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第50讲 双曲线的定义、标准方程及其简单几何性质
【基础回顾】
知识点1．双曲线的定义
把平面内与两个定点F1，F2的距离的差的绝对值等于非零常数(小于|F1F2|)的点的轨迹叫做双曲线．这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距．
知识点2．双曲线的标准方程和简单几何性质
标准方程 －＝1(a>0，b>0) －＝1(a>0，b>0)
图形
性质 焦点 F1(－c，0)，F2(c，0) F1(0，－c)，F2(0，c)
焦距 |F1F2|＝2c
范围 x≤－a或x≥a，y∈R x∈R，y≤－a或y≥a
对称性 对称轴：坐标轴；对称中心：原点
顶点 A1(－a，0)，A2(a，0) A1(0，－a)，A2(0，a)
轴 实轴：线段A1A2，长：2a；虚轴：线段B1B2，长：2b，实半轴长：a，虚半轴长：b
离心率 e＝∈(1，＋∞)
渐近线 y＝±x y＝±x
a，b，c的关系 c2＝a2＋b2(c>a>0，c>b>0)
【必备知识】
1．双曲线的焦点到渐近线的距离为常数b，顶点到两条渐近线的距离为常数．
2．双曲线上的任意点P到双曲线C的两条渐近线的距离的乘积是一个常数．
3．若P是双曲线右支上一点，F1，F2分别为双曲线的左、右焦点，则|PF1|min＝a＋c，|PF2|min＝c－a．
4．离心率e＝＝＝．
5．双曲线上一点P(x0，y0)与两焦点F1，F2构成的△PF1F2为焦点三角形．
(1)△PF1F2内切圆圆心的横坐标的绝对值为定值a；
(2)设∠F1PF2＝θ，|PF1|＝r1，|PF2|＝r2，则cosθ＝1－，S△PF1F2＝r1r2sinθ＝·b2＝．
题型一 利用双曲线的定义求轨迹方程
利用双曲线的定义求方程，要注意三点：①距离之差的绝对值；②2a<|F1F2|；③焦点所在坐标轴的位置．
提示：一定要分清是双曲线，还是双曲线的一支，若是双曲线的一支，则需确定是哪一支．
【例题精讲】
1．已知F1，F2是双曲线x2﹣y2＝a2（a＞0）的左、右焦点，P为圆x2+y2＝2a2上一动点（纵坐标不为零），直线PF1，PF2分别交两条渐近线于M，N两点，则线段MN中点的轨迹为（　　）
A．平行直线 B．圆的一部分
C．椭圆的一部分 D．双曲线的一部分
【答案】A
【解答】解：设P点坐标为（，），渐近线方程为y＝±x，
直线PF1：y，直线PF2：y，
当点P在x上方时，
由，得M（，），
同理N（，），
yM+yN，
当点P在x下方时，yM+yN，
故线段MN中点纵坐标y，即中点轨迹为平行直线．
故选：A．
2．设P是以F1，F2为焦点的双曲线上的动点，则△F1PF2的重心G的轨迹方程是（　　）
A． B．
C． D．（y≠0）
【答案】A
【解答】解：∵G是△PF1F2的重心，∴OP＝3OG，
设G（x，y）（y≠0），则P（3x，3y），
代入双曲线方程可得：1．
故选：A．
3．双曲线M：实轴的两个顶点为A，B，点P为双曲线M上除A，B外的一个动点，若QA⊥PA，QB⊥PB，则动点Q的轨迹方程是 　且y≠0　 ．
【答案】且y≠0．
【解答】解：设P（m，n），Q（x，y），
由双曲线方程知，实轴的两个顶点A（﹣2，0），B（2，0），
，
∵QA⊥PA，∴（﹣x﹣2） （﹣m﹣2）+ny＝0，
可得，
同理根据QB⊥PB，可得，两式相乘可得，
∵点P（m，n）为双曲线M上除A、B外的一个动点，
∴，整理得，
∴，化简可得，由P点不与A，B重合，知y≠0，
∴动点Q的轨迹方程是且y≠0．
故答案为：且y≠0．
4．点P是双曲线x2﹣y2＝2上的动点，F是它的右焦点，则线段PF的中点M的轨迹方程为　2（x﹣1）2﹣2y2＝1　 ．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：设点M（x，y），F（2，0），故P点的坐标为（2x﹣2，2y），
代入双曲线x2﹣y2＝2得：（2x﹣2）2﹣（2y）2＝2，
即线段PF的中点M的轨迹C2的方程为：2（x﹣1）2﹣2y2＝1；
故答案为：2（x﹣1）2﹣2y2＝1．
5．已知双曲线的左、右焦点分别是 F1，F2，Q是双曲线右支上的动点，过F1作∠F1QF2的平分线的垂线，则垂足M的轨迹方程为 x2+y2＝9（x≤3）　 ．
【答案】x2+y2＝9（x≤3）．
【解答】解：设点M（x，y），延长QF2与F1M交于点T，连接OM，如图：
则OM为△F1F2T的中位线，
∵QM是∠F1QF2的平分线，且QM⊥F1M，
∴|QF1|＝|QT|，|F1M|＝|MT|，
∵Q是双曲线右支上的动点，
∴|QF1|﹣|QF2|＝|QT|﹣|QF2|＝2a，
∴|TF2|＝2a，|OM|＝a，即点M在以O为圆心，a＝3为半径的圆上．
当Q在无穷远处时，可近似认为其位于渐近线上，此时QM⊥F1M，
则±2，直线F1M的方程为y＝±2（x），与x2+y2＝9联立，可解得x，y，
∴点M的轨迹是以O为圆心，3为半径的圆上以点（，）和（，）
为端点的优狐（不包括这两个端点），
∴轨迹方程为x2+y2＝9（x≤3）．
题型二 双曲线的标准方程
求双曲线的标准方程的方法
定义法 由题目条件判断出动点轨迹是双曲线，由双曲线定义确定2a，2b或2c，从而求得双曲线方程
待定系数法 能确定焦点在x轴还是y轴上时，设出标准方程，再由条件确定a2，b2的值
焦点的位置不确定，要注意分类讨论．也可以将双曲线的方程设为－＝λ(λ≠0)或mx2－ny2＝1(mn>0)求解
与双曲线－＝1共渐近线的双曲线的方程可设为－＝λ(λ≠0)
【例题精讲】
1．若方程“”表示双曲线，则m的取值范围是（　　）
A．（7，+∞） B．（﹣7，5）
C．（﹣7，5）∪（7，+∞） D．（5，+∞）
【答案】C
【解答】解：由方程表示双曲线，则满足（m﹣5）（|m|﹣7）＞0，
当m＜0时，不等式为（m﹣5）（﹣m﹣7）＞0，
即为（m﹣5）（m+7）＜0，解得﹣7＜m＜0；
当m≥0时，不等式即为（m﹣5）（m﹣7）＞0，解得0≤m＜5或m＞7；
综上可得，实数m的取值范围为（﹣7，5）∪（7，+∞）．
故选：C．
2．已知双曲线C：1（a＞0，b＞0）的右焦点为F，抛物线y2＝3x与双曲线C的一条渐近线交于点A．O为坐标原点，若△AOF为正三角形，则双曲线C的方程为（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解答】解：设F（c，0），c＞0，A为第一象限的点，
由题意得双曲线渐近线方程为y＝±，
∵△AOF为正三角形，∴A（，），
则，解得，
∴双曲线方程为1．
故选：B．
3．已知焦点在x轴上的双曲线M与双曲线有共同的渐近线，且点P（2，1）在双曲线M上，则双曲线M的方程为（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解答】解：因为焦点在x轴上的双曲线M与双曲线有共同的渐近线，
所以设双曲线M的方程为，
将点P（2，1）代入得，得，
所以双曲线M的方程为．
故选：D．
4．若方程表示焦点在y轴上的双曲线，则m的取值范围为　（4，+∞）　 ．
【答案】（4，+∞）．
【解答】解：已知方程表示焦点在y轴上的双曲线，
则，
则m＞4，
则m的取值范围为（4，+∞）．
故答案为：（4，+∞）．
5．与双曲线有共同的渐近线，并且过点A（）的双曲线的标准方程为　　 ．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：设所求双曲线为 ，
把点（6，）代入，得
解得 λ＝﹣4，
∴所求的双曲线的标准方程为
故答案为：
题型三 双曲线的实轴、虚轴、焦距
求解与双曲线几何性质有关的问题时，要理清顶点、焦点、实轴长、虚轴长、焦距等基本量的内在联系．
【例题精讲】
1．若双曲线的方程为，其焦点在x轴上，焦距为4，则实数t等于（　　）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】C
【解答】解：已知双曲线的方程为，其焦点在x轴上，焦距为4，
则，
解得t＝4．
故选：C．
2．双曲线的一个焦点为（0，2），则a＝（　　）
A． B． C．3 D．
【答案】A
【解答】解：因为双曲线的一个焦点为（0，2），
所以c2＝a2+1＝4，所以．
故选：A．
3．已知双曲线C：的右焦点为F，过点F作C的一条渐近线的垂线，垂足为H，则|FH|＝（　　）
A．1 B．a C． D．2
【答案】A
【解答】解：双曲线C：的右焦点为，
渐近线方程为x±ay＝0，过点F作C的一条渐近线的垂线，垂足为H，
所以．
故选：A．
4．已知双曲线的上、下焦点分别为F1，F2，双曲线Γ以F1，F2为焦点，且过点M（1，﹣2），则Γ的渐近线方程为 　　 ．
【答案】．
【解答】解：双曲线的上、下焦点分别为F1（0，），F2，（0，），
双曲线Γ以F1，F2为焦点，且过点M（1，﹣2），
设双曲线Γ的方程为：1，
可得，并且a2+b2＝3，解得a，b＝1，
则Γ的渐近线方程：．
故答案为：．
5．曲线是焦点在x轴上的双曲线，则m的取值范围为 　（1，+∞）　 ．
【答案】（1，+∞）．
【解答】解：因为曲线C表示焦点在x轴上的双曲线，
所以，
解得m＞1，
所以m的取值范围为（1，+∞）．
故答案为：（1，+∞）．
题型四 双曲线的渐近线
求双曲线渐近线方程的方法
方法一 若双曲线－＝1(a>0，b>0)，令－＝0，得渐近线方程±＝0
方法二 双曲线－＝1(a>0，b>0)的渐近线y＝±x的斜率k＝±与离心率e的关系为k2＝＝e2－1
提示：两条渐近线的倾斜角互补，斜率互为相反数，且两条渐近线关于x轴、y轴对称．
【例题精讲】
1．已知a＞b＞0，椭圆C1的方程为，双曲线C2的方程为，C1与C2的离心率之比为．则C2的渐近线方程为（　　）
A． B． C．x±3y＝0 D．3x±y＝0
【答案】A
【解答】解：因为a＞b＞0，椭圆C1的方程为，所以椭圆C1的离心率为，
因为双曲线C2的方程为，所以双曲线C2的离心率为，
因为C1与C2的离心率之比为，
所以，整理得a2＝3b2，
所以C2的渐近线方程为y＝±x＝±，整理得x±y＝0．
故选：A．
2．已知双曲线的左、右焦点分别为F1，F2，点P是C上一点，且，|PF2|＝3|PF1|，则C的渐近线方程为（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【解答】解：双曲线的左、右焦点分别为F1，F2，点P是C上一点，
由双曲线定义知||PF2|﹣|PF1||＝2a，∵|PF2|＝3|PF1|，∴|PF1|＝a，|PF2|＝3a，
∵，|F1F2|＝2c，∴，
即，化简得7a2＝4c2，又c2＝a2+b2，
∴，解得，∴双曲线C的渐近线方程为．
故选：D．
3．已知双曲线，过点P（﹣4，0）的直线与C交于A，B两点，若线段AB的中点是M（2，6），则双曲线的渐近线方程为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【解答】解：设A（x1，y1），B（x2，y2），因为点A，B在双曲线上，
则，两式相减可得，
整理可得，
又线段AB的中点是M（2，6），则x1+x2＝4，y1+y2＝12，
所以，又直线过点P（﹣4，0），
得到，所以，
则双曲线的渐近线方程为y＝±±，
即x±y＝0．
故选：B．
二．多选题（共2小题）
（多选）4．已知焦点在y轴上的等轴双曲线C（对称中心为坐标原点O）的实轴长与圆O的半径相等，C与圆O在第一、二、三、四象限分别交于P，Q，M，N四点，且，则（　　）
A．C的渐近线方程为y＝±x
B．C的焦距为
C．
D．四边形PQMN的面积为
【答案】ACD
【解答】解：对于A，等轴双曲线的渐近线方程为y＝±x，故A正确；
对于B，举反例：等轴双曲线C：y2﹣x2＝1中，c2＝2，所以焦距为，故B错误；
对于C，设等轴双曲线C：y2﹣x2＝a2，圆O：x2+y2＝4a2，a＞0，P（x，y），x＞0，y＞0，
则Q（﹣x，y），M（﹣x，﹣y），N（x，﹣y），
联立，解得，，
所以|PQ|＝2x，解得a＝1，
所以|PN|＝2y，故C正确；
对于D，由对称性可知，四边形PQMN是矩形，
所以四边形PQMN的面积为|PQ||PN|2，故D正确．
故选：ACD．
（多选）5．已知焦点在x轴上的等轴双曲线C（对称中心为坐标原点O）的实轴长与圆O的半径相等，C与圆O在第一、二、三、四象限分别交于P，Q，M，N四点，且，则（　　）
A．C的渐近线方程为y＝±x
B．
C．C的焦距为4
D．四边形PQMN的面积为
【答案】ABD
【解答】解：对于A，等轴双曲线的渐近线方程为y＝±x，故A正确；
对于B，设等轴双曲线C：x2﹣y2＝a2，圆O：x2+y2＝4a2，a＞0，P（x，y），x＞0，y＞0，
则Q（﹣x，y），M（﹣x，﹣y），N（x，﹣y），
联立，解得，，
所以，解得a＝1，
所以，故B正确；
对于C，举反例：等轴双曲线C：x2﹣y2＝1中，c2＝2，所以焦距为，故C错误；
对于D，由对称性可知，四边形PQMN是矩形，
所以四边形PQMN的面积为，故D正确．
故选：ABD．
题型五 双曲线的离心率
求双曲线离心率的方法
直接法 求a，b，c的值，由＝＝1＋直接求e
方程法 列出含有a，b，c的齐次方程，借助b2＝c2－a2消去b，然后转化成关于e的方程求解
【例题精讲】
1．由伦敦著名建筑事务所SteynStudio设计的南非双曲线大教堂惊艳世界，该建筑是数学与建筑完美结合造就的艺术品．若将如图所示的大教堂外形弧线的一段近似看成双曲线的一部分，且此双曲线的一条渐近线为，则该双曲线的离心率为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【解答】解：双曲线，双曲线的一条渐近线为，
可得，
所以双曲线的离心率为：e．
故选：B．
2．已知双曲线E：1（a＞0，b＞0）与平行于x的动直线交于A，B两点，点A在点B左侧，F为双曲线E的左焦点，延长BF至点C，使AF＝FC，连接AC交x轴于点D，若FC＝2FD，则该双曲线的离心率为（　　）
A． B． C．2 D．3
【答案】C
【解答】解：已知双曲线E：1（a＞0，b＞0）与平行于x的动直线交于A，B两点，点A在点B左侧，F为双曲线E的左焦点，
设A（﹣x0，y0），B（x0，y0），F（﹣c，0），其中x0＞0，
则，，|AB|＝2x0，
∵直线AB平行于x轴，
又延长BF至点C，使AF＝FC，连接AC交x轴于点D，且FC＝2FD，
∴△CDF～△CAB，
∴，
∵|FC|＝2|FD|，∴，
∴，
即
，
∵点B在双曲线E上，
∴，
∴，
∴．
故选：C．
3．已知双曲线C：的上、下焦点分别为F1，F2，P是C上支上的一点（不在y轴上），PF2与x轴交于点A，△PAF1的内切圆在边AF1上的切点为B，若|AB|＞2b，则C的离心率的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【解答】解：设该内切圆在PF1，PA上的切点分别为D，E，则有|AB|＝|AE|，|PD|＝|PE|，|F1B|＝|F1D|，
又|PF2|﹣|PF1|＝2a，|AF1|＝|AF2|，则|PA|+|AF1|﹣|PF1|＝2a，即2|AB|＝2a，解得|AB|＝a，
由|AB|＞2b，即a＞2b，得，所以．
故选：A．
4．已知双曲线的左、右焦点分别为F1，F2，P是C右支上一点，线段PF1与C的左支交于点M．若∠F1PF2＝90°，且，则C的离心率为 　　 ．
【答案】．
【解答】解：双曲线的左、右焦点分别为F1，F2，P是C右支上一点，线段PF1与C的左支交于点M．若∠F1PF2＝90°，
∵，∴，
又∠F1PF2＝90°，∴，
设|PF2|＝3x，则|PM|＝4x，由勾股定理得，
由双曲线定义得|MF2|﹣|MF1|＝2a，故|MF1|＝5x﹣2a，
故|PF1|＝|MF1|+|PM|＝5x﹣2a+4x＝9x﹣2a，
由双曲线定义得|PF1|﹣|PF2|＝9x﹣2a﹣3x＝2a，
故6x＝4a，解得，
故，，
在△PF1F2中，由勾股定理得，
即16a2+4a2＝4c2，解得，
故离心率．
故答案为：．
5．已知双曲线的左右焦点分别为F1，F2，直线l经过点F2且与该双曲线的右支交于A，B两点，若△AF1B的周长为5a，则该双曲线离心率的取值范围是　　 ．
【答案】．
【解答】解：由题意可得：|AF1|﹣|AF2|＝2a，|BF1|﹣|BF2|＝2a，
则|AF1|+|AF2|﹣（|AF2|+|BF2|）＝4a，
又△AF1B的周长为5a，
则|AF1|+|AF2|+（|AF2|+|BF2|）＝5a，
则，
结合双曲线的性质可得：，
即，
即a2≥4b2＝4c2﹣4a2，
即，
即．
故答案为：．
课时精练
一．选择题（共8小题）
1．已知双曲线上一点P到它的左焦点的距离是5，则点P到它的右焦点的距离是（　　）
A．1 B．1或9 C．6 D．9
【答案】D
【解答】解：由可知a2＝4，b2＝12，
即a＝2，，所以，
设点P到双曲线的右焦点距离是d，
则由双曲线定义|d﹣5|＝2a＝4，解得d＝1或d＝9．
当d＝9时，|PF1|+|PF2|＝14＞|F1F2|＝8，符合．
当d＝1时，|PF1|+|PF2|＝6＜|F1F2|＝8，不符合，舍去．
所以点P到它的右焦点的距离是9．
故选：D．
2．与圆x2+y2＝1及圆x2+y2﹣8x+12＝0都外切的圆的圆心在（　　）
A．一个椭圆上 B．一个圆上
C．一条抛物线上 D．双曲线的一支上
【答案】D
【解答】解：由x2+y2﹣8x+12＝0，得（x﹣4）2+y2＝4，
画出圆x2+y2＝1与（x﹣4）2+y2＝4的图象如图，
设圆P的半径为r，
∵圆P与圆O和圆M都外切，
∴|PM|＝r+2，|PO|＝r+1，
则|PM|﹣|PO|＝1＜4，
∴P点在以O、M为焦点的双曲线的左支上，
故选：D．
3．已知F1，F2是双曲线的左，右焦点，P是双曲线右支上一点，且|F1F2|是|PF1|和|PF2|的等差中项，则的值为（　　）
A．4 B．6 C．8 D．10
【答案】B
【解答】解：双曲线，故a＝1，c＝2，b，
|F1F2|是|PF1|和|PF2|的等差中项，
故2|F1F2|＝|PF1|+|PF2|，即|PF1|+|PF2|＝4c＝8 ①，
根据双曲线的定义，|PF1|﹣|PF2|＝2a＝2 ②，
由①②得|PF1|＝5，|PF2|＝3，|F1F2|＝4，
故，即PF2⊥F1F2，
故．
故选：B．
4．已知双曲线C的上，下焦点分别为点F1，F2，若C的实轴长为1，且C上点P满足PF1⊥PF2，PF1 PF2＝4，则C的方程为（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解答】解：||PF1|﹣|PF2||＝2a＝1，
2|PF1| |PF2|＝1，
|PF1| |PF2|＝4，且
PF1⊥PF2，
则（2c）2，即（2a）2＝（2c）2﹣2×4，可得1＝4c2﹣8，解得，
又因为c2＝a2+b2，解得，
所以，
故双曲线C的方程为，即4y2．
故选：D．
5．已知椭圆与双曲线有共同的焦点，则直线mx+ny＝1必过定点（　　）
A． B． C．（1，﹣1） D．（3，﹣3）
【答案】B
【解答】解：由双曲线可知：c2＝n+1，且焦点在x轴上，
由题意和椭圆方程可得：c2＝m﹣2，m＞2，即n+1＝m﹣2，
可得，所以直线mx+ny＝l必过定点．
故选：B．
6．已知双曲线的右焦点为F（c，0），虚轴的一个端点为A，若原点O到直线AF的距离为，则E的渐近线方程为（　　）
A． B． C． D．y＝±2x
【答案】A
【解答】解：设原点O在直线AF的投影为H．
在直角△OFH中，，则∠OFH＝30°，
所以，得，则a2+b2＝3b2，
解得．所以双曲线的渐近线方程为：y＝±x．
故选：A．
7．已知双曲线的左、右焦点分别是F1，F2，过点F2的直线l与双曲线C的右支交于A，B两点，若|AF1|+|BF1|＝3|F1F2|，则双曲线C的离心率的取值范围是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解答】解：由已知，设|AF1|≥|BF1|，且|AF1|﹣|AF2|＝2a，|BF1|﹣|BF2|＝2a，
两式相加得|AF1|+|BF1|﹣（|AF2|+BF2|）＝4a，
又|AF2|+|BF2|＝|AB|，则|AF1|+|BF1|﹣|AB|＝4a，
又|AF1|+|BF1|＝3|F1F2|＝6c，则|AB|＝6c﹣4a，
当AB⊥x轴时，|AB|最小，此时|AB|，
所以，即2c2﹣6ac+2a2≤0，即2e2﹣6e+2≤0，
得，
又双曲线的离心率大于1，则1．
故选：B．
8．已知双曲线的两个焦点分别为F1，F2，过右焦点F2作直线l，交右支于A，B两点，以AB为直径的圆过F1，若，则双曲线C的离心率的平方为（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【解答】解：已知双曲线的两个焦点分别为F1，F2，过右焦点F2作直线l，交右支于A，B两点，
又，
则，
即，
令|AF2|＝3t，
得到|BF2|＝10t，|AB|＝13t，
由双曲线定义得|AF1|＝|AF2|+2a＝3t+2a，|BF1|＝|BF2|+2a＝10t+2a，
因为以AB为直径的圆过F1，所以BF1⊥AF1，
故，
得到（3t+2a）2+（10t+2a）2＝（13t）2，
整理得15t2﹣13at﹣2a2＝（15t+2a）（t﹣a）＝0，
解得t＝a，
则|AF1|＝5a，|AF2|＝3a，
在△AF1F2中，由余弦定理得，
得，
整理得73a2＝13c2，
则．
故选：A．
二．多选题（共3小题）
（多选）9．双曲线C：的左、右焦点分别为F1，F2，左、右顶点分别为A1，A2，以F1F2为直径的圆与曲线C的一条渐近线交于M、N两点，且，则下列说法一定正确的是（　　）
A．C的离心率为
B．
C．
D．当时，四边形NF1MF2的面积为
【答案】ABD
【解答】解：双曲线C：1，则F1（﹣c，0），F2（c，0），A1（﹣a，0），A2（a，0），
渐近线方程为y，
以F1F2为直径的圆方程为x2+y2＝c2，
联立方程组得，解得，，
设M（a，b），N（﹣a，﹣b），
则（﹣2a，﹣b），（0，﹣b），
由∠A1MA2，得cos，，
解得b＝2a，则c，
离心率e，故A正确；
可知（0，b），（﹣2a，﹣b），
则cos，，
∴∠MA2N，故B正确；
由b＝2a，得（02a，﹣2a），（0，2a），||＝2a，|MA1||MA2|，
当M，N位置互换时，|MA1|＝|MA2|，不符合条件，故C错误；
由（2a，0），（0，﹣b），得 0，∴MA2⊥A1A2，
∵b＝2a，ca，
∴22b×2c＝2a 220，故D正确．
故选：ABD．
（多选）10．已知F为双曲线的右焦点，经过点F的直线l交C的两条渐近线于A，B两点，O为坐标原．若，则以下说法正确的是（　　）
A．OF是△OAB的角平分线
B．
C．两条渐近线夹角的余弦值为
D．双曲线C的离心率为
【答案】ABD
【解答】解：对于A：因为F为双曲线的右焦点，
经过点F的直线l交C的两条渐近线于A，B两点，
根据双曲线渐近线的对称性可知OF是△OAB的角平分线，故A选项正确；
对于B，因为在△AOB中，OF为∠AOB的平分线，
所以，
所以，故B选项正确；
对于C；设，则，
由余弦定理得，故C选项错误；
对于D：因为cos2θ＝2cos2θ﹣1，
所以，即，所以，故D选项正确．
故选：ABD．
（多选）11．某数学研究小组发现，函数的图象为双曲线，两个焦点分别为M，N，记该双曲线为τ，点P为τ上任意一点，则（　　）
A．是τ的一条渐近线
B．点是τ的一个顶点
C．||PM|﹣|PN||＝2
D．τ的离心率为
【答案】ACD
【解答】解：对于A，当x趋于正无穷时，趋于0，所以趋于直线，
x趋于负无穷时，同理，故直线是τ的渐近线，A正确；
对于B，因为直线和y轴是τ的两条渐近线，
所以两渐近线在第一象限的角平分线为双曲线的焦点所在对称轴，
该对称轴为直线yx，联立yx和，
解得第一象限内的交点为（，），故B错误；
对于C，由B选项分析知，双曲线的对称中心到顶点（，）的距离为，
所以根据双曲线的定义||PM|﹣|PN||，故C正确；
对于D，因为渐近线之一为直线，
曲线绕原点顺时针旋转60°转化为标准双曲线后，该渐近线变为，
所以离心率e，故D正确．
故选：ACD．
三．填空题（共3小题）
12．已知双曲线C的对称中心为坐标原点O，C的一个焦点为F，若点M，N分别在C的两条渐近线上，且满足四边形OMFN为正方形，则C的离心率为　　 ．
【答案】．
【解答】解：因为四边形OMFN为正方形，且点M，N分别在C的两条渐近线上，
所以C的两条渐近线互相垂直，
由双曲线的对称性，其中一条渐近线的斜率或，
即a＝b，所以双曲线C的离心率为．
故答案为：．
13．如图，双曲线C：的右焦点为F，过点F作渐近线的垂线l，垂足为A，且l与另一条渐近线、y轴分别交于B，C，若，则双曲线的离心率为　　 ．
【答案】．
【解答】解：直线，
∵直线l与直线l1垂直，∴直线l的斜率为．
又直线l过点F（c，0），可得直线l的方程为，
联立直线l与直线l1的方程，
解得，则，
∴点A的坐标为．
在直线l的方程中，令x＝0，可得，
∴点C的坐标为．
∵，∴A为BC的中点，
设点B的坐标为（x，y），可得，解得．
∵点B在另一条渐近线上，
∴将代入可得：．
化简可得，即c2＝4b2，
∵c2＝a2+b2，∴，则．
∴．
故答案为：．
14．已知双曲线的上、下焦点分别为F1，F2，P是双曲线C的上支上的任意一点（不在y轴上），PF2与x轴交于点A，△PAF1的内切圆在边AF1上的切点为B，若|AB|＞2b，则双曲线C的离心率的取值范围是　　 ．
【答案】．
【解答】解：双曲线的上、下焦点分别为F1，F2，
P是双曲线C的上支上的任意一点（不在y轴上），PF2与x轴交于点A，
△PAF1的内切圆在边AF1上的切点为B，|AB|＞2b，
设该内切圆在PF1，PA上的切点分别为D，E，
由切线长定理可得|AB|＝|AE|，|PD|＝|PE|，|F1B|＝|F1D|，
又|PF2|﹣|PF1|＝2a，|AF1|＝|AF2|，
所以|PA|+|AF1|﹣|PF1|＝2a，所以|AE|+|PE|+|AB|+|BF1|﹣|PF1|＝2a，
所以|AB|+|PD|+|AB|+|F1D|﹣|PF1|＝2a，故2|AB|＝2a，
所以|AB|＝a，
因为|AB|＞2b，所以a＞2b，
故，又，
所以．
故答案为：．
四．解答题（共5小题）
15．已知以原点O为中心，为右焦点的双曲线C的离心率．
（1）求双曲线C的标准方程及其渐近线方程；
（2）若直线交C于A，B两点，且，求直线l的方程．
【答案】（1）；；
（2）．
【解答】解：（1）依题意，设双曲线C的标准方程为，半焦距，
离心率，
则a＝2，，
所以双曲线C的标准方程为，其渐近线方程为．
（2）依题意设A（x1，y1），B（x2，y2），
联立l：与C的方程，
消去y整理可得5x2﹣24tx+16（t2+1）＝0，
则，；
且Δ＝（﹣24t）2﹣4×5×16（t2+1）＝256t2﹣320＞0，
解得，
所以，
解得，满足，符合题意，
所以直线l的方程为．
16．已知双曲线的实轴长为2，离心率为，直线l：y＝kx+m与双曲线C相交于A、B两点．
（1）求双曲线C的方程；
（2）若AB的中点为M（2，1），求直线l的方程．
【答案】（1）；
（2）y＝4x﹣7．
【解答】解：（1）根据题意得，
解得，
所以双曲线C的方程为．
（2）由（1）知，双曲线C的方程为，
设A（x1，y1），B（x2，y2），
联立，
化简得（k2﹣2）x2+2kmx+（m2+2）＝0，
则Δ＝4k2m2﹣4（k2﹣2）（m2+2）＝8（m2+2﹣k2）＞0，
且，，
由M（2，1）为AB的中点，
得，
解得k＝4，m＝﹣7，且满足Δ＞0，
所以直线l的方程为y＝4x﹣7．
17．已知双曲线的离心率为，且过点．
（1）求双曲线C的标准方程；
（2）设双曲线C的左、右两个顶点为A、B，过右焦点的直线交双曲线于P，Q两点，直线AP与直线BQ交于点T，求证：点T在定直线上．
【答案】（1）；
（2）证明：因为直线PQ过右焦点，且与双曲线交于P，Q两点，故直线PQ不与x轴平行，
设直线方程为，设P（x1，y1），Q（x2，y2），
联立，整理可得，
因为Δ＝320m2﹣64（4m2﹣1）＝64（m2+1）＞0，且，，
可得my1y2（y1+y2），
由题知，A（﹣1，0），B（1，0），设T（n，t），
则直线，直线BQ：y（x﹣1），
将T（n，t）代入两式，可得t（n+1），t（n﹣1），
两式相除得
即，解得，
所以点T在定直线上．
【解答】（1）解：由题意，，，c2＝a2+b2，
联立解得，
双曲线C的标准方程为．
（2）证明：因为直线PQ过右焦点，且与双曲线交于P，Q两点，故直线PQ不与x轴平行，
设直线方程为，设P（x1，y1），Q（x2，y2），
联立，整理可得，
因为Δ＝320m2﹣64（4m2﹣1）＝64（m2+1）＞0，且，，
可得my1y2（y1+y2），
由题知，A（﹣1，0），B（1，0），设T（n，t），
则直线，直线BQ：y（x﹣1），
将T（n，t）代入两式，可得t（n+1），t（n﹣1），
两式相除得
即，解得，
所以点T在定直线上．
18．已知双曲线的一条渐近线的倾斜角为，焦距为4．过点（1，0）的直线与双曲线C相交于A，B两点，点B关于x轴对称的点为点D．
（1）求双曲线C的标准方程；
（2）证明：直线AD过定点；
（3）若直线AD的斜率为，求直线AB的方程．
【答案】（1）；
（2）证明：由已知，直线AB的斜率存在，故设直线AB的方程为y＝k（x﹣1），
点A，B的坐标分别为（x1，y1），（x2，y2），
将直线AB的方程与双曲线方程联立，，
得（3k2﹣1）x2﹣6k2x+3k2+3＝0，
有，
则点D的坐标为（x2，﹣y2），
设直线AD与x轴交点为（t，0），
有，即，
即（x1﹣1）（x2﹣t）+（x2﹣1）（x1﹣t）＝0，
整理得2x1x2﹣（t+1）（x1+x2）+2t＝0，
即，化简可得t＝3，
故直线AD过定点（3，0）；
（3）或．
【解答】解：（1）设双曲线C的焦距为2c，
由题意有，解得，故双曲线C的标准方程为；
（2）证明：由已知，直线AB的斜率存在，故设直线AB的方程为y＝k（x﹣1），
点A，B的坐标分别为（x1，y1），（x2，y2），
将直线AB的方程与双曲线方程联立，，
得（3k2﹣1）x2﹣6k2x+3k2+3＝0，
，
则点D的坐标为（x2，﹣y2），
设直线AD与x轴交点为（t，0），
有，即，
即（x1﹣1）（x2﹣t）+（x2﹣1）（x1﹣t）＝0，
整理得2x1x2﹣（t+1）（x1+x2）+2t＝0，
即，化简可得t＝3，
故直线AD过定点（3，0）；
（3）如图，
由（2），直线AD过定点（3，0），直线AD的斜率为，
所以直线AD的方程为，
联立方程，得x2+6x﹣15＝0，
可得x1+x2＝﹣6，x1x2＝﹣15，y1﹣y2，
，
故直线AB的方程为或．
19．已知点A（2，3），为双曲线C：（a＞0，b＞0）上两点．
（1）求双曲线C的方程；
（2）若，直线l：y＝kx+m（km≠0）与C交于M，N两点，且|PM|＝|PN|，求实数m的取值范围．
【答案】（1）；
（2）．
【解答】解：（1）将A（2，3），的坐标代入双曲线C的方程，可得，解得，
∴双曲线C的方程为；
（2）设M（x1，y1），N（x2，y2），线段MN的中点E（x0，y0），
联立，消去y整理得（k2﹣3）x2+2kmx+m2+3＝0，
∴，即m2﹣k2+3＞0且①，
∴，，
∴，，
∵|PM|＝|PN|，∴PE⊥MN，
∴，
∴②，
又③，
由①②③得或，
∴实数m的取值范围是．第50讲 双曲线的定义、标准方程及其简单几何性质
【基础回顾】
知识点1．双曲线的定义
把平面内与两个定点F1，F2的距离的差的绝对值等于非零常数(小于|F1F2|)的点的轨迹叫做双曲线．这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距．
知识点2．双曲线的标准方程和简单几何性质
标准方程 －＝1(a>0，b>0) －＝1(a>0，b>0)
图形
性质 焦点 F1(－c，0)，F2(c，0) F1(0，－c)，F2(0，c)
焦距 |F1F2|＝2c
范围 x≤－a或x≥a，y∈R x∈R，y≤－a或y≥a
对称性 对称轴：坐标轴；对称中心：原点
顶点 A1(－a，0)，A2(a，0) A1(0，－a)，A2(0，a)
轴 实轴：线段A1A2，长：2a；虚轴：线段B1B2，长：2b，实半轴长：a，虚半轴长：b
离心率 e＝∈(1，＋∞)
渐近线 y＝±x y＝±x
a，b，c的关系 c2＝a2＋b2(c>a>0，c>b>0)
【必备知识】
1．双曲线的焦点到渐近线的距离为常数b，顶点到两条渐近线的距离为常数．
2．双曲线上的任意点P到双曲线C的两条渐近线的距离的乘积是一个常数．
3．若P是双曲线右支上一点，F1，F2分别为双曲线的左、右焦点，则|PF1|min＝a＋c，|PF2|min＝c－a．
4．离心率e＝＝＝．
5．双曲线上一点P(x0，y0)与两焦点F1，F2构成的△PF1F2为焦点三角形．
(1)△PF1F2内切圆圆心的横坐标的绝对值为定值a；
(2)设∠F1PF2＝θ，|PF1|＝r1，|PF2|＝r2，则cosθ＝1－，S△PF1F2＝r1r2sinθ＝·b2＝．
题型一 利用双曲线的定义求轨迹方程
利用双曲线的定义求方程，要注意三点：①距离之差的绝对值；②2a<|F1F2|；③焦点所在坐标轴的位置．
提示：一定要分清是双曲线，还是双曲线的一支，若是双曲线的一支，则需确定是哪一支．
【例题精讲】
1．已知F1，F2是双曲线x2﹣y2＝a2（a＞0）的左、右焦点，P为圆x2+y2＝2a2上一动点（纵坐标不为零），直线PF1，PF2分别交两条渐近线于M，N两点，则线段MN中点的轨迹为（　　）
A．平行直线 B．圆的一部分
C．椭圆的一部分 D．双曲线的一部分
2．设P是以F1，F2为焦点的双曲线上的动点，则△F1PF2的重心G的轨迹方程是（　　）
A． B．
C． D．（y≠0）
3．双曲线M：实轴的两个顶点为A，B，点P为双曲线M上除A，B外的一个动点，若QA⊥PA，QB⊥PB，则动点Q的轨迹方程是 　 　 ．
4．点P是双曲线x2﹣y2＝2上的动点，F是它的右焦点，则线段PF的中点M的轨迹方程为　 　 ．
5．已知双曲线的左、右焦点分别是 F1，F2，Q是双曲线右支上的动点，过F1作∠F1QF2的平分线的垂线，则垂足M的轨迹方程为 　 　 ．
题型二 双曲线的标准方程
求双曲线的标准方程的方法
定义法 由题目条件判断出动点轨迹是双曲线，由双曲线定义确定2a，2b或2c，从而求得双曲线方程
待定系数法 能确定焦点在x轴还是y轴上时，设出标准方程，再由条件确定a2，b2的值
焦点的位置不确定，要注意分类讨论．也可以将双曲线的方程设为－＝λ(λ≠0)或mx2－ny2＝1(mn>0)求解
与双曲线－＝1共渐近线的双曲线的方程可设为－＝λ(λ≠0)
【例题精讲】
1．若方程“”表示双曲线，则m的取值范围是（　　）
A．（7，+∞） B．（﹣7，5）
C．（﹣7，5）∪（7，+∞） D．（5，+∞）
2．已知双曲线C：1（a＞0，b＞0）的右焦点为F，抛物线y2＝3x与双曲线C的一条渐近线交于点A．O为坐标原点，若△AOF为正三角形，则双曲线C的方程为（　　）
A． B．
C． D．
3．已知焦点在x轴上的双曲线M与双曲线有共同的渐近线，且点P（2，1）在双曲线M上，则双曲线M的方程为（　　）
A． B．
C． D．
4．若方程表示焦点在y轴上的双曲线，则m的取值范围为　 　 ．
5．与双曲线有共同的渐近线，并且过点A（）的双曲线的标准方程为　 　 ．
题型三 双曲线的实轴、虚轴、焦距
求解与双曲线几何性质有关的问题时，要理清顶点、焦点、实轴长、虚轴长、焦距等基本量的内在联系．
【例题精讲】
1．若双曲线的方程为，其焦点在x轴上，焦距为4，则实数t等于（　　）
A．2 B．3 C．4 D．5
2．双曲线的一个焦点为（0，2），则a＝（　　）
A． B． C．3 D．
3．已知双曲线C：的右焦点为F，过点F作C的一条渐近线的垂线，垂足为H，则|FH|＝（　　）
A．1 B．a C． D．2
4．已知双曲线的上、下焦点分别为F1，F2，双曲线Γ以F1，F2为焦点，且过点M（1，﹣2），则Γ的渐近线方程为 　 　 ．
5．曲线是焦点在x轴上的双曲线，则m的取值范围为 　 　 ．
题型四 双曲线的渐近线
求双曲线渐近线方程的方法
方法一 若双曲线－＝1(a>0，b>0)，令－＝0，得渐近线方程±＝0
方法二 双曲线－＝1(a>0，b>0)的渐近线y＝±x的斜率k＝±与离心率e的关系为k2＝＝e2－1
提示：两条渐近线的倾斜角互补，斜率互为相反数，且两条渐近线关于x轴、y轴对称．
【例题精讲】
1．已知a＞b＞0，椭圆C1的方程为，双曲线C2的方程为，C1与C2的离心率之比为．则C2的渐近线方程为（　　）
A． B． C．x±3y＝0 D．3x±y＝0
2．已知双曲线的左、右焦点分别为F1，F2，点P是C上一点，且，|PF2|＝3|PF1|，则C的渐近线方程为（　　）
A． B． C． D．
3．已知双曲线，过点P（﹣4，0）的直线与C交于A，B两点，若线段AB的中点是M（2，6），则双曲线的渐近线方程为（　　）
A． B． C． D．
（多选）4．已知焦点在y轴上的等轴双曲线C（对称中心为坐标原点O）的实轴长与圆O的半径相等，C与圆O在第一、二、三、四象限分别交于P，Q，M，N四点，且，则（　　）
A．C的渐近线方程为y＝±x
B．C的焦距为
C．
D．四边形PQMN的面积为
（多选）5．已知焦点在x轴上的等轴双曲线C（对称中心为坐标原点O）的实轴长与圆O的半径相等，C与圆O在第一、二、三、四象限分别交于P，Q，M，N四点，且，则（　　）
A．C的渐近线方程为y＝±x
B．
C．C的焦距为4
D．四边形PQMN的面积为
题型五 双曲线的离心率
求双曲线离心率的方法
直接法 求a，b，c的值，由＝＝1＋直接求e
方程法 列出含有a，b，c的齐次方程，借助b2＝c2－a2消去b，然后转化成关于e的方程求解
【例题精讲】
1．由伦敦著名建筑事务所SteynStudio设计的南非双曲线大教堂惊艳世界，该建筑是数学与建筑完美结合造就的艺术品．若将如图所示的大教堂外形弧线的一段近似看成双曲线的一部分，且此双曲线的一条渐近线为，则该双曲线的离心率为（　　）
A． B． C． D．
2．已知双曲线E：1（a＞0，b＞0）与平行于x的动直线交于A，B两点，点A在点B左侧，F为双曲线E的左焦点，延长BF至点C，使AF＝FC，连接AC交x轴于点D，若FC＝2FD，则该双曲线的离心率为（　　）
A． B． C．2 D．3
3．已知双曲线C：的上、下焦点分别为F1，F2，P是C上支上的一点（不在y轴上），PF2与x轴交于点A，△PAF1的内切圆在边AF1上的切点为B，若|AB|＞2b，则C的离心率的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
4．已知双曲线的左、右焦点分别为F1，F2，P是C右支上一点，线段PF1与C的左支交于点M．若∠F1PF2＝90°，且，则C的离心率为 　 　 ．
5．已知双曲线的左右焦点分别为F1，F2，直线l经过点F2且与该双曲线的右支交于A，B两点，若△AF1B的周长为5a，则该双曲线离心率的取值范围是　 　 ．
课时精练
一．选择题（共8小题）
1．已知双曲线上一点P到它的左焦点的距离是5，则点P到它的右焦点的距离是（　　）
A．1 B．1或9 C．6 D．9
2．与圆x2+y2＝1及圆x2+y2﹣8x+12＝0都外切的圆的圆心在（　　）
A．一个椭圆上 B．一个圆上
C．一条抛物线上 D．双曲线的一支上
3．已知F1，F2是双曲线的左，右焦点，P是双曲线右支上一点，且|F1F2|是|PF1|和|PF2|的等差中项，则的值为（　　）
A．4 B．6 C．8 D．10
4．已知双曲线C的上，下焦点分别为点F1，F2，若C的实轴长为1，且C上点P满足PF1⊥PF2，PF1 PF2＝4，则C的方程为（　　）
A． B．
C． D．
5．已知椭圆与双曲线有共同的焦点，则直线mx+ny＝1必过定点（　　）
A． B． C．（1，﹣1） D．（3，﹣3）
6．已知双曲线的右焦点为F（c，0），虚轴的一个端点为A，若原点O到直线AF的距离为，则E的渐近线方程为（　　）
A． B． C． D．y＝±2x
7．已知双曲线的左、右焦点分别是F1，F2，过点F2的直线l与双曲线C的右支交于A，B两点，若|AF1|+|BF1|＝3|F1F2|，则双曲线C的离心率的取值范围是（　　）
A． B．
C． D．
8．已知双曲线的两个焦点分别为F1，F2，过右焦点F2作直线l，交右支于A，B两点，以AB为直径的圆过F1，若，则双曲线C的离心率的平方为（　　）
A． B． C． D．
二．多选题（共3小题）
（多选）9．双曲线C：的左、右焦点分别为F1，F2，左、右顶点分别为A1，A2，以F1F2为直径的圆与曲线C的一条渐近线交于M、N两点，且，则下列说法一定正确的是（　　）
A．C的离心率为
B．
C．
D．当时，四边形NF1MF2的面积为
（多选）10．已知F为双曲线的右焦点，经过点F的直线l交C的两条渐近线于A，B两点，O为坐标原．若，则以下说法正确的是（　　）
A．OF是△OAB的角平分线
B．
C．两条渐近线夹角的余弦值为
D．双曲线C的离心率为
（多选）11．某数学研究小组发现，函数的图象为双曲线，两个焦点分别为M，N，记该双曲线为τ，点P为τ上任意一点，则（　　）
A．是τ的一条渐近线
B．点是τ的一个顶点
C．||PM|﹣|PN||＝2
D．τ的离心率为
三．填空题（共3小题）
12．已知双曲线C的对称中心为坐标原点O，C的一个焦点为F，若点M，N分别在C的两条渐近线上，且满足四边形OMFN为正方形，则C的离心率为　 　 ．
13．如图，双曲线C：的右焦点为F，过点F作渐近线的垂线l，垂足为A，且l与另一条渐近线、y轴分别交于B，C，若，则双曲线的离心率为　 　 ．
14．已知双曲线的上、下焦点分别为F1，F2，P是双曲线C的上支上的任意一点（不在y轴上），PF2与x轴交于点A，△PAF1的内切圆在边AF1上的切点为B，若|AB|＞2b，则双曲线C的离心率的取值范围是　 　 ．
四．解答题（共5小题）
15．已知以原点O为中心，为右焦点的双曲线C的离心率．
（1）求双曲线C的标准方程及其渐近线方程；
（2）若直线交C于A，B两点，且，求直线l的方程．
16．已知双曲线的实轴长为2，离心率为，直线l：y＝kx+m与双曲线C相交于A、B两点．
（1）求双曲线C的方程；
（2）若AB的中点为M（2，1），求直线l的方程．
17．已知双曲线的离心率为，且过点．
（1）求双曲线C的标准方程；
（2）设双曲线C的左、右两个顶点为A、B，过右焦点的直线交双曲线于P，Q两点，直线AP与直线BQ交于点T，求证：点T在定直线上．
18．已知双曲线的一条渐近线的倾斜角为，焦距为4．过点（1，0）的直线与双曲线C相交于A，B两点，点B关于x轴对称的点为点D．
（1）求双曲线C的标准方程；
（2）证明：直线AD过定点；
（3）若直线AD的斜率为，求直线AB的方程．
19．已知点A（2，3），为双曲线C：（a＞0，b＞0）上两点．
（1）求双曲线C的方程；
（2）若，直线l：y＝kx+m（km≠0）与C交于M，N两点，且|PM|＝|PN|，求实数m的取值范围．

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