法
【例题精讲】
1．过点M（1，1）作斜率为的直线与椭圆相交于A，B，若M是线段AB的中点，则（　　）
A． B． C． D．2
【答案】B
【解答】解：设A（x1，y1），B（x2，y2），又M（1，1）是AB中点，
所以x1+x2＝2，y1+y2＝2，直线AB的斜率，
联立，
两式相减得，
即，所以，
即，故．
故选：B．
2．已知椭圆内一点P（1，2），则以P为中点的弦所在直线的斜率为（　　）
A． B． C．﹣8 D．8
【答案】A
【解答】解：设以P（1，2）为中点的弦的两个端点为A（x1，y1），B（x2，y2），
则x1+x2＝2，y1+y2＝4，
因为A、B在椭圆上，所以，
两式相减得，即，
将x1+x2＝2，y1+y2＝4代入，得，
化简得，
进一步得到（x1﹣x2）+8（y1﹣y2）＝0，
所以弦所在直线的斜率．
故选：A．
3．已知椭圆，若椭圆E上存在关于直线y＝2x+m对称的两点A，B，则实数m的取值范围是（　　）
A．（﹣1，1） B．[﹣1，1] C． D．
【答案】C
【解答】解：设A（x1，y1），B（x2，y2），AB的中点为M（x0，y0）．
因为，，所以，故．
因为点M（x0，y0）在椭圆内，故，即﹣1＜x0＜1．
又点M（x0，y0）在直线AB上，所以，即．
故选：C．
4．已知椭圆C：1，过点P（2，1）的直线交椭圆C于A，B两点，若P为AB的中点，则直线AB的方程为　3x+2y﹣8＝0　 ．
【答案】3x+2y﹣8＝0．
【解答】解：已知椭圆C：1，过点P（2，1）的直线交椭圆C于A，B两点，若P为AB的中点，
设点A（x1，y1），B（x2，y2），
由中点坐标公式可得，
所以，
由，
两式作差得0，
整理得，
即 kAB，
所以kAB，
因此直线AB的方程为y﹣1（x﹣2），
即3x+2y﹣8＝0．
故答案为：3x+2y﹣8＝0．
5．直线l过点M（﹣1，1）且与椭圆相交于A、B两点，若线段AB的中点为M，则直线l的斜率为　　 ．
【答案】．
【解答】解：直线l过点M（﹣1，1）且与椭圆相交于A、B两点，
设A（x1，y1），B（x2，y2）为直线与椭圆的交点，且M（﹣1，1）为AB中点，
∴，
∵A，B满足椭圆方程，
∴，两式相减得0，
∴0，
整理得k．
故答案为：．
题型四 直线与椭圆的综合问题
(1)求解直线与椭圆的综合问题的基本思想是方程思想，即根据题意，列出有关的方程，利用代数的方法求解．为减少计算量，在代数运算中，经常运用设而不求的方法．
(2)直线方程的设法，根据题意，如果需要讨论斜率不存在的情况，则设直线方程为x＝my＋n避免讨论；若所研究的直线的斜率存在，则可设直线方程为y＝kx＋t的形式；若包含平行于坐标轴的直线，则不要忘记斜率不存在的情况的讨论．
【例题精讲】
1．已知椭圆的离心率为，焦距为2．
（1）求椭圆C的方程；
（2）求椭圆C中以为中点的弦所在的直线方程．
【答案】（1）；
（2）3x+2y﹣4＝0．
【解答】解：（1）设椭圆C的半焦距为c，则由题意，
解得c＝1，a＝2，所以b2＝a2﹣c2＝4﹣1＝3，
所以椭圆C的方程为；
（2）设椭圆C中以为中点的弦为AB，且A（x1，y1），B（x2，y2），
因为点A、B在椭圆上，所以，
两式相减得，
即，即，
因为点P是弦AB的中点，所以，
所以，即，
所以中点弦AB的斜率为，
则中点弦AB的方程为，即3x+2y﹣4＝0．
2．已知直线l：y＝kx+2（k≠0）与椭圆C：1（a＞b＞0）在第一象限交于A，B两点，E为线段AB的中点，O为坐标原点，直线AB，OE的斜率之积为．
（1）求椭圆C的离心率；
（2）若直线l与x轴，y轴分别相交于M，N两点，且|MA|＝|NB|，|AB|，求椭圆C的方程．
【答案】（1）．
（2）．
【解答】解：（1）依题意得k＜0，设A（x1，y1），B（x2，y2），
直线l与椭圆C交于A，B两点，线段AB的中点为E，则，
∴，∴，
kAB，，
又直线AB与直线OE的斜率乘积为，
∴，则离心率
（2）因为直线l与x轴，y轴分别相交于M，N两点，且|MA|＝|NB|，
E为线段AB的中点，所以E为线段MN的中点，
直线l：y＝kx+2（k≠0）与x轴，y轴的交点为，N（0，2），
所以，所以，
又，所以或（舍去），
所以直线，又椭圆C，
由，消去y整理得，
由Δ＝24（b2﹣2）＞0，得b2＞2，又，，
所以，所以b2＝3，则a2＝4，
所以椭圆C的方程为．
3．如图，已知椭圆过点P（3，1），焦距为，斜率为的直线l与椭圆C相交于异于点P的M，N两点，且直线PM，PN均不与x轴垂直．
（1）求椭圆C的方程；
（2）若，求MN的方程；
（3）记直线PM的斜率为k1，直线PN的斜率为k2，证明：k1k2为定值．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）由题意得，解得，
故椭圆C的方程为．
（2）设直线l的方程为，M（x1，y1），N（x2，y2），
联立，消去y得4x2﹣6mx+9m2﹣36＝0，
由Δ＝（6m）2﹣144（m2﹣4）＞0，得，
则．
，
解得m＝2或m＝﹣2，
当m＝﹣2时，直线l的方程为；
当m＝2时，直线经过点P（3，1），不符合题意，舍去．
所以当时，MN的方程为．
（3）证明：直线PM，PN均不与x轴垂直，所以x1≠3，x2≠3，则m≠0且m≠2，
所以
，
所以k1k2为定值．
4．已知椭圆的离心率，短轴长为2，不经过右顶点的直线l与该椭圆相交于A，B两点．
（1）求椭圆C的方程；
（2）若以AB为直径的圆恒过该椭圆的右顶点，试判断直线l是否过定点？若过定点，求出该定点的坐标；若不过定点，请说明理由．
【答案】（1）；
（2）直线l过定点，理由如下：
由（1）可得，椭圆C的又顶点为M（2，0），当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y＝kx+m，
联立，消去y得（1+4k2）x2+8kmx+4m2﹣4＝0，
Δ＝64k2m2﹣4（1+4k2）（4m2﹣4）＞0，即m2＜1+4k2，
设A（x1，y1），B（x2，y2），则，，
所以y1+y2＝k（x1+x2）+2m，
，
因为以AB为直径的圆恒过该椭圆的右顶点，所以，所以，
即（x1﹣2，y1） （x2﹣2，y2）＝x1x2﹣2（x1+x2）+4+y1y2
，
即5m2+16km+12k2＝0，即（m+2k）（5m+6k）＝0，
所以m＝﹣2k或，
当m＝﹣2k时，直线l的方程为y＝kx﹣2k＝k（x﹣2），则直线AB过又顶点，不符合题意；
当时，直线AB的方程为，则直线l过点．
当直线l的斜率不为0时，设直线l的方程为x＝t，代入椭圆方程得，
不妨设点A在x轴上方，则，，
则，解得或t＝2（舍去），
所以直线l过点．
综上所述，直线l过定点．
【解答】解：（1）设椭圆C的半焦距为c，则依题意有，解得，
所以椭圆C的方程为．
（2）直线l过定点，理由如下：
由（1）可得，椭圆C的又顶点为M（2，0），当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y＝kx+m，
联立，消去y得（1+4k2）x2+8kmx+4m2﹣4＝0，
Δ＝64k2m2﹣4（1+4k2）（4m2﹣4）＞0，即m2＜1+4k2，
设A（x1，y1），B（x2，y2），则，，
所以y1+y2＝k（x1+x2）+2m，
，
因为以AB为直径的圆恒过该椭圆的右顶点，所以，所以，
即（x1﹣2，y1） （x2﹣2，y2）＝x1x2﹣2（x1+x2）+4+y1y2
，
即5m2+16km+12k2＝0，即（m+2k）（5m+6k）＝0，
所以m＝﹣2k或，
当m＝﹣2k时，直线l的方程为y＝kx﹣2k＝k（x﹣2），则直线AB过又顶点，不符合题意；
当时，直线AB的方程为，则直线l过点．
当直线l的斜率不为0时，设直线l的方程为x＝t，代入椭圆方程得，
不妨设点A在x轴上方，则，，
则，解得或t＝2（舍去），
所以直线l过点．
综上所述，直线l过定点．
5．已知椭圆C：的左顶点为A（﹣2，0），且椭圆C过点．
（1）求C的方程；
（2）已知F1为C的左焦点，在y轴上有两动点M（0，m），N（0，n），m＞0，n＜0，且MF1⊥NF1．
（i）若△MF1N的外接圆与C在第一象限的交点为P，连接PN交x轴于点Q，求；
（ii）直线AM，AN分别与C交于点S，T，求证：直线ST恒过定点．
【答案】（1）；
（2）（i）3；
（ii）证明；设直线ST的方程为x＝py+q（q≠﹣2），S（x1，y1），T（x2，y2），
联立，
消去x得（3p2+4）y2+6pqy+3q2﹣12＝0，
则，，
因为，，
所以，
故，
即，
化简得（q+2）（q﹣1）＝0，
因为q≠﹣2，所以q＝1，
所以直线ST的方程为x＝py+1，
即直线ST恒过定点（1，0）．
【解答】解：（1）因为椭圆C：的左顶点为A（﹣2，0），所以a＝2，
又椭圆C过点，
所以，
解得，
所以椭圆C的方程为．
（2）（i）由MF1⊥NF1，F1（﹣1，0），
得，
所以mn＝﹣1，
显然△MF1N的外接圆是以MN为直径的圆，
则其方程为，
化简得x2+（y﹣m）（y﹣n）＝0．
设P（x0，y0）（x0，y0＞0），
则，
消去x0得，，
化简得（y0+3m）（y0+3n）＝0，又y0＞0，
所以y0＝﹣3n，
所以．
（ii）证明；设直线ST的方程为x＝py+q（q≠﹣2），S（x1，y1），T（x2，y2），
联立，
消去x得（3p2+4）y2+6pqy+3q2﹣12＝0，
则，，
因为，，
所以，
故，
即，
化简得（q+2）（q﹣1）＝0，
因为q≠﹣2，所以q＝1，
所以直线ST的方程为x＝py+1，
即直线ST恒过定点（1，0）．
课时精练
一．选择题（共8小题）
1．已知F1，F2是椭圆C：的左、右焦点，P是C上一点，若|PF1|＝6，则|PF2|＝（　　）
A．6 B．8 C．10 D．12
【答案】C
【解答】解：因为P椭圆C：的上一点，
所以|PF1|+|PF2|＝2a＝16，又|PF1|＝6，
所以|PF2|＝16﹣|PF1|＝10．
故选：C．
2．已知F1，F2为椭圆C：1的两个焦点，P是椭圆上第一象限的点，若cos∠F1PF2，则|PF1| |PF2|＝（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【解答】解：已知F1，F2为椭圆C：1的两个焦点，P是椭圆上第一象限的点，
则|PF1|+|PF2|＝4，|F1F2|＝2，
又cos∠F1PF2，
结合2|PF1||PF2|cos∠F1PF2可得：，
则|PF1| |PF2|．
故选：A．
3．已知椭圆，直线y＝kx（k≠0）与椭圆交于A，B两点，F1，F2分别为椭圆的左、右两个焦点，直线AF2与椭圆交于另一个点D，则直线AD与BD的斜率乘积为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【解答】解：因为直线y＝kx（k≠0）过原点，
设A（x1，y1），D（x2，y2），
此时B（﹣x1，﹣y1），
所以，
因为点均在椭圆上，
所以，
两式作差得，
即，
则．
故选：B．
4．已知椭圆的左、右焦点分别为F1，F2，A为椭圆C上一点，且，则b的取值范钳为（　　）
A．（0，2] B． C． D．[1，2）
【答案】B
【解答】解：设∠F1AF2的最大角为2θ，则θ，
所以cosθ≤cos，即，
所以b，又b＞0，所以b∈（0，]．
故选：B．
5．已知椭圆C：1，则椭圆C上的点到直线l：x+2y﹣25＝0的距离的最大值为（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解答】解：法（i）设椭圆C上的点为P（3cosθ，2sinθ），
则点P到直线l的距离为，其中，
由sin（θ+φ）∈[﹣1，1]，故椭圆C上的点到直线l的距离的最大值为．
法（ii）设与直线l：x+2y﹣25＝0平行且与椭圆相切的直线为x+2y+m＝0，m≠﹣25，
则，整理可得：25y2+16my+4m2﹣36＝0，
Δ＝162m2﹣4×25×（4m2﹣36）＝0，可得m＝±5，
即所求的直线方程为x+2y±5＝0，
可得与直线x+2y﹣25＝0的距离为6或4，
所以椭圆上的点到直线l的距离的范围为[4，6]．
所以椭圆上的点到直线的最大距离为6．
故选：D．
6．已知直线l交椭圆于M、N两点，椭圆与y轴的正半轴交于点B，若△BMN的重心恰好落在椭圆的右焦点上，则直线l的方程是（　　）
A．5x+6y﹣28＝0 B．5x﹣6y﹣28＝0
C．6x+5y﹣28＝0 D．6x﹣5y﹣28＝0
【答案】D
【解答】解：由椭圆，可得a＝2，b＝4，即有c2，
则F（2，0），B（0，4），
设点M（x1，y1），N（x2，y2），
由三角形的重心坐标公式可得，
设l的方程为y＝kx+m，代入椭圆方程，
得（4+5k2）x2+10kmx+5m2﹣80＝0，
∴①，
y1+y2＝kx1+m+kx2+m＝k（x1+x2）+2m＝6k+2m＝﹣4②，
联立①②得，即l的方程为6x﹣5y﹣28＝0，满足Δ＞0．
故选：D．
7．已知椭圆的左、右焦点分别为F1，F2，M为椭圆C上任意一点，N为圆E：（x﹣3）2+（y﹣5）2＝1上任意一点，则|MN|﹣|MF1|的最小值为（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【解答】解：已知椭圆的左、右焦点分别为F1，F2，M为椭圆C上任意一点，
则a2＝4，b2＝3，c2＝1，
则|MF1|+|MF2|＝2a＝4，
又圆E：（x﹣3）2+（y﹣5）2＝1的圆心E（3，5），半径为1，
显然椭圆与圆外离，
又N为圆E上任意一点，
则|MN|﹣|MF1|＝|MN|﹣（4﹣|MF2|）＝|MN|+|MF2|﹣4≥|EF2|﹣1﹣4，当且仅当F2、M、N、E四点共线时取等号．
故选：A．
8．已知F1，F2分别是椭圆C：的左、右焦点，P是椭圆C上一点．则下列结论中正确的个数为（　　）
①时，满足∠F1PF2＝90°的点P有2个；
②时，满足∠F1PF2＝90°的点P有4个；
③△PF1F2的周长等于4a；
④|PF1| |PF2|的最大值为a2．
A．① B．①② C．①③ D．①②④
【答案】D
【解答】解：已知F1，F2分别是椭圆C：的左、右焦点，P是椭圆C上一点，
不妨设椭圆的上顶点为A，
则∠F1AF2≥∠F1PF2，
又，
对于①，当时，，
则，
即∠F1AF2＝90°，
则满足∠F1PF2＝90°的点P有2个，
即①正确；
对于②，结合①可得：，
即∠F1AF2＞90°，
即满足∠F1PF2＝90°的点P有4个，
即②正确；
对于③，△PF1F2的周长等于2a+2c，
即③错误；
对于④，|PF1| |PF2|a2，当且仅当|PF1|＝|PF2|时取等号，
即④正确．
故选：D．
二．多选题（共3小题）
（多选）9．已知椭圆的长轴长是离心率的两倍，P（x0，y0）为C上任意一点，且原点O为C的对称中心，则（　　）
A．
B．x0+y0的最小值为
C．x0y0的最大值为
D．线段OP的中垂线不可能经过C的顶点
【答案】AC
【解答】解：对于选项A，根据椭圆方程得：，因此，解得：m＞0且m≠1，
当0＜m＜1时，m2＜m，椭圆C焦点在y轴上，则其长轴长为，焦距为，
因此，因此，解得：；
当m＞1时，m2＞m，椭圆C焦点在x轴上，则其长轴长为2m，焦距为，
因此，因此，整理可得：m3﹣m+1＝0，
当m＞1时，m3﹣m＝m（m+1）（m﹣1）＞0，∴m3﹣m+1＝0无解；
综上所述：，因此选项A正确；
对于选项B，根据A知：椭圆，
设，，θ∈[0，2π），
因此（其中，），
那么当时，x0+y0取得最小值，因此选项B错误；
对于选项C，，
则当或时，x0y0取得最大值，因此选项C正确；
对于选项D，因为O（0，0），所以OP中点，
若P不是椭圆C顶点，则，
所以OP中垂线方程为：，即，
将代入方程得：，化简得：，
解得：或，又，∴，
所以OP中垂线可能经过椭圆C顶点，因此选项D错误．
故选：AC．
（多选）10．已知椭圆的左、右焦点分别为F1，F2，上顶点为B，右顶点为A，直线l：mx+y﹣3m＝0与C交于点M，N，则（　　）
A．直线l恒过点F2（3，0）
B．当直线l∥AB时，
C．△MNF1的周长为40
D．点B到直线l的最大距离是
【答案】ABD
【解答】解：已知椭圆的左、右焦点分别为F1，F2，上顶点为B，右顶点为A，
则a2＝10，b2＝1，c2＝9，B（0，1），，F1（﹣3，0），F2（3，0），
对于A，直线l：mx+y﹣3m＝0可变形为m（x﹣3）+y＝0，
令，
即，
即直线l恒过点F2（3，0），
即A正确；
对于B，当直线l∥AB时，，
即，
即B正确；
对于C，△MNF1的周长为|MF1|+|MF2|+|NF1|+|NF2|＝4a，
即C错误；
对于D，当直线l⊥BF2时，点B到直线l的距离最大，且最大值为|BF2|，
即D正确．
故选：ABD．
（多选）11．已知椭圆，焦点F1（﹣c，0），F2（c，0）（c＞0）；过F1的直线l和圆相切于点B，并与椭圆在第一象限交于点P，且PF2⊥x轴，则（　　）
A．该直线的斜率是2
B．椭圆的离心率是
C．三角形PF2F1与三角形ABF1面积比为16
D．当c＝2时，四边形ABPF2的面积是
【答案】BCD
【解答】解：因为椭圆，焦点F1（﹣c，0），F2（c，0）（c＞0）；
过F1的直线l和圆相切于点B，
设P（c，yp）（yp＞0），将P点坐标代入，解得，
所以，
由题意可得AB⊥F1B，所以，
由题意，，
故直线l的斜率为，又，
可得，解得，
又三角形PF2F1与三角形ABF1面积比为，
．
故选：BCD．
三．填空题（共3小题）
12．如图，把椭圆的长轴AB分成4等份，过每个分点作x轴的垂线交椭圆的上半部分于P1，P2，P3，3个点，F是椭圆的一个焦点，则|P1F|+|P2F|+|P3F|＝　15　 ．
【答案】15．
【解答】解：已知椭圆，
将该椭圆的长轴AB分成4等份，过每个分点作x轴的垂线交椭圆的上半部分于P1，P2，P3，3个点，F是椭圆的一个焦点，
设椭圆的右焦点为F′，连接P3F′，P2F′．由题意得，a＝5．
由图形对称得，|P1F|＝|P3F′|，|P2F|＝|P2F′|．
由椭圆定义得，|P3F|+|P3F′|＝|P3F|+|P1F|＝2a＝10，|P2F|+|P2F′|＝10，
故|P2F|＝5，
所以|P1F|+|P2F|+|P3F|＝|P3F′|+|P3F|+|P2F|＝10+5＝15．
故答案为：15．
13．设椭圆的左右焦点分别为F1，F2，椭圆E上点P满足PF1⊥PF2，直线PF1和直线PF2分别与椭圆E交于异于点P的点A和点B，若，则椭圆E的离心率为　　 ．
【答案】．
【解答】解：椭圆的左右焦点分别为F1，F2，椭圆E上点P满足PF1⊥PF2，直线PF1和直线PF2分别与椭圆E交于异于点P的点A和点B，如图所示，
令∠PF1F2＝θ，∵PF1⊥PF2，可得|PF1|＝2ccosθ，|PF2|＝2csinθ，
∴|PF1|+|PF2|＝2c（cosθ+sinθ）＝2a，可得e（sinθ+cosθ）＝1，
∵，令|F1A|＝2m，则|F2B|＝3m，
由椭圆的定义，可得|F2A|＝2a﹣2m，|F1B|＝2a﹣3m，
又由，则（2ccosθ+2m）2+（2csinθ）2＝（2a﹣2m）2，
∴c2+2mccosθ＝a2﹣2ma，整理得2m（ccosθ+a）＝a2﹣c2，
又∵，可得（2csinθ+3m）2+（2ccosθ）2＝（2a﹣3m）2，
∴c2+3mcsinθ＝a2﹣3ma，整理得3m（csinθ+a）＝a2﹣c2，
∴2m（ccosθ+a）＝3m（csinθ+a），整理得2ecosθ﹣3esinθ＝1，
联立方程组，解得，故，
又∵，∴，∴．
故答案为：．
14．过椭圆的中心O的直线l分别交椭圆C于A、B两点，AB的垂直平分线交椭圆C于点P，过点O分别作OM⊥AP于M，ON⊥BP于N，则四边形MONP的面积的取值范围为　　 ．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：因为椭圆，
所以，
（1）若直线l斜率不存在，
此时，，
，，
|OM|＝|OP|sin∠APO，|PM|＝|OP|cos∠APO，
所以；
（2）若直线l的斜率为0，
此时，，
|OM|＝|OP|sin∠APO，|PM|＝|OP|cos∠APO，
所以；
（3）若直线l的斜率存在且不为0，
易得△OAP △OBP，OM，ON分别是PA，PB边上的高，
所以|OM|＝|ON|，∠OPA＝∠OPB，
所以△OPM △OPN，SMONP＝2S△OMP，
设直线l的方程为y＝kx，A（x0，y0），
联立，
解得，
取，
直线OP的方程为，
同理得，
，，，
在直角△OAP中，，，
，
因为k2＞0，
所以3k2+4＞4，
即，
所以，
综上所述，四边形MONP的面积的取值范围为．
故答案为：．
四．解答题（共5小题）
15．已知中心在原点，焦点在y轴上的椭圆C离心率为，短轴长为．
（1）求C的方程；
（2）若直线l：y＝x﹣1与C交于M，N两点，O为坐标原点，求△OMN的面积．
【答案】（1）；
（2）．
【解答】解：（1）由题，设椭圆标准方程为，
则，解得，
所以椭圆C的方程为；
（2）设M（x1，y1）、N（x2，y2），
联立，化简得3x2﹣2x﹣5＝0，
所以，，
所以
，
原点O到直线l：x﹣y﹣1＝0的距离，
所以△OMN的面积．
16．如图，已知椭圆的左，右顶点分别为A1，A2，椭圆的长轴长为4，椭圆的离心率为，O为坐标原点．
（1）求椭圆C的方程；
（2）设过点P（4，m）的直线PA1，PA2与椭圆分别交于点M，N，其中m＞0．
①证明：直线MN过定点，并求出定点坐标；
②求△OMN面积S的最大值．
【答案】（1）；
（2）①证明：证明：由（1）得A1（﹣2，0），A2（2，0），
直线PA1，PA2的方程分别为，
由得（9+m2）x2+4m2x+4m2﹣36＝0，
∴，可得，∴，
由得（1+m2）x2﹣4m2x+4m2﹣4＝0，
，可得，∴，
∴，
直线MN的方程为：，
即y，
可得直线MN过定点（1，0）；
②．
【解答】解：（1）∵长轴长为4，∴a＝2，
椭圆的离心率为，得c，b＝1，
椭圆C的方程为：；
（2）①证明：证明：由（1）得A1（﹣2，0），A2（2，0），
直线PA1，PA2的方程分别为，
由得（9+m2）x2+4m2x+4m2﹣36＝0，
∴，可得，∴，
由得（1+m2）x2﹣4m2x+4m2﹣4＝0，
，可得，∴，
∴，
直线MN的方程为：，
即y，
可得直线MN过定点（1，0）；
②设MN的方程为：x＝ty+1，
由得（4+t2）y2+2ty﹣3＝0，
设M（x1，y1），N（x2，y2），则，，
，
令，，
由，且函数f（d）在递增，
因此时，S△OMN取得最大值．
17．已知椭圆经过点（﹣2，﹣1），且离心率为．
（1）求椭圆Γ1的方程；
（2）设O为坐标原点，P，Q为Γ1上两个动点，且OP⊥OQ，作OM⊥PQ，垂足为M．
（i）线段OM的长度是否为定值？若是，求出该定值；若不是，说明理由；
（ii）设点M的轨迹为Γ2，过点P作Γ2的切线交Γ1于点N（异于P，Q），求△PQN面积的最小值．
【答案】（1）；
（2）（i）是定值，定值为；
（ii）最小值为4．
【解答】解：（1），解得，则可得椭圆．
（2）（i）是定值，理由如下：
当直线PQ的斜率不存在时，可设方程为x＝n，代入椭圆，
可得，，易知，解得，
当直线PQ的斜率存在时，可设方程为y＝kx+m，
联立，消去y可得（1+2k2）x2+4kmx+2m2﹣6＝0，
由Δ＝48k2+24﹣8m2＞0，设P（x1，y1），Q（x2，y2），
，，
可得，
由直线OP的斜率，直线OQ的斜率，且OP⊥OQ，
则，整理可得y1y2+x1x2＝0，
化简可得（1+k2）（2m2﹣6）﹣4k2m2+m2（1+2k2）＝0，解得m2＝2+2k2，由，
（ii）由圆的对称性，则S△PQN＝2S△POQ＝|OM| |PQ|，
由（i）可知：当直线PQ的斜率不存在时，
，
当且仅当时，等号成立，则．
综上可得，故S△PQN的最小值为4．
18．椭圆E：的左、右焦点分别为F1，F2，离心率为，点M，N为椭圆E上的两个不同的动点，线段|MF1|的最小值为．
（1）求椭圆E的标准方程；
（2）设直线MF1的斜率为k1，直线NF1的斜率为k2．
（i）若M，N在x轴上方，且k1+k2＝0，求证：直线MN过定点；
（ii）点M，N在运动过程中，是否存在某些位置使得MF1⊥NF1且MF2⊥NF2？若存在，求出此时点M的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）；
（2）（i）证明：设直线MN方程为：y＝kx+m，M（x1，y1），N（x2，y2），
由得：（7+8k2）x2+16kmx+8m2﹣56＝0，
Δ＝（16km）2﹣4（7+8k2）（8m2﹣56）＞0，，，
因为k1+k2＝0，所以，
即y1（x2+1）+y2（x1+1）＝0，
所以（kx1+m）（x2+1）+（kx2+m）（x1+1）＝0，
整理得：2kx1x2+（k+m）（x1+x2）+2m＝0，
代入韦达定理，
化简得：m＝8k，
所以直线MN方程为：y＝kx+8k，恒过定点（﹣8，0）；
（ii），，，
【解答】解：（1）由题意，即，且．
将代入，得：，
a＝2，，
，
故椭圆的标准方程为；
（2）
（i）证明：设直线MN方程为：y＝kx+m，M（x1，y1），N（x2，y2），
由得：（7+8k2）x2+16kmx+8m2﹣56＝0，
Δ＝（16km）2﹣4（7+8k2）（8m2﹣56）＞0，，，
因为k1+k2＝0，所以，
即y1（x2+1）+y2（x1+1）＝0，
所以（kx1+m）（x2+1）+（kx2+m）（x1+1）＝0，
整理得：2kx1x2+（k+m）（x1+x2）+2m＝0，
代入韦达定理，
化简得：m＝8k所以直线MN方程为：y＝kx+8k，恒过定点（﹣8，0）；
（ii）设M（x0，y0），显然x0≠±1，
则直线MF斜率为，直线MF2的斜率为，
因为MF1⊥NF1，MF2⊥NF2，
所以直线NF1斜率为，直线NF2的斜率为．
所以直线NF1的方程为：，
直线NF2的方程为：，
两方程联立解得：x＝﹣x0，，即，
因为点N在椭圆上，所以，
即或，
又点M在椭圆上，，
联立无解，
联立，解得：，
所以符合条件的点M的坐标为，，，．
19．已知椭圆的左，右焦点分别为F1、F2，直线l：y＝kx+m（m≠0）与椭圆Γ交于M、N两点，（点M在点N的上方），与y轴交于点E．
（1）求椭圆Γ的离心率e；
（2）若直线l过点D（﹣1，0）时，设，，求证：λ+μ为定值，并求出该值；
（3）当k为何值时，|OM|2+|ON|2恒为定值，并求此时三角形MON面积的最大值．
【答案】（1）；
（2）证明：因为直线l：y＝kx+m（m≠0）与椭圆Γ交于M、N两点，
联立，
得（4k2+1）x2+8k2x+4k2﹣4＝0，
设M（x1，y1），N（x2，y2），
则，
因为，
所以x1＝λ（x1+1），x2＝μ（x2+1）
；
（3），此时三角形MON面积的最大值为1．
【解答】解：（1）由，
则a＝2，b＝1，故，
所以离心率；
（2）证明：因为直线l：y＝kx+m（m≠0）与椭圆Γ交于M、N两点，
联立，
得（4k2+1）x2+8k2x+4k2﹣4＝0，
设M（x1，y1），N（x2，y2），
则，
因为，
所以x1＝λ（x1+1），x2＝μ（x2+1）
；
（3）由题设，联立，
消元得（4k2+1）x2+8kmx+4m2﹣4＝0，
设M（x1，y1），N（x2，y2），
当Δ＝64k2m2﹣16（4k2+1）（m2﹣1）＞0，即4k2﹣m2+1＞0时，
则，
，
则
，
当|OM|2+|ON|2为定值时，即与m2无关，故4k2﹣1＝0，得，
此时，
又点O到直线l的距离，
所以，
当且仅当，即m＝±1时，等号成立，
经检验，此时Δ＞0成立，所以△MON面积的最大值为1．第49讲 直线与椭圆的位置关系
【基础回顾】
知识点1．点与椭圆的位置关系
已知点P(x0，y0)，椭圆＋＝1(a>b>0)，则
(1)点P(x0，y0)在椭圆内 ＋<1；
(2)点P(x0，y0)在椭圆上 ＋＝1；
(3)点P(x0，y0)在椭圆外 ＋>1．
知识点2．直线与椭圆位置关系的判断
已知直线y＝kx＋m，椭圆＋＝1，联立得(b2＋a2k2)x2＋2a2kmx＋a2m2－a2b2＝0，
若该一元二次方程的判别式为Δ，则
Δ>0 有两个交点 相交；
Δ＝0 有一个交点 相切；
Δ<0 无交点 相离．
知识点3．弦长公式
设直线与椭圆的交点坐标为A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则|AB|＝|x1－x2|＝
或|AB|＝|y1－y2|＝，
k为直线的斜率且k≠0．
【必备知识】
已知椭圆＋＝1(a＞b＞0)：
(1)通径的长度为．
(2)A1，A2为椭圆的长轴端点，P是椭圆上异于A1，A2的任一点，则kPA1·kPA2＝－．
(3)AB是椭圆的不平行于对称轴的弦，O为原点，M为AB的中点，则kOM·kAB＝－．
(4)过原点的直线交椭圆于A，B两点，P是椭圆上异于A，B的任一点，则kPA·kPB＝－．
(5)点P(x0，y0)在椭圆上，过点P的切线方程为＋＝1．
题型一 直线与椭圆的位置关系
(1)利用判别式处理直线与椭圆的位置关系的步骤
(2)对于过定点的直线，也可以通过定点在椭圆内部或椭圆上判定直线和椭圆有公共点．
【例题精讲】
1．已知椭圆C：1，则椭圆C上的点到直线l：x+2y﹣25＝0的距离的最大值为（　　）
A． B．
C． D．
2．直线kx+y+2k﹣1＝0（k∈R）与椭圆交点个数为（　　）
A．1 B．2 C．1或2 D．无法确定
3．若直线l：y＝x+m与椭圆C：没有公共点，则m的取值范围为（　　）
A．（﹣2，2） B．（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞）
C． D．
4．已知直线l：x＝m（y﹣3）与曲线有两个公共点，则m的取值范围是　 　 ．
5．已知直线l：y＝x﹣3与椭圆相交，则C的长轴长的取值范围是 　 　 ．
题型二 弦长问题
求弦长的方法
(1)当弦的两端点的坐标易求时，可直接利用两点间距离公式求解．
(2)当直线的斜率存在时，可利用弦长公式求解，但利用弦长公式时不要忽略判别式应大于0．
提醒：运用弦长公式时，设直线方程也很考究．若直线经过的定点在纵轴上，一般设为斜截式方程y＝kx＋t；若直线经过的定点在横轴上，一般设为x＝my＋n．
【例题精讲】
1．已知F是椭圆的左焦点，经过坐标原点的直线与C交于P，Q两点，若|PF|＝2|QF|，则|PQ|＝（　　）
A． B． C． D．
2．已知椭圆C：的一个焦点是F，过原点的直线与C相交于点A，B，△ABF的面积是，则|AB|＝（　　）
A． B． C． D．
3．已知椭圆的焦点为F，过坐标原点的直线与椭圆C交于A，B两点，若|AF|＝2|BF|，则|AB|＝（　　）
A． B． C． D．
4．已知F1、F2是椭圆的两个焦点，点M在C上，则的最小值为　 　 ．
5．已知椭圆，过C的右焦点作x轴的垂线交C于A，B两点，则|AB|＝　 　 ．
题型三 中点弦问题
解决圆锥曲线“中点弦”问题的方法
【例题精讲】
1．过点M（1，1）作斜率为的直线与椭圆相交于A，B，若M是线段AB的中点，则（　　）
A． B． C． D．2
2．已知椭圆内一点P（1，2），则以P为中点的弦所在直线的斜率为（　　）
A． B． C．﹣8 D．8
3．已知椭圆，若椭圆E上存在关于直线y＝2x+m对称的两点A，B，则实数m的取值范围是（　　）
A．（﹣1，1） B．[﹣1，1] C． D．
4．已知椭圆C：1，过点P（2，1）的直线交椭圆C于A，B两点，若P为AB的中点，则直线AB的方程为　 　 ．
5．直线l过点M（﹣1，1）且与椭圆相交于A、B两点，若线段AB的中点为M，则直线l的斜率为　 　 ．
题型四 直线与椭圆的综合问题
(1)求解直线与椭圆的综合问题的基本思想是方程思想，即根据题意，列出有关的方程，利用代数的方法求解．为减少计算量，在代数运算中，经常运用设而不求的方法．
(2)直线方程的设法，根据题意，如果需要讨论斜率不存在的情况，则设直线方程为x＝my＋n避免讨论；若所研究的直线的斜率存在，则可设直线方程为y＝kx＋t的形式；若包含平行于坐标轴的直线，则不要忘记斜率不存在的情况的讨论．
【例题精讲】
1．已知椭圆的离心率为，焦距为2．
（1）求椭圆C的方程；
（2）求椭圆C中以为中点的弦所在的直线方程．
2．已知直线l：y＝kx+2（k≠0）与椭圆C：1（a＞b＞0）在第一象限交于A，B两点，E为线段AB的中点，O为坐标原点，直线AB，OE的斜率之积为．
（1）求椭圆C的离心率；
（2）若直线l与x轴，y轴分别相交于M，N两点，且|MA|＝|NB|，|AB|，求椭圆C的方程．
3．如图，已知椭圆过点P（3，1），焦距为，斜率为的直线l与椭圆C相交于异于点P的M，N两点，且直线PM，PN均不与x轴垂直．
（1）求椭圆C的方程；
（2）若，求MN的方程；
（3）记直线PM的斜率为k1，直线PN的斜率为k2，证明：k1k2为定值．
4．已知椭圆的离心率，短轴长为2，不经过右顶点的直线l与该椭圆相交于A，B两点．
（1）求椭圆C的方程；
（2）若以AB为直径的圆恒过该椭圆的右顶点，试判断直线l是否过定点？若过定点，求出该定点的坐标；若不过定点，请说明理由．
5．已知椭圆C：的左顶点为A（﹣2，0），且椭圆C过点．
（1）求C的方程；
（2）已知F1为C的左焦点，在y轴上有两动点M（0，m），N（0，n），m＞0，n＜0，且MF1⊥NF1．
（i）若△MF1N的外接圆与C在第一象限的交点为P，连接PN交x轴于点Q，求；
（ii）直线AM，AN分别与C交于点S，T，求证：直线ST恒过定点．
课时精练
一．选择题（共8小题）
1．已知F1，F2是椭圆C：的左、右焦点，P是C上一点，若|PF1|＝6，则|PF2|＝（　　）
A．6 B．8 C．10 D．12
2．已知F1，F2为椭圆C：1的两个焦点，P是椭圆上第一象限的点，若cos∠F1PF2，则|PF1| |PF2|＝（　　）
A． B． C． D．
3．已知椭圆，直线y＝kx（k≠0）与椭圆交于A，B两点，F1，F2分别为椭圆的左、右两个焦点，直线AF2与椭圆交于另一个点D，则直线AD与BD的斜率乘积为（　　）
A． B． C． D．
4．已知椭圆的左、右焦点分别为F1，F2，A为椭圆C上一点，且，则b的取值范钳为（　　）
A．（0，2] B． C． D．[1，2）
5．已知椭圆C：1，则椭圆C上的点到直线l：x+2y﹣25＝0的距离的最大值为（　　）
A． B．
C． D．
6．已知直线l交椭圆于M、N两点，椭圆与y轴的正半轴交于点B，若△BMN的重心恰好落在椭圆的右焦点上，则直线l的方程是（　　）
A．5x+6y﹣28＝0 B．5x﹣6y﹣28＝0
C．6x+5y﹣28＝0 D．6x﹣5y﹣28＝0
7．已知椭圆的左、右焦点分别为F1，F2，M为椭圆C上任意一点，N为圆E：（x﹣3）2+（y﹣5）2＝1上任意一点，则|MN|﹣|MF1|的最小值为（　　）
A． B． C． D．
8．已知F1，F2分别是椭圆C：的左、右焦点，P是椭圆C上一点．则下列结论中正确的个数为（　　）
①时，满足∠F1PF2＝90°的点P有2个；
②时，满足∠F1PF2＝90°的点P有4个；
③△PF1F2的周长等于4a；
④|PF1| |PF2|的最大值为a2．
A．① B．①② C．①③ D．①②④
二．多选题（共3小题）
（多选）9．已知椭圆的长轴长是离心率的两倍，P（x0，y0）为C上任意一点，且原点O为C的对称中心，则（　　）
A．
B．x0+y0的最小值为
C．x0y0的最大值为
D．线段OP的中垂线不可能经过C的顶点
（多选）10．已知椭圆的左、右焦点分别为F1，F2，上顶点为B，右顶点为A，直线l：mx+y﹣3m＝0与C交于点M，N，则（　　）
A．直线l恒过点F2（3，0）
B．当直线l∥AB时，
C．△MNF1的周长为40
D．点B到直线l的最大距离是
（多选）11．已知椭圆，焦点F1（﹣c，0），F2（c，0）（c＞0）；过F1的直线l和圆相切于点B，并与椭圆在第一象限交于点P，且PF2⊥x轴，则（　　）
A．该直线的斜率是2
B．椭圆的离心率是
C．三角形PF2F1与三角形ABF1面积比为16
D．当c＝2时，四边形ABPF2的面积是
三．填空题（共3小题）
12．如图，把椭圆的长轴AB分成4等份，过每个分点作x轴的垂线交椭圆的上半部分于P1，P2，P3，3个点，F是椭圆的一个焦点，则|P1F|+|P2F|+|P3F|＝　 　 ．
13．设椭圆的左右焦点分别为F1，F2，椭圆E上点P满足PF1⊥PF2，直线PF1和直线PF2分别与椭圆E交于异于点P的点A和点B，若，则椭圆E的离心率为　 　 ．
14．过椭圆的中心O的直线l分别交椭圆C于A、B两点，AB的垂直平分线交椭圆C于点P，过点O分别作OM⊥AP于M，ON⊥BP于N，则四边形MONP的面积的取值范围为　 　 ．
四．解答题（共5小题）
15．已知中心在原点，焦点在y轴上的椭圆C离心率为，短轴长为．
（1）求C的方程；
（2）若直线l：y＝x﹣1与C交于M，N两点，O为坐标原点，求△OMN的面积．
16．如图，已知椭圆的左，右顶点分别为A1，A2，椭圆的长轴长为4，椭圆的离心率为，O为坐标原点．
（1）求椭圆C的方程；
（2）设过点P（4，m）的直线PA1，PA2与椭圆分别交于点M，N，其中m＞0．
①证明：直线MN过定点，并求出定点坐标；
②求△OMN面积S的最大值．
17．已知椭圆经过点（﹣2，﹣1），且离心率为．
（1）求椭圆Γ1的方程；
（2）设O为坐标原点，P，Q为Γ1上两个动点，且OP⊥OQ，作OM⊥PQ，垂足为M．
（i）线段OM的长度是否为定值？若是，求出该定值；若不是，说明理由；
（ii）设点M的轨迹为Γ2，过点P作Γ2的切线交Γ1于点N（异于P，Q），求△PQN面积的最小值．
18．椭圆E：的左、右焦点分别为F1，F2，离心率为，点M，N为椭圆E上的两个不同的动点，线段|MF1|的最小值为．
（1）求椭圆E的标准方程；
（2）设直线MF1的斜率为k1，直线NF1的斜率为k2．
（i）若M，N在x轴上方，且k1+k2＝0，求证：直线MN过定点；
（ii）点M，N在运动过程中，是否存在某些位置使得MF1⊥NF1且MF2⊥NF2？若存在，求出此时点M的坐标；若不存在，请说明理由．
19．已知椭圆的左，右焦点分别为F1、F2，直线l：y＝kx+m（m≠0）与椭圆Γ交于M、N两点，（点M在点N的上方），与y轴交于点E．
（1）求椭圆Γ的离心率e；
（2）若直线l过点D（﹣1，0）时，设，，求证：λ+μ为定值，并求出该值；
（3）当k为何值时，|OM|2+|ON|2恒为定值，并求此时三角形MON面积的最大值．

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