资源简介

5.7 三角函数的应用教学设计
教材分析
本节课通过弹簧振子、交变电流等具有周期性变化规律的实际问题，引导学生利用三角函数建立数学模型，结合散点图拟合数据，确定振幅、角速度和初相，从而解决实际问题。教学过程遵循“问题引入—数据分析—模型构建—应用求解”的逻辑线索，帮助学生掌握从现实情境中抽象出三角函数模型的基本方法。本节内容承接了三角函数的图像与性质的学习，是三角函数知识的具体应用，也为后续学习函数拟合、物理中的简谐运动和交流电原理打下基础。通过本课，学生能够提升数据处理、数学建模和数形结合的能力，增强运用数学解决实际问题的意识。
学情分析
学生在之前已学习了三角函数的基本概念、诱导公式、图象与性质，掌握了正弦、余弦函数的周期性、振幅、相位变换等基础知识，并了解了函数的图象特征及其参数意义，具备利用图象分析函数关系的初步能力；高中阶段学生具备一定的抽象思维能力和数据观察能力，能够通过散点图识别周期性规律，但对实际问题中物理量与数学模型之间的对应关系理解尚浅，需借助直观图象和具体实例增强理解；本节课要求学生能根据实际数据建立三角函数模型，理解振幅、角速度、初相在实际情境中的含义，掌握由数据表或图象确定函数解析式的基本方法，学会用三角函数描述简谐运动、交变电流等周期现象，提升数学建模与数据分析能力，体会数学在刻画现实世界周期性变化中的广泛应用价值。
教学目标
理解三角函数模型在描述周期现象中的应用，能够解释振幅、周期、频率等物理量的数学含义，达到数学建模核心素养水平一的要求。
能够根据实际问题中的数据绘制散点图，分析周期特征并建立三角函数模型，达到数据分析核心素养水平二的要求。
掌握确定三角函数解析式中参数A、ω、φ的方法，能够解决简谐运动和交变电流等实际问题，达到数学运算核心素养水平二的要求。
理解相位和初相的概念，能够运用三角函数模型进行预测和计算，达到数学抽象核心素养水平二的要求。
能够运用信息技术处理复杂数据，建立更精确的三角函数模型，达到数学建模核心素养水平三的要求。
重点难点
教学重点：三角函数模型的应用，利用实际数据确定中的参数、、，理解振幅、周期、频率与初相的物理意义。
教学难点：由实际问题的初始条件和图像确定初相，建立准确的三角函数模型并进行预测计算。
课堂导入
同学们，在生活中我们经常能看到一些有趣的现象，比如游乐场里的摩天轮。摩天轮不停地旋转，乘客随着座舱周期性地升高和降低。大家想一想，这种周而复始的运动，有没有什么数学知识可以来描述呢？其实，这类具有周期性的运动变化现象，就可以借助三角函数来刻画。就像摩天轮的高度随着时间的变化，和我们即将要学习的弹簧振子位移随时间变化类似，都有一定规律。今天，就让我们一起走进三角函数的应用，看看它是如何描述这些周期现象，解决实际问题的。
三角函数的应用
探究新知
（一）知识精讲
现实生活中存在大量具有周期性变化规律的现象，如弹簧振子的振动、钟摆的摆动、交变电流的变化等。这些现象在一定时间间隔内重复发生，呈现出周而复始的特征，因此可以借助三角函数这一数学工具进行描述和研究。
对于具有周期性变化的实际问题，若其变化规律与正弦或余弦函数的图像相似，则可考虑使用形如 的函数模型来刻画。其中，，，变量 表示时间， 表示随时间变化的物理量。
以弹簧振子为例，其位移随时间的变化具有明显的周期性和对称性。根据实验测得的数据绘制散点图（如上图所示），可以看出数据点的分布近似于一条正弦曲线。由此推测该振动过程可用函数 来拟合。
在这个模型中：
振幅 是物体离开平衡位置的最大距离，对应振动过程中位移的最大值；
周期 是完成一次全振动所需的时间，满足关系式 ；
频率 是单位时间内完成全振动的次数，有 ；
称为相位， 时的相位 称为初相，反映振动的起始状态。
例如，在问题1中，由数据表可知振子位移最大值为20 mm，故 ；振动周期为0.6 s，即 ，解得 ；当 时，位移为 -20，代入得 ，可取 。因此，振子的位移关于时间的函数解析式为
类似地，在问题2中，交变电流的变化也呈现周期性。由图5.7-2(2)可知电流最大值为5 A，故 ；周期为 s，即 ，解得 ；初始时刻 时电流约为4.33 A，即 ，得 ，所以 。于是电流随时间变化的函数解析式为
上述两个实例说明，通过分析实际数据中的最大值、周期和初始状态，可以确定三角函数模型中的三个关键参数 、、，从而建立描述周期现象的数学模型。
（二）师生互动
教师提问1： 在弹簧振子的运动中，为什么我们可以用正弦函数来描述它的位移变化？是否可以用余弦函数？如果可以，形式会有何不同？
学生回答： 因为振子的运动是周期性的，且位移随时间呈波浪形变化，符合正弦或余弦函数的图像特征。可以用余弦函数表示，比如将初相调整后， 等价于原式。
教师追问： 很好！这说明正弦和余弦函数之间可以通过相位变换相互转化。那么，我们如何从图像上判断一个周期函数更适合用正弦还是余弦形式建模？
学生思考后回答： 如果图像在 处经过平衡位置并向上运动，可能更接近正弦函数；如果在 处达到最大值，则更接近余弦函数。
教师提问2： 在确定初相 时，我们依据的是 时的函数值。但如果有多个 满足 ，我们应该如何选择合适的值？
学生回答： 应结合物理情境判断振动的起始方向和趋势，选取符合实际运动状态的那个角度。
教师补充： 正确！三角函数具有周期性，同一个函数值可能对应多个角，但在具体应用中，我们需要根据实际意义限定初相的范围，通常取主值区间内的解。
（三）设计意图
通过引导学生观察弹簧振子和交变电流的实验数据与图像，帮助他们理解周期现象的本质特征，并建立三角函数模型的基本思路，达成对振幅、周期、频率、相位和初相等核心概念的认知目标。在分析参数的过程中，注重从数据中提取信息、进行函数拟合的能力培养，促进学生形成“数据—图像—模型”的思维路径。采用问题驱动的方式展开师生对话，鼓励学生在已有三角函数知识基础上进行迁移与辨析，提升其逻辑推理和数学建模能力。整个学习过程强调数学与物理情境的融合，让学生体会数学作为描述自然规律语言的功能价值，增强应用意识和科学精神。
新知应用
例1题目：
海水受日月的引力，在一定的时候发生涨落的现象叫潮。一般地，早潮叫朝，晚潮叫汐。在通常情况下，船在涨潮时驶进航道，靠近码头；卸货后，在落潮时返回海洋。表5.7-2是某港口某天的时刻与水深关系的预报。
(1) 选用一个函数来近似描述这一天该港口的水深与时间的关系，给出整点时水深的近似数值（精确到0.001 m）。
(2) 一条货船的吃水深度为4 m，安全条例规定至少要有1.5 m的安全间隙，该船这一天何时能进入港口？在港口能待多久？
(3) 某船从2:00开始卸货，吃水深度以0.3 m/h的速度减少。若该船需在港口水深等于其所需安全水深前至少0.4 h停止卸货并驶离，那么该船最好在什么时间停止卸货？
解答：
(1) 建立函数模型并计算整点水深
观察表中数据，水深呈现周期性变化，可用函数建模：
其中 为时间（单位：h）， 为水深（单位：m）。
根据图像（图5.7-4）和数据分析：
最大水深 ≈ 7.5 m
最小水深 ≈ 2.5 m
平均水深
振幅
周期 ：相邻两次高潮之间的时间差。例如从0:00到12.4 h再次接近最大值，故：
初相 ：当 时，水深约为5 m（平均值），且正在上升，说明此时处于正弦函数的“零点上升沿”，即：
因此，函数模型为：
利用此公式可计算各整点时刻的水深（保留三位小数），结果如下（部分示例）：
时间 水深
0
1
2
3
... ...
完整表格见教材表5.7-3。
(2) 船只进港时间与停留时长
货船需要的安全水深 = 吃水深度 + 安全间隙 = m。
令：
解不等式：
设 ，则：
解得第一个区间：
所以在 内，满足条件的时间段为：
由于周期为12.4，下一个周期段为：
换算成时间：
第一次进港：约0:24（0.3975×60≈24 min）进港，5:48 出港 → 可停留约5.4小时；
第二次进港：约12:48 进港，18:12 出港 → 停留约5.4小时。
答：货船可在 0:24左右进港，5:48出港；或 12:48进港，18:12出港，每次停留约5.4小时。
(3) 卸货过程中动态安全水深分析
设从 开始卸货，吃水深度每小时减少0.3 m，则在 时，所需安全水深为：
港口实际水深仍为：
当两者相等时，即：
整理得：
使用二分法或计算器求解，在区间 内存在交点。
通过数值逼近可得交点横坐标约为：
题目要求：必须在该时刻前至少0.4小时停止卸货并驶离。
所以最晚停止时间为：
答：该船最好在 6:37之前 停止卸货并驶离港口。
新知巩固
题目：
第1题：已知摩天轮的半径为60m，其中心距离地面70m，摩天轮做匀速转动，每30min转一圈，摩天轮上点的起始位置在最低点处．则在时刻（min）时，点离地面的高度为（　　）
解答：
我们用三角函数来描述点随时间变化的高度。
分析运动模型
摩天轮做匀速圆周运动，点在竖直平面内绕圆心旋转。其高度相对于地面的变化具有周期性，可以用正弦或余弦函数建模。
确定振幅
摩天轮半径为60m，因此点相对于中心上下波动的最大距离是60m，即振幅。
确定角速度
每30分钟转一圈，即周期 min。
角速度公式为：
选择函数形式并确定初相
设高度函数为：
或使用余弦函数。关键是根据初始条件确定初相。
初始时刻时，点在最低点，此时它比中心低60m，所以高度为：
尝试代入选项中的表达式验证，或者直接推导：
若使用正弦函数：
所以，可取
因此函数为：
这正是选项B。
检查其他选项是否等价
注意：，而选项D是余弦函数减，但形式不同，不等价。
所以正确答案是：
B．
板书设计
三角函数的应用
周期现象建模
特征：周而复始、循环往复
工具：三角函数
简谐运动模型
函数形式：，
振幅 ：最大位移（离平衡位置最远距离）
周期 ：往返一次所需时间
频率 ：单位时间内往复次数
相位：
初相 ： 时的相位
实际应用实例
弹簧振子
数据 → 散点图 → 拟合函数
， →
时 → →
解析式：
交变电流
→
→
时 → →
解析式：
其他周期现象：钟摆、浮标、琴弦振动等
建模步骤
收集数据
绘制散点图
观察周期性 → 拟合三角函数
利用模型预测或求值
数学思想
函数拟合：用理想模型近似现实变化
技术辅助：借助信息技术处理复杂数据
教学反思
本节课教学设计以教材中弹簧振子、交变电流等实例为载体，引导学生探究三角函数模型在现实周期运动中的应用，讲解简谐运动的相关物理量及函数刻画，还介绍利用三角函数近似描述现实中的周期现象及解决实际问题的方法。本课程基本完成教学任务，多数学生能掌握三角函数模型应用的基础内容。成功之处在于结合实例，让学生清晰认识到三角函数在实际生活中的重要应用，激发学习兴趣；不足之处在于对复杂实际问题数据处理环节，未充分借助信息技术展示，学生可能对实际操作感受不深，且小组讨论对实际问题的探究深度可能不足。

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