资源简介

函数的应用：零点问题、实际应用问题、函数图像问题讲义
考点目录
零点存在性定理与二分法 一次函数与二次函数的零点分布问题
指对幂函数的零点分布问题 实际应用问题
函数图像问题
【知识点解析】
1.函数的零点
对于一般函数，我们把使得的实数叫做函数的零点
2.方程的解与函数的关系
函数的零点就是方程的实数解，也就是函数的图像与轴的交点的横坐标，所以方程有实数解函数有零点函数图像与轴有交点.
※方程的解的数量函数与函数的交点的数量.
3.函数零点的存在性定理
如果函数在区间上的图像是一条连续的曲线，且，那么，函数在区间内至少有一个零点，即存在，使得，这个就是方程的解.
4.用二分法求方程的近似解
对于在区间上图象连续不断且的函数，通过不断地把它的零点所在区间一分为二，使所得区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法.
【例题分析】
考向一 利用零点存在性定理判定零点所在区间
例1．（25-26高一上·北京·期中）函数在下列区间一定有零点的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】函数，
则，
于是，
由零点存在性定理知，函数在区间、、上不能保证有零点，在区间上一定有零点.
故选：D
例2．（25-26高一上·辽宁营口·期中）已知函数，在下列区间中，一定包含零点的区间是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】当时，，故在区间上没有零点；
易得在上单调递减，又，
所以当时，，故在上没有零点，在上没有零点，
又，所以在上有零点.
故选：A.
考向二 用二分法求方程的近似解
例1．（25-26高一上·山东威海·期中）用二分法研究函数的零点时，通过计算得：，，则下一步应考察的区间为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】依题意，，
所以下一步应考察的区间为.
故选：C
例2．（25-26高一上·福建厦门·阶段练习）若用二分法求方程在初始区间内的近似解，则第三次取区间的中点（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】令，因为，
所以，又，，
则，又因为，所以．
故选：B.
例3．（2025·广东汕头·模拟预测）用二分法求函数在内的零点近似值，若精确度要求为，则需重复相同步骤的次数至少为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】解：原始区间长度为，
第一次，区间长度减半，为，
第二次，区间长度减半，为，
第三次，区间长度减半，为，
第四次，区间长度减半，为，
故至少需要重复四次.
故选：B.
【变式训练】
考向一 利用零点存在性定理判定零点所在区间
变式1．（25-26高二上·内蒙古呼和浩特·期中）函数的零点所在区间是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】因的定义域为，任取，
由
，
当时，则，故，且，
此时，即，即函数在上单调递减；
当时，则，故，且，
此时，即，即函数在上单调递增.
又，，当时，，
故函数在上无零点，在上有一个零点.
又，故函数的零点所在区间是.
故选：C.
变式2．（25-26高三上·海南海口·月考）方程的实数根所在的区间是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】令,在上单调递增，并且有
,
根据零点存在定理，使得
即方程的根所在的区间为.
故选：B.
考向二 用二分法求方程的近似解
变式1．（24-25高一下·江苏南京·期中）在用二分法求方程在上的近似解时，先构造函数，再依次计算得，，，，，则该近似解所在的区间可以是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】由题意，，，，，，
则由二分法可得近似解所在的区间为.
故选：C.
变式2．（24-25高一上·安徽铜陵·期末）某同学用二分法求函数的零点时，用计算器算得部分函数值如下表所示：
则该函数零点的近似值（精确度为0.1）可以是（ ）
A．1.2 B．1.21 C．1.27 D．1.32
【答案】C
【详解】，，
由零点存在性定理得，区间内存在零点，
由于，，
故该函数零点的近似值（精确度为0.1）可以是1.27，其他选项不正确.
故选：C
变式3．（24-25高一上·贵州毕节·期末）已知函数，现用二分法求函数在内的零点的近似值，则使用两次二分法后，零点所在区间为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】由二分法可知，第一次计算，又，，
由零点存在性定理知零点在区间上，
所以第二次应该计算，又，
所以零点在区间上．
故选：A．
【知识点解析】
1.一次函数与二次函数的图像
（1）一次函数的图像由和决定，决定了函数的单调性，决定了函数与轴的交点.
（2）二次函数的图像由和和决定，决定了函数的开口，与决定了函数的对称轴，且与左同右异，决定了函数与轴的交点.
2.二次函数的零点分布问题
（1）讨论二次函数在上的零点数量，只需讨论的正负.
①若，则二次函数有两个零点；
②若，则二次函数有一个零点；
③若，则二次函数没有零点.
（2）讨论二次函数在某个区间上的零点数量
策略一：利用判别式+韦达定理进行讨论；
策略二：利用判别式+对称轴+端点函数值的正负进行讨论；
策略三：参变分离进行求参.
【例题分析】
考向一 一次函数的零点分布问题
例1．（24-25高二上·河南新乡·阶段练习）当时，函数的值有正也有负，则实数的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【详解】.
当时，，函数值恒为正，不符合题意；
当时，要想函数的值有正也有负，
只需，即.
综上所述：.
故选：C
例2．（24-25高一上·福建厦门·期中）已知函数f（x）=3ax-1-2a在区间（-1，1）上存在零点，则（　　）
A．或 B． C．或 D．
【答案】C
【详解】因为函数f（x）=3ax-1-2a在区间（-1，1）上存在零点，
又因为f（x）=3ax-1-2a在区间（-1，1）单调，
所以，
即，
解得或，
故选：C
考向二 二次函数的零点分布问题
例1．（25-26高一上·江苏泰州·期中）方程 的两根都大于 1 的一个充分不必要条件是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】令，其图象对称轴为，
由方程 的两根都大于 1，等价于，
即，解得即
对于A：因是的真子集，故是方程 的两根都大于 1 的充分不必要条件，故A正确；
对于B：由上分析知，是方程 的两根都大于 1 的充要条件，故B错误；
对于C：因，若取，故不是方程 的两根都大于 1 的充分条件，故C错误；
对于D：因，若取，故不是方程 的两根都大于 1 的充分条件，故D错误.
故选：A.
例2．（25-26高一上·江苏盐城·阶段练习）已知函数在区间内只有一个零点，则实数的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【详解】当时，即，解得或，
令，则，令，解得，符合题意；
令，则，令，解得，不合题意.
当时，由题意可得，则，解得；
令，则，令，解得或，显然不合题意；
令，则，令，解得或2，显然符合题意.
综上所述，的取值范围为或.
故选：D
例3．（25-26高一上·江苏南通·阶段练习）若二次函数在区间上有且仅有一个零点，则实数的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】二次函数的对称轴为，开口向下，
要想满足区间上有且仅有一个零点，需当时，，
解得.
故选：A
例4．（25-26高一上·广东佛山·阶段练习）若方程的一个根小于1，另一个根大于1，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】令，方程的一个根小于1，另一个根大于1，
，解得，
实数的取值范围是．
故选：D.
【变式训练】
考向一 一次函数的零点分布问题
变式1．（25-26高一上·山东青岛·阶段练习）若方程的根在内，则的取值范围是 ．
【答案】
【分析】设，利用零点存在定理可构造不等式求得结果.
【详解】设，则，解得：，
即的取值范围为.
故答案为：.
变式2．（25-26高一上·河北唐山·阶段练习）若函数在上存在，使，则实数的取值范围是 .
【答案】
【详解】函数在上存在，使
故答案为
考向二 二次函数的零点分布问题
变式1．（25-26高一上·辽宁沈阳·期中）若函数有两个零点，，且，，则实数的取值范围为 .
【答案】
【详解】因为函数有两个零点，，所以.
又因为，，所以或，
由；
由.
综上可知：.
故答案为：
变式2．（25-26高一上·北京·阶段练习）关于x的方程至少有一个负实根，则a的取值范围是 .
【答案】
【详解】当时，方程为，有一个负根，
当时，为一元二次方程，
关于的方程至少有一个负根，设根为，，
当时，即时，方程为，解得，满足题意，
当，即时，且时，
若有一个负实根，则，解得，
若有两个负实根，则，解得，
综上所述，则实数的取值范围是；
故答案为：．
变式3．（25-26高一上·湖南长沙·阶段练习）方程有两根，，且，则的取值范围为 .
【答案】
【详解】令，图象恒过点，
方程0在区间内有两个不同的根，
，解得.
故答案为：.
变式4．（25-26高一上·新疆·期中）已知函数在区间上有两个零点，实数的取值范围为 .
【答案】
【详解】令，因为，所以，
则有方程在内有2个根，
即在内有2个解，
即直线与函数的图象在内有2个交点，
由对勾函数的性质可知，在上单调递减，在上单调递增，
又因为，，，
所以.
故答案为：.
【知识点解析】
1.由函数零点的分布或方程解的分布求参数范围
策略一：讨论函数的单调性，进而利用零点存在性定理求参数范围.
策略二（数形结合法）：刻画函数图像，根据函数的图像求参数范围.
策略三（分离参数法）：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决
2.指数函数与对数函数的图像
（1）指数函数的图像由决定，决定了函数的单调性.
①当时，函数单调递增；
②当时，函数单调递减；
③指数函数过定点.
（2）对数函数的图像由决定，决定了函数的单调性.
①当时，函数单调递增；
②当时，函数单调递减；
③对数函数过定点.
3.常见函数的平移变换、翻折变换
（1）将函数向左平移个单位得函数的图像.
（2）将函数向右平移个单位得函数的图像.
（3）将函数向上平移个单位得函数的图像.
（4）将函数向下平移个单位得函数的图像.
（5）将函数关于轴对称得函数的图像.
（6）将函数关于轴对称得函数的图像.
（7）将函数图像位于轴下方的图像向上翻折，轴上方图像不变，得函数的图像.
（8）将函数图像位于轴右方的图像向左翻折，轴右方图像不变，得函数的图像.
3.几个常见的定值
（1）对于函数，若，则.
（2）对于函数，若，则.
（3）对于函数，若，则.
【例题分析】
例1．（2025·江苏徐州·模拟预测）已知函数是定义在R上偶函数，当时，，若方程仅有4个不相等的实数根，则实数m的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】当时，在上单调递增，函数值集合为，
当时，在上单调递减，函数值集合为，
又函数是定义在R上偶函数，其图象关于y轴对称，作出函数图象：
方程仅有4个不相等的实数根，则函数图象与直线有4个交点，
当时，函数图象与直线有4个交点，
∴实数的取值范围是.
故选:A.
例2．（2025·四川·模拟预测）已知函数若关于的方程（为实常数）有四个不同的解，且，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】根据函数解析式，可得函数大致图象如下，
由图知，且，
由，得，即，故，
由，则，由，则，
所以，且在上单调递增，
所以.
故选：A
例3．（24-25高一上·云南昆明·阶段练习）已知函数，若恰有3个零点，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】的零点，即为函数的图象与直线交点的横坐标，作出的大致图象及直线，如图，它们有三个交点，
由于，，因此，，，
而，即，所以，
所以，
故选：B．
例4．（24-25高一上·天津·阶段练习）已知函数若函数有四个不同的零点，，，，且，则下列结论中正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】函数的四个不同的零点，，，，就是函数与两个图象四个交点的横坐标，
作出函数的图象，
对于A，，
当时，，令，解得，
结合图象可知，故A错误；
结合图象可知，解得，故B正确；
又，且，
所以，即，
所以，故C错误；
根据二次函数的性质和图象得出，所以，故D错误；
故选：B
例5．（24-25高一上·内蒙古鄂尔多斯·阶段练习）函数，若互不相同，且，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】不妨设，
作出函数的图象，如图：
由图可知，，，，
因为，所以，所以，所以，
所以，所以.
因为二次函数的对称轴为，
因为，所以，
所以，
因为，所以，
所以.
故选：C
例6．（24-25高三上·湖北·开学考试·多选）设函数，若，且，则的值可以是（ ）
A．3 B．4 C．5 D．
【答案】BC
【详解】作出函数的图象，如图所示，

设，
由图可知，当时，直线与函数的图象有四个交点，
交点的横坐标分别为，且，
当时，令，解得或.
由图可知，,，
由，可得，所以，
则有，所以.
令，
易知在上为减函数，且，
故，且.
故选：BC
例7．（24-25高一下·江苏宿迁·期中·多选）已知函数，若方程有四个不等实根（），则下列说法正确的是（ ）
A． B．
C． D．最小值为2
【答案】AC
【详解】因为，易知，单调递减区间为和，单调递增区间为和，
其图像如图所示，因为方程有四个不等实根，
由图易知，，，
由二次函数的对称性得，
又，即，得到，所以，故选项A正确，选项B错误；
选项C，因为，，两式相加得，
即，又，得到，所以，故选项C正确；
选项D，，
当且仅当，即时取等号，又易知，所以取不到等号，
所以，故选项D错误.
故选：AC.
【变式训练】
变式1．（24-25高三上·河南洛阳·阶段练习）函数,若方程有两个不同的实数根，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】因为方程有两个不同的实数根，
所以函数与y＝－x＋m的图象有两个不同的交点，
如图，当直线y＝－x＋m经过点时，m＝2，
所以当方程有两个不同的实数根时， .
故选：D．
变式2．（24-25高二下·江苏淮安·阶段练习）已知函数，函数有四个不同的零点，，，，且满足：，则下列结论中不正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】函数的四个不同的零点，，，，就是函数与两个图象四个交点的横坐标，
作出函数的图象，
由图象可知，故A正确；
由，可得或，结合图象可知，故B错误；
根据二次函数的性质和图象得出，所以，故C正确；
又，且，
所以，即，
所以，故D正确.
故选：B.
变式3．（24-25高一上·河北保定·阶段练习）已知函数，若方程有四个不同的解，且，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】由题意作函数与的图象如下，
∵方程有四个不同的解，且，
∴关于对称，即，
当得或，则，故，
故选：A.
变式4．（24-25高一上·湖北武汉·阶段练习）已知函数，，函数有4个不同的零点且，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】，令，得，
函数有4个不同的零点，即有4个不同的根；
根据题意，作出的图像，如图
明显地，根据二次函数和对数函数的性质，有，，
因为，故，
令，得或，故，
又因为，
则，整理得
故的取值范围为.
故选：B
变式5．（24-25高一下·浙江温州·期中）设函数，若关于x的方程有四个实根，则的最小值为（ ）
A． B． C．10 D．9
【答案】D
【详解】作函数的大致图象，如图所示：
当时，对称轴为，所以，
关于的方程有四个实根，
则，由，得或，则，
又，所以，
所以，所以，且，
所以，
当且仅当，即时，等号成立，
故的最小值为.
故选：D.
变式6．（24-25高二上·贵州毕节·阶段练习·多选）已知函数（其中为自然对数的底数），若实数，，存在并能满足，且，则下列说法正确的有（ ）
A．在和上单调递减 B．的值域为
C．的取值范围是 D．
【答案】ACD
【详解】作出函数的图象，如图，设，则直线与的图象有三个交点，
对A，由图象知A正确，
对B，当时，，B错；
对C，或，
因为，所以，从而，又，
所以，C正确，
对D，由图可知 ，即，D正确，
故选：ACD．
变式7．（2025·贵州·模拟预测·多选）记函数，若（，，互不相等），则的值可以是（ ）
A． B．6 C．8 D．9
【答案】BC
【详解】作出的图象，如图：
令，根据图象知，
实数的取值范围为，且，
所以，因为，所以，所以，
结合选项知，的值可以是6，8.
故选：BC
【知识点解析】
1.周长、面积、体积问题：核心表示出边长.
2.工程问题：核心表示出工作总量、工作效率、工作时间.
3.行程问题：核心表示出路程、速度、时间.
4.销售问题：核心表示出单价、数量、总价.
5.利润问题：核心表示出总收入和总支出.（期中总收入可能直接给出，也可利用总价等于单价×数量）
6.指数方程的求解
对于指数方程，则左右两边同时取的对数，得，化简可得方程得解.
7.对数方程的求解
对于对数方程，则左右两边同时取的指数，得，化简可得方程得解.
※注意单位统一
【例题分析】
例1．（25-26高一上·山西晋中·期中）山西汾酒储存时间越长价值越高，一瓶原价2000元的汾酒，储存年（）后的价值（元）满足函数（为常数），已知储存4年的此种汾酒价值为2400元，则此种汾酒储存8年的价值为（ ）
A．2980元 B．2880元 C．2680元 D．2480元
【答案】B
【详解】由题意可得：，即，
所以汾酒储存8年的价值元.
故选：B
例2．（25-26高一上·安徽·期中）某培养皿中微生物的含量与时间（单位：小时）的关系满足函数，且第3小时时其含量为10，第7小时时其含量为40，若第小时时其含量为80，则（ ）
A．11 B．10 C．9 D．8
【答案】C
【详解】由题意得，
因为第3小时时其含量为10，第7小时时其含量为40，
所以，解得，
所以，
由，解得．
故选：C．
例3．（25-26高一上·江苏南京·期中）牛顿冷却定律（Newton’s law of cooling）是牛顿在1701年用实验确定的：物体在空气中冷却，如果物体的初始温度为，环境温度为，则分钟后物体的温度（单位：）满足：.已知环境温度为，一块面包从温度为的烤箱里拿出，经过分钟温度降至，那么大约再经过（ ）分钟，温度降至.
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】由已知，
又环境温度为，一块面包从温度为的烤箱里拿出，经过分钟温度降为，
即，，，，
代入可知，则，
设再经过分钟，温度可由降为，
即，
即，即，
故选：B.
例4．（2025·甘肃定西·模拟预测·多选）声音由物体的振动产生，以波的形式在一定的介质（如固体 液体 气体）中进行传播.在物理学中，声波在单位时间内作用在与其传递方向垂直的单位面积上的能量称为声强.但在实际生活中，常用声音的声强级来度量，声强级与声强的关系近似满足，经过多次测定，得到如下数据：
声强
声强级 10 20 30
已知烟花的噪声的声强级一般在，其声强为；鞭炮的噪声的声强级一般在，其声强为；飞机起飞时发动机的噪声的声强级一般在，其声强为，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】ACD
【详解】由题意可得.即，解得.所以，故A正确；
因为，所以，解得，故B错误；
由，得，故C正确；
设烟花噪声 鞭炮噪声和飞机起飞时发动机噪声的声强级分别为，由题意知，，，所以，所以，所以，即，所以，故D正确.
故选：ACD.
例5．（25-26高三上·上海·期中）在固定压力差(压力差为常数)的前提下，当气体通过圆形管道时，其速率(单位：)与管道半径(单位：)的四次方成正比．若在半径为3的管道中，某气体的速率为400，则该气体通过半径为5的管道时的速率为 ．(结果精确到1)
【答案】
【详解】由题意可设，
又，即，
当时，，
即该气体通过半径为的管道时的速率为．
故答案为：．
例6．（23-24高一上·河北石家庄·阶段练习）当生物死亡后，其体内原有的碳14的含量大约每经过5730年衰减为原来的一半，这个时间称为“半衰期”．当死亡生物体内的碳14含量不足死亡前的千分之一时，用一般的放射性探测器就测不到了．若某死亡生物体内的碳14用该放射性探测器探测不到，则它至少要经过 个“半衰期”．
【答案】10
【详解】设死亡生物体内原有碳14含量为1，则经过n个半衰期后的含量为，
由得：，
所以它至少要经过10个“半衰期”.
故答案为：10.
【变式训练】
变式1．（25-26高一上·江苏连云港·期中）视力检查时通常用五分记录法和小数记录法记录视力数据.五分记录法的数据和小数记录法的数据满足关系式.已知某学生视力用五分记录法记录的数据为4.9，则其视力用小数记录法记录的数据约为（ ）（参考数据：）
A．0.4 B．0.6 C．0.8 D．1.0
【答案】C
【详解】由题意知：，
当时，可得，解得，
则，
所以其视力的小数记录法的数据约为0.8.
故选：C
变式2．（25-26高三上·福建·期中）已知某放射性同位素的含量与时间的关系式为，其中为初始含量.则当该放射性同位素的含量为时，的值约为（ ）
附：.
A．33 B．45 C．67 D．78
【答案】C
【详解】由题意知，该放射性同位素的含量为时，可得，即，
两边取对数得，解得.
故选：C.
变式3．（25-26高三上·福建漳州·月考）2023年月日，日本不顾国际社会的强烈反对，将福岛第一核电站核污染废水排入大海，对海洋生态造成不可估量的破坏.据有关研究，福岛核污水中的放射性元素有种半衰期在年以上；有种半衰期在万年以上.已知某种放射性元素在有机体体液内浓度与时间（年）近似满足关系式为大于的常数且.若时，；若时，.则据此估计，这种有机体体液内该放射性元素浓度为时，大约需要（ ）（参考数据：）
A．年 B．年 C．年 D．年
【答案】A
【详解】由题意得，解得，所以，
当时，得，即，
两边取对数得，
所以，
即这种有机体体液内该放射性元素浓度为时，大约需要43年.
故选：A.
变式4．（25-26高一上·广东广州·阶段练习·多选）当一束光通过一个吸光物质（通常为溶液）时，溶质吸收了光能，光的强度减弱．吸光度就是用来衡量光被吸收程度的一个物理量，其影响因素有溶剂、浓度、温度等．透光率是指光子通过物体的能量占发出光能量的比例．在实际生产和生活中，通常用吸光度A和透光率T来衡量物体材料的透光性能，著名的朗伯-比尔定律表明了两者之间的等量关系为，其中A是吸光度，T为透光率，为入射光强度，I为透射光强度．某化学有机高分子材料研究所测得了不同有机高分子材料的透光率（如下表）：
有机高分子材料 塑料 纤维 薄膜
T 0.6 0.7 0.8
设塑料、纤维、薄膜的吸光度分别为，，，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】ABC
【详解】由题意可知，，，．
A，，而在定义域内单调递增，且，
所以，即，
所以，又，所以，A正确．
B，，因为，
所以，即，所以，B正确．
C，，
因为，所以，
即，所以，C正确．
D，，，
，
．
，
，
所以，则有，
又，则，D错误．
故选：ABC
变式5．（25-26高一上·上海·期中）聚合酶链式反应（PCR）扩增技术可以将微量的DNA片段大量复制以便仪器进行检测，常用于医学、考古、刑侦等领域，每1次扩增将DNA片段量变为扩增前的2倍．若某研究中初始DNA片段量为5，要求用于仪器检测的DNA片段量不低于，则检测前需要扩增的次数至少为 ()．
【答案】31
【详解】设检测前需要扩增的次数为，则扩增后DNA片段量为，
由，得，则，即，
而，因此，
所以检测前需要扩增的次数至少为31.
故答案为：31
变式6．（24-25高三上·江苏南通·开学考试）已知树木样本中碳-14含量与树龄之间的函数关系式为，其中为树木最初生长时的碳-14含量，为树龄（单位：年）.通过测定发现某古树样品中碳-14含量为，则该古树的树龄约为 万年.（精确到0.01）（，）
【答案】0.42
【详解】由题意得，即，
两边取对数得，
变形得到，
因为，，所以年，
故该古树的树龄约为0.42万年.
故答案为：0.42
【知识点解析】
1.由解析式求函数图像：
（1）看函数奇偶性.
（2）看函数特殊值(看题目所给的横坐标或令、).
（3）看函数的单调性.
（4）看函数的平移、翻折变换.
【例题分析】
例1．（25-26高一上·广西贵港·月考）函数的大致图像可能是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【详解】令，则，解得或，
，分析各选项中图像，排除选项A和B；
又，
为奇函数，其图像关于原点对称，排除选项C．
函数的大致图像可能为选项D．
故选：D．
例2．（25-26高三上·上海·期中）已知函数的图像如图所示，则函数的表达式可能为（ ）.
A． B．
C． D．
【答案】D
【详解】由函数的图象可得函数的定义域，且为偶函数，
对于A，函数定义域，且，
所以函数为定义域上的奇函数，所以A不符合题意；
对于B，函数定义域，且，
所以函数为定义域上的奇函数，所以B不符合题意；
对于C，由函数，当时，可得与图象不符，所以C不符合题意；
对于D，函数定义域为，且，
所以函数为偶函数，
当时，；当时，，所以D符合题意.
故选：D.
例3．（24-25高一上·浙江温州·期中）以下可能是函数的图像的为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【详解】因为，故为奇函数，排除B,D；
又，排除C.
故选：A
例4．（24-25高二下·吉林长春·阶段练习）函数的图像为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【详解】函数的定义域为，
且，
函数为奇函数，A选项错误；
当时， ，函数单调递增，故BC选项错误.
故选：D.
【变式训练】
变式1．（24-25高一上·黑龙江哈尔滨·期中）函数的图像大致为：（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【详解】的定义域为R，且，
故为偶函数，排除BD，
，故，
显然C选项不满足此要求，舍去，A选项满足
故选：A
变式2．（24-25高一上·重庆沙坪坝·期末）以下是函数的大致图像的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【详解】的定义域为，且，
故为奇函数，故排除D；
当时，，故排除B；
当时，，故排除C；
故选：A.
变式3．（24-25高一上·重庆·期中）我国著名数学家华罗庚先生曾说：“数缺形时少直观，形缺数时难入微”.在数学的学习和研究过程中，常用函数图像来研究函数的性质，也经常用函数解析式来分析函数的图像特征，函数在的图像大致为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【详解】解：设函数在上，定义域关于原点对称，
又因为，
所以函数为奇函数，排除C选项，
当时，，排除D选项，
当时，，所以A不正确，B正确.
故选：B.
变式4．（24-25高一上·江苏苏州·阶段练习）函数的图像大致是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【详解】由可知定义域为,
又，为偶函数，
当时，，又都是增函数，
所以当时，单调递增.结合选项只有C符合.
故选：C
1．（24-25高一上·安徽宣城·期末）已知函数，利用二分法求的零点的近似值，若零点的初值区间为，精确度为，则可以是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】因为，则，，
又，，
由零点存在定理知零点属于区间，且，满足精确度，所以可以是，
故选：C.
2．（24-25高一下·贵州遵义·期末）已知函数，若函数恰有3个零点，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】当时，在上单调递增，且值域为，
所以必有唯一解；
所以当时，有两个不同的根，
即有两个不同非正根，并设其两根为，
即，解得，
由，则，解得，
综上所述：的取值范围为，故B项正确.
故选：B.
3．（24-25高一下·湖北荆门·期末）规定工厂产生的废气必须过滤后才能排放，已知在过滤过程中，废气中的污染物（单位：毫克/升）与过滤时间（单位：小时）之间的函数关系式为：（为自然对数的底数，为污染物的初始含量），过滤2小时后检测，发现污染物的含量为原来的，要使污染物的含量不超过初始值的，则至少需要过滤（ ）（参考数据：）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】因为过滤2小时后检测，发现污染物的含量为原来的，
根据题设，得，，可得，所以，，
由，得，
两边取10为底对数，整理得，
，，
因此，至少还需过滤20小时，
故选：B.
4．（24-25高二下·陕西渭南·期末）在一定条件下，某人工智能大语言模型训练N个单位的数据量所需要时间（单位：小时），其中k为常数，在此条件下，已知训练数据量N从个单位增加到个单位时，训练时间增加20小时；当训练数据量N从个单位增加到个单位时，训练时间增加（单位：小时）（ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
【答案】C
【详解】由题意得，
所以，所以，
所以当训练数据量N从个单位增加到个单位时，
训练时间增加为（小时）.
故选：C.
5．（24-25高一下·湖南衡阳·期末）已知函数，，若关于x的方程有19个不等实数根，则实数m的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】原方程可化为，
而的解为或或，若，则或或，
由图象可知此时有10个实数解．当时，显然无解，
当时，，此时有3个实数解，不合题意．
当时，显然有两解，此时实数解个数不超过8，不合题意．显然．
当时，有三解，此时由图象易知实数解个数不超过8，不合题意．
当时，有三解，此时对于满足的解，易知其满足，
故由图象可得此时实数解个数不超过7，不合题意．当时，
注意到，且，
故由图象可得此时实数解个数为9，符合题意.
故选：B
6．（24-25高二下·河北·期末）方程的解所在的区间是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】方程的解，即函数的零点，
因为在定义域上单调递增，所以在单调递增，
因为，因为，即，所以，
因为，因为，即，所以，
因为在单调递增，，所以在有零点，
故选：C.
7．（24-25高一上·安徽黄山·期末·多选）已知函数，若关于的方程有4个不同的实根，则实数可能的取值有（ ）
A． B． C． D．
【答案】ACD
【详解】由得或，
根据二次函数和指数函数图象得到图象，当时，，
并在同一坐标系中画出，与图象有个交点，
要使得关于的方程有4个不同的实根，则直线与图象有个交点，且两条直线不重合，
根据图象可知且，解得且，所以ACD符合，
故选：ACD.
8．（24-25高二下·内蒙古乌兰察布·期末·多选）已知函数，若，且，则下列结论正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】ABC
【详解】根据函数，作出函数图像，
，则，，故A正确；
，故B正确；
，故C正确；
，又，所以，故D错误；
故选：ABC.
9．（24-25高一上·四川泸州·期末）已知函数，若关于x的方程有六个相异的实数根，则实数a的取值范围是 ．
【答案】
【详解】画出函数的图象如下图所示，
令，则方程可化为.
由图可知：当时，与有个交点，
关于x的方程有六个相异的实数根，
则方程在内有两个不同实数根，所以，
解得，因此，实数的取值范围为.
故答案为：.
10．（24-25高一下·山西临汾·期末）已知函数有3个零点，则实数的取值范围为 .
【答案】
【详解】当时，由，得，则在上有一个零点；
若有3个零点，则在时函数必有两个零点，
因为，所以函数在有两个零点，
当时，无零点，不合题意，
当时，由题意在有两个零点，且，
则需满足，解得，
综上，实数的取值范围为.
故答案为：
11．（24-25高二下·天津滨海新·期末）已知函数（i）方程的解集为 ；（ii）若函数有四个不同的零点，从小到大依次为，则的取值范围为 .
【答案】
【详解】（i）①或；②.
所以方程的解集为.
（ii）函数有四个不同的零点等价于方程有四个不同的根，
当时，满足上式；当时，；当时，.
作出图像：
由，所以，所以，
当时，有最大值，在处取得，且为，
令，所以；
对函数，令，所以，
则，两函数图像有3个交点，
令，所以
综上所述：.
故答案为：
12．（24-25高一下·海南海口·期末）某科研团队研究某种放射性物质的衰减规律，发现剩余质量（单位：克）随时间（单位：天）的变化规律满足，其中为初始质量．若初始质量满足，则时，的值为 ．
【答案】
【详解】由题意可得当时，，
所以.
故答案为：.
13．（24-25高二下·山东临沂·期末）已知函数是偶函数.
(1)求；
(2)设，若函数有且只有一个零点，求的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）因为函数是偶函数，
所以有，
；
（2）由（1）可知，
因为函数有且只有一个零点，
所以方程有唯一实数根，
，
令，，
，
函数有且只有一个零点，
等价于方程有唯一正实数根，且，
当时，，，符合题意，
当时，方程有两个相等的正实数根，
则有，或，
当时，方程化简为：，不符合题意；
当时，方程化简为：，
所以符合题意；
当时，方程有两个不相等的实数根，且一正一负，
所以有，显然成立，
综上所述：的取值范围.
14．（24-25高一下·广东广州·期末）已知函数
(1)求的单调区间;
(2)设函数
（i） 证明:有两个零点，且. ；
（ii）若关于x的方程 的解集中只含有一个元素，求a的取值范围.
【答案】(1)单调递增区间为，单调递减区间为
(2)（i）证明见解析；（ii）
【详解】（1）由对数函数性质得的定义域为，
因为，所以，
则，令，
即可化为，
由二次函数性质得在上单调递增，在上单调递减，
由对数函数性质得在上单调递增，
令，解得，则在上单调递增，
令，解得，则在上单调递减，
综上，的单调递增区间为，单调递减区间为.
（2）（i）因为，所以，
则令，
由对勾函数性质得在上单调递减，在上单调递增，
结合函数的性质得在上单调递增，在上单调递减，
而，
，
则，由零点存在性定理得存在作为零点，
而，
则，由零点存在性定理得存在作为零点，
故一定存在两个零点，，得到，
而，
，
，
，得到，
故，结合，得到，
而，则，结合，
故和都在同一单调区间内，即，解得；
（ii）若，则，
由已知得，故，
则使即可，而，
由基本不等式得，
当且仅当时取等，此时，则
而，故在同一单调区间内，
得到，即，
由题意得，我们开始讨论的取值范围，
当时，方程变为，解得，
此时的解集中只含有一个元素，符合题意，
当时，得到，
即，若解集中只含有一个元素，
则和在上只有一个交点，
而，
，
令，则，代入原函数中，
原函数可化为，
，
化简得，当时，此时符合题意，
当时，，
由对勾函数性质得在上单调递减，在上单调递增，
结合函数的性质得在上单调递减，在上单调递增，
则在上单调递减，在上单调递增，
而，且当时，，
当时，，
且当时，，即当时，满足题意，
则，综上，.函数的应用：零点问题、实际应用问题、函数图像问题讲义
考点目录
零点存在性定理与二分法 一次函数与二次函数的零点分布问题
指对幂函数的零点分布问题 实际应用问题
函数图像问题
【知识点解析】
1.函数的零点
对于一般函数，我们把使得的实数叫做函数的零点
2.方程的解与函数的关系
函数的零点就是方程的实数解，也就是函数的图像与轴的交点的横坐标，所以方程有实数解函数有零点函数图像与轴有交点.
※方程的解的数量函数与函数的交点的数量.
3.函数零点的存在性定理
如果函数在区间上的图像是一条连续的曲线，且，那么，函数在区间内至少有一个零点，即存在，使得，这个就是方程的解.
4.用二分法求方程的近似解
对于在区间上图象连续不断且的函数，通过不断地把它的零点所在区间一分为二，使所得区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法.
【例题分析】
考向一 利用零点存在性定理判定零点所在区间
例1．（25-26高一上·北京·期中）函数在下列区间一定有零点的是（ ）
A． B． C． D．
例2．（25-26高一上·辽宁营口·期中）已知函数，在下列区间中，一定包含零点的区间是（ ）
A． B． C． D．
考向二 用二分法求方程的近似解
例1．（25-26高一上·山东威海·期中）用二分法研究函数的零点时，通过计算得：，，则下一步应考察的区间为（ ）
A． B． C． D．
例2．（25-26高一上·福建厦门·阶段练习）若用二分法求方程在初始区间内的近似解，则第三次取区间的中点（ ）
A． B． C． D．
例3．（2025·广东汕头·模拟预测）用二分法求函数在内的零点近似值，若精确度要求为，则需重复相同步骤的次数至少为（ ）
A． B． C． D．
【变式训练】
考向一 利用零点存在性定理判定零点所在区间
变式1．（25-26高二上·内蒙古呼和浩特·期中）函数的零点所在区间是（ ）
A． B． C． D．
变式2．（25-26高三上·海南海口·月考）方程的实数根所在的区间是（ ）
A． B． C． D．
考向二 用二分法求方程的近似解
变式1．（24-25高一下·江苏南京·期中）在用二分法求方程在上的近似解时，先构造函数，再依次计算得，，，，，则该近似解所在的区间可以是（ ）
A． B． C． D．
变式2．（24-25高一上·安徽铜陵·期末）某同学用二分法求函数的零点时，用计算器算得部分函数值如下表所示：
则该函数零点的近似值（精确度为0.1）可以是（ ）
A．1.2 B．1.21 C．1.27 D．1.32
变式3．（24-25高一上·贵州毕节·期末）已知函数，现用二分法求函数在内的零点的近似值，则使用两次二分法后，零点所在区间为（ ）
A． B． C． D．
【知识点解析】
1.一次函数与二次函数的图像
（1）一次函数的图像由和决定，决定了函数的单调性，决定了函数与轴的交点.
（2）二次函数的图像由和和决定，决定了函数的开口，与决定了函数的对称轴，且与左同右异，决定了函数与轴的交点.
2.二次函数的零点分布问题
（1）讨论二次函数在上的零点数量，只需讨论的正负.
①若，则二次函数有两个零点；
②若，则二次函数有一个零点；
③若，则二次函数没有零点.
（2）讨论二次函数在某个区间上的零点数量
策略一：利用判别式+韦达定理进行讨论；
策略二：利用判别式+对称轴+端点函数值的正负进行讨论；
策略三：参变分离进行求参.
【例题分析】
考向一 一次函数的零点分布问题
例1．（24-25高二上·河南新乡·阶段练习）当时，函数的值有正也有负，则实数的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
例2．（24-25高一上·福建厦门·期中）已知函数f（x）=3ax-1-2a在区间（-1，1）上存在零点，则（　　）
A．或 B． C．或 D．
考向二 二次函数的零点分布问题
例1．（25-26高一上·江苏泰州·期中）方程 的两根都大于 1 的一个充分不必要条件是（ ）
A． B． C． D．
例2．（25-26高一上·江苏盐城·阶段练习）已知函数在区间内只有一个零点，则实数的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
例3．（25-26高一上·江苏南通·阶段练习）若二次函数在区间上有且仅有一个零点，则实数的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
例4．（25-26高一上·广东佛山·阶段练习）若方程的一个根小于1，另一个根大于1，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【变式训练】
考向一 一次函数的零点分布问题
变式1．（25-26高一上·山东青岛·阶段练习）若方程的根在内，则的取值范围是 ．
变式2．（25-26高一上·河北唐山·阶段练习）若函数在上存在，使，则实数的取值范围是 .
考向二 二次函数的零点分布问题
变式1．（25-26高一上·辽宁沈阳·期中）若函数有两个零点，，且，，则实数的取值范围为 .
变式2．（25-26高一上·北京·阶段练习）关于x的方程至少有一个负实根，则a的取值范围是 .
变式3．（25-26高一上·湖南长沙·阶段练习）方程有两根，，且，则的取值范围为 .
变式4．（25-26高一上·新疆·期中）已知函数在区间上有两个零点，实数的取值范围为 .
【知识点解析】
1.由函数零点的分布或方程解的分布求参数范围
策略一：讨论函数的单调性，进而利用零点存在性定理求参数范围.
策略二（数形结合法）：刻画函数图像，根据函数的图像求参数范围.
策略三（分离参数法）：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决
2.指数函数与对数函数的图像
（1）指数函数的图像由决定，决定了函数的单调性.
①当时，函数单调递增；
②当时，函数单调递减；
③指数函数过定点.
（2）对数函数的图像由决定，决定了函数的单调性.
①当时，函数单调递增；
②当时，函数单调递减；
③对数函数过定点.
3.常见函数的平移变换、翻折变换
（1）将函数向左平移个单位得函数的图像.
（2）将函数向右平移个单位得函数的图像.
（3）将函数向上平移个单位得函数的图像.
（4）将函数向下平移个单位得函数的图像.
（5）将函数关于轴对称得函数的图像.
（6）将函数关于轴对称得函数的图像.
（7）将函数图像位于轴下方的图像向上翻折，轴上方图像不变，得函数的图像.
（8）将函数图像位于轴右方的图像向左翻折，轴右方图像不变，得函数的图像.
3.几个常见的定值
（1）对于函数，若，则.
（2）对于函数，若，则.
（3）对于函数，若，则.
【例题分析】
例1．（2025·江苏徐州·模拟预测）已知函数是定义在R上偶函数，当时，，若方程仅有4个不相等的实数根，则实数m的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
例2．（2025·四川·模拟预测）已知函数若关于的方程（为实常数）有四个不同的解，且，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
例3．（24-25高一上·云南昆明·阶段练习）已知函数，若恰有3个零点，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
例4．（24-25高一上·天津·阶段练习）已知函数若函数有四个不同的零点，，，，且，则下列结论中正确的是（ ）
A． B． C． D．
例5．（24-25高一上·内蒙古鄂尔多斯·阶段练习）函数，若互不相同，且，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
例6．（24-25高三上·湖北·开学考试·多选）设函数，若，且，则的值可以是（ ）
A．3 B．4 C．5 D．
例7．（24-25高一下·江苏宿迁·期中·多选）已知函数，若方程有四个不等实根（），则下列说法正确的是（ ）
A． B．
C． D．最小值为2
【变式训练】
变式1．（24-25高三上·河南洛阳·阶段练习）函数,若方程有两个不同的实数根，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
变式2．（24-25高二下·江苏淮安·阶段练习）已知函数，函数有四个不同的零点，，，，且满足：，则下列结论中不正确的是（ ）
A． B． C． D．
变式3．（24-25高一上·河北保定·阶段练习）已知函数，若方程有四个不同的解，且，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
变式4．（24-25高一上·湖北武汉·阶段练习）已知函数，，函数有4个不同的零点且，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
变式5．（24-25高一下·浙江温州·期中）设函数，若关于x的方程有四个实根，则的最小值为（ ）
A． B． C．10 D．9
变式6．（24-25高二上·贵州毕节·阶段练习·多选）已知函数（其中为自然对数的底数），若实数，，存在并能满足，且，则下列说法正确的有（ ）
A．在和上单调递减 B．的值域为
C．的取值范围是 D．
变式7．（2025·贵州·模拟预测·多选）记函数，若（，，互不相等），则的值可以是（ ）
A． B．6 C．8 D．9
【知识点解析】
1.周长、面积、体积问题：核心表示出边长.
2.工程问题：核心表示出工作总量、工作效率、工作时间.
3.行程问题：核心表示出路程、速度、时间.
4.销售问题：核心表示出单价、数量、总价.
5.利润问题：核心表示出总收入和总支出.（期中总收入可能直接给出，也可利用总价等于单价×数量）
6.指数方程的求解
对于指数方程，则左右两边同时取的对数，得，化简可得方程得解.
7.对数方程的求解
对于对数方程，则左右两边同时取的指数，得，化简可得方程得解.
※注意单位统一
【例题分析】
例1．（25-26高一上·山西晋中·期中）山西汾酒储存时间越长价值越高，一瓶原价2000元的汾酒，储存年（）后的价值（元）满足函数（为常数），已知储存4年的此种汾酒价值为2400元，则此种汾酒储存8年的价值为（ ）
A．2980元 B．2880元 C．2680元 D．2480元
例2．（25-26高一上·安徽·期中）某培养皿中微生物的含量与时间（单位：小时）的关系满足函数，且第3小时时其含量为10，第7小时时其含量为40，若第小时时其含量为80，则（ ）
A．11 B．10 C．9 D．8
例3．（25-26高一上·江苏南京·期中）牛顿冷却定律（Newton’s law of cooling）是牛顿在1701年用实验确定的：物体在空气中冷却，如果物体的初始温度为，环境温度为，则分钟后物体的温度（单位：）满足：.已知环境温度为，一块面包从温度为的烤箱里拿出，经过分钟温度降至，那么大约再经过（ ）分钟，温度降至.
A． B． C． D．
例4．（2025·甘肃定西·模拟预测·多选）声音由物体的振动产生，以波的形式在一定的介质（如固体 液体 气体）中进行传播.在物理学中，声波在单位时间内作用在与其传递方向垂直的单位面积上的能量称为声强.但在实际生活中，常用声音的声强级来度量，声强级与声强的关系近似满足，经过多次测定，得到如下数据：
声强
声强级 10 20 30
已知烟花的噪声的声强级一般在，其声强为；鞭炮的噪声的声强级一般在，其声强为；飞机起飞时发动机的噪声的声强级一般在，其声强为，则（ ）
A． B．
C． D．
例5．（25-26高三上·上海·期中）在固定压力差(压力差为常数)的前提下，当气体通过圆形管道时，其速率(单位：)与管道半径(单位：)的四次方成正比．若在半径为3的管道中，某气体的速率为400，则该气体通过半径为5的管道时的速率为 ．(结果精确到1)
例6．（23-24高一上·河北石家庄·阶段练习）当生物死亡后，其体内原有的碳14的含量大约每经过5730年衰减为原来的一半，这个时间称为“半衰期”．当死亡生物体内的碳14含量不足死亡前的千分之一时，用一般的放射性探测器就测不到了．若某死亡生物体内的碳14用该放射性探测器探测不到，则它至少要经过 个“半衰期”．
【变式训练】
变式1．（25-26高一上·江苏连云港·期中）视力检查时通常用五分记录法和小数记录法记录视力数据.五分记录法的数据和小数记录法的数据满足关系式.已知某学生视力用五分记录法记录的数据为4.9，则其视力用小数记录法记录的数据约为（ ）（参考数据：）
A．0.4 B．0.6 C．0.8 D．1.0
变式2．（25-26高三上·福建·期中）已知某放射性同位素的含量与时间的关系式为，其中为初始含量.则当该放射性同位素的含量为时，的值约为（ ）
附：.
A．33 B．45 C．67 D．78
变式3．（25-26高三上·福建漳州·月考）2023年月日，日本不顾国际社会的强烈反对，将福岛第一核电站核污染废水排入大海，对海洋生态造成不可估量的破坏.据有关研究，福岛核污水中的放射性元素有种半衰期在年以上；有种半衰期在万年以上.已知某种放射性元素在有机体体液内浓度与时间（年）近似满足关系式为大于的常数且.若时，；若时，.则据此估计，这种有机体体液内该放射性元素浓度为时，大约需要（ ）（参考数据：）
A．年 B．年 C．年 D．年
变式4．（25-26高一上·广东广州·阶段练习·多选）当一束光通过一个吸光物质（通常为溶液）时，溶质吸收了光能，光的强度减弱．吸光度就是用来衡量光被吸收程度的一个物理量，其影响因素有溶剂、浓度、温度等．透光率是指光子通过物体的能量占发出光能量的比例．在实际生产和生活中，通常用吸光度A和透光率T来衡量物体材料的透光性能，著名的朗伯-比尔定律表明了两者之间的等量关系为，其中A是吸光度，T为透光率，为入射光强度，I为透射光强度．某化学有机高分子材料研究所测得了不同有机高分子材料的透光率（如下表）：
有机高分子材料 塑料 纤维 薄膜
T 0.6 0.7 0.8
设塑料、纤维、薄膜的吸光度分别为，，，则（ ）
A． B．
C． D．
变式5．（25-26高一上·上海·期中）聚合酶链式反应（PCR）扩增技术可以将微量的DNA片段大量复制以便仪器进行检测，常用于医学、考古、刑侦等领域，每1次扩增将DNA片段量变为扩增前的2倍．若某研究中初始DNA片段量为5，要求用于仪器检测的DNA片段量不低于，则检测前需要扩增的次数至少为 ()．
变式6．（24-25高三上·江苏南通·开学考试）已知树木样本中碳-14含量与树龄之间的函数关系式为，其中为树木最初生长时的碳-14含量，为树龄（单位：年）.通过测定发现某古树样品中碳-14含量为，则该古树的树龄约为 万年.（精确到0.01）（，）
【知识点解析】
1.由解析式求函数图像：
（1）看函数奇偶性.
（2）看函数特殊值(看题目所给的横坐标或令、).
（3）看函数的单调性.
（4）看函数的平移、翻折变换.
【例题分析】
例1．（25-26高一上·广西贵港·月考）函数的大致图像可能是（ ）
A．B．C． D．
例2．（25-26高三上·上海·期中）已知函数的图像如图所示，则函数的表达式可能为（ ）.
A． B．
C． D．
例3．（24-25高一上·浙江温州·期中）以下可能是函数的图像的为（ ）
A．B．C． D．
例4．（24-25高二下·吉林长春·阶段练习）函数的图像为（ ）
A．B．C． D．
【变式训练】
变式1．（24-25高一上·黑龙江哈尔滨·期中）函数的图像大致为：（ ）
A．B．C． D．
变式2．（24-25高一上·重庆沙坪坝·期末）以下是函数的大致图像的是（ ）
A．B．C． D．
变式3．（24-25高一上·重庆·期中）我国著名数学家华罗庚先生曾说：“数缺形时少直观，形缺数时难入微”.在数学的学习和研究过程中，常用函数图像来研究函数的性质，也经常用函数解析式来分析函数的图像特征，函数在的图像大致为（ ）
A．B．C． D．
变式4．（24-25高一上·江苏苏州·阶段练习）函数的图像大致是（ ）
A． B． C． D．
1．（24-25高一上·安徽宣城·期末）已知函数，利用二分法求的零点的近似值，若零点的初值区间为，精确度为，则可以是（ ）
A． B． C． D．
2．（24-25高一下·贵州遵义·期末）已知函数，若函数恰有3个零点，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
3．（24-25高一下·湖北荆门·期末）规定工厂产生的废气必须过滤后才能排放，已知在过滤过程中，废气中的污染物（单位：毫克/升）与过滤时间（单位：小时）之间的函数关系式为：（为自然对数的底数，为污染物的初始含量），过滤2小时后检测，发现污染物的含量为原来的，要使污染物的含量不超过初始值的，则至少需要过滤（ ）（参考数据：）
A． B． C． D．
4．（24-25高二下·陕西渭南·期末）在一定条件下，某人工智能大语言模型训练N个单位的数据量所需要时间（单位：小时），其中k为常数，在此条件下，已知训练数据量N从个单位增加到个单位时，训练时间增加20小时；当训练数据量N从个单位增加到个单位时，训练时间增加（单位：小时）（ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
5．（24-25高一下·湖南衡阳·期末）已知函数，，若关于x的方程有19个不等实数根，则实数m的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
6．（24-25高二下·河北·期末）方程的解所在的区间是（ ）
A． B． C． D．
7．（24-25高一上·安徽黄山·期末·多选）已知函数，若关于的方程有4个不同的实根，则实数可能的取值有（ ）
A． B． C． D．
8．（24-25高二下·内蒙古乌兰察布·期末·多选）已知函数，若，且，则下列结论正确的是（ ）
A． B． C． D．
9．（24-25高一上·四川泸州·期末）已知函数，若关于x的方程有六个相异的实数根，则实数a的取值范围是 ．
10．（24-25高一下·山西临汾·期末）已知函数有3个零点，则实数的取值范围为 .
11．（24-25高二下·天津滨海新·期末）已知函数（i）方程的解集为 ；（ii）若函数有四个不同的零点，从小到大依次为，则的取值范围为 .
12．（24-25高一下·海南海口·期末）某科研团队研究某种放射性物质的衰减规律，发现剩余质量（单位：克）随时间（单位：天）的变化规律满足，其中为初始质量．若初始质量满足，则时，的值为 ．
13．（24-25高二下·山东临沂·期末）已知函数是偶函数.
(1)求；
(2)设，若函数有且只有一个零点，求的取值范围.
14．（24-25高一下·广东广州·期末）已知函数
(1)求的单调区间;
(2)设函数
（i） 证明:有两个零点，且. ；
（ii）若关于x的方程 的解集中只含有一个元素，求a的取值范围.

展开更多......

收起↑