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第51讲 直线与双曲线的位置关系
【基础回顾】
知识点1．直线与双曲线的位置关系
将直线的方程y＝kx＋m与双曲线的方程－＝1(a>0，b>0)联立组成方程组，消元转化为关于x的方程(b2－a2k2)x2－2a2mkx－a2m2－a2b2＝0．
(1)若b2－a2k2＝0(m≠0)，即k＝±时，直线与双曲线的渐近线平行，直线与双曲线相交于一点．
(2)若b2－a2k2≠0，即k≠±时，Δ＝(－2a2mk)2－4(b2－a2k2)(－a2m2－a2b2)．
①Δ＞0 直线和双曲线相交 直线和双曲线有两个交点；
②Δ＝0 直线和双曲线相切 直线和双曲线有一个公共点；
③Δ＜0 直线和双曲线相离 直线和双曲线无公共点．
知识点2．直线与双曲线的相交弦
设直线y＝kx＋m交双曲线－＝1(a>0，b>0)于P1(x1，y1)，P2(x2，y2)两点，则
|P1P2|＝＝＝|x1－x2|，
同理，可得|P1P2|＝|y1－y2|(k≠0)．
这里|x1－x2|，|y1－y2|的求法通常使用根与系数的关系，需作以下变形：
|x1－x2|＝，
|y1－y2|＝．
【必备知识】
1．与双曲线只有一个公共点的直线有两种：一种是与渐近线平行且与双曲线交于一点的直线；另一种是与双曲线相切的直线．
2．同支的焦点弦中最短的为通径(过焦点且垂直于实轴的弦)，其长为；异支的弦中最短的弦为实轴，其长为2a．
题型一 直线与双曲线的位置关系
通常把直线与双曲线的方程联立成方程组，通过消元后化为ax2＋bx＋c＝0的形式．
(1)在a≠0的情况下考察方程的判别式
①Δ>0时，直线与双曲线有两个不同的公共点；
②Δ＝0时，直线与双曲线只有一个公共点；
③Δ<0时，直线与双曲线没有公共点．
(2)当a＝0时，此时直线与双曲线的渐近线平行，直线与双曲线有一个公共点．
【例题精讲】
1．已知双曲线x2﹣y2＝1，直线y＝kx﹣1与双曲线相切于点P，与两条渐近线相交于A，B两点，则此时三角形OAB（O为原点）的面积为（　　）
A． B．1 C． D．2
【答案】B
【解答】解：由，消去y并整理得（k2﹣1）x2﹣2kx+2＝0，
显然k2≠1，则Δ＝4k2﹣8（k2﹣1）＝0，解得，
由对称性，不妨取，
直线，而双曲线x2﹣y2＝1的渐近线方程为x2﹣y2＝0，
由，消去y并整理得，设A（x1，y1），B（x2，y2），
则，x1x2＝1，直线AB交y轴于点P（0，﹣1），
所以三角形OAB的面积为：．
故选：B．
2．“k＝±”是“直线y＝k（x﹣3）与双曲线1只有一个公共点”的（　　）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】C
【解答】解：直线y＝k（x﹣3）恒过点（3，0），且双曲线的右顶点坐标为（2，0），
若直线y＝k（x﹣3）与双曲线1只有一个公共点，
则直线y＝k（x﹣3）与双曲线的渐近线平行，
又因为双曲线的渐近线方程为y＝±x，
所以k，
所以“k＝±”是“直线y＝k（x﹣3）与双曲线1只有一个公共点”的充要条件．
故选：C．
3．设A，B为双曲线上两点，下列四个点中，可为线段AB中点的是（　　）
A．（1，1） B．（﹣1，2） C．（2，4） D．（﹣1，﹣3）
【答案】D
【解答】解：因为双曲线方程为，
所以a＝1，b＝2，，
设A（x1，y1），B（x2，y2），
此时，，
两式相减并整理得，
因为，
所以±2，
因为点 （﹣1，2）对应，故选项B错误；
点（2，4）对应，故选项C错误；
点（1，1）对应，
所以，
此时直线AB的方程为y﹣1＝4（x﹣1），
即y＝4x﹣3，
联立，消去y并整理得﹣12x2+24x﹣13＝0，
此时Δ＝242﹣4×12×13＝﹣48＜0，
所以方程组无解，故选项A错误；
因为点（﹣1，﹣3）对应，
所以，
此时直线AB的方程为，
即，
联立，消去y并整理得20x2+40x﹣61＝0，
此时Δ＝402+4×20×61＝6480＞0，故选项D正确．
故选：D．
4．已知双曲线mx2﹣y2＝1，过点P（1，1）的直线l与双曲线相交于A，B两点，P为弦AB中点，则正整数m的最小值为　3　 ．
【答案】3．
【解答】解：设A（x1，y1），B（x2，y2），过点P（1，1）的直线l与双曲线相交于A，B两点，P为弦AB中点，
则此直线一定存在斜率，设过点P（1，1）的直线l的方程为y﹣1＝k（x﹣1），
联立方程组，化简得（m﹣k2）x2+2k（k﹣1）x﹣（k﹣1）2﹣1＝0，
则Δ＝[2k（k﹣1）]2+4（m﹣k2）[（k﹣1）2+1]＞0，即m（k2﹣2k+2）﹣k2＞0，
所以，又P为弦AB中点，
所以，即﹣2k（k﹣1）＝2（m﹣k2），
化简得m＝k，又m＞0，m（k2﹣2k+2）﹣k2＞0，
即m（m2﹣2m+2）﹣m2＞0，解得：m＞2或0＜m＜1，
所以正整数m的最小值为3．
故答案为：3．
5．若直线y＝2x与双曲线的右支只有一个公共点，则m的一个取值为　5（答案不唯一）　 ．
【答案】5（答案不唯一）．
【解答】解：若直线y＝2x与双曲线的右支只有一个公共点，
又双曲线的一条渐近线方程为，
则，解得：m＞4．
故m的一个取值可以为5．
故答案为：5（答案不唯一）．
题型二 弦长问题
1．距离公式法
当弦的两端点坐标易求时，可直接求出交点坐标，再利用两点间距离公式求弦长．
2．弦长公式法
当弦的两端点坐标不易求时，可利用弦长公式求解．
【例题精讲】
1．已知F是双曲线的上焦点，点P是双曲线下支上的动点，点A（3，1），则|PF|+|PA|的最小值为（　　）
A．11 B．9 C． D．5
【答案】B
【解答】解：F是双曲线的上焦点（0，3），下焦点F′（0，﹣3），
点P是双曲线下支上的动点，点A（3，1），则|PF|+|PA|＝4+|PF′|+|PA|≥4+|AF′|＝44+5＝9，
当且仅当F′、P、A三点共线时取等号．
故选：B．
2．已知双曲线的左、右焦点分别为F1、F2，过坐标原点的直线与双曲线C交于A、B两点，若|F1A|＝2|F1B|，则|AB|＝（　　）
A． B． C． D．4
【答案】A
【解答】解：如图，
因为双曲线，
所以a＝2，，，
由双曲线的对称性知|F1B|＝|F2A|，
所以|F1A|＝2|F1B|＝2|F2A|，
由双曲线定义可得|F1A|﹣|F2A|＝2|F2A|﹣|F2A|＝|F2A|＝2a＝4，
所以|F1A|＝8，又，
所以，
所以AF2⊥F1F2，
所以，
故．
故选：A．
3．已知双曲线的一条渐近线为，过双曲线C的右焦点F作x轴的垂线，交双曲线C于A、B两点，则弦AB的长度为（　　）
A． B． C．2 D．1
【答案】A
【解答】解：由双曲线的一条渐近线为，
化简得，即，
同时平方得，
又双曲线中a2＝m，b2＝1，故，解得m＝3，或m＝0（舍去），
所以双曲线，
所以双曲线C的右焦点为F（2，0），
右焦点F作x轴的垂线，交双曲线C于A、B两点，
则，
故弦AB的长度为．
故选：A．
（多选）4．已知双曲线C：（b＞0）的左、右焦点分别为F1（﹣c，0），F2（c，0），直线l：与双曲线C的右支相交于A，B两点（点A在第一象限），若|AF1|＝|AB|，则（　　）
A．双曲线的离心率为
B．
C．
D．△AF1F2面积为
【答案】AC
【解答】解：由双曲线C：（b＞0），可得a＝2，由于直线l：化为，
可知直线l过右焦点F2，斜率，
设直线l的倾斜角为，则，解得，
设|AF1|＝|AB|＝x，由，可得|BF1|＝8，|BF2|＝4，|AF2|＝x﹣4，
如图，
对于选项A，在△BF1F2中，可知，|F1F2|＝2c，
由余弦定理得，，
即，解得或（舍去），
∴双曲线的离心率为，故A选项正确；
对于选项B，因为|AF1|＝|AB|，∴∠AF1B＝∠F2BF1，
在△BF1F2中，，
∴，故B选项错误；
对于选项C，在△AF1F2中，，
∴，
即，解得，即，故C选项正确；
对于选项D，由，可得，
∴△AF1F2的面积为，故D选项错误．
故选：AC．
5．已知曲线C：2x2﹣3y2﹣6＝0，两条直线l1，l2均过坐标原点O，l1和C交于M，N两点，l2和C交于P，Q两点，若△OPN的面积为，则四边形PNOM的面积为 　　 ．
【答案】．
【解答】解：如图，因为两条直线l1，l2均过坐标原点O，
又l1和C交于M，N两点，l2和C交于P，Q两点，且△OPN的面积为，
而曲线C为，关于原点O对称，
所以P、Q两点关于原点O对称，M，N两点关于原点O对称，
所以|OM|＝|ON|，|OP|＝|OQ|，
所以S△OPN＝S△OPM＝S△ONQ＝S△OMQ，
所以．
故答案为：．
题型三 直线与双曲线的综合问题
利用双曲线的定义、几何性质来研究直线与双曲线的位置关系时：如果是判断直线与双曲线的位置关系，可以通过联立方程，利用方程组的解的个数来判断；如果涉及弦长问题，可以利用弦长公式解决；如果涉及面积问题，往往需要利用弦长公式、面积公式、构建目标函数来解决问题．
【例题精讲】
1．设双曲线的左焦点为F，O为坐标原点，P为双曲线C右支上的一点，，在上的投影向量的模为，则双曲线C的离心率为（　　）
A．3 B． C．5 D．
【答案】D
【解答】解：设M为PF的中点，F2为右焦点，P为双曲线C右支上的一点，，可得，
∴OM⊥PF，∴OF＝OP＝c，
在上的投影向量的模为，∴，，，
∴，PF﹣PF2＝2a，∴2a，∴e．
故选：D．
2．过双曲线的右支上一点P，分别向和作切线，切点分别为M，N，则的最小值为（　　）
A．28 B．29 C．30 D．32
【答案】C
【解答】解：圆C1：（x+4）2+y2＝3的圆心为（﹣4，0），半径为；
圆C2：（x﹣4）2+y2＝1的圆心为（4，0），半径为r2＝1，
设双曲线的左右焦点为F1（﹣4，0），F2（4，0），
连接PF1，PF2，F1M，F2N，可得
＝（|PF1|﹣|PF2|）（|PF1|+|PF2|）﹣2
＝2a（|PF1|+|PF2|﹣2＝4（|PF1|+|PF2|）﹣2≥4 2c﹣2＝4 8﹣2＝30．
当且仅当P为右顶点时，取得等号，即最小值30．
∴的最小值为30．
故选：C．
3．已知A是双曲线在第一象限上的一点，点B与点A关于原点O对称，过点A作AM⊥AB，与C的另外一个交点为M，连接BM，与y轴交于点N，若，则C的离心率为（　　）
A． B． C． D．3
【答案】C
【解答】解：取BM的中点Q，连接OQ，如图，
∵O为AB的中点，故OQ∥AM，
设B（x1，y1）（x1＜0，y1＜0），M（x2，y2），Q（x0，y0），x1≠x2，
A是双曲线在第一象限上的一点，点B与点A关于原点O对称，
可知B，M在双曲线上，可得，两式相减可得，，
即，显然，并且，
可得，∴，
又∵AB⊥AM，则OB⊥OQ，即kOB kOQ＝﹣1，
∴，即，∴，
又，则，
即，故N（0，7y1），
∴，而kBM＝kBN，故，
故，则双曲线C的离心率为．
故选：C．
（多选）4．已知双曲线C：的左、右焦点分别为F1，F2，直线l：y＝kx交C于A，B两点，则（　　）
A．
B．
C．的最小值为﹣3
D．F2到l的距离的最大值为
【答案】AC
【解答】解：对于选项A：易知双曲线的渐近线方程为，
要使直线y＝kx与双曲线交于点A，B，
需满足，故选项A正确；
对于选项B：因为，
又点A，B关于原点对称，
所以四边形AF1BF2为平行四边形，
此时|BF1|＝|AF2|，
所以，故选项B错误；
对于选项C：设A（m，n），
因为点A在双曲线上，
所以（或），
解得，
又F1（﹣3，0），F2（3，0），
所以，
此时，故选项C正确；
对于选项D：因为F2（3，0），
当k＝0时，直线l的方程为y＝0，
此时点F2到直线l的距离为0；
当k≠0时，
点F2到直线y＝kx即kx﹣y＝0的距离为，
因为且k≠0，
所以，
此时，
则F2到直线l的距离小于，故选项D错误．
故选：AC．
（多选）5．已知点P为双曲线C：1右支上一点，l1，l2为双曲线C的两条渐近线，过点P分别作PA⊥l1，PB⊥l2，垂足依次为A，B，过点P作PM∥l2交l1于点M，过点P作PN∥l1交l2于点N，O为坐标原点，则下列结论正确的是（　　）
A．|OP|≥|AB| B．|PA| |PB|
C．4S△PAB＝3S△PMN D．|MN|≥1
【答案】ACD
【解答】解：对于A选项，由题意可知PA⊥OA，PB⊥OB，则O、A、P、B四点共圆，
且OP为该圆的一条直径，AB为该圆的一条弦，故|OP|≥|AB|，故A正确；
对于B选项，设点P（m，n），则m2﹣3n2＝3，
双曲线C的渐近线方程为，即，
所以，故B错误；
对于C选项，因为双曲线C两渐近线的斜率分别为，
所以双曲线C两渐近线的夹角为，
由A选项可知，，
，
因为PM∥l2，则，因为PA⊥OA，则，同理，，
所以，则4S△PAB＝3S△PMN，故C正确；
对于D选项，由C选项可知，且，
由余弦定理可得|MN|2＝|PM2+|PN|2﹣2|PM| |PN| cos∠MPN＝|PM|2+|PN|2﹣1≥2|PM| |PN|﹣1＝1，
当且仅当|PM|＝|PN|＝1时，等号成立，故D正确．
故选：ACD．
课时精练
一．选择题（共8小题）
1．已知点P在以F1，F2分别为左、右焦点的双曲线x21上，若|PF2|＝8，则|PF1|＝（　　）
A．6 B．10 C．2 D．6或10
【答案】D
【解答】解：点P在以F1，F2分别为左、右焦点的双曲线x21上，可得a＝1，c3．
已知|PF2|＝8，由双曲线的定义可得||PF1|﹣|PF2||＝2a＝2，即||PF1|﹣8|＝2，∴|PF1|＝6或|PF1|＝10．
由于c﹣a＝2，故|PF1|＝6或10．
故选：D．
2．已知双曲线C的左、右焦点分别为F1，F2，过F2的直线与双曲线的右支交于A，B两点，若|AF1|＝|BF2|＝2|AF2|，则错误的是（　　）
A．∠AF1B＝∠F1AB
B．双曲线的离心率
C．双曲线的渐近线方程为
D．原点O在以F2为圆心，AF2为半径的圆上
【答案】D
【解答】解：对于A，如图，设|AF2|＝m，则|BF2|＝|AF1|＝2m，
由双曲线的定义得，2a＝|AF1|﹣|AF2|＝m，|BF1|＝|BF2|+2a＝2m+2a＝6a，
所以|AB|＝|AF2|+|BF2|＝3m＝6a，|BF1|＝|AB|，
所以∠AF1B＝∠F1AB，故A正确；
对于B，由A过程知，|AF1|＝2m＝4a，|BF1|＝|AB|＝6a，
在△AF1B中，，
在△AF1F2中，由余弦定理得，，
即，，所以，故B正确；
对于C，由，得，即，渐近线方程为，故C正确；
对于D，若原点O在以F2为圆心，AF2为半径的圆上，则|OF2|＝|AF2|，c＝m＝2a，
与B矛盾，不成立，故D错误．
故选：D．
3．已知双曲线的右焦点为F（2，0），点，点Q为双曲线C左支上的动点，则△PQF的周长的最小值为（　　）
A．9 B． C． D．
【答案】C
【解答】解：双曲线的右焦点为F（2，0），
可得m＞0，且3m+m＝4，解得m＝1，
双曲线的方程为y2＝1，即有a，
设左焦点为F'（﹣2，0），由双曲线的定义，可得|QF|﹣|QF'|＝2a＝2，
即有|QF|＝|QF'|+2，
可得|PQ|+|QF|＝|PQ|+|QF'|+2|PF'|+2224，当P，Q，F'三点共线时，取得等号，
则△PQF的周长|PQ|+|QF|+|PF|的最小值为426．
故选：C．
4．已知F1，F2为双曲线的左、右焦点，点A在C上，若|F1A|＝2|F2A|，∠AF1F2＝30°，△AF1F2的面积为，则C的方程为（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解答】解：因为|F1A|＝2|F2A|，所以|F1A|＞|F2A|，
又因为点A在C上，所以|F1A|﹣|F2A|＝2a，
即2|F2A|﹣|F2A|＝2a，所以|F2A|＝2a，|F1A|＝4a，
在△AF1F2中，由正弦定理得，
所以，
又0°＜∠AF2F1＜180°，所以∠AF2F1＝90°，故∠F1AF2＝60°，
则，所以a2＝3，
则，所以c2＝9，
所以b2＝c2﹣a2＝6，
所以C的方程为．
故选：B．
5．已知双曲线C：的左、右焦点分别为F1，F2，过点F1的直线l与双曲线C的左、右两支分别交于点A，B，H为AB中点，若F2H⊥AB，且|F2A|＝2|F1A|，则直线l的斜率k＝（　　）
A． B．或 C． D．或
【答案】D
【解答】解：设|F1A|＝m，因为|F2A|＝2|F1A|，所以|F2A|＝2m，
根据双曲线的定义，可得|F2A|﹣|F1A|＝2a，即2m﹣m＝2a，
解得m＝2a，所以|F1A|＝2a，|F2A|＝4a，
又|BF1|﹣|BF2|＝2a，
因为H为AB中点，且F2H⊥AB，所以|BF2|＝|AF2|＝4a，
那么|BF1|＝2a+|BF2|＝6a，
所以|AB|＝|BF1|﹣|AF1|＝6a﹣2a＝4a，则|AH|＝2a，
则，
|F1H|＝|F1A|+|AH|＝2a+2a＝4a，
设直线l的倾斜角为θ，则tanθ＝k，
则，
所以直线l的斜率．
故选：D．
6．已知双曲线的通径为线段AB，A到双曲线两条渐近线的距离之和等于实轴长，则双曲线的离心率为（　　）
A．3 B． C．2 D．
【答案】D
【解答】解：不妨设点A在第一象限，如图所示：
联立，可得，即点，
双曲线的渐近线方程为，即bx±ay＝0，
点A到直线bx﹣ay＝0的距离为，
点A到直线bx+ay＝0的距离为，
由A到双曲线两条渐近线的距离之和等于实轴长可得d1+d2＝2a，
即，可得b＝a，
故，故该双曲线的离心率为，
故选：D．
7．已知A，B是双曲线E：x2﹣y2＝1上不同的两点，其中B在E的右支上．直线l是E的斜率为正的渐近线，P是l上一点．已知|AB|＝2，若AB⊥x轴，则|PA|+|PB|的最小值为（　　）
A． B． C．6 D．
【答案】D
【解答】解：A，B是双曲线E：x2﹣y2＝1上不同的两点，其中B在E的右支上．直线l是E的斜率为正的渐近线，因为P是l上一点，若AB⊥x轴，当右焦点F2，A，B三点共线时|AB|恰为2，
设A在第一象限，则，直线l：x﹣y＝0，
取B关于l的对称点，则，
即|PA|+|PB|的最小值为．
故选：D．
8．已知双曲线的左，右顶点分别为A，B，点P在双曲线的右支上且异于点B．若直线AP的斜率的取值范围是，则直线BP的斜率的取值范围是（　　）
A．[4，8] B．（2，4]∪[8，+∞）
C．（4，8） D．（0，4]∪[8，+∞）
【答案】A
【解答】解：双曲线的左，右顶点分别为A（﹣1，0），B（1，0），
设P（x，y），P为双曲线右支上位于第一象限的动点，kAP kBP4，
直线AP的斜率的取值范围是，可得直线BP的斜率的取值范围是[4，8]．
故选：A．
二．多选题（共3小题）
（多选）9．已知F1，F2分别是双曲线C：x21的左、右焦点，经过点F1且倾斜角为钝角的直线l与C的两条渐近线分别交于A，B两点，点P为C上第二象限内一点，则（　　）
A．若双曲线E与C有相同的渐近线，且E的焦距为8，则E的方程为
B．若M（﹣2，2），则|PF1|+|PM|的最小值是
C．若△PF1F2内切圆的半径为1，则点P的坐标为（﹣2，3）
D．若线段AB的中垂线过点F2，则直线l的斜率为
【答案】BCD
【解答】解：对于A，若双曲线E与C：x21有相同的渐近线，且E的焦距为8，
设双曲线（λ≠0且λ≠1），即，
又E的焦距为8，所以|4λ|＝42，λ＝±4，所以E的方程为或，故A错误；
对于B，由双曲线的方程可得a＝1，b，c＝2，即有F1（﹣2，0），F2（2，0），
由双曲线的定义可得|PF2|﹣|PF1|＝2，所以|PF1|＝|PF2|﹣2，又|MF2|2，
，
当且仅当M，P，F2三点共线时等号成立，故B正确；
对于C，设内切圆圆心为I，直线PF1，PF2，F1F2与圆I的切点分别为Q，N，H．
则|PQ|＝|PN|，|QF1|＝|HF1|，|NF2|＝|HF2|，所以|PF2|﹣|PF1|＝|HF2|﹣|HF1|＝2a＝2，
|HF1|+|HF2|＝2c＝4，解得|HF1|＝1，|HF2|＝3，
连接F1I，HI，则内切圆半径r＝|HQ|＝1，
，，，
所以PF1⊥x轴，点P在第二象限，坐标为（﹣2，3），故C正确；
对于D，设AB的中点为D，两渐近线可写成，设A（x1，y1），B（x2，y2），
则，且，作差可得，
整理得，即kOD kAB＝3（*），
在Rt△F1DF2中，，则∠DOF2＝2∠DF1O，
故，即，
将此式代入（*）得，，解得，
由直线l的倾斜角为钝角知kAB＜0，则，故D正确．
故选：BCD．
（多选）10．已知F1，F2分别是双曲线的左、右焦点，M是该双曲线右支上一点，N在线段F1M上，，离心率为，则下列结论正确的为（　　）
A．实轴长为4 B．|NF1|﹣|NO|＝1
C．△F1MF2的面积为3 D．
【答案】ACD
【解答】解：选项A，双曲线的离心率e，解得a＝2，
所以实轴长为2a＝4，故选项A正确；
选项B，由，知N是线段F1M的中点，
因为O是线段F1F2的中点，所以ON∥MF2，|ON||MF2|，
由双曲线定义知，|MF1|﹣|MF2|＝2a＝4，
所以，故选项B错误；
选项C，由，知NF1⊥ON，
因为ON∥MF2，所以MF1⊥MF2，
所以，
所以，即|MF1| |MF2|＝6，
所以△F1MF2的面积为|MF1| |MF2|＝3，故选项C正确；
选项D，，
所以，故选项D正确．
故选：ACD．
（多选）11．已知双曲线C：的左、右焦点分别为F1，F2，直线l：y＝kx交C于A，B两点，则（　　）
A．
B．
C．的最小值为﹣3
D．F2到l的距离的最大值为
【答案】AC
【解答】解：对于选项A：易知双曲线的渐近线方程为，
要使直线y＝kx与双曲线交于点A，B，
需满足，故选项A正确；
对于选项B：因为，
又点A，B关于原点对称，
所以四边形AF1BF2为平行四边形，
此时|BF1|＝|AF2|，
所以，故选项B错误；
对于选项C：设A（m，n），
因为点A在双曲线上，
所以（或），
解得，
又F1（﹣3，0），F2（3，0），
所以，
此时，故选项C正确；
对于选项D：因为F2（3，0），
当k＝0时，直线l的方程为y＝0，
此时点F2到直线l的距离为0；
当k≠0时，
点F2到直线y＝kx即kx﹣y＝0的距离为，
因为且k≠0，
所以，
此时，
则F2到直线l的距离小于，故选项D错误．
故选：AC．
三．填空题（共3小题）
12．双曲线的左、右焦点分别为F1，F2，过F1的直线l交双曲线的两支于A，B两点，△ABF2为等边三角形，则双曲线的离心率为 　　 ．
【答案】．
【解答】解：双曲线的左、右焦点分别为F1，F2，过F1的直线l交双曲线的两支于A，B两点，△ABF2为等边三角形，
则|AF1|﹣|AF2|＝2a①，|BF2|﹣|BF1|＝2a②，
在等边△ABF2中，|AB|＝|BF2|＝|AF2|，
可得①+②可得：|AF1|﹣|BF1|＝|AB|＝4a，
则|AB|＝|AF1|＝|AF2|＝4a，
由|BF2|﹣|BF1|＝2a，
则|BF1|＝2a，
在△F1BF2中，∠F1BF2＝180°﹣∠ABF2＝120°，
由余弦定理可得：，
即，
由，
则﹣2＝5﹣e2，
解得．
故答案为：．
13．已知曲线C：y＝x3，两条直线l1，l2均过坐标原点O，l1和C交于M，N两点，l2和C交于P，Q两点．若△OPM的面积为，则△MNQ的面积为 　　 ．
【答案】．
【解答】解：设y＝f（x），x≠0，
又f（﹣x）f（x），∴f（x）为奇函数，
又两条直线l1，l2均过坐标原点O，l1和C交于M，N两点，l2和C交于P，Q两点，
∴M与N关于原点对称，且P，Q关于原点对称，
又△OPM的面积为，
∴△MNQ的面积为S△MNQ＝2S△OMQ．
故答案为：．
14．双曲线，焦距为，左、右焦点分别为F1，F2，动点P在双曲线右支上，过P作两条渐近线垂线分别交于M，N两点．若|PM|+|PF1|最小值为3，则|PM|+|PN|的最小值为 　　 ．
【答案】．
【解答】解：由于动点P在双曲线的右支上，
因此|PF1|﹣2a＝|PF2|，
因此|PM|+|PF1|＝|PM|+|PF2|+2a，
设点M在渐近线bx﹣ay＝0上，
过点F2作F2A⊥OM，那么|PM|+|PF2|+2a≥|F2A|+2a，
当且仅当点P为线段F2A与双曲线的交点时等号成立，
由于F2的坐标为（c，0），因此，
因此|PM|+|PF1|的最小值为b+2a，因为b+2a＝3，
由于的焦距为，
因此a2+b2＝2，又因为a＞b＞0，
因此a＝b＝1（舍去），或，
因此E：，
渐近线方程为x﹣7y＝0和x+7y＝0，
设点P的坐标为（m，n），那么，，
因此，|m+7n|＞0，|m﹣7n|＞0，
因此
，
当且仅当n＝0，时取到等号；
因此|PM|+|PN|的最小值为．
故答案为：．
四．解答题（共5小题）
15．已知双曲线C：1（a＞0，b＞0）的一条渐近线方程为xy＝0，焦点到渐近线的距离为1．
（1）求双曲线C的标准方程．
（2）已知斜率为的直线l与双曲线C交于x轴上方的A，B两点，O为坐标原点，直线OA，OB的斜率之积为，求△OAB的面积．
【答案】（1）；
（2）．
【解答】解：（1）设双曲线C的焦点F（c，0），则F到直线的距离为1，
则，
则，
双曲线渐近线的斜率，
又a2+b2＝3，
所以，b＝1，
所以双曲线C的方程：；
（2）设直线l：，A（x1，y1），B（x2，y2），
联立，
消去y，整理得x2+4tx﹣4（t2+1）＝0，
则Δ＝16t2+16（t2+1）＞0，
所以x1+x2＝﹣4t，，
所以，
解得t＝1或t＝﹣1（舍去），
所以x1+x2＝﹣4，x1x2＝﹣8，
由直线l的方程：，
令x＝0，
得y＝1，
所以，
所以，
所以△OAB的面积．
16．已知双曲线C：的离心率为2，其右焦点F到一条渐近线的距离为．
（1）求双曲线C的方程；
（2）若直线l：y＝kx+m（k＞0，m＞0）与双曲线C交于不同的两点A，B，且以线段AB为直径的圆经过点P（1，0），证明：直线l过定点．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）因为双曲线C的右焦点为F（c，0），渐近线方程为bx±ay＝0，
所以右焦点为F（c，0）到渐近线的距离为，
因为双曲线的离心率为2，
所以，
所以，解得，
所以双曲线C的方程为．
（2）如图，
设A（x1，y1），B（x2，y2），
联立，得（3﹣k2）x2﹣2kmx﹣m2﹣3＝0，
则，
所以，，
所以y1 y2＝（kx1+m）（kx2+m）＝k2x1x2+km（x1+x2）+m2＝k2 km m2，
，
因为以线段AB为直径的圆经过点P（1，0），
所以PA⊥PB，
所以，即x1x2﹣（x1+x2）+1+y1y2＝0，
所以，
化简得m2﹣km﹣2k2＝0，即（m﹣2k）（m+k）＝0，
因为k＞0，m＞0，
所以m＝2k，
所以直线l的方程为y＝kx+m＝kx+2k＝k（x+2），
所以直线l过定点（﹣2，0）．
17．已知双曲线的左、右顶点为A，B，右焦点为，离心率为．
（1）求双曲线C的标准方程及其渐近线方程；
（2）过点T（2，0）的直线l交双曲线C于点M，N（点M在第一象限），记直线MA的斜率为k1，直线NB的斜率为k2，求证：为定值．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）因为双曲线的中心为坐标原点，
右焦点为，离心率为，
所以，解得a＝1，b＝2，
所以双曲线C的标准方程为，其渐近线方程为y＝±2x．
（2）证明：由（1）知，A（﹣1，0），B（1，0）．
显然直线l不垂直于y轴，设直线l的方程为x＝my+2，
设M（x1，y1），N（x2，y2），
由，
消去x，得（4m2﹣1）y2+16my+12＝0，
显然4m2﹣1≠0，Δ＞0，
则，，，
直线NB的斜率，直线MA的斜率，
所以，为定值．
18．已知双曲线C：的右焦点F（2，0）到C的一条渐近线的距离为．
（1）求C的方程；
（2）设点P在C的右支上，过点P作圆O：的两条切线，一条与C的左支交于点M，另一条与C的右支交于点N（异于点P）．
（i）证明：OM⊥OP；
（ii）当△PMN的面积最小时，求直线PM和直线PN的方程．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）由于双曲线C的右焦点为F（2，0），所以a2+b2＝4，
双曲线C的渐近线方程为，即为bx±ay＝0，
由于点F（2，0）到C的一条渐近线的距离为，则，
解得
所以C的方程为．
（2）（i）证明：显然圆O的切线PM的斜率存在，设切线PM的方程为y＝kx+m，
由于切线PM不平行C的渐近线，则．
由圆心O到切线PM的距离，得2m2＝3（k2+1），
由消去y得（3﹣k2）x2﹣2kmx﹣m2﹣3＝0，
由题意知Δ＞0．设P（x1，y1），M（x2，y2），
则，，
而
．
则，
则x1x2+y1y2＝0，
所以OM⊥OP，即OM⊥OP．
（ⅱ）由（i）同理可得ON⊥OP，
所以M，O，N三点共线．则△PMN的面积S＝2S△POM．
设切线PM与圆O的切点为D，则，
．
由（i）得，
又2m2＝3（k2+1），
则．
当k＝0时，，Smin＝3，
此时，直线PM平行x轴，则M，P的纵坐标绝对值为圆O的半径．
得点P的坐标为，
所以直线PM的方程为，直线PN的方程为．
19．已知双曲线的左、右焦点分别为F1，F2，，且点F2到C的渐近线的距离为2．
（1）求C的方程；
（2）记C的左顶点为A，过点E（2，0）的直线l与C交于M，N两点（异于点A）．
（ⅰ）证明：直线AM，AN的斜率之积为定值；
（ⅱ）过点E分别作直线AM，AN垂线，垂足分别为P，Q，记△AEP，△AEQ的面积分别为S1，S2，求S1S2的最大值．
【答案】（1）；
（2）（i）证明过程见解析；
（ii）．
【解答】解：（1）因为，
所以，
解得，
因为点到直线bx±ay＝0的距离为2，
所以，
又因为a2+b2＝c2，
解得a＝1，b＝2，
则双曲线C的方程为；
（2）（ⅰ）证明：由（1）知A（﹣1，0），
易知直线l斜率不为0，
设直线l的方程为x＝my+2，M（x1，y1），N（x2，y2），
联立方程组，消去x并整理整理得，
此时Δ＝256m2﹣48（4m2﹣1）＝16（4m2+3）＞0，
由韦达定理得，，
所以
；
（ⅱ）易知直线AP斜率存在且不为0，
设直线AP的方程为y＝k（x+1），
则直线PE的方程为，
联立，
解得，
同理得，
所以，
因为，
当且仅当时，等号成立，
所以．
则S1S2的最大值为．第51讲 直线与双曲线的位置关系
【基础回顾】
知识点1．直线与双曲线的位置关系
将直线的方程y＝kx＋m与双曲线的方程－＝1(a>0，b>0)联立组成方程组，消元转化为关于x的方程(b2－a2k2)x2－2a2mkx－a2m2－a2b2＝0．
(1)若b2－a2k2＝0(m≠0)，即k＝±时，直线与双曲线的渐近线平行，直线与双曲线相交于一点．
(2)若b2－a2k2≠0，即k≠±时，Δ＝(－2a2mk)2－4(b2－a2k2)(－a2m2－a2b2)．
①Δ＞0 直线和双曲线相交 直线和双曲线有两个交点；
②Δ＝0 直线和双曲线相切 直线和双曲线有一个公共点；
③Δ＜0 直线和双曲线相离 直线和双曲线无公共点．
知识点2．直线与双曲线的相交弦
设直线y＝kx＋m交双曲线－＝1(a>0，b>0)于P1(x1，y1)，P2(x2，y2)两点，则
|P1P2|＝＝＝|x1－x2|，
同理，可得|P1P2|＝|y1－y2|(k≠0)．
这里|x1－x2|，|y1－y2|的求法通常使用根与系数的关系，需作以下变形：
|x1－x2|＝，
|y1－y2|＝．
【必备知识】
1．与双曲线只有一个公共点的直线有两种：一种是与渐近线平行且与双曲线交于一点的直线；另一种是与双曲线相切的直线．
2．同支的焦点弦中最短的为通径(过焦点且垂直于实轴的弦)，其长为；异支的弦中最短的弦为实轴，其长为2a．
题型一 直线与双曲线的位置关系
通常把直线与双曲线的方程联立成方程组，通过消元后化为ax2＋bx＋c＝0的形式．
(1)在a≠0的情况下考察方程的判别式
①Δ>0时，直线与双曲线有两个不同的公共点；
②Δ＝0时，直线与双曲线只有一个公共点；
③Δ<0时，直线与双曲线没有公共点．
(2)当a＝0时，此时直线与双曲线的渐近线平行，直线与双曲线有一个公共点．
【例题精讲】
1．已知双曲线x2﹣y2＝1，直线y＝kx﹣1与双曲线相切于点P，与两条渐近线相交于A，B两点，则此时三角形OAB（O为原点）的面积为（　　）
A． B．1 C． D．2
2．“k＝±”是“直线y＝k（x﹣3）与双曲线1只有一个公共点”的（　　）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
3．设A，B为双曲线上两点，下列四个点中，可为线段AB中点的是（　　）
A．（1，1） B．（﹣1，2） C．（2，4） D．（﹣1，﹣3）
4．已知双曲线mx2﹣y2＝1，过点P（1，1）的直线l与双曲线相交于A，B两点，P为弦AB中点，则正整数m的最小值为　 　 ．
5．若直线y＝2x与双曲线的右支只有一个公共点，则m的一个取值为　 　 ．
题型二 弦长问题
1．距离公式法
当弦的两端点坐标易求时，可直接求出交点坐标，再利用两点间距离公式求弦长．
2．弦长公式法
当弦的两端点坐标不易求时，可利用弦长公式求解．
【例题精讲】
1．已知F是双曲线的上焦点，点P是双曲线下支上的动点，点A（3，1），则|PF|+|PA|的最小值为（　　）
A．11 B．9 C． D．5
2．已知双曲线的左、右焦点分别为F1、F2，过坐标原点的直线与双曲线C交于A、B两点，若|F1A|＝2|F1B|，则|AB|＝（　　）
A． B． C． D．4
3．已知双曲线的一条渐近线为，过双曲线C的右焦点F作x轴的垂线，交双曲线C于A、B两点，则弦AB的长度为（　　）
A． B． C．2 D．1
（多选）4．已知双曲线C：（b＞0）的左、右焦点分别为F1（﹣c，0），F2（c，0），直线l：与双曲线C的右支相交于A，B两点（点A在第一象限），若|AF1|＝|AB|，则（　　）
A．双曲线的离心率为
B．
C．
D．△AF1F2面积为
5．已知曲线C：2x2﹣3y2﹣6＝0，两条直线l1，l2均过坐标原点O，l1和C交于M，N两点，l2和C交于P，Q两点，若△OPN的面积为，则四边形PNOM的面积为 　 　 ．
题型三 直线与双曲线的综合问题
利用双曲线的定义、几何性质来研究直线与双曲线的位置关系时：如果是判断直线与双曲线的位置关系，可以通过联立方程，利用方程组的解的个数来判断；如果涉及弦长问题，可以利用弦长公式解决；如果涉及面积问题，往往需要利用弦长公式、面积公式、构建目标函数来解决问题．
【例题精讲】
1．设双曲线的左焦点为F，O为坐标原点，P为双曲线C右支上的一点，，在上的投影向量的模为，则双曲线C的离心率为（　　）
A．3 B． C．5 D．
2．过双曲线的右支上一点P，分别向和作切线，切点分别为M，N，则的最小值为（　　）
A．28 B．29 C．30 D．32
3．已知A是双曲线在第一象限上的一点，点B与点A关于原点O对称，过点A作AM⊥AB，与C的另外一个交点为M，连接BM，与y轴交于点N，若，则C的离心率为（　　）
A． B． C． D．3
（多选）4．已知双曲线C：的左、右焦点分别为F1，F2，直线l：y＝kx交C于A，B两点，则（　　）
A．
B．
C．的最小值为﹣3
D．F2到l的距离的最大值为
（多选）5．已知点P为双曲线C：1右支上一点，l1，l2为双曲线C的两条渐近线，过点P分别作PA⊥l1，PB⊥l2，垂足依次为A，B，过点P作PM∥l2交l1于点M，过点P作PN∥l1交l2于点N，O为坐标原点，则下列结论正确的是（　　）
A．|OP|≥|AB| B．|PA| |PB|
C．4S△PAB＝3S△PMN D．|MN|≥1
课时精练
一．选择题（共8小题）
1．已知点P在以F1，F2分别为左、右焦点的双曲线x21上，若|PF2|＝8，则|PF1|＝（　　）
A．6 B．10 C．2 D．6或10
2．已知双曲线C的左、右焦点分别为F1，F2，过F2的直线与双曲线的右支交于A，B两点，若|AF1|＝|BF2|＝2|AF2|，则错误的是（　　）
A．∠AF1B＝∠F1AB
B．双曲线的离心率
C．双曲线的渐近线方程为
D．原点O在以F2为圆心，AF2为半径的圆上
3．已知双曲线的右焦点为F（2，0），点，点Q为双曲线C左支上的动点，则△PQF的周长的最小值为（　　）
A．9 B． C． D．
4．已知F1，F2为双曲线的左、右焦点，点A在C上，若|F1A|＝2|F2A|，∠AF1F2＝30°，△AF1F2的面积为，则C的方程为（　　）
A． B．
C． D．
5．已知双曲线C：的左、右焦点分别为F1，F2，过点F1的直线l与双曲线C的左、右两支分别交于点A，B，H为AB中点，若F2H⊥AB，且|F2A|＝2|F1A|，则直线l的斜率k＝（　　）
A． B．或 C． D．或
6．已知双曲线的通径为线段AB，A到双曲线两条渐近线的距离之和等于实轴长，则双曲线的离心率为（　　）
A．3 B． C．2 D．
7．已知A，B是双曲线E：x2﹣y2＝1上不同的两点，其中B在E的右支上．直线l是E的斜率为正的渐近线，P是l上一点．已知|AB|＝2，若AB⊥x轴，则|PA|+|PB|的最小值为（　　）
A． B． C．6 D．
8．已知双曲线的左，右顶点分别为A，B，点P在双曲线的右支上且异于点B．若直线AP的斜率的取值范围是，则直线BP的斜率的取值范围是（　　）
A．[4，8] B．（2，4]∪[8，+∞）
C．（4，8） D．（0，4]∪[8，+∞）
二．多选题（共3小题）
（多选）9．已知F1，F2分别是双曲线C：x21的左、右焦点，经过点F1且倾斜角为钝角的直线l与C的两条渐近线分别交于A，B两点，点P为C上第二象限内一点，则（　　）
A．若双曲线E与C有相同的渐近线，且E的焦距为8，则E的方程为
B．若M（﹣2，2），则|PF1|+|PM|的最小值是
C．若△PF1F2内切圆的半径为1，则点P的坐标为（﹣2，3）
D．若线段AB的中垂线过点F2，则直线l的斜率为
（多选）10．已知F1，F2分别是双曲线的左、右焦点，M是该双曲线右支上一点，N在线段F1M上，，离心率为，则下列结论正确的为（　　）
A．实轴长为4 B．|NF1|﹣|NO|＝1
C．△F1MF2的面积为3 D．
（多选）11．已知双曲线C：的左、右焦点分别为F1，F2，直线l：y＝kx交C于A，B两点，则（　　）
A．
B．
C．的最小值为﹣3
D．F2到l的距离的最大值为
三．填空题（共3小题）
12．双曲线的左、右焦点分别为F1，F2，过F1的直线l交双曲线的两支于A，B两点，△ABF2为等边三角形，则双曲线的离心率为 　 　 ．
13．已知曲线C：y＝x3，两条直线l1，l2均过坐标原点O，l1和C交于M，N两点，l2和C交于P，Q两点．若△OPM的面积为，则△MNQ的面积为 　 　 ．
14．双曲线，焦距为，左、右焦点分别为F1，F2，动点P在双曲线右支上，过P作两条渐近线垂线分别交于M，N两点．若|PM|+|PF1|最小值为3，则|PM|+|PN|的最小值为 　 　 ．
四．解答题（共5小题）
15．已知双曲线C：1（a＞0，b＞0）的一条渐近线方程为xy＝0，焦点到渐近线的距离为1．
（1）求双曲线C的标准方程．
（2）已知斜率为的直线l与双曲线C交于x轴上方的A，B两点，O为坐标原点，直线OA，OB的斜率之积为，求△OAB的面积．
16．已知双曲线C：的离心率为2，其右焦点F到一条渐近线的距离为．
（1）求双曲线C的方程；
（2）若直线l：y＝kx+m（k＞0，m＞0）与双曲线C交于不同的两点A，B，且以线段AB为直径的圆经过点P（1，0），证明：直线l过定点．
17．已知双曲线的左、右顶点为A，B，右焦点为，离心率为．
（1）求双曲线C的标准方程及其渐近线方程；
（2）过点T（2，0）的直线l交双曲线C于点M，N（点M在第一象限），记直线MA的斜率为k1，直线NB的斜率为k2，求证：为定值．
18．已知双曲线C：的右焦点F（2，0）到C的一条渐近线的距离为．
（1）求C的方程；
（2）设点P在C的右支上，过点P作圆O：的两条切线，一条与C的左支交于点M，另一条与C的右支交于点N（异于点P）．
（i）证明：OM⊥OP；
（ii）当△PMN的面积最小时，求直线PM和直线PN的方程．
19．已知双曲线的左、右焦点分别为F1，F2，，且点F2到C的渐近线的距离为2．
（1）求C的方程；
（2）记C的左顶点为A，过点E（2，0）的直线l与C交于M，N两点（异于点A）．
（ⅰ）证明：直线AM，AN的斜率之积为定值；
（ⅱ）过点E分别作直线AM，AN垂线，垂足分别为P，Q，记△AEP，△AEQ的面积分别为S1，S2，求S1S2的最大值．

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