资源简介

课 题 2.5.1椭圆的标准方程
学科年级 数学高二 教材版本 人教B版 课型
授课教师 授课日期 课节
授课对象 授课地点
一、教学内容分析
《椭圆的标准方程》是圆锥曲线的第一课时，它是解析几何的重要内容之一.在此之前学生已经学习了直线、圆，对曲线和方程的概念有了一些了解，对用坐标法研究几何问题有了初步认识，椭圆为进一步学习双曲线，抛物线奠定良好的理论基础.椭圆是一种重要的模型，在日常生产、生活和科学技术上应用广泛。因此，本节课内容十分重要，不仅知识上具有承前启后的作用，而且还具备现实意义。
二、教学目标
目标与素养 结合实际动手操作，经历从具体情境中抽象出椭圆模型的过程，掌握椭圆的定义，达到数学抽象核心素养学业质量水平二的层次。 类比建立圆的方程的方法，能选择适当的直角坐标系建立椭圆的方程，达到直观想象核心素养学业质量水平二的层次。 情节与问题 通过生活中与自然界中出现的椭圆形状的物品，让学生感受椭圆的存在，类比圆的知识，进而提出问题：椭圆的定义是什么？引出课题。然后从实验入手，帮助学生直观感受椭圆的画法，然后引导学生进入第一个探究得到椭圆的定义，第二个探究研究如何建系得到最恰当的椭圆的方程，学习新知。 内容与节点 椭圆及其标准方程是本章的第一节内容，是在学生初步具备了解析几何的思想与坐标法研究曲线问题的经验后继续学习的新内容。通过本节内容的学习，为后面研究椭圆的几何性质、双曲线、抛物线等内容提供基本模式和学习经验 过程与方法 问题驱动式教学与探讨式教学，引导学生主动参与、积极体验、自主探究，形成师生互动的教学氛围，让学生自觉主动地创造性地骑一分析问题、讨论问题、解决问题，使学生在获得知识地同时，也能掌握方法、提升能力，培养学生研所数学知识地欲望，发展学生地数学抽象、直观形象、数学运算与逻辑推理核心素养。
三、教学重点、难点
重点：椭圆的定义与椭圆的标准方程； 难点：椭圆标准方程的推导过程.
四、学情分析
在学习椭圆的标准方程之前，学生已学习了直线与圆的方程，对曲线和方程的概念有了一些了解与运用的经验，并对运用坐标法研究几何问题也有了初步的认识.因此，我们可以充分相信在教师的合理引导下学生有独立探究有关点的轨迹问题的知识基础和学习能力.但由于学生学习解析几何时间还不长、学习程度也较浅，在学习过程中难免会有些困难.如：由于学生对坐标法解决几何问题掌握还不够，故从研究圆到椭圆，学生思维上会存在障碍.
五、教学策略设计
本节课的设计力图体现“教师为主导，学生为主体”的教学设想，在教学过程中始终本着“教师是课堂教学的组织者、引导者、合作者”的原则，让学生通过实验、观察、分析、推理、交流、合作、小结、反思等过程建构新知识，并初步学会从数学角度去观察事物和思考问题，激发学生学习数学的热情和兴趣。
六、教学资源准备
教师为每个小组准备一张白色卡纸，一条细绳；学生自备铅笔．
七、教学过程
教学环节 预设教师活动 预设学生活动 设计意图
创 设 情 境 引 入 新 课 在宇宙中许多天体的运行轨道也是椭圆，生活中也有许多椭圆形的实际例子。由此看来，若要探索浩瀚宇宙的奥秘，解决日常生活中与椭圆有关的一些实际问题，需要对椭圆这一图形进行研究.今天我们就来研究什么是椭圆及椭圆的标准方程.那么什么是椭圆呢？怎么画椭圆呢？ 多媒体引入新课，形象生动，激发学生们的学习兴趣，培养学生数学抽象能力。
动 手 实 验 探 索 新 知 (1)取一条长度为2a的细绳。 (2)把它的两端用图钉固定在板上的两个定点F1、F2 (3)用铅笔尖（M）把细绳拉紧，在板上慢慢移动看看画出的 图形（课前准备直尺、细绳、钉子、笔、纸板） 学生小组合作实验作图 通过画椭圆，让学生经历知识的形成过程，同时也让学生成为学习的主人，给他们提供一个自主探索学习的机会。
总 结 归 纳 形 成 定 义 【引导】根据画图的过程，请同学们思考椭圆上的点有什么共同特征？ 提问：1.在画图的过程中，细绳的两端的位置是固定的还是运动的？ 2.在画图的过程中，绳子的长度变了没有？说明了什么？ 3.在画图的过程中，绳子长度与两定点距离大小有怎样的关系？ 请大家回想刚才的画图过程，使笔尖贴紧绳子且贴紧纸板（表明在同一平面内），又保证绳长大于| F1 F2|，这样就在平面内画出了椭圆，所有具有这些特征的点集在一起就形成了椭圆. 探究问题1：改变两定点之间的距离，使其与绳长相等，画出的图形还是椭圆吗？ 探究问题2：绳长能小于定点之间的距离吗？ 教师再次（运用几何画板的度量工具）演示椭圆上任意一点到两焦点的距离的和都相等（为定值）. 那么请同学们类比圆给椭圆下个定义吧. 引导学生归纳出椭圆的定义. 椭圆定义：如果，是平面内的两个定点，是一个常数，且，则平面内满足 的动点P的轨迹称为椭圆。其中，两个定点，称为椭圆的焦点，两个焦点之间的距离称为椭圆的焦距。 思考1：椭圆定义需要注意什么？ 情景引入后给出椭圆的定义. 学生思考后回答问题，教师点评. 学生小组合作作图共同探究问题，并且每组派代表到前面演示讲解，教师利用好班级优化大师适时给予评价与肯定。 学生思考后回答问题，教师点评. 当2a>|F1F2|时，是椭圆； 当2a=|F1F2|时，是线段； （3）当2a<|F1F2|，轨迹不存在． 让学生动手尝试，激发学习兴趣和求知欲，体会探索的乐趣。通过实验能深刻理解椭圆的定义。让学生们在做中学数学，自己画椭圆，经历知识的形成过程给他们探索学习的机会，让他们通过观察讨论类比圆概括出椭圆的定义。这样既获得了知识，又培养了学生们的归纳、概括的能力。
合 理 建 系 推 导 方 程 上一节课，我们学习了求曲线方程的步骤，有哪些呢？ 问题1：如何建立坐标系更好？使得方程更简洁． 我们可以类比一下圆方程与坐标系的关系． 问题2：圆方程最简洁形式是什么？此时圆与坐标系的关系是什么？ 问题3：从椭圆的画法中，你能发现椭圆有哪些对称性？ 以两对称轴为坐标轴建立坐标系，设点，列式， 问题4：如何化简以下式子？方法一：移项两边平方法 方法二：直接两边平方法 师生共同利用两种方法化简至：． 问题5：观察下图，你能找到表示，的线段吗？ 令，则（1）式可化为：（）（2）． 从上述过程可以看到，椭圆上任一点的坐标都满足方程（2）；以方程（2）的解为坐标的点到椭圆的两个焦点的距离之和为，即以方程（2）的解为坐标的点都在椭圆上．则（2）为椭圆的方程． 引入的几何意义： 让点运动到轴正半轴上，由学生观察图形自行获得的几何意义， 学生：建系、设点、列式、化简、证明，五个步骤． 学生：思考问题1． 学生：思考并回答问题2，圆心在原点时，圆方程最简洁，此时圆关于轴、轴、原点对称． 学生：思考问题3，师生共同进行图像分析并得出结论：椭圆关于两定点所在直线对称，关于线段的中垂线对称，且两对称轴交点是椭圆对称中心． 学生：尝试化简．小组讨论，展示讲解． 学生：思考并回答上述问题． 培养学生的抽象思维和归纳概括能力，体现了学生的自主意识。 使学生完全成了学习的主人，由被动的接受变成主动的获取。在师生互动的过程中，让学生体会数学的严谨，使他们的观察能力、运算能力、推理能力得到训练，渗透数形结合的数学思想。并感受椭圆方程、图形的对称美，简洁美。 让学生在讲解的过程中体会数形结合思想，引出特征三角形，也为后续学习做好准备. ． 对照图形加以引导，数形结合让学生明白方程中字母的几何意义，对方程的理解有很大的作用.
类 比 推 理 分 类 讨 论 问题6：如果焦点在轴上，原点为两焦点的中点，则椭圆方程是什么？ 焦点在x轴上的标准方程： （） 焦点在y轴上的标准方程： （） 思考1.椭圆的标准方程中三个参数的关系怎样 2.如何从椭圆的标准方程判断椭圆焦点的位置？ 学生：利用类比的方法， 得到方程： （）． 学生： 1. 2.哪个分母大，焦点就在哪个坐标轴上． 总结方程特征，明确方程与焦点的对应关系．
例 题 研 讨 学 以 致 用 例1：分别求出满足下列条件的椭圆的标准方程： 两个焦点的分别是，椭圆上的点P到两焦点距离的和等于8； （2）两个焦点的分别是，并且椭圆经过点． 教师引导学生审题，先让学生思考，然后请学生板演． 学生思考、讨论、交流解题思路，完成解答过程． 方法一：定义法 方法二：方程组法 学生思考板演，其他学生点评. 检验学生对椭圆标准方程的理解与应用．
提 炼 升 华 课 堂 小 结 思考: 1.本节课学习的主要知识是什么 2.求椭圆标准方程常用方法是什么？ 3.本节课涉及到了哪些数学思想方法？ 活动过程:（师）提问 ----- （生）小结 ----- （师生）补充完善. 教师总结：今天我们类比研究圆的基本方法研究了椭圆的定义及标准方程，接下来我们也将继续利用方程展开研究椭圆的几何性质.研究圆、椭圆的这一思想将贯穿于整个圆锥曲线的教学中. 答：一个定义（椭圆的定义）；两个方法（定义法和待定系数法）； 三种数学思想（数形结合思想；转化化归思想；分类讨论思想）。 归纳小结由学生来完成，让学生回顾本节所学知识与方法,以逐步提高学生自我获取知识的能力，他们及时发现并纠正自己学习中存在的问题，培养学生学习的主动性和良好的学习习惯.
课 后 作 业 承 上 启 下 书面作业： 1．教材第128页练习A第2，3,4题. 2．教材第128页练习B第1,2，3题. 研究性作业： 3.教材第127页128页“拓展阅读” 4.请同学之间，编制一道求椭圆标 准方程的试题，写出解答过程。 为后续学习做铺垫，为学有余力的学生留有进一步探索、发展的空间
板 书 设 计 2.5.1椭圆的标准方程 一、画椭圆 二、定义： 注：①若，则点的轨迹不存在； ②若，则轨迹为线段 三、椭圆的标准方程 焦点在轴上时， 焦点在轴上时，
教 后 反 思

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