资源简介

斐波那契数列专题复习
一、复习目标
构建斐波那契数列完整知识体系，熟练掌握定义、递推关系、通项公式及核心性质（含证明）；
全面突破高考各类题型，包括基础求值、实际建模、综合证明、难题拓展，提升解题能力；
强化逻辑推理与数学建模素养，适配高考对递推数列的深度考查要求。
二、核心知识回顾
1. 定义与递推关系
定义：数列满足 ，，（），称为斐波那契数列。
拓展初始值：部分题目定义 ，，递推关系不变，需灵活适配。
2. 通项公式
证明（特征根法）：
由递推关系 ，构造特征方程 ；
解得特征根 （黄金分割比），；
设通项为 ，代入初始值 ，：
因 ，，代入第二个方程得 ；
联立解得 ，，故通项公式成立。
3. 核心性质（含证明·高考高频）
性质1：求和性质
证明：
由递推关系 （）；
叠加求和：；
展开后中间项抵消：；
因 ，故 ，性质成立。
性质2：平方和性质
证明（数学归纳法）：
① 当 时，左边 ，右边 ，成立；
② 假设 时成立，即 ；
③ 当 时，左边 （递推关系）；
故 时成立，综上对任意 成立。
性质3：交叉性质 （）
证明（数学归纳法）：
① 当 时，左边 ，右边 ，成立；
② 假设 （）时成立，即 ；
③ 当 时，左边 ；
由假设 ，得 ；
代入左边得 ，与右边 相等；
故 时成立，综上对 成立。
性质4：递推拓展性质 （，）
证明（数学归纳法）：
① 当 时，右边 ，与左边 相等，成立；
② 假设 （）时成立，即 ；
③ 当 时，左边 （递推关系）；
由假设：，；
相加得 ，与右边相等；
故 时成立，综上对 成立。
性质5：黄金分割性质
证明：
由通项公式 ，；
则 ；
因 ，，故 ；
故 ，性质成立。
性质6：奇数项求和性质
证明：
由递推关系 （）；
叠加求和：（令 ）；
中间项抵消得 ，性质成立。
性质7：平方和拓展性质
证明（数学归纳法）：
① 当 时，左边 ，右边 ，成立；
② 假设 时成立，即 ；
③ 当 时，左边 ；
由假设和递推关系 ，结合性质4（令 ，）得 ，化简得左边 ；
故 时成立，综上对任意 成立。
三、高考题型分类突破（含多例题+详细解析）
题型1：直接利用递推关系求值（基础送分题）
例题1（2022·浙江模拟）
已知斐波那契数列满足，，，则（ ）
A. 1 B. -1 C. 0 D. 2
解析：由递推关系 ，代入得 ，答案：C。
练习1（2023·福建模拟）
设斐波那契数列，若，，则__________。
解析：，，答案：55。
练习2（2024·广东模拟）
已知斐波那契数列，则（ ）
A. 54 B. 88 C. 89 D. 143
解析：利用性质1，，答案：B。
练习3（2023·海南模拟）
若斐波那契数列满足，，则__________。
解析：数列前10项为0,1,1,2,3,5,8,13,21,34,55，代入得8+21-55=-26，答案：-26。
练习4（2024·天津模拟）
已知为斐波那契数列，，，则__________。
解析：利用性质2，（或直接计算：2 +3 +5 =4+9+25=38），答案：38。
题型2：斐波那契数列与实际问题（建模类高频题）
例题2（2021·山东模拟）
某楼梯共10级，每次只能上1级或2级台阶，上完该楼梯的不同方法数为（ ）
A. 55 B. 89 C. 144 D. 233
解析：设上n级台阶方法数为，则，，，推导得，答案：B。
练习1（2020·河南模拟）
拼接第n次的方法数符合斐波那契数列（，），则拼接第7次的方法数为（ ）
A. 13 B. 21 C. 34 D. 55
解析：推导得，答案：A。
练习2（2023·江苏模拟）
蜜蜂到达第n个蜂房的路径数为斐波那契数列，到达第3个蜂房路径数为2，则到达第8个蜂房的路径数为（ ）
A. 21 B. 34 C. 55 D. 89
解析：，，，推导得，答案：A。
练习3（2024·安徽模拟）
拼团人数n的成团方式数满足，，，则第9人的成团方式数为（ ）
A. 34 B. 55 C. 89 D. 144
解析：推导得，答案：A。
练习4（2022·四川模拟）
用1×2瓷砖覆盖2×n地面的方法数为，则（ ）
A. 13 B. 21 C. 34 D. 55
解析：，，，推导得，答案：B。
题型3：斐波那契数列与性质应用（综合证明题）
例题3（高考改编）
证明：。
解析：，证明完毕。
练习1（2024·湖北模拟）
证明：。
解析：利用性质1和性质6，，证明完毕。
练习2（2023·湖南模拟）
证明：（）。
解析：左边（性质7），证明完毕。
练习3（2022·江西模拟）
证明：。
解析：由性质2，（性质3变形），叠加后化简得，证明完毕。
题型4：斐波那契数列与综合知识（难题突破）
例题4（高考改编）
证明：对任意正整数n，。
解析：数学归纳法，①n=1,2时成立；②假设n=k,k+1时成立，（因），成立。
练习1（2023·重庆模拟）
证明：（）。
解析：数学归纳法，①n=1时1≥，n=2时1≥1，成立；②假设n=k,k+1时成立，，成立。
练习2（2024·贵州模拟）
已知，，证明周期为4。
解析：计算得，，，，，周期为4，证明完毕。
练习3（2023·云南模拟）
证明：（）。
解析：右边（性质3变形），由性质4（令k=n）得，故等式成立。
练习4（2024·河北高考改编）
设函数，证明：对任意正整数n，。
解析：直接代入通项公式，，证明完毕。
四、高考易错点警示
初始值混淆：注意题干中或的定义，避免代入错误；
建模逻辑偏差：实际问题需准确提炼递推关系（如“覆盖地面”的竖放/横放选择）；
证明不严谨：数学归纳法需完整呈现“奠基-假设-递推-结论”，放缩法需合理控制幅度；
性质套用错误：牢记性质适用条件（如交叉性质需n≥2），避免盲目使用。
五、总结与提升
知识核心：斐波那契数列的本质是线性递推，所有性质和题型均围绕递推关系展开；
高考趋势：基础题侧重递推求值和简单建模，难题侧重与函数、不等式、周期数列的综合；
备考策略：熟练掌握前10项数值、7个核心性质（含证明逻辑），多练习建模题和综合证明题。

展开更多......

收起↑